สมการลอตก้า-โวลเทอร์รา

สมการ ลอตก้า-โวลเทอร์ราหรือที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อลอตก้า-โวลเทอร์รา เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิง เส้น อันดับหนึ่งคู่หนึ่งซึ่งมักใช้เพื่ออธิบายพลวัตของระบบชีวภาพที่สิ่งมีชีวิตสองชนิดมีปฏิสัมพันธ์กัน โดยชนิดหนึ่งเป็นผู้ล่าและอีกชนิดหนึ่งเป็นเหยื่อประชากรจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาตามสมการทั้งสองนี้: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\alpha x-\beta xy,\\{\frac {dy}{dt}}&=-\gamma y+\delta xy,\end{aligned}}$

ที่ไหน

ตัวแปร $x$ คือ ความ หนาแน่น ของ ประชากรเหยื่อ (ตัวอย่างเช่น จำนวนกระต่ายต่อตารางกิโลเมตร)
ตัวแปร $y$ คือความหนาแน่นของประชากรของสัตว์ผู้ล่า บางชนิด (ตัวอย่างเช่น จำนวนสุนัขจิ้งจอกต่อตารางกิโลเมตร)
${\tfrac {dy}{dt}}$ และ ${\tfrac {dx}{dt}}$ แสดงถึงอัตราการเติบโตทันทีของประชากรทั้งสองกลุ่ม
$t$ แทนเวลา;
พารามิเตอร์ของเหยื่อ $α$ และ $β$ อธิบายถึงอัตราการเติบโตสูงสุดต่อหัว ของเหยื่อ และผลกระทบของการมีอยู่ของผู้ล่าต่ออัตราการตายของเหยื่อ ตาม ลำดับ
พารามิเตอร์ของสัตว์ผู้ล่า $γ$ และ $δ$ อธิบายถึงอัตราการตายต่อหัวของสัตว์ผู้ล่า และผลกระทบของการมีเหยื่อต่ออัตราการเติบโตของสัตว์ผู้ล่า ตามลำดับ
พารามิเตอร์ทั้งหมดเป็นค่าบวกและเป็นจริง

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นแบบกำหนดและต่อเนื่องซึ่งหมายความว่ารุ่นของทั้งผู้ล่าและเหยื่อจะทับซ้อนกันอย่างต่อเนื่อง^{[ 1 ]}

ระบบสมการ Lotka–Volterra เป็นตัวอย่างของแบบจำลองประชากร Kolmogorov (ไม่ควรสับสนกับสมการ Kolmogorov ที่เป็นที่รู้จักมากกว่า ) ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}ซึ่งเป็นกรอบการทำงานทั่วไปที่สามารถจำลองพลวัตของระบบนิเวศที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อการแข่งขันโรคภัยไข้เจ็บ และภาวะพึ่งพาซึ่งกันและกัน

การตีความทางชีววิทยาและข้อสมมติฐานของแบบจำลอง

โดยทั่วไปแล้ว เหยื่อจะมีแหล่งอาหารไม่จำกัดและขยายพันธุ์แบบทวีคูณ เว้นแต่จะถูกล่าการเติบโตแบบทวีคูณ นี้ แสดงในสมการข้างต้นด้วยพจน์ $αx$ อัตราการถูกล่าของเหยื่อจะถือว่าแปรผันตรงกับอัตราการพบกันระหว่างผู้ล่าและเหยื่อ ซึ่งแสดงในสมการข้างต้นด้วย $βxy$ ถ้า $x$ หรือ $y$ เป็นศูนย์ ก็จะไม่มีการล่าเกิดขึ้น ด้วยสองพจน์นี้ สมการของเหยื่อข้างต้นสามารถตีความได้ดังนี้: อัตราการเปลี่ยนแปลงของประชากรเหยื่อเท่ากับอัตราการเติบโตของเหยื่อเองลบด้วยอัตราการถูกล่า

ตัวแปร $δxy$ แทนการเติบโตของประชากรผู้ล่า (โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกับอัตราการล่าเหยื่อ แต่ใช้ค่าคงที่ที่แตกต่างกัน เนื่องจากอัตราการเติบโตของประชากรผู้ล่าไม่จำเป็นต้องเท่ากับอัตราการกินเหยื่อ) ตัวแปร $γy$ แทนอัตราการลดลงของประชากรผู้ล่าเนื่องจากการตายตามธรรมชาติหรือการอพยพ ซึ่งนำไปสู่การลดลงแบบเลขชี้กำลังเมื่อไม่มีเหยื่อ ดังนั้นสมการจึงแสดงให้เห็นว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของประชากรผู้ล่าขึ้นอยู่กับอัตราการกินเหยื่อลบด้วยอัตราการตายตามธรรมชาติของมัน

แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อของ Lotka–Volterra ตั้งสมมติฐานหลายประการเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมและชีววิทยาของประชากรผู้ล่าและเหยื่อ: ^{[ 5 ]}

ประชากรเหยื่อมีอาหารอุดมสมบูรณ์ตลอดเวลา
ปริมาณอาหารของประชากรผู้ล่าขึ้นอยู่กับขนาดของประชากรเหยื่อโดยสิ้นเชิง
อัตราการเปลี่ยนแปลงของประชากรเป็นสัดส่วนโดยตรงกับขนาดของประชากร
ในระหว่างกระบวนการนี้ สภาพแวดล้อมไม่ได้เปลี่ยนแปลงไปในทางที่เอื้อประโยชน์ต่อสิ่งมีชีวิตชนิดใดชนิดหนึ่ง และการปรับตัวทางพันธุกรรมก็ไม่มีความสำคัญ
สัตว์นักล่ามีความอยากอาหารไม่จำกัด
ประชากรทั้งสองกลุ่มสามารถอธิบายได้ด้วยตัวแปรเพียงตัวเดียว ซึ่งหมายความว่าเราต้องสมมติว่าประชากรเหล่านั้นไม่มีการกระจายตัวตามพื้นที่หรืออายุที่จะส่งผลต่อพลวัตของประชากร

ความเกี่ยวข้องทางชีววิทยาของแบบจำลอง

ข้อสมมติฐานข้างต้นทั้งหมดไม่น่าจะใช้ได้กับประชากรตามธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม แบบจำลอง Lotka–Volterra แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่สำคัญสองประการของประชากรผู้ล่าและเหยื่อ และคุณสมบัติเหล่านี้มักจะขยายไปถึงแบบจำลองเวอร์ชันต่างๆ ที่มีการผ่อนปรนข้อสมมติฐานเหล่านี้:

