ในพีชคณิตนามธรรมและการวิเคราะห์คุณสมบัติของอาร์คิมีดีสซึ่งตั้งชื่อตามอาร์คิมีดีส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ แห่งซีราคิวส์เป็นคุณสมบัติที่โครงสร้างพีชคณิต บางอย่าง เช่น กลุ่มเรียงลำดับหรือกลุ่ม บรรทัดฐาน และฟิลด์ มีอยู่ คุณสมบัตินี้ ตามที่ตีความกันโดยทั่วไป ระบุว่า เมื่อกำหนดจำนวนบวกสองจำนวนและจะมีจำนวนเต็ม ที่ทำให้ นอกจากนี้ยังหมายความว่าเซตของจำนวนธรรมชาติไม่มีขอบเขตบน^{[ 1 ]}โดยคร่าวๆ แล้ว เป็นคุณสมบัติที่ไม่มีสมาชิกที่ใหญ่เป็นอนันต์หรือเล็กเป็นอนันต์ออตโต สโตลซ์ เป็นผู้ตั้งชื่อสัจพจน์ของอาร์คิมีดีส เนื่องจากปรากฏเป็นสัจพจน์ที่ 5 ของหนังสือ On the Sphere and Cylinderของอาร์คิมีดีส^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nx>y}$

แนวคิดนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎีขนาดของกรีกโบราณ และยังคงมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เช่น สัจพจน์ ของเดวิด ฮิลเบิร์ ต สำหรับเรขาคณิตและทฤษฎีกลุ่มเรียงลำดับฟิลด์เรียงลำดับและฟิลด์เฉพาะที่

โครงสร้างพีชคณิตที่สมาชิกสองตัวใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเปรียบเทียบกันได้ในแง่ที่ว่าไม่มีสมาชิกใดเล็กมากเมื่อเทียบกับอีกสมาชิกหนึ่ง เรียกว่า โครงสร้าง แบบอาร์คิมีเดียนโครงสร้างที่มีสมาชิกสองตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ โดยที่สมาชิกตัวหนึ่งเล็กมากเมื่อเทียบกับอีกตัวหนึ่ง เรียกว่า โครงสร้างที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนตัวอย่างเช่นกลุ่มที่มีลำดับเชิงเส้นที่เป็นกลุ่มแบบอาร์คิมีเดียน ก็คือกลุ่มแบบอาร์คิมีเดียน

สิ่งนี้สามารถอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้ในบริบทต่างๆ ด้วยสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ในบริบทของฟิลด์เรียงลำดับเรามีสัจพจน์ของอาร์คิมิดีสซึ่งกำหนดคุณสมบัตินี้ โดยที่ฟิลด์ของจำนวนจริงเป็นฟิลด์อาร์คิมิดีส แต่ฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะในสัมประสิทธิ์จริงไม่ใช่

แนวคิดนี้ได้รับการตั้งชื่อโดยออตโต สโตลซ์ (ในช่วงทศวรรษ 1880) ตามชื่อของอา ร์คิมีดีส แห่งซีราคิวส์นักเรขาคณิตและนัก ฟิสิกส์ ชาวกรีกโบราณ

สมบัติอาร์คิมีเดียนปรากฏอยู่ในหนังสือเล่มที่ 5 ของตำรา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ของยูคลิดในนิยามที่ 4:

กล่าวกันว่าค่าต่างๆ มีอัตราส่วนต่อกัน ซึ่งเมื่อคูณกันแล้วอาจมีค่ามากกว่ากันได้

เนื่องจากอาร์คิมิดีสยกให้เป็นผลงานของยูโดซัสแห่งคนิดัสจึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "ทฤษฎีบทของยูโดซัส" หรือสัจพจน์ของยูโดซัส^{[ 3 ]}

อาร์คิมิดีสใช้ปริมาณอนันต์เล็ก ๆใน การให้เหตุผล เชิงอนุมานแม้ว่าเขาจะปฏิเสธว่านั่นไม่ใช่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่สมบูรณ์แล้ว ก็ตาม

ให้xและyเป็นสมาชิกบวกของกลุ่มที่มีการเรียงลำดับเชิงเส้นGแล้วจะเป็นอนันต์เล็กเมื่อเทียบกับ (หรือเทียบเท่ากับจะเป็นอนันต์เมื่อเทียบกับ ) ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติ ใดๆ ผลคูณของ มีค่าน้อยกว่านั่นคือ อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nx}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}<y.\,}$$

นิยามนี้สามารถขยายไปใช้กับกลุ่มทั้งหมดได้โดยการใช้ค่าสัมบูรณ์

กลุ่มนั้นเป็น กลุ่ม อาร์คิมีเดียนถ้าไม่มีคู่ใดที่ทำให้มีค่าเล็กน้อยมากเมื่อเทียบกับ ${\displaystyle G}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

