ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและวิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัมการวัดค่าตัวดำเนินการเชิงบวก ( POVM ) คือการวัดที่มีค่าเป็นตัวดำเนินการกึ่งบวกบนปริภูมิฮิลเบิร์ต POVM เป็นการขยายความของการวัดค่าการฉายภาพ (PVM) และในทำนองเดียวกัน การวัดควอนตัมที่อธิบายโดย POVM ก็เป็นการขยายความของการวัดควอนตัมที่อธิบายโดย PVM (เรียกว่าการวัดเชิงฉายภาพ )

โดยคร่าวๆ แล้ว POVM เปรียบเสมือน PVM ในทำนองเดียวกับที่สถานะผสมเปรียบเสมือนสถานะบริสุทธิ์สถานะผสมมีความจำเป็นในการระบุสถานะของระบบย่อยในระบบที่ใหญ่กว่า (ดูการทำให้สถานะควอนตัมบริสุทธิ์ ) ในทำนองเดียวกัน POVM ก็มีความจำเป็นในการอธิบายผลกระทบต่อระบบย่อยจากการวัดเชิงฉายที่กระทำกับระบบที่ใหญ่กว่า

POVM เป็นการวัดประเภททั่วไปที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัม และยังสามารถใช้ในทฤษฎีสนามควอนตัมได้ อีกด้วย ^{[ 1 ]}มีการใช้งานอย่างแพร่หลายในสาขาข้อมูลควอนตัม

ให้แทนปริภูมิฮิลเบิร์ตและแทนปริภูมิที่วัดได้ซึ่งมี พีชคณิตบอ เรล σบนPOVM คือฟังก์ชันที่กำหนดบน ซึ่งค่าของมันคือตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีขอบเขตและเป็น บวก บนโดยที่สำหรับทุก${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

เป็นการวัด แบบบวกนับได้ที่ไม่เป็นลบในพีชคณิต σ และ เป็น ตัวดำเนิน การเอกลักษณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัมคุณสมบัติสำคัญของ POVM คือการกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็นบนพื้นที่ผลลัพธ์ ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เมื่อทำการวัดสถานะควอนตัม ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นเซตจำกัดเป็นเซตกำลังของและเป็นมิติจำกัด POVM เทียบเท่ากับเซตของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนกึ่งบวก ที่รวมกัน ^ได้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ [ ^{3 ] : 90} ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVM แตกต่างจากมาตรวัดค่าการฉายภาพตรงที่ สำหรับมาตรวัดค่าการฉายภาพ ค่าของจะต้องเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉาก ${\displaystyle F}$

ในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง องค์ประกอบ POVM จะสัมพันธ์กับผลลัพธ์ของการวัดโดยที่ความน่าจะเป็นที่จะได้รับองค์ประกอบนั้นเมื่อทำการวัดควอนตัมบนสถานะควอนตัมจะกำหนดโดย ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

ตัวดำเนิน การร่องรอยอยู่ที่ไหนเมื่อสถานะควอนตัมที่กำลังวัดเป็นสถานะบริสุทธิ์สูตรนี้จะลดลงเหลือ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\ชื่อผู้ดำเนินการ {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

กรณีแบบไม่ต่อเนื่องของ POVM เป็นการขยายความจากกรณีที่ง่ายที่สุดของ PVM ซึ่งก็คือเซตของโปรเจคเตอร์เชิงตั้งฉาก ที่รวมกันแล้วได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับ PVM นั้นเหมือนกับสำหรับ POVM ความแตกต่างที่สำคัญคือ สมาชิกของ POVM ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน ดังนั้น จำนวนสมาชิกของ POVM จึงอาจมีมากกว่ามิติของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่พวกมันกระทำอยู่ ในทางกลับกัน จำนวนสมาชิกของ PVM จะมีค่ามากที่สุดเท่ากับมิติของปริภูมิฮิลเบิร์ต ${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

หมายเหตุ: อีกรูปแบบหนึ่งของการสะกดคำนี้คือ "ทฤษฎีบทของนอยมาร์ก"

ทฤษฎีบทการขยายของ Naimark ^{[ 4 ]}แสดงให้เห็นว่า POVM สามารถได้รับจาก PVM ที่กระทำบนพื้นที่ขนาดใหญ่ขึ้น ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากเป็นแนวทางในการวัด POVM ในเชิงกายภาพ^{[ 5 ] : 285}

