ในทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียนจุดหลักประกอบด้วยจุด สามคู่ ที่อยู่บนแกนแสงของระบบแสงแบบโฟกัสที่มีสมมาตรแบบหมุนได้ ได้แก่ จุดโฟกัสจุดหลักและจุดโนดัลซึ่งมีอย่างละสองจุด^{[ 1 ]}สำหรับ ระบบ ในอุดมคติคุณสมบัติการสร้างภาพพื้นฐาน เช่น ขนาดภาพ ตำแหน่ง และทิศทาง จะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์จากตำแหน่งของจุดหลัก สำหรับกรณีง่ายๆ ที่ตัวกลางทั้งสองด้านของระบบแสงเป็นอากาศหรือสุญญากาศ จุดหลักสี่จุดก็เพียงพอแล้ว ได้แก่ จุดโฟกัสสองจุด และจุดหลักหรือจุดโนดัล ระบบในอุดมคติเพียงระบบเดียวที่สามารถทำได้จริงคือกระจกเงาราบ [ ^{2 ] อย่างไรก็ตาม}จุดหลักถูกใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อประมาณพฤติกรรมของระบบแสงจริง จุดหลักช่วยให้สามารถลดความซับซ้อนของระบบแสงที่มีส่วนประกอบจำนวนมากในเชิงวิเคราะห์ ทำให้สามารถกำหนดลักษณะการสร้างภาพของระบบได้โดยประมาณด้วยการคำนวณอย่างง่าย

จุดหลักจะอยู่บนแกนแสงของระบบแสง แต่ละจุดถูกกำหนดโดยผลกระทบที่ระบบแสงมีต่อรังสีที่ผ่านจุดนั้น ในการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลถือว่ารังสีเดินทางเป็นมุมตื้นเมื่อเทียบกับแกนแสง ดังนั้น, ,และ^{[ 3} ] ผลกระทบของรูรับแสงจะถูกละเลย: รังสีที่ไม่ผ่านรู ^รับแสงของระบบจะไม่ถูกพิจารณาในการอธิบายต่อไปนี้ ${\textstyle \sin \theta \approx \theta }$${\textstyle \tan \theta \approx \theta }$${\textstyle \cos \theta \approx 1}$

ตามนิยามแล้ว จุดโฟกัสหน้าของระบบแสงมีคุณสมบัติว่า รังสีใดๆ ที่ผ่านจุดโฟกัสหน้าจะออกจากระบบโดยขนานกับแกนแสงส่วนจุดโฟกัสหลังของระบบมีคุณสมบัติตรงกันข้าม กล่าวคือ รังสีที่เข้าสู่ระบบโดยขนานกับแกนแสงจะถูกโฟกัสให้ผ่านจุดโฟกัสหลัง

ระนาบโฟกัสหน้าและหลัง (หรือระนาบด้านหลัง) ถูกกำหนดให้เป็นระนาบที่ตั้งฉากกับแกนแสง ซึ่งผ่านจุดโฟกัสหน้าและหลัง วัตถุที่อยู่ไกลจากระบบแสงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดจะสร้างภาพที่ระนาบโฟกัสหลัง สำหรับวัตถุที่อยู่ห่างออกไปในระยะจำกัด ภาพจะเกิดขึ้นที่ตำแหน่งอื่น แต่รังสีที่ออกจากวัตถุขนานกันจะตัดกันที่ระนาบโฟกัสหลัง

ไดอะแฟรมหรือ "ตัวหยุด" ที่ระนาบโฟกัสด้านหลังของเลนส์สามารถใช้กรองรังสีตามมุมได้ เนื่องจากรูรับแสงที่อยู่ตรงกลางแกนแสงจะยอมให้เฉพาะรังสีที่ปล่อยออกมาจากวัตถุทำมุมกับแกนแสงน้อยพอเท่านั้นผ่านเข้ามาได้ การใช้รูรับแสงที่เล็กพอในระนาบโฟกัสด้านหลังจะทำให้เลนส์เป็นเลนส์เทเลเซนทริกในพื้นที่วัตถุ