ประการแรก พลวัตของประชากรผู้ล่าและเหยื่อมีแนวโน้มที่จะแกว่งไปมา จำนวนผู้ล่าและเหยื่อที่ผันผวนได้รับการสังเกตในประชากรตามธรรมชาติ เช่นข้อมูลของลิงซ์และกระต่ายหิมะ ของ บริษัทฮัดสันเบย์^{[ 6 ]}และประชากรกวางมูสและหมาป่าในอุทยานแห่งชาติไอล์รอยัล^{[ 7 ]}

ประการที่สอง สมดุลประชากรของแบบจำลองนี้มีคุณสมบัติที่ว่า ความหนาแน่นสมดุลของเหยื่อ (กำหนดโดย $x=\gamma /\delta$ ) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของผู้ล่า และความหนาแน่นสมดุลของผู้ล่า (กำหนดโดย $y=\อัลฟา /\เบต้า$ ) ต่อพารามิเตอร์ของเหยื่อ ซึ่งส่งผลให้การเพิ่มขึ้นของอัตราการเติบโตของเหยื่อ เป็นต้น $\alpha$ ส่งผลให้ความหนาแน่นสมดุลของสัตว์ผู้ล่าเพิ่มขึ้น แต่ความหนาแน่นสมดุลของเหยื่อไม่เพิ่มขึ้น การทำให้สภาพแวดล้อมดีขึ้นสำหรับเหยื่อเป็นประโยชน์ต่อสัตว์ผู้ล่า ไม่ใช่เหยื่อ (นี่เกี่ยวข้องกับความขัดแย้งของยาฆ่าแมลงและความขัดแย้งของการเพิ่มความอุดมสมบูรณ์ ) ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์นี้คือเปอร์เซ็นต์ของปลาล่าเหยื่อที่จับได้เพิ่มขึ้นในช่วงสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง (1914–1918) เมื่ออัตราการเติบโตของเหยื่อเพิ่มขึ้นเนื่องจากความพยายามในการจับปลาลดลง

ตัวอย่างเพิ่มเติมคือการทดลองใส่ปุ๋ยเหล็กในมหาสมุทร ในการทดลอง หลายครั้ง มีการละลายเกลือเหล็กจำนวนมากในมหาสมุทร โดยคาดหวังว่าเหล็กซึ่งเป็นสารอาหารจำกัดสำหรับแพลงก์ตอนพืช จะช่วยกระตุ้นการเจริญเติบโตของแพลงก์ตอนพืชและกักเก็บคาร์บอนไดออกไซด์จากชั้นบรรยากาศ การเติมเหล็กมักนำไปสู่การเบ่งบานของแพลงก์ตอนพืชในช่วงสั้นๆ ซึ่งจะถูกสิ่งมีชีวิตอื่นๆ (เช่น ปลาขนาดเล็กหรือแพลงก์ตอนสัตว์ ) กินอย่างรวดเร็ว และจำกัดผลของการเพิ่มปริมาณให้เหลือเพียงความหนาแน่นของผู้ล่าที่เพิ่มขึ้น ซึ่งในทางกลับกันก็จำกัดการกักเก็บคาร์บอนนี่เป็นไปตามที่คาดการณ์ไว้โดยความหนาแน่นของประชากรสมดุลของแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อของ Lotka–Volterra และเป็นคุณลักษณะที่ส่งต่อไปยังแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่าซึ่งสมมติฐานที่จำกัดของแบบจำลองอย่างง่ายนั้นผ่อนคลายลง^{[ 8 ]}

การประยุกต์ใช้ในเศรษฐศาสตร์และการตลาด

แบบจำลอง Lotka–Volterra มีการประยุกต์ใช้เพิ่มเติมในด้านต่างๆ เช่น เศรษฐศาสตร์^{[ 9 ]}และการตลาด^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}สามารถใช้เพื่ออธิบายพลวัตในตลาดที่มีคู่แข่งหลายราย แพลตฟอร์มและผลิตภัณฑ์เสริม เศรษฐกิจแบบแบ่งปัน และอื่นๆ มีสถานการณ์ที่คู่แข่งรายหนึ่งขับไล่คู่แข่งรายอื่นออกจากตลาด และสถานการณ์อื่นๆ ที่ตลาดเข้าสู่สมดุลโดยที่แต่ละบริษัทรักษาเสถียรภาพส่วนแบ่งการตลาดของตน นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายสถานการณ์ที่มีการเปลี่ยนแปลงเป็นวัฏจักรในอุตสาหกรรมหรือสถานการณ์ที่วุ่นวายโดยไม่มีสมดุลและการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นบ่อยและคาดเดาไม่ได้

ในทางเศรษฐศาสตร์เส้นโค้งฟิลลิปส์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างการว่างงานและอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าจ้างที่ระบุ ได้ถูกเชื่อมโยงโดยแบบจำลองของกูดวินแบบจำลองนี้ตีความพลวัตของปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อทางชีววิทยาใหม่ ดังที่อธิบายไว้ในแบบจำลองของล็อตก้า-โวลเทอร์รา ในแง่เศรษฐศาสตร์ วิธีที่สิ่งมีชีวิตทั้งสองชนิดมีปฏิสัมพันธ์กันในแบบจำลองนี้ ทำให้กูดวินเปรียบเทียบกับความขัดแย้ง ทางชนชั้นของมาร์กซ์ การวางนัยทั่วไปของแบบจำลองผู้ล่าและเหยื่อของโคลโมโกโรฟ พร้อมกับการพัฒนาเพิ่มเติมของแบบจำลองของกูดวิน ได้ขยายแนวคิดเหล่านี้^[¹²^]

