ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ (homogeneous coordinate ring)คือวงแหวนสลับที่ (commutative ring ) ที่กำหนดให้กับวาไร ตีเชิงโปรเจกทีฟ (projective variety ) ใดๆถ้าVเป็นวาไรตีเชิงพีชคณิตที่กำหนดให้เป็นวาไรตีย่อยของปริภูมิเชิงโปรเจก ทีฟ ที่มีมิติNที่กำหนด วงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของ V ก็คือวงแหวนผลหาร(quotient ring) ตามคำนิยาม

R = K [ X , X , X , ..., X ] / I

โดยที่Iคืออุดมคติเอกพันธุ์ที่กำหนดV , Kคือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่Vถูกกำหนดขึ้น และ

K [ X , X , X , ..., X ]

คือวงแหวนพหุนามใน ตัวแปร N + 1 ตัวX วงแหวนพหุนามจึงเป็นวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของปริภูมิเชิงฉายเอง และตัวแปรคือพิกัดเอกพันธุ์สำหรับการเลือกฐานที่กำหนด (ในปริภูมิเวกเตอร์ที่อยู่ใต้ปริภูมิเชิงฉาย) การเลือกฐานหมายความว่านิยามนี้ไม่ใช่นิยามที่แท้จริง แต่สามารถทำให้เป็นเช่นนั้นได้โดยใช้พีชคณิตสมมาตร

นิยามนี้เลียนแบบวงแหวนพิกัดตามที่ได้นำเสนอไว้สำหรับวาไรตี้เชิงเส้นตรง

เนื่องจากVถือว่าเป็นวาไรตี้ และเป็นเซตพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้ ดังนั้น ไอเดียลIจึงสามารถเลือกให้เป็นไอเดียลเฉพาะได้และR จึง เป็นโดเมนอินทิกรัลสามารถใช้นิยามเดียวกันนี้กับไอเดียลเอกพันธุ์ทั่วไปได้ แต่ริงพิกัดที่ได้อาจมีสมาชิกนิลโพเทนต์ที่ ไม่เป็นศูนย์ และตัวหารศูนย์ อื่นๆ จากมุมมองของทฤษฎีสกีมกรณีเหล่านี้สามารถจัดการได้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้ การ สร้างProj

อุดมคติที่ไม่เกี่ยวข้อง Jที่สร้างขึ้นโดยX ทั้งหมด สอดคล้องกับเซตว่าง เนื่องจากพิกัดเอกพันธุ์ทั้งหมดไม่สามารถเป็นศูนย์ ณ จุดหนึ่งในปริภูมิเชิงฉายได้

Nullstellensatz แบบโปรเจคทีฟให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวาไรตี้แบบโปรเจคทีฟและไอเดียลเอกพันธุ์I ที่ไม่มีJ

ในการประยุกต์ใช้ เทคนิค พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นับตั้งแต่สมัยของเดวิด ฮิลเบิร์ต (แม้ว่าศัพท์สมัยใหม่จะแตกต่างออกไป) ได้มีการนำวิธีการแก้ ปัญหาแบบอิสระ (free resolutions ) ของR มาใช้ โดยถือว่า R เป็นโมดูลแบบแบ่งระดับ (graded module)บนวงแหวนพหุนาม (polynomial ring) ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับไซซีจี (syzygies)กล่าวคือ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างของไอเดียลIในมุมมองแบบคลาสสิก ตัวสร้างดังกล่าวก็คือสมการที่เขียนขึ้นเพื่อกำหนดVถ้าVเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ (hypersurface)ก็จำเป็นต้องมีเพียงสมการเดียว และสำหรับจุดตัดที่สมบูรณ์ (complete intersections ) จำนวนสมการสามารถถือได้ว่าเป็นโคไดเมนชัน (codimension) แต่ความหลากหลายเชิงโปรเจกทีฟทั่วไป (general projective variety) ไม่มีชุดสมการที่กำหนดซึ่งโปร่งใสเช่นนั้น การศึกษาอย่างละเอียด เช่นเส้นโค้งแคนอนิก (canonical curves)และสมการที่กำหนดความหลากหลายเชิงอาเบเลียน (abelian varieties ) แสดงให้เห็นถึงความน่าสนใจทางเรขาคณิตของเทคนิคที่เป็นระบบในการจัดการกรณีเหล่านี้ หัวข้อนี้ยังเติบโตมาจากทฤษฎีการกำจัด (elimination theory)ในรูปแบบคลาสสิก ซึ่งการลดโมดูลIถือเป็นกระบวนการเชิงอัลกอริทึม (ปัจจุบันจัดการโดยฐานโกรบเนอร์ (Gröbner bases ) ในทางปฏิบัติ)