ในกรณีที่ง่ายที่สุดของ POVM ที่มีจำนวนองค์ประกอบจำกัดซึ่งกระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด ทฤษฎีบทของ Naimark กล่าวว่า ถ้าเป็น POVM ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติแล้วจะมี PVM ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติและไอโซเมตรีเช่นนั้น สำหรับทุก, ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\__{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}}$${\displaystyle V:{\mathcal {H}__{A}\to {\mathcal {H}__{A'}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

สำหรับกรณีเฉพาะของ POVM อันดับ 1 กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์บางตัว (ที่ไม่ได้ทำให้เป็นมาตรฐาน) สามารถสร้างไอโซเมตรีนี้ได้ดังนี้^{[ 5 ] : 285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

และ PVM นั้นกำหนดโดยง่ายๆ ดังนี้โปรดสังเกตว่า ณ ที่นี้ ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}=n}$

โดยทั่วไปแล้ว ไอโซเมตรีและ PVM สามารถสร้างได้โดยการกำหนด^{[ 6 ] [ 7 ]} , , และ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

โปรดสังเกตว่าตรงนี้เป็นการก่อสร้างที่สิ้นเปลืองกว่า ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

ไม่ว่าในกรณีใด ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ด้วย PVM นี้ และสถานะที่แปลงอย่างเหมาะสมโดยไอโซเมตรี จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์นั้นด้วย POVM ดั้งเดิม: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

โครงสร้างนี้สามารถแปลงเป็นสูตรสำหรับการสร้าง POVM ในเชิงกายภาพได้ โดยการขยายไอโซเมตรีไปสู่เอกภาพนั่นคือ การหาค่าที่ทำให้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

สำหรับตั้งแต่ 1 ถึง. สามารถทำได้เสมอ ${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{A}}$

สูตรสำหรับการทำให้ POVM ที่อธิบายไว้บนสถานะควอนตัม เป็น จริงได้ก็คือ การฝังสถานะควอนตัมลงในปริภูมิฮิลเบิร์ต วิวัฒนาการสถานะควอนตัม ด้วยตัวดำเนินการเอกภาพและทำการวัดเชิงฉายที่อธิบายโดยPVM ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

สถานะหลังการวัดไม่ได้ถูกกำหนดโดย POVM เอง แต่ถูกกำหนดโดย PVM ที่ทำให้เกิดสถานะนั้นขึ้นจริง เนื่องจากมี PVM ที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วนที่ทำให้เกิด POVM เดียวกัน ดังนั้นตัวดำเนินการเพียงอย่างเดียวจึงไม่สามารถกำหนดได้ว่าสถานะหลังการวัดจะเป็นอย่างไร เพื่อดูข้อเท็จจริงนี้ โปรดสังเกตว่าสำหรับตัวดำเนินการเอกภาพใดๆ ตัวดำเนินการ ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่ว่าดังนั้นจึงสามารถใช้ความสมมาตรได้ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

ในโครงสร้างที่สองข้างต้นก็จะใช้ POVM แบบเดียวกัน ในกรณีที่สถานะที่กำลังวัดอยู่ในสถานะบริสุทธิ์ตัวดำเนินการเอกภาพที่ได้จะนำสถานะนั้นไปรวมกับตัวช่วย (ancilla) เพื่อเปลี่ยนเป็นสถานะบริสุทธิ์ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

และการวัดเชิงฉายภาพบนแอนซิลลาจะยุบตัวลงสู่สถานะ^{[ 3 ] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

เมื่อได้ผลลัพธ์แล้วเมื่อสถานะที่กำลังวัดถูกอธิบายด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นสถานะหลังการวัดที่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าสถานะหลังการวัดขึ้นอยู่กับเอกภาพอย่างชัดเจนโปรดทราบว่าในขณะที่เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเสมอ แต่โดยทั่วไปแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน เสมอไป${\displaystyle W}$${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$

ความแตกต่างอีกประการหนึ่งจากการวัดแบบโปรเจคทีฟคือ การวัดแบบ POVM โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถทำซ้ำได้ หากได้ผลลัพธ์ในการวัดครั้งแรกแล้ว โอกาสที่จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในการวัดครั้งที่สองนั้นมีน้อยมาก ${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

ซึ่งอาจมีค่าไม่เป็นศูนย์ได้หากและไม่ตั้งฉากกัน ในการวัดเชิงโปรเจคทีฟ ตัวดำเนินการเหล่านี้จะตั้งฉากกันเสมอ ดังนั้นการวัดจึงสามารถทำซ้ำได้เสมอ ${\displaystyle M_{i_{0}}}$${\displaystyle M_{i_{1}}}$