ประวัติศาสตร์

แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อของ Lotka–Volterra ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยAlfred J. Lotkaในทฤษฎีปฏิกิริยาเคมีแบบเร่งปฏิกิริยาด้วยตนเองในปี 1910 ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}ซึ่งก็คือสมการโลจิสติก^{[ 15 ]}ที่Pierre François Verhulstได้คิดค้นขึ้นมาแต่เดิม^{[ 16 ]}ในปี 1920 Lotka ได้ขยายแบบจำลองนี้ผ่านทางAndrey Kolmogorovไปสู่ "ระบบอินทรีย์" โดยใช้พืชชนิดหนึ่งและสัตว์กินพืชชนิดหนึ่งเป็นตัวอย่าง^{[ 17 ]} และในปี 1925 เขาได้ใช้สมการเหล่านี้ในการวิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อในหนังสือเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ชีวภาพของเขา^{[ 18 ]}ชุดสมการเดียวกันนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1926 โดยVito Volterraนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ผู้ซึ่งสนใจในชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์^{[ 14 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}การสอบถามของโวลเทอร์ราได้รับแรงบันดาลใจจากการปฏิสัมพันธ์ของเขากับนักชีววิทยาทางทะเลอุมแบร์โต ดันโคนาซึ่งกำลังจีบลูกสาวของเขาในขณะนั้นและต่อมาก็กลายเป็นลูกเขยของเขา ดันโคนาศึกษาการจับปลาในทะเลเอเดรียติกและสังเกตเห็นว่าเปอร์เซ็นต์ของปลาล่าเหยื่อที่จับได้เพิ่มขึ้นในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 1 (1914–1918) สิ่งนี้ทำให้เขาสงสัย เนื่องจากความพยายามในการจับปลาลดลงอย่างมากในช่วงสงคราม และเนื่องจากปลาเหยื่อเป็นปลาที่ถูกจับได้ง่ายกว่า จึงควรคาดหวังว่าเปอร์เซ็นต์ของปลาเหยื่อจะเพิ่มขึ้น โวลเทอร์ราพัฒนาแบบจำลองของเขาเพื่ออธิบายการสังเกตของดันโคนาและทำสิ่งนี้โดยอิสระจากอัลเฟรด ล็อตกา เขาได้ให้เครดิตงานก่อนหน้าของล็อตกาในสิ่งพิมพ์ของเขา หลังจากนั้นแบบจำลองนี้จึงเป็นที่รู้จักในชื่อ "แบบจำลองล็อตกา-โวลเทอร์รา" ^{[ 21 ]}

ต่อมาแบบจำลองนี้ได้รับการขยายให้รวมถึงการเติบโตของเหยื่อที่ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นและการตอบสนองเชิงฟังก์ชันในรูปแบบที่พัฒนาโดยCS Hollingซึ่งเป็นแบบจำลองที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลอง Rosenzweig–MacArthur ^{[ 22 ]}ทั้งแบบจำลอง Lotka–Volterra และ Rosenzweig–MacArthur ได้ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายพลวัตของประชากรตามธรรมชาติของสัตว์ผู้ล่าและเหยื่อ

ในช่วงปลายทศวรรษ 1980 ทางเลือกอื่นสำหรับแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อของ Lotka–Volterra (และการวางนัยทั่วไปที่ขึ้นอยู่กับเหยื่อร่วมกัน) ได้ปรากฏขึ้น นั่นคือแบบจำลองที่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนหรือแบบจำลอง Arditi–Ginzburg [ ^{23 ] ความ}ถูกต้องของแบบจำลองที่ขึ้นอยู่กับเหยื่อหรืออัตราส่วนได้รับการถกเถียงกันอย่างมาก^{[ 24 ]}

สมการ Lotka–Volterra มีประวัติการใช้งานมายาวนานในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์โดยทั่วไปแล้ว การประยุกต์ใช้ครั้งแรกมักได้รับการยกย่องให้แก่Richard Goodwinในปี 1965 ^{[ 25 ]}หรือ 1967 ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

คำตอบของสมการ

สมการมีคำตอบเป็นคาบคำตอบเหล่านี้ไม่มีการแสดงออกอย่างง่ายในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ปกติ แม้ว่าจะค่อนข้างจัดการได้ง่ายก็ตาม^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

หากไม่มีพารามิเตอร์ที่ไม่เป็นลบ $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ ตัวใดเป็นศูนย์ พารามิเตอร์สามตัวสามารถถูกรวมเข้ากับการทำให้ตัวแปรเป็นมาตรฐานได้ เหลือเพียงพารามิเตอร์เดียวเท่านั้น เนื่องจากสมการแรกเป็นสมการเอกพันธุ์ใน $x$ และสมการที่สองเป็นสมการเอกพันธุ์ใน $y$ พารามิเตอร์β / αและδ / γจึงสามารถรวมเข้ากับการทำให้เป็นมาตรฐานของ $y$ และ $x$ ตามลำดับ และ $γ$ รวมเข้ากับการทำให้เป็นมาตรฐานของ $t$ ดังนั้นจึงเหลือเพียง $α / γ$ เท่านั้น ที่เป็นค่าโดยพลการ ซึ่งเป็นพารามิเตอร์เดียวที่มีผลต่อลักษณะของคำตอบ

การทำให้สมการเป็นเชิงเส้นจะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย^{[ 31 ]}โดยที่ประชากรของผู้ล่าจะตามหลังเหยื่อ 90° ในรอบ

ตัวอย่างง่ายๆ

สมมติว่ามีสัตว์สองชนิด คือ กระต่าย (เหยื่อ) และสุนัขจิ้งจอก (ผู้ล่า) ถ้าความหนาแน่นเริ่มต้นคือ กระต่าย 10 ตัว และสุนัขจิ้งจอก 10 ตัว ต่อตารางกิโลเมตร เราสามารถพล็อตการเปลี่ยนแปลงของสัตว์ทั้งสองชนิดเมื่อเวลาผ่านไปได้ โดยกำหนดพารามิเตอร์ว่า อัตราการเติบโตและอัตราการตายของกระต่ายคือ 1.1 และ 0.4 ในขณะที่อัตราการเติบโตของและอัตราการตายของสุนัขจิ้งจอกคือ 0.1 และ 0.4 ตามลำดับ การเลือกช่วงเวลาเป็นไปตามอำเภอใจ

นอกจากนี้ เรายังสามารถพล็อตคำตอบแบบพาราเมตริกเป็นวงโคจรในปริภูมิเฟสโดยไม่ต้องแสดงเวลา แต่ใช้แกนหนึ่งแทนจำนวนเหยื่อ และอีกแกนหนึ่งแทนความหนาแน่นของผู้ล่าสำหรับทุกช่วงเวลา

ซึ่งเทียบเท่ากับการตัดตัวแปรเวลาออกจากสมการเชิงอนุพันธ์สองสมการข้างต้น เพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์เพียงสมการเดียว

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}{\frac {\delta x-\gamma }{\beta y-\alpha }}

สมการนี้ เชื่อมโยงตัวแปรx (เหยื่อ) และy (ผู้ล่า) เข้าด้วยกัน คำตอบของสมการนี้คือเส้นโค้งปิด และสามารถแยกตัวแปร ได้ โดยการอินทิ เกรต

{\frac {\beta y-\alpha }{y}}\,dy+{\frac {\delta x-\gamma }{x}}\,dx=0

ก่อให้เกิดความสัมพันธ์โดยนัย

V=\delta x-\gamma \ln(x)+\beta y-\alpha \ln(y),

โดยที่Vเป็นปริมาณคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นและคงที่ในแต่ละเส้นโค้ง