ในทำนองเดียวกัน ช่วงมุมที่อนุญาตบนด้านเอาต์พุตของเลนส์สามารถกรองได้โดยการติดตั้งรูรับแสงที่ระนาบโฟกัสหน้าของเลนส์ (หรือกลุ่มเลนส์ภายในเลนส์โดยรวม) และรูรับแสงที่เล็กพอจะทำให้เลนส์เป็นแบบเทเลเซนทริกในพื้นที่ภาพซึ่งมีความสำคัญสำหรับกล้อง DSLRที่มี เซ็นเซอร์ CCDพิกเซลในเซ็นเซอร์เหล่านี้มีความไวต่อรังสีที่ตกกระทบตรงๆ มากกว่ารังสีที่ตกกระทบในมุมต่างๆ เลนส์ที่ไม่ควบคุมมุมตกกระทบที่ตัวตรวจจับจะทำให้เกิดการมืดของพิกเซลในภาพ

ระนาบหลักทั้งสองของเลนส์มีคุณสมบัติที่ว่า รังสีที่ออกจากเลนส์จะปรากฏว่าตัดกับระนาบหลักด้านหลังที่ระยะห่างจากแกนแสงเท่ากับระยะห่างที่รังสีปรากฏว่าตัดกับระนาบหลักด้านหน้า เมื่อมองจากด้านหน้าของเลนส์ ซึ่งหมายความว่าสามารถพิจารณาเลนส์ได้เสมือนว่าการหักเห ทั้งหมด เกิดขึ้นที่ระนาบหลัก และรังสีเดินทางขนานกับแกนแสงระหว่างระนาบทั้งสอง (กำลังขยายเชิงเส้นระหว่างระนาบหลักคือ +1) ระนาบหลักมีความสำคัญอย่างยิ่งในการกำหนดคุณสมบัติของระบบทางแสง เนื่องจากกำลังขยายของระบบถูกกำหนดโดยระยะห่างจากวัตถุถึงระนาบหลักด้านหน้าและระยะห่างจากระนาบหลักด้านหลังถึงภาพของวัตถุจุดหลักคือจุดที่ระนาบหลักตัดกับแกนแสง

ถ้าตัวกลางที่ล้อมรอบระบบทางแสงมีดัชนีหักเหเท่ากับ 1 (เช่นอากาศหรือสุญญากาศ ) ระยะห่างจากระนาบหลักแต่ละระนาบไปยังจุดโฟกัสที่สอดคล้องกันจะเท่ากับความยาวโฟกัสของระบบนั้น ในกรณีทั่วไป ระยะห่างไปยังจุดโฟกัสจะเท่ากับความยาวโฟกัสคูณด้วยดัชนีหักเหของตัวกลาง

สำหรับเลนส์เดี่ยวที่ล้อมรอบด้วยตัวกลางที่มีดัชนีหักเหn = 1ตำแหน่งของจุดหลักHและH ′เมื่อเทียบกับจุดยอดของเลนส์แต่ละอันจะกำหนดโดยสูตรโดยที่fคือความยาวโฟกัสของเลนส์dคือความหนาของเลนส์ และr ₁และr ₂คือรัศมีของความโค้งของพื้นผิวเลนส์ เครื่องหมายบวกแสดงระยะทางไปทางขวาของจุดยอดที่เกี่ยวข้อง และเครื่องหมายลบแสดงระยะทางไปทางซ้าย^{[ 4 ​​]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{2}n}}\\H'&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{1}n}},\end{aligned}}}$$

สำหรับเลนส์บางในอากาศ ระนาบหลักทั้งสองจะอยู่ที่ตำแหน่งของเลนส์ จุดที่ระนาบทั้งสองตัดกับแกนแสงนั้น บางครั้งถูกเรียกอย่างผิดๆ ว่าเป็นศูนย์กลางแสงของเลนส์ สำหรับเลนส์จริง ระนาบหลักไม่จำเป็นต้องผ่านศูนย์กลางของเลนส์เสมอไป และอาจอยู่นอกเลนส์ด้วยซ้ำ