โดยทั่วไปแล้ว มีความละเอียดอิสระของRในฐานะโมดูลแบบไล่ระดับเหนือK [ X , X , X , ..., X ] ความละเอียดจะถูกกำหนดว่าน้อยที่สุดหากภาพในแต่ละโมดูลมอร์ฟิซึมของโมดูลอิสระ

φ: F → F

ในการแก้ปัญหา จุดสำคัญอยู่ที่JF โดยที่Jคืออุดมคติที่ไม่เกี่ยวข้อง ผลที่ตามมาจากการพิสูจน์ของ Nakayamaทำให้ φ ใช้ฐานที่กำหนดในF ไปยังเซตตัวสร้างขั้นต่ำในF แนวคิดของการแก้ปัญหาอิสระขั้นต่ำนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีในความหมายที่เข้มงวด กล่าวคือ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่และเกิดขึ้นเป็นผลรวมโดยตรงในการแก้ปัญหาอิสระใดๆ เนื่องจากคอมเพล็กซ์นี้เป็นส่วนสำคัญของRเราจึงสามารถกำหนดจำนวน Betti แบบแบ่งระดับ β เป็นจำนวนภาพระดับjที่มาจากF (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น โดยคิดว่า φ เป็นเมทริกซ์ของพหุนามเอกพันธุ์ จำนวนรายการของดีกรีเอกพันธุ์นั้นจะเพิ่มขึ้นตามการแบ่งระดับที่ได้มาแบบอุปนัยจากทางขวา) กล่าวอีกนัยหนึ่ง น้ำหนักในโมดูลอิสระทั้งหมดสามารถอนุมานได้จากการแก้ปัญหา และจำนวน Betti แบบแบ่งระดับจะนับจำนวนตัวสร้างของน้ำหนักที่กำหนดในโมดูลที่กำหนดของการแก้ปัญหา คุณสมบัติของค่าคงที่เหล่านี้ของVในการฝังเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดก่อให้เกิดคำถามวิจัยที่น่าสนใจ แม้กระทั่งในกรณีของเส้นโค้ง^{[ 1 ]}

มีตัวอย่างที่ทราบความละเอียดอิสระขั้นต่ำอย่างชัดเจน สำหรับเส้นโค้งปกติเชิงตรรกะมันคือคอมเพล็กซ์ Eagon–Northcottสำหรับเส้นโค้งวงรีในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ความละเอียดอาจถูกสร้างขึ้นเป็นกรวยการแมปของคอมเพล็กซ์ Eagon–Northcott ^{[ 2 ]}

ความสม่ำเสมอ ของCastelnuovo–Mumfordอาจอ่านได้จากความละเอียดขั้นต่ำของอุดมคติIที่กำหนดวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ ในแง่ของ "การเลื่อน" ที่กำหนดa ในโมดูลที่i F มันคือค่าสูงสุดเหนือiของa − iดังนั้นจึงมีขนาดเล็กเมื่อการเลื่อนเพิ่มขึ้นทีละ 1 เท่านั้นเมื่อเราเคลื่อนไปทางซ้ายในความละเอียด (เฉพาะไซซีจีเชิงเส้นเท่านั้น) ^{[ 3 ]}