หมายเหตุ: กราฟเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงข้อจำกัดที่สำคัญที่อาจเกิดขึ้นในการประยุกต์ใช้เป็นแบบจำลองทางชีววิทยา: สำหรับการเลือกพารามิเตอร์เฉพาะนี้ ในแต่ละรอบ ประชากรกระต่ายจะลดลงเหลือจำนวนน้อยมาก แต่ก็ฟื้นตัวได้ (ในขณะที่ประชากรสุนัขจิ้งจอกยังคงมีขนาดใหญ่ที่ความหนาแน่นของกระต่ายต่ำที่สุด) อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์จริง ความผันผวนโดยบังเอิญของจำนวนแต่ละตัวอาจทำให้กระต่ายสูญพันธุ์ และส่งผลให้สุนัขจิ้งจอกสูญพันธุ์ไปด้วย ปัญหาการสร้างแบบจำลองนี้เรียกว่า "ปัญหา atto-fox" โดยatto- fox คือ สุนัข จิ้งจอก สมมติ 10 ^{−18 ตัว}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}ความหนาแน่นของสุนัขจิ้งจอก 10 ⁻¹⁸ตัวต่อตารางกิโลเมตร เทียบเท่ากับสุนัขจิ้งจอกโดยเฉลี่ยประมาณ 5×10 ⁻¹⁰ตัวบนพื้นผิวโลก ซึ่งในทางปฏิบัติหมายความว่าสุนัขจิ้งจอกสูญพันธุ์ไปแล้ว

โครงสร้างแฮมิลโทเนียนของระบบ

เนื่องจากปริมาณ $V(x,y)$ จะถูกอนุรักษ์ไว้ตลอดเวลา โดยทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันแฮมิลโทเนียนของระบบ^{[ 34 ]}เพื่อดูสิ่งนี้ เราสามารถกำหนดวงเล็บปัวซงได้ดังนี้ $\{f(x,y),g(x,y)\}=-xy\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial g}{\partial y}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)$ จากนั้นสมการของแฮมิลตันมี ดังนี้ ${\begin{cases}{\dot {x}}=\{x,V\}=\alpha x-\beta xy,\\{\dot {y}}=\{y,V\}=\delta xy-\gamma y.\end{cases}}$ ตัวแปร $x$ และ $y$ ไม่ถือเป็นหลักการ เนื่องจาก $\{x,y\}=-xy\neq 1$ อย่างไรก็ตาม การใช้การแปลง^{[ 35 ]} $p=\ln(x)$ และ $q=\ln(y)$ เราได้ค้นพบรูปแบบมาตรฐานของสมการของแฮมิลตันซึ่งมีแฮมิลโทเนียนเป็นองค์ประกอบ หลัก $H(q,p)=V(x(q,p),y(q,p))=\delta e^{p}-\gamma p+\beta e^{q}-\alpha q$ : ${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\delta e^{p}-\gamma ,\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\alpha -\beta e^{q}.\end{cases}}$ วงเล็บปัวซงสำหรับตัวแปรแคนอนิก $(q,p)$ ขณะนี้ใช้รูปแบบมาตรฐานแล้ว $\{F(q,p),G(q,p)\}=\left({\frac {\partial F}{\partial q}}{\frac {\partial G}{\partial p}}-{\frac {\partial F}{\partial p}}{\frac {\partial G}{\partial q}}\right)$ .

แผนภาพปริภูมิเฟสของตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างเพิ่มเติมได้แก่:

$α = 2/3$ , $β = 4/3$ , $γ = 1 = δ$ สมมติว่า $x$ และ $y$ มีหน่วยเป็นพัน วงกลมแทนเงื่อนไขเริ่มต้นของเหยื่อและผู้ล่า ตั้งแต่ $x$ = $y$ = 0.9 ถึง 1.8 โดยเพิ่มขึ้นทีละ 0.1 จุดคงที่อยู่ที่ (1, 1/2)

พลวัตของระบบ

ในระบบจำลองนี้ ผู้ล่าจะเจริญเติบโตได้ดีเมื่อเหยื่อมีจำนวนมาก แต่ในที่สุดแล้วจำนวนผู้ล่าก็จะเกินปริมาณอาหารที่มีอยู่และจำนวนผู้ล่าก็จะลดลง เมื่อประชากรผู้ล่าลดลง ประชากรเหยื่อก็จะเพิ่มขึ้นอีกครั้ง กลไกเหล่านี้ดำเนินต่อไปในวัฏจักรของประชากรที่มีทั้งการเติบโตและการลดลง

สมดุลประชากร

ภาวะสมดุลของประชากรเกิดขึ้นในแบบจำลองเมื่อระดับประชากรทั้งสองไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ เมื่ออนุพันธ์ทั้งสองเท่ากับ 0: $x(\alpha -\beta y)=0,$ $-y(\gamma -\delta x)=0.$

ระบบสมการข้างต้นให้ผลลัพธ์สองคำตอบ: $\{y=0,\ \ x=0\}$ และ $\left\{y={\frac {\alpha }{\beta }},\ \ x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\}.$

ดังนั้นจึงมีจุดสมดุลสองจุด

วิธีแก้ปัญหาแรกแสดงถึงการสูญพันธุ์ของทั้งสองสายพันธุ์อย่างมีประสิทธิภาพ หากประชากรทั้งสองสายพันธุ์อยู่ที่ 0 พวกมันก็จะคงอยู่ที่ 0 ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีกำหนด วิธีแก้ปัญหาที่สองแสดงถึงจุดคงที่ที่ประชากรทั้งสองสายพันธุ์รักษาระดับจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ไว้ได้ และในแบบจำลองที่ง่ายขึ้น ประชากรเหล่านั้นก็จะคงอยู่เช่นนั้นไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีกำหนด ระดับประชากรที่ทำให้เกิดสมดุลนี้ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์α , β , γ และ δ ที่ เลือกไว้

ความเสถียรของจุดคงที่

สามารถตรวจสอบเสถียรภาพของจุดคงที่ที่จุดกำเนิดได้โดยการทำการหาค่าเชิงเส้นโดยใช้ค่าอนุพันธ์ย่อย

เมทริกซ์จาโคเบียนของแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อคือ $J(x,y)={\begin{bmatrix}\alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \end{bmatrix}}.$ และเป็นที่รู้จักในชื่อ เมทริก ซ์ชุมชน

จุดคงที่แรก (การสูญพันธุ์)

เมื่อประเมินที่สถานะสมดุล(0, 0)เมทริกซ์จาโคเบียน $J$ จะกลายเป็น $J(0,0)={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&-\gamma \end{bmatrix}}.$

ค่าไอเกนของเมทริกซ์นี้คือ $\lambda _{1}=\alpha ,\quad \lambda _{2}=-\gamma .$

ในแบบจำลองนี้ $α$ และ $γ$ จะมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้นเครื่องหมายของค่าไอเกนข้างต้นจึงแตกต่างกันเสมอ ด้วยเหตุนี้ จุดคงที่ที่จุดกำเนิดจึงเป็นจุดอานม้า