จุดโนดัลด้านหน้าและด้านหลังของเลนส์มีคุณสมบัติที่ว่า รังสีที่พุ่งไปยังจุดใดจุดหนึ่งจะถูกหักเหโดยเลนส์ในลักษณะที่ดูเหมือนว่ามาจากอีกด้านหนึ่ง โดยทำมุมเดียวกันกับแกนแสง (กำลังขยายเชิงมุมระหว่างจุดโนดัลคือ +1) ดังนั้น จุดโนดัลจึงทำหน้าที่เกี่ยวกับมุมเช่นเดียวกับที่ระนาบหลักทำหน้าที่เกี่ยวกับระยะทางตามแนวขวาง หากตัวกลางทั้งสองด้านของระบบแสงเป็นชนิดเดียวกัน (เช่น อากาศหรือสุญญากาศ) จุดโนดัลด้านหน้าและด้านหลังจะตรงกับจุดหลักด้านหน้าและด้านหลังตามลำดับ

บทความต้นฉบับของเกาส์ในปี 1841 กล่าวถึงเฉพาะรังสีหลักที่ผ่านจุดโฟกัสเท่านั้น เพื่อนร่วมงานของเขาโยฮันน์ ลิสติงเป็นคนแรกที่อธิบายจุดโนดัลในปี 1845 เพื่อประเมินดวงตาของมนุษย์ซึ่งภาพอยู่ในของเหลว^{[ 5 ]}จุดหลักทั้งสี่ถูกรวมไว้ในแผนภาพเดียวตั้งแต่ปี 1864 (ดอนเดอร์ส) โดยมีวัตถุอยู่ในอากาศและภาพอยู่ในตัวกลางที่แตกต่างกัน

จุดโนดัลแสดงถึงรังสีที่ผ่านศูนย์กลางของเลนส์โดยไม่มีการเบี่ยงเบนเชิงมุม สำหรับเลนส์ในอากาศที่มีรูรับแสงอยู่ที่ระนาบหลัก รังสีนี้จะเป็นรังสีหลักเนื่องจากจุดโนดัลและจุดหลักจะตรงกันในกรณีนี้ นี่เป็นส่วนเสริมที่มีคุณค่าอย่างยิ่งต่อสิ่งที่เรียกว่า "ทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียน" และหากภาพอยู่ในของเหลวแทน รังสีเดียวกันนั้นก็จะหักเหเข้าไปในตัวกลางใหม่ ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา รังสีที่ผ่านจุดโนดัลจะมีส่วนขาเข้าและขาออกขนานกัน (สีน้ำเงิน) วิธีง่ายๆ ในการหาจุดโนดัลด้านหลังสำหรับเลนส์ที่มีอากาศอยู่ด้านหนึ่งและของเหลวอยู่ด้านหนึ่ง คือ การนำความยาวโฟกัสด้านหลังf ′มาหารด้วยดัชนีหักเหของตัวกลางภาพ ซึ่งจะได้ความยาวโฟกัสประสิทธิผล (EFL) ของเลนส์ EFL คือระยะทางจากจุดโนดัลด้านหลังถึงจุดโฟกัสด้านหลัง

กำลังของเลนส์เท่ากับ1/EFLหรือn ′ / f ′สำหรับแสงขนาน เลนส์สามารถวางไว้ในอากาศที่จุดโหนดที่สองของระบบออปติกเพื่อให้ได้คุณสมบัติพาราแอ็กเซียลเช่นเดียวกับระบบเลนส์ดั้งเดิมที่มีภาพในของเหลว^{[ 5 ] [ 6 ]}กำลังของดวงตาทั้งหมดประมาณ 60 ไดออปเตอร์ตัวอย่างเช่น ในทำนองเดียวกัน เลนส์ที่ใช้ในของเหลวทั้งหมด เช่นเลนส์ภายในลูกตามีคำจำกัดความของกำลังเดียวกัน โดยมีค่าเฉลี่ยประมาณ 21 ไดออปเตอร์