สมมติว่าคุณมีระบบควอนตัมที่มีปริภูมิฮิลเบิร์ต 2 มิติที่คุณรู้ว่าอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งระหว่างสถานะหรือสถานะและคุณต้องการระบุว่าเป็นสถานะใด หากและตั้งฉากกัน งานนี้จะง่าย: เซตจะสร้าง PVM และการวัดเชิงฉายในฐานนี้จะระบุสถานะได้อย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม หากและไม่ตั้งฉากกัน งานนี้จะเป็นไปไม่ได้ในแง่ที่ว่าไม่มีการวัดใดๆ ไม่ว่าจะเป็น PVM หรือ POVM ที่จะแยกแยะสถานะทั้งสองได้อย่างแน่นอน^{[ 3 ] : 87} ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกแยะสถานะที่ไม่ตั้งฉากกันได้อย่างสมบูรณ์แบบเป็นพื้นฐานสำหรับ โปรโตคอล ข้อมูลควอนตัมเช่นการเข้ารหัสควอนตัม การโยนเหรียญควอนตัมและเงินควอนตัม ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

งานของการจำแนกสถานะควอนตัม ที่ไม่กำกวม (UQSD) เป็นสิ่งที่ดีที่สุดรองลงมา: คือการไม่ทำผิดพลาดเกี่ยวกับว่าสถานะเป็นหรือโดยแลกกับการได้ผลลัพธ์ที่ไม่แน่ชัดในบางครั้ง เป็นไปได้ที่จะทำเช่นนี้ด้วยการวัดแบบโปรเจคทีฟ^{[ ​​8 ]}ตัวอย่างเช่น หากคุณวัด PVM โดยที่ คือสถานะควอนตัมที่ตั้งฉากกับและได้ผลลัพธ์คุณจะรู้ได้อย่างแน่นอนว่าสถานะคือหากผลลัพธ์เป็น แสดงว่าผลลัพธ์ไม่แน่ชัด การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันนี้ใช้ได้กับ PVM โดยที่คือสถานะที่ตั้งฉากกับ ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่น่าพอใจ เนื่องจากคุณไม่สามารถตรวจจับทั้งสองอย่างได้ ด้วยการวัดเพียงครั้งเดียว และความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ที่สรุปได้นั้นน้อยกว่าเมื่อใช้ POVM POVM ที่ให้ความน่าจะเป็นสูงสุดของผลลัพธ์ที่สรุปได้ในงานนี้คือ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

ที่ไหน

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

โปรดทราบว่าเมื่อได้ผลลัพธ์แล้ว เรามั่นใจได้ว่าสถานะควอนตัมคือและเมื่อได้ผลลัพธ์แล้ว เรามั่นใจได้ว่าสถานะควอนตัมคือ ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ที่แน่ชัดนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

เมื่อระบบควอนตัมอยู่ในสถานะหรือมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ผลลัพธ์นี้เรียกว่าขีดจำกัด Ivanović-Dieks-Peres ซึ่งตั้งชื่อตามผู้เขียนที่บุกเบิกการวิจัย UQSD ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

เนื่องจาก POVM มีอันดับ 1 เราจึงสามารถใช้กรณีง่ายๆ ของการสร้างข้างต้นเพื่อหาการวัดเชิงโปรเจคทีฟที่ทำให้ POVM นี้เกิดขึ้นจริงได้ โดยการกำหนดชื่อสถานะที่เป็นไปได้สามสถานะของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ขยายใหญ่ขึ้นเป็น, , และเราจะเห็นว่าตัวดำเนินการเอกภาพที่ได้จะนำสถานะไปยัง ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

และในทำนองเดียวกันก็ทำให้รัฐต้องดำเนินการ ดังต่อไปนี้${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

การวัดเชิงฉายภาพจะให้ผลลัพธ์ที่ต้องการด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับการวัดเชิงมุมมอง (POVM)

POVM นี้ถูกใช้เพื่อแยกแยะสถานะโพลาไรเซชันที่ไม่ตั้งฉากของโฟตอนในเชิงทดลอง การสร้าง POVM ด้วยการวัดแบบโปรเจคทีฟนั้นแตกต่างจากที่อธิบายไว้ในที่นี้เล็กน้อย^{[ 13 ] [ 14 ]}

• SIC-POVM
• การวัดควอนตัม
• การกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม
• เมทริกซ์ความหนาแน่น
• การดำเนินการควอนตัม
• การวัดค่าการฉายภาพ
• การวัดเวกเตอร์

• การสาธิตเชิงโต้ตอบเกี่ยวกับการจำแนกสถานะควอนตัม