ความไม่เสถียรของจุดคงที่นี้มีความสำคัญ หากจุดคงที่นี้เสถียร ประชากรที่ไม่เป็นศูนย์อาจถูกดึงดูดเข้าหาจุดนั้น และด้วยเหตุนี้พลวัตของระบบอาจนำไปสู่การสูญพันธุ์ของทั้งสองชนิดในหลายกรณีของระดับประชากรเริ่มต้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจุดคงที่ที่จุดกำเนิดเป็นจุดอานม้า และด้วยเหตุนี้จึงไม่เสถียร จึงสรุปได้ว่าการสูญพันธุ์ของทั้งสองชนิดนั้นเกิดขึ้นได้ยากในแบบจำลองนี้ (อันที่จริง สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเหยื่อถูกกำจัดออกไปอย่างสมบูรณ์โดยฝีมือมนุษย์ ทำให้ผู้ล่าตายเพราะอดอาหาร หากผู้ล่าถูกกำจัด ประชากรเหยื่อจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดในแบบจำลองง่ายๆ นี้) ประชากรของเหยื่อและผู้ล่าสามารถเข้าใกล้ศูนย์ได้อย่างเล็กน้อยและยังคงฟื้นตัวได้

จุดคงที่ที่สอง (การแกว่ง)

การประเมินค่าJที่จุดคงที่ที่สองนำไปสู่ $J\left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right)={\begin{bmatrix}0&-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}\\{\frac {\alpha \delta }{\beta }}&0\end{bmatrix}}.$

ค่าไอเกนของเมทริกซ์นี้คือ $\lambda _{1}=i{\sqrt {\alpha \gamma }},\quad \lambda _{2}=-i{\sqrt {\alpha \gamma }}.$

เนื่องจากค่าไอเกนทั้งสองเป็นจำนวนจินตนาการบริสุทธิ์และเป็นคู่สังยุคกัน จุดคงที่นี้จึงต้องเป็นศูนย์กลางของวงโคจรปิดในบริเวณใกล้เคียง หรือเป็นเกลียวดึงดูดหรือเกลียวผลักดัน ในระบบอนุรักษ์ จะต้องมีวงโคจรปิดในบริเวณใกล้เคียงจุดคงที่ซึ่งอยู่ที่ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของปริมาณอนุรักษ์ ปริมาณอนุรักษ์ได้มาจากการคำนวณข้างต้นแล้ว $V=\delta x-\gamma \ln(x)+\beta y-\alpha \ln(y)$ บนวงโคจร ดังนั้นวงโคจรที่รอบจุดคงที่จึงเป็นวงปิดและเป็นรูปวงรีดังนั้นคำตอบจึงเป็นคาบ โดยแกว่งไปมาบนวงรีเล็กๆ รอบจุดคงที่ ด้วยความถี่ $\omega ={\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}}={\sqrt {\alpha \gamma }}$ และช่วงเวลา $T=2{\pi }/({\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})$ .

ดังแสดงในภาพด้านบนซึ่งแสดงการแกว่งตัวเป็นวงกลม เส้นโค้งระดับเป็นวงโคจร ปิด รอบจุดคงที่: ระดับของประชากรผู้ล่าและเหยื่อจะหมุนเวียนและแกว่งไปมาโดยไม่มีการลดทอนรอบจุดคงที่ด้วยความถี่ $\omega ={\sqrt {\alpha \gamma }}$ .

ค่า คงที่ของ การเคลื่อนที่ $V$ หรือเทียบเท่ากับ $K = exp(- V)$ $K=y^{\alpha }e^{-\beta y}x^{\gamma }e^{-\delta x}$ สามารถพบได้สำหรับวงโคจรปิดใกล้จุดคงที่

การเพิ่มค่า $K$ จะทำให้วงโคจรปิดเข้าใกล้จุดคงที่มากขึ้น ค่าคงที่ $K$ ที่มากที่สุด จะได้มาจากการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด $y^{\alpha }e^{-\beta y}x^{\gamma }e^{-\delta x}={\frac {y^{\alpha }x^{\gamma }}{e^{\delta x+\beta y}}}\longrightarrow \max _{x,y>0}.$ ดังนั้น ค่าสูงสุดของKจึงเกิดขึ้นที่จุดนิ่ง (คงที่) $\left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right)$ และมีจำนวนเท่ากับ $K^{*}=\left({\frac {\alpha }{\beta e}}\right)^{\alpha }\left({\frac {\gamma }{\delta e}}\right)^{\gamma },$ โดยที่ $e$ คือจำนวนของออยเลอร์