ดวงตาเองมีการใช้งานจุดโนดัลพิเศษประการที่สองซึ่งมักถูกบดบังด้วยการอภิปรายแบบพาราแอ็กเซียล กระจกตาและเรตินาโค้งมาก ซึ่งแตกต่างจากระบบการสร้างภาพส่วนใหญ่ และการออกแบบทางแสงของดวงตามีคุณสมบัติที่ว่า "เส้นทิศทาง" ที่ขนานกับรังสีขาเข้าสามารถใช้เพื่อหาค่ากำลังขยายหรือปรับขนาดตำแหน่งของเรตินาได้ เส้นนี้ผ่านจุดโนดัลที่สองโดยประมาณ แต่แทนที่จะเป็นรังสีพาราแอ็กเซียลจริง ๆ มันระบุภาพที่เกิดจากกลุ่มรังสีที่ผ่านศูนย์กลางของรูม่านตา คำศัพท์นี้มาจากVolkmannในปี 1836 ^{[ 7 ]}แต่การอภิปรายส่วนใหญ่เข้าใจผิดว่าคุณสมบัติพาราแอ็กเซียลของรังสีขยายไปถึงมุมขนาดใหญ่มาก แทนที่จะตระหนักว่านี่เป็นคุณสมบัติเฉพาะของการออกแบบของดวงตา คุณสมบัติการปรับขนาดนี้เป็นที่รู้จักกันดี มีประโยชน์มาก และง่ายมาก: มุมที่วาดด้วยไม้บรรทัดที่อยู่ตรงกลางขั้วด้านหลังของเลนส์บนหน้าตัดของดวงตาสามารถปรับขนาดเรตินาได้โดยประมาณมากกว่าครึ่งทรงกลมทั้งหมด ข้อจำกัดของการประมาณค่านี้เพิ่งปรากฏชัดเจนในช่วงทศวรรษ 2000 โดยมีการศึกษาถึงสาเหตุที่ผู้ป่วยที่ใส่เลนส์แก้วตาเทียม (IOL) บางรายเห็นเงาดำบริเวณขอบนอกของดวงตา (ภาวะมองเห็นผิดปกติเชิงลบ ซึ่งอาจเกิดจากเลนส์แก้วตาเทียมมีขนาดเล็กกว่าเลนส์ธรรมชาติมาก)

จุดศูนย์กลางทางแสงของเลนส์ทรงกลม คือจุดที่หากรังสีผ่านจุดนั้น เส้นทางของรังสีหลังจากออกจากเลนส์จะขนานกับเส้นทางของรังสี ก่อนที่รังสีจะเข้าสู่เลนส์

ในรูปทางขวา^{[ 8 ]}จุดAและBคือจุดที่เส้นขนานของรัศมีความโค้งR ₁และR ₂ตัดกับพื้นผิวเลนส์ ส่งผลให้เส้นประที่สัมผัสกับพื้นผิวที่AและBขนานกันด้วย เนื่องจากสามเหลี่ยมOBC ₂และOAC ₁ สองรูป คล้ายกัน (กล่าวคือ มุมของทั้งสองรูปเท่ากัน) ไม่ว่า AและBจะเลือกค่าใดรัศมีความโค้งและจะเท่ากัน และตำแหน่งศูนย์กลางความโค้งและก็จะเท่ากันด้วย ส่งผลให้ตำแหน่งศูนย์กลางทางแสงOซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนบนแกนแสง จะคงที่สำหรับเลนส์ที่กำหนด ${\textstyle {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {OC_{2}}}}={\frac {\overline {R_{1}}}{\overline {OC_{1}}}}\rightarrow {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {R_{1}}}}={\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$${\textstyle {\overline {R_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {R_{2}}}}$${\textstyle C_{1}}$${\textstyle C_{2}}$${\textstyle {\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$