นอกจากนี้ หากเป็นโครงสร้างพีชคณิตที่มีหน่วย (1) เช่นวงแหวนคำจำกัดความที่คล้ายกันจะใช้ได้กับถ้าเป็นอนันต์เล็กเมื่อเทียบกับแล้วเป็นองค์ประกอบอนันต์เล็ก ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นอนันต์เมื่อเทียบกับแล้วเป็นองค์ประกอบอนันต์โครงสร้างพีชคณิตเป็นแบบอาร์คิมีเดียนถ้าไม่มีองค์ประกอบอนันต์และไม่มีองค์ประกอบอนันต์เล็ก ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$

ฟิลด์ที่มีลำดับจะมีคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการ:

• จำนวนตรรกยะสามารถฝังตัว อยู่ ในฟิลด์เรียงลำดับใดๆ ก็ได้ กล่าวคือ ฟิลด์เรียงลำดับใดๆ ก็มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์
• ถ้าเป็นอนันต์เล็ก แล้วจะเป็นอนันต์ และในทางกลับกัน ดังนั้น เพื่อตรวจสอบว่าฟิลด์เป็นฟิลด์อาร์คิมีเดียนหรือไม่ จึงเพียงพอที่จะตรวจสอบว่าไม่มีสมาชิกที่เป็นอนันต์เล็ก หรือตรวจสอบว่าไม่มีสมาชิกที่เป็นอนันต์${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/x}$
• ถ้าเป็นจำนวนอนันต์เล็ก และเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วก็จะเป็นจำนวนอนันต์เล็กเช่นกัน ดังนั้น เมื่อกำหนดองค์ประกอบทั่วไป แล้วจำนวนทั้งสาม, , และจะเป็นจำนวนอนันต์เล็กทั้งหมด หรือไม่ใช่จำนวนอนันต์เล็กทั้งหมด${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 2c}$

ในบริบทนี้ ฟิลด์เรียงลำดับKจะเป็นฟิลด์อาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อข้อความต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของอาร์คิมี ดีส เป็นจริง :

ให้เป็นสมาชิกใดๆ ของแล้วจะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่จริงซึ่งทำให้${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>x}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือสามารถใช้การจำแนกลักษณะดังต่อไปนี้: $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$

คำคุณศัพท์ "อาร์คิมีเดียน" ยังถูกกำหนดขึ้นในทฤษฎีของฟิลด์ค่าอันดับหนึ่งและปริภูมิบรรทัดฐานเหนือฟิลด์ค่าอันดับหนึ่ง ดังนี้ ให้เป็นฟิลด์ที่มี ฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ กล่าว คือ ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงจำนวนจริงกับสมาชิกฟิลด์ 0 และเชื่อมโยงจำนวนจริงบวกกับสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัวและสอดคล้องกับเงื่อนไข และแล้วจะเรียกว่าเป็นอาร์คิมีเดียนถ้าสำหรับสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆจะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่ เช่นนั้น ${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle |xy|=|x||y|}$${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle |\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}|>1.}$$

ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิบรรทัดฐานจะเป็นปริภูมิอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อผลรวมของพจน์แต่ละพจน์เท่ากับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์มีบรรทัดฐานมากกว่าหนึ่งสำหรับค่า n ที่มากพอฟิลด์ที่มีค่าสัมบูรณ์หรือปริภูมิบรรทัดฐานจะเป็นปริภูมิอาร์คิมีเดียนหรือเป็นไปตามเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า ซึ่งเรียกว่าอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริกตาม ลำดับ ฟิลด์หรือปริภูมิบรรทัดฐานที่สอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริกเรียกว่าไม่ใช่ปริภูมิอาร์คิมีเดียน ${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|),}$$

แนวคิดของพื้นที่เชิงเส้นบรรทัดฐานที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนได้รับการแนะนำโดย AF Monna ^{[ 4 ]}

ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะยอมรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ต่างๆ รวมถึงฟังก์ชันที่ไม่สำคัญเมื่อ ฟังก์ชันที่ ใช้กันทั่วไปมากกว่าและฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์แบบ p-adic ตาม ทฤษฎีบทของ Ostrowskiค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าไม่สำคัญทุกค่าบนจำนวนตรรกยะจะเทียบเท่ากับค่าสัมบูรณ์ปกติหรือค่าสัมบูรณ์แบบ p-adic บางค่า ฟิลด์ตรรกยะไม่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าไม่สำคัญ เมื่อเทียบกับค่าสัมบูรณ์ที่ไม่สำคัญ ฟิลด์ตรรกยะเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงสมบูรณ์ การทำให้สมบูรณ์เมื่อเทียบกับค่าสัมบูรณ์ปกติ (จากลำดับ) คือฟิลด์ของจำนวนจริง ด้วยการสร้างนี้ ฟิลด์ของจำนวนจริงเป็นอาร์คิมีเดียนทั้งในฐานะฟิลด์ที่มีลำดับและฟิลด์ที่มีบรรทัดฐาน^{[ 5 ]} ในทางกลับกัน การทำให้สมบูรณ์เมื่อเทียบกับค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าไม่สำคัญอื่นๆ จะให้ฟิลด์ของจำนวน p-adicโดยที่เป็นจำนวนเต็มเฉพาะ (ดูด้านล่าง) เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของ -adic เป็นไปตาม คุณสมบัติ อัลตราเมตริกดังนั้นฟิลด์จำนวน -adic จึงไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียนในฐานะฟิลด์มาตรฐาน (ไม่สามารถทำให้เป็นฟิลด์เรียงลำดับได้) ${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle x\neq 0}$${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ในทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนจริงการไม่มีอยู่ของจำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กที่ไม่เป็นศูนย์นั้น เป็นสิ่งที่บ่งบอกได้จากคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดดังนี้: ให้ เป็นเซตที่ประกอบด้วยจำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กที่เป็นบวกทั้งหมด เซตนี้มีขอบเขตบนโดยสมมติเพื่อความขัดแย้งว่าไม่ว่างเปล่า ดังนั้นจึงมีขอบเขตบนน้อยที่สุดซึ่งเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้นเนื่องจากcเป็นขอบเขตบนของและมากกว่า อย่างชัดเจน จึงไม่ใช่จำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กที่เป็นบวก นั่นคือ มีจำนวนธรรมชาติบางจำนวนที่ ในทางกลับกันเป็นจำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กที่เป็นบวก เนื่องจากตามนิยามของขอบเขตบนน้อยที่สุด จะต้องมีจำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กอยู่ระหว่างและและถ้าแล้วไม่ใช่จำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็ก แต่ดังนั้น จึงไม่ใช่จำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็ก และนี่คือความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าว่างเปล่าในที่สุด: ไม่มีจำนวนจริงอนันต์ขนาดเล็กที่เป็นบวก ${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c/2<c<2c}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 2c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 2c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n<2c}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$${\displaystyle c/2}$${\displaystyle Z}$

คุณสมบัติของจำนวนจริงตามแนวคิดของอาร์คิมีดีสยังคงใช้ได้ในการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์แม้ว่าคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดอาจใช้ไม่ได้ในบริบทนั้นก็ตาม

ตัวอย่างของฟิลด์เรียงลำดับที่ไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียน คือ ฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (ฟังก์ชันตรรกยะคือฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถแสดงได้ในรูปพหุนาม หนึ่ง หารด้วยพหุนามอีกตัวหนึ่ง เราจะสมมติในส่วนต่อไปนี้ว่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของตัวส่วนเป็นบวก) เพื่อให้ฟิลด์นี้เป็นฟิลด์เรียงลำดับ เราต้องกำหนดลำดับที่เข้ากันได้กับการดำเนินการบวกและการคูณถ้าและเฉพาะเมื่อดังนั้นเราจึงต้องบอกว่าฟังก์ชันตรรกยะใดบ้างที่ถือว่าเป็นบวก เรียกฟังก์ชันว่าบวกถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าของตัวเศษเป็นบวก (เราต้องตรวจสอบว่าลำดับนี้กำหนดไว้อย่างดีและเข้ากันได้กับการบวกและการคูณ) ตามคำจำกัดความนี้ ฟังก์ชันตรรกยะเป็นบวกแต่มีค่าน้อยกว่าฟังก์ชันตรรกยะในความเป็นจริง ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ แล้วจะเป็นบวกแต่ก็ยังน้อยกว่าไม่ว่าจะมีค่ามากแค่ไหนก็ตาม ดังนั้น จึงเป็นค่าอนันต์ในฟิลด์นี้ ${\displaystyle f>g}$${\displaystyle fg>0}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n(1/x)=n/x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/x}$

ตัวอย่างนี้สามารถขยายไปใช้กับสัมประสิทธิ์อื่นๆ ได้ การใช้ฟังก์ชันตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตรรกยะแทนที่จะเป็นจำนวนจริง จะได้ฟิลด์เรียงลำดับที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนที่นับได้ การใช้ฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรอื่น เช่น แทนสัมประสิทธิ์จะได้ตัวอย่างที่มีประเภทลำดับ ที่แตกต่าง กัน ${\displaystyle y}$

ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะที่มีเมตริก p-adic และ ฟิลด์ จำนวน p-adicซึ่งเป็นการเติมเต็ม ไม่มีคุณสมบัติอาร์คิมีเดียนเหมือนฟิลด์ที่มีค่าสัมบูรณ์ ฟิลด์ที่มีค่าอาร์คิมีเดียนทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกแบบไอโซเมตริกกับฟิลด์ย่อยของจำนวนเชิงซ้อนที่มีกำลังของค่าสัมบูรณ์ปกติ^{[ 6 ]}