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Cooke, D.; Hiorns, RW; และ คณะ (1981). ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของพลวัตของประชากรชีวภาพเล่มที่ 2 สำนักพิมพ์ Academic Press
↑ฟรีดแมน, เอชไอ (1980). แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดใน นิเวศวิทยาประชากรมาร์เซล เดกเกอร์
↑ Brauer, F.; Castillo-Chavez, C. (2000). แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในชีววิทยาประชากรและระบาดวิทยา . Springer-Verlag .
↑ Hoppensteadt, F. (2006). "แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ" . Scholarpedia . 1 (10): 1563. Bibcode : 2006SchpJ...1.1563H . doi : 10.4249/scholarpedia.1563 .
↑ Beals, M.; Gross, L.; Townsend, CR (1999). "Predator-Prey Dynamics" . www.tiem.utk.edu . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-12-15 . สืบค้นเมื่อ2018-01-09 .
↑ Gilpin, ME (1973). "กระต่ายป่ากินแมวป่าลิงซ์หรือไม่?". American Naturalist . 107 (957): 727– 730. Bibcode : 1973ANat..107..727G . doi : 10.1086/282870 . S2CID 84794121 .
↑ Jost, C.; Devulder, G.; Vucetich, JA; Peterson, R.; Arditi, R. (2005). "หมาป่าแห่งเกาะ Isle Royale แสดงภาวะอิ่มตัวที่ไม่ขึ้นกับขนาดและการล่ากวางมูสที่ขึ้นอยู่กับความหนาแน่น" J. Anim. Ecol . 74 (5): 809– 816. doi : 10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x .
↑ Pan, A.; Pourziaei, B.; Huang, H. (2015-06-03). "ผลของการใส่ปุ๋ยเหล็กในมหาสมุทรต่อปั๊มคาร์บอนชีวภาพของแพลงก์ตอนพืช" ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์ประยุกต์และกลศาสตร์ 3 ( 1): 52– 64. doi : 10.4208/aamm.10-m1023 . S2CID 124606355 .
↑ Prasolov, Alexander V. (2016). วิธีการและแบบจำลองเชิงปริมาณบางประการในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ประเด็น ปัญหา และมุมมองทางเศรษฐศาสตร์ นิวยอร์ก: Nova Publishers. ISBN 978-1-63484-937-1.
↑ Hung, Hui-Chih; Chiu , Yu-Chih; Wu, Muh-Cherng (2017). "แบบจำลอง Lotka–Volterra ที่ปรับปรุงแล้วสำหรับการแพร่กระจายและการทดแทนเทคโนโลยีการประมวลผล DRAM หลายรุ่น"ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในวิศวกรรม2017 : 1– 12. doi : 10.1155/2017/3038203 . ISSN 1024-123X .
↑ Orbach, Yair (2022). การพยากรณ์พลวัตของตลาดและเทคโนโลยี . อิสราเอล: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Ariel. หน้า123–143 . ISBN 978-965-7632-40-6.
↑ Orlando, Giuseppe; Sportelli, Mario (2021), Orlando, Giuseppe; Pisarchik, Alexander N.; Stoop, Ruedi (บรรณาธิการ), "การเติบโตและวัฏจักรในฐานะการต่อสู้: Lotka–Volterra, Goodwin และ Phillips" , Nonlinearities in Economics: An Interdisciplinary Approach to Economic Dynamics, Growth and Cycles , Cham: Springer International Publishing, หน้า191– 208, doi : 10.1007/978-3-030-70982-2_14 , ISBN 978-3-030-70982-2สืบค้นเมื่อ 2025-04-20{{citation}}: CS1 maint: พารามิเตอร์การทำงานพร้อม ISBN ( ลิงก์ )
↑ Lotka, AJ (1910). "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีปฏิกิริยาตามคาบ" . J. Phys. Chem. 14 (3): 271– 274. doi : 10.1021/j150111a004 .
1 2 Goel, NS; และคณะ (1971). เกี่ยวกับแบบจำลอง Volterra และแบบจำลองไม่เชิงเส้นอื่นๆ ของประชากรที่มีปฏิสัมพันธ์กันสำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 0-12-287450-1.
↑ Berryman, AA (1992). "ต้นกำเนิดและวิวัฒนาการของทฤษฎีผู้ล่า-เหยื่อ" (PDF) . นิเวศวิทยา . 73 (5): 1530– 1535. doi : 10.2307/1940005 . JSTOR 1940005 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2010-05-31.
↑เวอร์ฮุลสต์, พีเอช (1838) "ประกาศ sur la loi que la ประชากรหลั่งไหลเข้ามา " ถูกต้อง คณิตศาสตร์และกายภาพ . 10 : 113– 121.
↑ Lotka, AJ (1920). "บันทึกวิเคราะห์เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงจังหวะบางประการในระบบอินทรีย์" Proc . Natl. Acad. Sci. USA 6 (7): 410– 415. Bibcode : 1920PNAS....6..410L . doi : 10.1073/pnas.6.7.410 . PMC 1084562 . PMID 16576509 .
↑ Lotka, AJ (1925). องค์ประกอบของชีววิทยาเชิงกายภาพ . Williams and Wilkins .
↑โวลแตร์รา, วี. (1926). "Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui ในสายพันธุ์สัตว์" เมม อคาด. ลินเซย์ โรม่า . 2 : 31– 113.
↑ Volterra, V. (1931). "ความแปรผันและความผันผวนของจำนวนประชากรในสัตว์ชนิดต่างๆ ที่อาศัยอยู่ร่วมกัน" ใน Chapman, RN (บรรณาธิการ). นิเวศวิทยาของสัตว์ . McGraw–Hill .
↑ Kingsland, S. (1995). การสร้างแบบจำลองธรรมชาติ: ตอนต่างๆ ในประวัติศาสตร์ของนิเวศวิทยาประชากรสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกISBN 978-0-226-43728-6.
↑ Rosenzweig, ML; MacArthur, RH (1963). "การแสดงภาพกราฟิกและเงื่อนไขความเสถียรของปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อ" American Naturalist . 97 (895): 209– 223. doi : 10.1086/282272 . S2CID 84883526 .
↑ Arditi, R.; Ginzburg, LR (1989). "การเชื่อมโยงในพลวัตของผู้ล่าและเหยื่อ: การพึ่งพาอัตราส่วน" (PDF)วารสารชีววิทยาเชิงทฤษฎี 139 ( 3): 311– 326. รหัสบรรณานุกรม : 1989JThBi.139..311A . doi : 10.1016/s0022-5193(89)80211-5 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2016-03-04 . สืบค้นเมื่อ2013-06-26 .
↑ Abrams, PA; Ginzburg, LR (2000). "ลักษณะของการล่าเหยื่อ: ขึ้นอยู่กับเหยื่อ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน หรือไม่ขึ้นอยู่กับสิ่งใดเลย?" Trends in Ecology & Evolution . 15 (8): 337– 341. doi : 10.1016/s0169-5347(00)01908-x . PMID 10884706 .
↑ แกนดอลโฟ, จี. (2008). "จูเซปเป ปาลอมบา และสมการลอตกา-โวลแตร์รา" เรนดิคอนติ ลินเซย์ . 19 (4): 347– 357. ดอย : 10.1007/s12210-008-0023-7 . S2CID 140537163 .
↑กูดวิน, อาร์เอ็ม (1967). "วัฏจักรการเติบโต"ใน ไฟน์สไตน์, ซีเอช (บรรณาธิการ). สังคมนิยม ทุนนิยม และการเติบโตทางเศรษฐกิจสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
↑ Desai, M.; Ormerod, P. (1998). "Richard Goodwin: A Short Appreciation" (PDF) . The Economic Journal . 108 (450): 1431– 1435. CiteSeerX 10.1.1.423.1705 . doi : 10.1111/1468-0297.00350 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-09-27 . สืบค้นเมื่อ2010-03-22 .
↑สไตเนอร์, อันโตนิโอ; แกนเดอร์, มาร์ติน จาคอบ (1999) "ปาราเมทริสเชอ โลซุงเกน แดร์ เรอเบอร์-บิวต์-ไกลชุงเกน อิม แวร์กลีช " อิล โวลเตร์เรียโน . 7 : 32– 44.
↑ Evans, CM; Findley, GL (1999). "การแปลงใหม่สำหรับปัญหา Lotka-Volterra". Journal of Mathematical Chemistry . 25 : 105– 110. doi : 10.1023/A:1019172114300 . S2CID 36980176 .
↑ Leconte, M.; Masson, P.; Qi, L. (2022). "การแกว่งของวงจรจำกัด เวลาตอบสนอง และวิธีแก้ปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลาของแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ Lotka-Volterra" ฟิสิกส์ของพลาสมา 29 ( 2): 022302. arXiv : 2110.11557 . doi : 10.1063/5.0076085 . S2CID 239616189 .
↑ Tong, H. (1983). แบบจำลองเกณฑ์ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาแบบไม่เชิงเส้น Springer–Verlag.
↑ Lobry, Claude; Sari, Tewfik (2015). "การย้ายถิ่นฐานในแบบจำลอง Rosenzweig-MacArthur และปัญหา "atto-fox" (PDF) . Arima . 20 : 95– 125.
↑ Mollison, D. (1991). "การพึ่งพาของอัตราการระบาดและอัตราการเพิ่มขึ้นของประชากรต่อพารามิเตอร์พื้นฐาน" (PDF) . Math. Biosci . 107 (2): 255– 287. doi : 10.1016/0025-5564(91)90009-8 . PMID 1806118 .
↑ Nutku, I. (1990). "โครงสร้างแฮมิลโทเนียนของสมการลอตก้า-โวลเทอร์รา" . Physics Letters A . 145 (1): 27– 28. Bibcode : 1990PhLA..145...27N . doi : 10.1016/0375-9601(90)90270-X . hdl : 11693/26204 . S2CID 121710034 .
↑ Baigent, Steve (2010-03-02). "พลศาสตร์ Lotka-Volterra - บทนำ" (PDF )