จุดโนดัลมักถูกเข้าใจผิดกันอย่างกว้างขวางในการถ่ายภาพโดยมักมีการกล่าวอ้างว่ารังสีแสง "ตัดกัน" ที่ "จุดโนดัล" ว่าไดอะแฟรมของเลนส์อยู่ที่จุดนั้น และว่านี่คือจุดหมุนที่ถูกต้องสำหรับการถ่ายภาพพาโนรามาเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดจากพาราแลกซ์^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}ข้อกล่าวอ้างเหล่านี้โดยทั่วไปเกิดจากความสับสนเกี่ยวกับทัศนศาสตร์ของเลนส์กล้อง รวมถึงความสับสนระหว่างจุดโนดัลและจุดหลักอื่นๆ ของระบบ จุดที่ดีกว่าที่จะใช้เป็นจุดหมุนของกล้องสำหรับการถ่ายภาพพาโนรามาสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางของรูรับแสง ของระบบ ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} ในทางกลับกัน กล้องเลนส์หมุนที่มีตำแหน่งฟิล์มคง ที่จะหมุนเลนส์รอบจุดโนดัลด้านหลังเพื่อทำให้ภาพบนฟิล์มมีความเสถียร^{[ 11 ] [ 12 ]}

ในทางทัศนศาสตร์จุดยอดของพื้นผิวคือจุดที่พื้นผิวทางแสงแต่ละพื้นผิวตัดกับแกนแสง จุดยอดเหล่านี้มีความสำคัญเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากเป็นพารามิเตอร์ที่สามารถวัดได้ทางกายภาพสำหรับตำแหน่งขององค์ประกอบทางแสง ดังนั้นตำแหน่งของจุดหลักของระบบทางแสงจึงต้องทราบเทียบกับจุดยอดของพื้นผิวเพื่ออธิบายระบบนั้น

ในทางกายวิภาคศาสตร์ จุดยอดบนพื้นผิวของ เลนส์ตาเรียกว่าขั้วด้านหน้าและขั้ว ด้านหลัง ของเลนส์^{[ 13 ]}

ในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตสำหรับรังสีวัตถุ แต่ละรังสี ที่เข้าสู่ระบบแสง จะมีรังสีภาพเพียงรังสีเดียวที่ไม่ซ้ำกันออกจากระบบ ในทางคณิตศาสตร์ ระบบแสงจะทำการแปลงที่แมปรังสีวัตถุแต่ละรังสีไปยังรังสีภาพ^{[ 1 ]}รังสีวัตถุและรังสีภาพที่เกี่ยวข้องเรียกว่าเป็นคู่กัน คำนี้ยังใช้กับคู่จุดและระนาบวัตถุและภาพที่สอดคล้องกันด้วย รังสีวัตถุ จุด และระนาบวัตถุและภาพถือว่าอยู่ในปริภูมิแสง สองปริภูมิที่แตกต่างกัน คือปริภูมิวัตถุและปริภูมิภาพอาจมีการใช้ปริภูมิแสงระดับกลางเพิ่มเติมได้เช่นกัน

ระบบทางแสงจะมีความสมมาตรแบบหมุนได้ก็ต่อเมื่อคุณสมบัติการสร้างภาพของระบบนั้นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง แกนสมมาตรแบบหมุนได้ (ที่ไม่ซ้ำกัน) นี้เรียกว่าแกนแสงของระบบ ระบบทางแสงสามารถพับได้โดยใช้กระจกเงาราบ ระบบยังคงถือว่ามีความสมมาตรแบบหมุนได้หากยังคงมีสมมาตรแบบหมุนได้เมื่อคลี่ออก จุดใดๆ บนแกนแสง (ในปริภูมิใดๆ) เรียกว่าจุดบนแกน

สมมาตรแบบหมุนช่วยลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์ระบบทางแสงได้อย่างมาก ซึ่งโดยปกติแล้วจะต้องวิเคราะห์ในสามมิติ สมมาตรแบบหมุนทำให้สามารถวิเคราะห์ระบบได้โดยพิจารณาเฉพาะรังสีที่จำกัดอยู่ในระนาบตัดขวางเพียงระนาบเดียวที่ประกอบด้วยแกนแสง ระนาบดังกล่าวเรียกว่าระนาบเมริเดียนซึ่งเป็นหน้าตัดผ่านระบบ