ฟิลด์เรียงลำดับเชิงเส้นทุกฟิลด์ประกอบด้วย (สำเนาไอโซมอร์ฟิกของ) จำนวนตรรกยะเป็นฟิลด์ย่อยเรียงลำดับ กล่าวคือ ฟิลด์ย่อยที่สร้างขึ้นโดยหน่วยการคูณของซึ่งในทางกลับกันประกอบด้วยจำนวนเต็มเป็นกลุ่มย่อยเรียงลำดับ ซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติเป็นโมโนอิด เรียงลำดับ การฝังจำนวนตรรกยะจึงให้วิธีการพูดถึงจำนวนตรรกยะ จำนวนเต็ม และจำนวนธรรมชาติในต่อไปนี้เป็นลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันของฟิลด์อาร์คิมีเดียนในแง่ของโครงสร้างย่อยเหล่านี้^{[ 7 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

1. จำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนร่วมสุดท้ายในฟิลด์ อาร์คิ มีเดียน นั่นคือ ทุกองค์ประกอบของฟิลด์อาร์คิมีเดียนมีค่าน้อยกว่าจำนวนธรรมชาติบางจำนวน (ยกเว้นกรณีที่มีองค์ประกอบอนันต์) ดังนั้น ฟิลด์อาร์คิมีเดียนจึงเป็นฟิลด์ที่มีจำนวนธรรมชาติเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$
2. ศูนย์คือค่าต่ำสุดของเซต(ถ้ามีค่าอนันต์เล็กๆ ที่เป็นบวกอยู่ในเซตนั้น มันจะเป็นขอบล่างของเซต ซึ่งในกรณีนี้ศูนย์จะไม่ใช่ขอบล่างที่มากที่สุด)${\displaystyle K}$${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$${\displaystyle K}$
3. เซตของสมาชิกที่อยู่ระหว่างจำนวนตรรกยะบวกและลบนั้นไม่ใช่เซตเปิด เนื่องจากเซตนี้ประกอบด้วยจำนวนอนันต์เล็กทั้งหมด ซึ่งก็คือเซตที่ไม่มีจำนวนอนันต์เล็กที่ไม่เป็นศูนย์ และในกรณีอื่นๆ เซตนี้จะเป็นเซตเปิด เพราะไม่มีจำนวนอนันต์เล็กที่ไม่เป็นศูนย์ที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด สังเกตว่าในทั้งสองกรณี เซตของจำนวนอนันต์เล็กเป็นเซตปิด ในกรณีหลัง (i) จำนวนอนันต์เล็กทุกตัวน้อยกว่าจำนวนตรรกยะบวกทุกตัว (ii) ไม่มีจำนวนอนันต์เล็กที่ใหญ่ที่สุดหรือจำนวนตรรกยะบวกที่เล็กที่สุด และ (iii) ไม่มีสิ่งอื่นใดอยู่ระหว่างนั้น ดังนั้น ฟิลด์เรียงลำดับที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนจึงทั้งไม่สมบูรณ์และไม่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle K}$${\displaystyle \{0\}}$
4. สำหรับจำนวนเต็มใดๆในเซตของจำนวนเต็มที่มากกว่าจะมีสมาชิกที่เล็กที่สุดอยู่หนึ่งตัว (ถ้าเป็นปริมาณอนันต์ติดลบ จำนวนเต็มทุกตัวจะมากกว่ามัน)${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
5. ช่วงเปิดที่ไม่ว่างเปล่าทุกช่วงของ จะประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ (ถ้าเป็นจำนวนอนันต์เล็กๆ ที่เป็นบวก ช่วงเปิดนั้นจะประกอบด้วยจำนวนอนันต์เล็กๆ จำนวนอนันต์ แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะเลยแม้แต่ตัวเดียว)${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,2x)}$
6. จำนวนตรรกยะมีความหนาแน่น ทั้ง ในแง่ของ sup และ inf (กล่าวคือ ทุกองค์ประกอบของเป็น sup ของเซตจำนวนตรรกยะบางเซต และเป็น inf ของเซตจำนวนตรรกยะอื่นบางเซต) ดังนั้น ฟิลด์อาร์คิมีเดียนจึงเป็นส่วนขยายที่มีลำดับและหนาแน่นของจำนวนตรรกยะ ในความหมายของฟิลด์ที่มีลำดับซึ่งฝังตัวองค์ประกอบจำนวนตรรกยะไว้อย่างหนาแน่น${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

• 0.999...  – การขยายทศนิยมอีกแบบหนึ่งของ 1
• ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับแบบอาร์คิมีเดียน  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีความสัมพันธ์ทวิภาค
• การสร้างจำนวนจริง