วาไรตี้Vในการฝังเชิงโปรเจกทีฟของมันเป็นปกติเชิงโปร เจกทีฟก็ ต่อเมื่อวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของมันเป็นวงปิดสมบูรณ์เงื่อนไขนี้บ่งชี้ว่าVเป็นวาไรตี้ปกติแต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน: คุณสมบัติของความเป็นปกติเชิงโปรเจกทีฟไม่ได้เป็นอิสระจากการฝังเชิงโปรเจกทีฟ ดังที่แสดงโดยตัวอย่างของเส้นโค้งควอติกเชิงตรรกะในสามมิติ^{[ 4 ]}เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งคือในแง่ของระบบเชิงเส้นของตัวหารบนVที่ถูกตัดออกโดยคู่ของบันเดิลเส้นตรงที่เป็นจริงบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ และ กำลัง d ของมัน สำหรับd = 1, 2, 3, ...  ; เมื่อVไม่เอกฐาน มันจะเป็นปกติเชิงโปรเจกที ฟก็ต่อเมื่อระบบเชิงเส้นดังกล่าวแต่ละระบบเป็นระบบเชิงเส้นที่สมบูรณ์^{[ 5 ]} อีกทางเลือกหนึ่งคือสามารถคิดถึงคู่ของมัดเส้นตรงที่เป็นจริงว่าเป็นชีฟบิด Serre O (1) บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ และใช้มันเพื่อบิดชีฟโครงสร้างO จำนวนครั้งใดๆ เช่นkครั้ง เพื่อให้ได้ชีฟO ( k ) จากนั้นVเรียกว่าk-ปกติถ้าส่วนทั่วโลกของO ( k ) แมปแบบทั่วถึงไปยังส่วน ของ O ( k ) สำหรับ kที่กำหนดและถ้าVเป็น 1-ปกติ มันจะเรียกว่าปกติเชิงเส้น วาไรตี้ที่ไม่เอกฐานเป็นปกติเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเป็นk-ปกติสำหรับk ≥ 1 ทั้งหมด ความเป็นปกติเชิงเส้นอาจแสดงออกมาในเชิงเรขาคณิตได้เช่นกัน: Vในฐานะวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟไม่สามารถได้มาจากการฉายเชิงเส้นแบบไอโซมอร์ ฟิก จากปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มีมิติสูงกว่า ยกเว้นในวิธีที่ไม่สำคัญของการอยู่ในปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เหมาะสม ความเป็นปกติเชิงโปรเจกทีฟอาจแปลได้ในทำนองเดียวกัน โดยใช้การแมป Veronese เพียงพอ ที่จะลดให้เหลือเงื่อนไขของความเป็นปกติเชิงเส้น

เมื่อพิจารณาประเด็นนี้จากมุมมองของบันเดิลเส้นที่กว้างขวางมากซึ่งก่อให้เกิดการฝังเชิงโปรเจกทีฟของVบันเดิลเส้นดังกล่าว ( ชีฟผกผันได้ ) จะกล่าวได้ว่าถูกขึ้นตามปกติหากVที่ฝังอยู่เป็นปกติเชิงโปรเจกทีฟ ความเป็นปกติเชิงโปรเจกทีฟเป็นเงื่อนไขแรกN₀ของลำดับเงื่อนไขที่กำหนดโดย Green และ Lazarsfeld สำหรับเรื่องนี้

${\displaystyle \bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})}$

ถือว่าเป็นโมดูลแบบไล่ระดับเหนือวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ของพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ และการแก้ปัญหาอิสระขั้นต่ำที่นำมาใช้ เงื่อนไขN ใช้กับ จำนวนเบตติแบบไล่ระดับpตัวแรก โดยกำหนดให้เป็นศูนย์เมื่อ j > i + 1 ^{[ 6 ]}สำหรับเส้นโค้ง กรีนแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขN เป็นไปตามเงื่อนไขเมื่อ deg( L ) ≥ 2 g + 1 + pซึ่งสำหรับp = 0 เป็นผลลัพธ์คลาสสิกของGuido Castelnuovo ^{[ 7 ]}

• ความหลากหลายเชิงฉายภาพ
• พหุนามฮิลเบิร์ต