ระบบ การถ่ายภาพด้วยแสงใน อุดมคติที่มีสมมาตรแบบหมุนได้จะต้องเป็นไปตามเกณฑ์สามประการดังนี้:

1. รังสีทั้งหมดที่ "กำเนิด" จาก จุดวัตถุ แต่ละจุดจะมาบรรจบกันที่จุดภาพเดียวที่ไม่ซ้ำกัน การสร้างภาพจึงมีลักษณะเป็นสติ๊กมาติก (stigmatic )
2. ระนาบวัตถุที่ตั้งฉากกับแกนแสงจะเป็นคู่สมกับระนาบภาพที่ตั้งฉากกับแกนแสง
3. ภาพของวัตถุที่อยู่บนระนาบตั้งฉากกับแกนนั้น มีลักษณะทางเรขาคณิตคล้ายกับวัตถุจริง

ในระบบออปติกบางระบบ การสร้างภาพจะมีค่าความคลาดเคลื่อนทางแสง (stigmatic) สำหรับจุดวัตถุหนึ่งจุดหรือเพียงไม่กี่จุด แต่ระบบในอุดมคติจะต้องสร้างภาพที่มีค่าความคลาดเคลื่อนทางแสงสำหรับทุกจุดวัตถุ ในระบบในอุดมคติ ทุกจุดวัตถุจะถูกแปลงเป็นจุดภาพที่แตกต่างกัน

ต่างจากรังสีในทางคณิตศาสตร์รังสีเชิงแสงแผ่ขยายไปถึงอนันต์ในทั้งสองทิศทาง รังสีเป็นของจริงเมื่ออยู่ในส่วนของระบบเชิงแสงที่มันเกี่ยวข้อง และเป็นเสมือนในส่วนอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น รังสีวัตถุเป็นของจริงในด้านวัตถุของระบบเชิงแสง ในขณะที่รังสีภาพเป็นของจริงในด้านภาพของระบบ ในการสร้างภาพแบบสติ๊กมาติก รังสีวัตถุที่ตัดกับจุดใด ๆ ในปริภูมิวัตถุจะต้องเป็นคู่สมกับรังสีภาพที่ตัดกับจุดคู่สมในปริภูมิภาพ ผลที่ตามมาคือ ทุกจุดบนรังสีวัตถุจะเป็นคู่สมกับบางจุดบนรังสีภาพคู่สม

ความคล้ายคลึงทางเรขาคณิตหมายความว่าภาพนั้นเป็นแบบจำลองขนาดของวัตถุ ไม่มีข้อจำกัดเรื่องทิศทางของภาพ ภาพอาจกลับหัวหรือหมุนไปจากวัตถุได้

ระบบ ไร้จุดโฟกัสไม่มีจุดโฟกัส จุดหลัก หรือจุดโนดัล ในระบบดังกล่าว รังสีวัตถุที่ขนานกับแกนแสงจะเป็นคู่สมกับรังสีภาพที่ขนานกับแกนแสง ระบบจะเรียกว่ามีจุดโฟกัสหากรังสีวัตถุที่ขนานกับแกนเป็นคู่สมกับรังสีภาพที่ตัดกับแกนแสง จุดตัดของรังสีภาพกับแกนแสงคือจุดโฟกัส F ′ในปริภูมิภาพ ระบบมีจุดโฟกัสก็มีจุดวัตถุตามแกน F เช่นกัน โดยที่รังสีใดๆ ที่ผ่าน F จะเป็นคู่สมกับรังสีภาพที่ขนานกับแกนแสง F คือจุดโฟกัสในปริภูมิวัตถุของระบบ

การแปลงระหว่างปริภูมิวัตถุและปริภูมิภาพถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดหลักของระบบ และสามารถใช้จุดเหล่านี้ในการแมปจุดใดๆ บนวัตถุไปยังจุดภาพคู่สมของจุดนั้นได้

• เครื่องบินฟิล์ม
• กล้องรูเข็มรุ่นหนึ่ง
• รัศมีของความโค้ง (ทัศนศาสตร์)
• การรวมแสง (ทัศนศาสตร์)