อ่านเพิ่มเติม

Hofbauer, Josef; Sigmund, Karl ( 1998). "ระบบพลวัตและสมการลอตก้า-โวลเทอร์รา" เกมวิวัฒนาการและพลวัตประชากรนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า1–54 ISBN 0-521-62570-X.
Kaplan, Daniel; Glass, Leon (1995). ทำความเข้าใจพลวัตที่ไม่เป็นเชิงเส้น . นิวยอร์ก: Springer. ISBN 978-0-387-94440-1.
Leigh, ER (1968). "บทบาททางนิเวศวิทยาของสมการของ Volterra" ปัญหาทางคณิตศาสตร์บางประการในชีววิทยา-การอภิปรายสมัยใหม่โดยใช้ข้อมูลของบริษัทฮัดสันเบย์ เกี่ยวกับ แมวป่าลิงซ์และกระต่ายในแคนาดาตั้งแต่ปี 1847 ถึง 1903
Murray, JD (2003). ชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์ 1: บทนำ . นิวยอร์ก: Springer. ISBN 978-0-387-95223-9.'
เอกสารประกอบการบรรยายวิชา นิเวศวิทยาชุมชน ของ Stefano Allesina: https://stefanoallesina.github.io/Theoretical_Community_Ecology/

ลิงก์ภายนอก

จากโครงการสาธิต Wolfram — ต้องใช้โปรแกรมเล่น CDF (ฟรี) :
- สมการผู้ล่า-เหยื่อ
- แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ
- พลวัตระหว่างผู้ล่าและเหยื่อที่มีการตอบสนองเชิงฟังก์ชันแบบประเภทที่สอง
- ระบบนิเวศผู้ล่า-เหยื่อ: การจำลองแบบเรียลไทม์โดยใช้เอเจนต์
การจำลองเชิงอัลกอริทึม Lotka-Volterra (การจำลองบนเว็บ)

[1] Cooke, D.; Hiorns, RW; และ คณะ (1981). ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของพลวัตของประชากรชีวภาพเล่มที่ 2 สำนักพิมพ์ Academic Press

[2] ฟรีดแมน, เอชไอ (1980). แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดใน นิเวศวิทยาประชากรมาร์เซล เดกเกอร์

[3] Brauer, F.; Castillo-Chavez, C. (2000). แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในชีววิทยาประชากรและระบาดวิทยา . Springer-Verlag .

[scholarpedia-4] Hoppensteadt, F. (2006). "แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ" . Scholarpedia . 1 (10): 1563. Bibcode : 2006SchpJ...1.1563H . doi : 10.4249/scholarpedia.1563 .

[5] Beals, M.; Gross, L.; Townsend, CR (1999). "Predator-Prey Dynamics" . www.tiem.utk.edu . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-12-15 . สืบค้นเมื่อ2018-01-09 .

[6] Gilpin, ME (1973). "กระต่ายป่ากินแมวป่าลิงซ์หรือไม่?". American Naturalist . 107 (957): 727– 730. Bibcode : 1973ANat..107..727G . doi : 10.1086/282870 . S2CID 84794121 .

[7] Jost, C.; Devulder, G.; Vucetich, JA; Peterson, R.; Arditi, R. (2005). "หมาป่าแห่งเกาะ Isle Royale แสดงภาวะอิ่มตัวที่ไม่ขึ้นกับขนาดและการล่ากวางมูสที่ขึ้นอยู่กับความหนาแน่น" J. Anim. Ecol . 74 (5): 809– 816. doi : 10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x .

[8] Pan, A.; Pourziaei, B.; Huang, H. (2015-06-03). "ผลของการใส่ปุ๋ยเหล็กในมหาสมุทรต่อปั๊มคาร์บอนชีวภาพของแพลงก์ตอนพืช" ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์ประยุกต์และกลศาสตร์ 3 ( 1): 52– 64. doi : 10.4208/aamm.10-m1023 . S2CID 124606355 .

[9] Prasolov, Alexander V. (2016). วิธีการและแบบจำลองเชิงปริมาณบางประการในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ประเด็น ปัญหา และมุมมองทางเศรษฐศาสตร์ นิวยอร์ก: Nova Publishers. ISBN 978-1-63484-937-1.

[10] Hung, Hui-Chih; Chiu , Yu-Chih; Wu, Muh-Cherng (2017). "แบบจำลอง Lotka–Volterra ที่ปรับปรุงแล้วสำหรับการแพร่กระจายและการทดแทนเทคโนโลยีการประมวลผล DRAM หลายรุ่น"ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในวิศวกรรม2017 : 1– 12. doi : 10.1155/2017/3038203 . ISSN 1024-123X .

[11] Orbach, Yair (2022). การพยากรณ์พลวัตของตลาดและเทคโนโลยี . อิสราเอล: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Ariel. หน้า123–143 . ISBN 978-965-7632-40-6.

[12] Orlando, Giuseppe; Sportelli, Mario (2021), Orlando, Giuseppe; Pisarchik, Alexander N.; Stoop, Ruedi (บรรณาธิการ), "การเติบโตและวัฏจักรในฐานะการต่อสู้: Lotka–Volterra, Goodwin และ Phillips" , Nonlinearities in Economics: An Interdisciplinary Approach to Economic Dynamics, Growth and Cycles , Cham: Springer International Publishing, หน้า191– 208, doi : 10.1007/978-3-030-70982-2_14 , ISBN 978-3-030-70982-2สืบค้นเมื่อ 2025-04-20{{citation}}: CS1 maint: พารามิเตอร์การทำงานพร้อม ISBN ( ลิงก์ )

[13] Lotka, AJ (1910). "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีปฏิกิริยาตามคาบ" . J. Phys. Chem. 14 (3): 271– 274. doi : 10.1021/j150111a004 .

[Goelmany-14] 1 2 Goel, NS; และคณะ (1971). เกี่ยวกับแบบจำลอง Volterra และแบบจำลองไม่เชิงเส้นอื่นๆ ของประชากรที่มีปฏิสัมพันธ์กันสำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 0-12-287450-1.

[15] Berryman, AA (1992). "ต้นกำเนิดและวิวัฒนาการของทฤษฎีผู้ล่า-เหยื่อ" (PDF) . นิเวศวิทยา . 73 (5): 1530– 1535. doi : 10.2307/1940005 . JSTOR 1940005 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2010-05-31.

[16] เวอร์ฮุลสต์, พีเอช (1838) "ประกาศ sur la loi que la ประชากรหลั่งไหลเข้ามา " ถูกต้อง คณิตศาสตร์และกายภาพ . 10 : 113– 121.

[17] Lotka, AJ (1920). "บันทึกวิเคราะห์เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงจังหวะบางประการในระบบอินทรีย์" Proc . Natl. Acad. Sci. USA 6 (7): 410– 415. Bibcode : 1920PNAS....6..410L . doi : 10.1073/pnas.6.7.410 . PMC 1084562 . PMID 16576509 .

[18] Lotka, AJ (1925). องค์ประกอบของชีววิทยาเชิงกายภาพ . Williams and Wilkins .

[19] โวลแตร์รา, วี. (1926). "Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui ในสายพันธุ์สัตว์" เมม อคาด. ลินเซย์ โรม่า . 2 : 31– 113.

[20] Volterra, V. (1931). "ความแปรผันและความผันผวนของจำนวนประชากรในสัตว์ชนิดต่างๆ ที่อาศัยอยู่ร่วมกัน" ใน Chapman, RN (บรรณาธิการ). นิเวศวิทยาของสัตว์ . McGraw–Hill .

[21] Kingsland, S. (1995). การสร้างแบบจำลองธรรมชาติ: ตอนต่างๆ ในประวัติศาสตร์ของนิเวศวิทยาประชากรสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโกISBN 978-0-226-43728-6.

[22] Rosenzweig, ML; MacArthur, RH (1963). "การแสดงภาพกราฟิกและเงื่อนไขความเสถียรของปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ล่าและเหยื่อ" American Naturalist . 97 (895): 209– 223. doi : 10.1086/282272 . S2CID 84883526 .

[23] Arditi, R.; Ginzburg, LR (1989). "การเชื่อมโยงในพลวัตของผู้ล่าและเหยื่อ: การพึ่งพาอัตราส่วน" (PDF)วารสารชีววิทยาเชิงทฤษฎี 139 ( 3): 311– 326. รหัสบรรณานุกรม : 1989JThBi.139..311A . doi : 10.1016/s0022-5193(89)80211-5 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2016-03-04 . สืบค้นเมื่อ2013-06-26 .

[24] Abrams, PA; Ginzburg, LR (2000). "ลักษณะของการล่าเหยื่อ: ขึ้นอยู่กับเหยื่อ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วน หรือไม่ขึ้นอยู่กับสิ่งใดเลย?" Trends in Ecology & Evolution . 15 (8): 337– 341. doi : 10.1016/s0169-5347(00)01908-x . PMID 10884706 .

[25] แกนดอลโฟ, จี. (2008). "จูเซปเป ปาลอมบา และสมการลอตกา-โวลแตร์รา" เรนดิคอนติ ลินเซย์ . 19 (4): 347– 357. ดอย : 10.1007/s12210-008-0023-7 . S2CID 140537163 .

[26] กูดวิน, อาร์เอ็ม (1967). "วัฏจักรการเติบโต"ใน ไฟน์สไตน์, ซีเอช (บรรณาธิการ). สังคมนิยม ทุนนิยม และการเติบโตทางเศรษฐกิจสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

[27] Desai, M.; Ormerod, P. (1998). "Richard Goodwin: A Short Appreciation" (PDF) . The Economic Journal . 108 (450): 1431– 1435. CiteSeerX 10.1.1.423.1705 . doi : 10.1111/1468-0297.00350 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-09-27 . สืบค้นเมื่อ2010-03-22 .

[28] สไตเนอร์, อันโตนิโอ; แกนเดอร์, มาร์ติน จาคอบ (1999) "ปาราเมทริสเชอ โลซุงเกน แดร์ เรอเบอร์-บิวต์-ไกลชุงเกน อิม แวร์กลีช " อิล โวลเตร์เรียโน . 7 : 32– 44.

[29] Evans, CM; Findley, GL (1999). "การแปลงใหม่สำหรับปัญหา Lotka-Volterra". Journal of Mathematical Chemistry . 25 : 105– 110. doi : 10.1023/A:1019172114300 . S2CID 36980176 .

[30] Leconte, M.; Masson, P.; Qi, L. (2022). "การแกว่งของวงจรจำกัด เวลาตอบสนอง และวิธีแก้ปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลาของแบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ Lotka-Volterra" ฟิสิกส์ของพลาสมา 29 ( 2): 022302. arXiv : 2110.11557 . doi : 10.1063/5.0076085 . S2CID 239616189 .

[31] Tong, H. (1983). แบบจำลองเกณฑ์ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาแบบไม่เชิงเส้น Springer–Verlag.

[LobrySari2015-32] Lobry, Claude; Sari, Tewfik (2015). "การย้ายถิ่นฐานในแบบจำลอง Rosenzweig-MacArthur และปัญหา "atto-fox" (PDF) . Arima . 20 : 95– 125.

[33] Mollison, D. (1991). "การพึ่งพาของอัตราการระบาดและอัตราการเพิ่มขึ้นของประชากรต่อพารามิเตอร์พื้นฐาน" (PDF) . Math. Biosci . 107 (2): 255– 287. doi : 10.1016/0025-5564(91)90009-8 . PMID 1806118 .

[34] Nutku, I. (1990). "โครงสร้างแฮมิลโทเนียนของสมการลอตก้า-โวลเทอร์รา" . Physics Letters A . 145 (1): 27– 28. Bibcode : 1990PhLA..145...27N . doi : 10.1016/0375-9601(90)90270-X . hdl : 11693/26204 . S2CID 121710034 .

[35] Baigent, Steve (2010-03-02). "พลศาสตร์ Lotka-Volterra - บทนำ" (PDF )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

23 ] ความ

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

ไม่มีชื่อบทความ