ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เวกเตอร์เทียม (หรือเวกเตอร์แกน ) ^{[ 2 ]}คือปริมาณที่แปลงสภาพเหมือนเวกเตอร์ภายใต้การแปลงแบบแข็ง ต่อเนื่อง เช่นการหมุนหรือการเลื่อนแต่จะไม่แปลงสภาพเหมือนเวกเตอร์ภายใต้ การแปลงแบบแข็ง ที่ไม่ต่อเนื่อง บางอย่าง เช่นการสะท้อนตัวอย่างเช่นความเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนเป็นเวกเตอร์เทียม เพราะเมื่อวัตถุสะท้อนในกระจก ภาพสะท้อนจะหมุนในลักษณะที่ความเร็วเชิงมุมของภาพสะท้อนไม่ใช่ภาพสะท้อนของความเร็วเชิงมุมของ วัตถุ เดิมสำหรับเวกเตอร์จริง (หรือที่เรียกว่าเวกเตอร์เชิงขั้ว ) เวกเตอร์สะท้อนและเวกเตอร์เดิมจะต้องเป็นภาพสะท้อนกัน^{[ 3 ]}

ตัวอย่างหนึ่งของเวกเตอร์เทียมคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่มี ทิศทาง ระนาบที่มี ทิศทางสามารถกำหนดได้ด้วยเวกเตอร์สองตัวที่ไม่ขนานกัน คือa และ b [ ^{4 ] ซึ่ง}ครอบคลุมระนาบ เวกเตอร์a × bเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ (มีเวกเตอร์ตั้งฉากสองตัว ตัวหนึ่งอยู่แต่ละด้าน – กฎมือขวาจะกำหนดว่าตัวไหน) และเป็นเวกเตอร์เทียม สิ่งนี้มีผลในด้านกราฟิกคอมพิวเตอร์ ซึ่งต้องนำมาพิจารณาเมื่อแปลงเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวในสามมิติ เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ เชิง ขั้วที่จุดหนึ่งและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์เชิงขั้วสองตัวเป็นเวกเตอร์เทียม^{[ 5 ]}

ปริมาณทางกายภาพเวกเตอร์จำนวนหนึ่งมีพฤติกรรมเหมือนเวกเตอร์เทียม (pseudovectors) มากกว่าเวกเตอร์เชิงขั้ว (polar vectors) เช่นสนามแม่เหล็กและแรงบิดในทางคณิตศาสตร์ ในสามมิติ เวกเตอร์เทียมเทียบเท่ากับไบเวกเตอร์ (bivectors)ซึ่งสามารถอนุมานกฎการแปลงของเวกเตอร์เทียมได้จากไบเวกเตอร์ โดยทั่วไปแล้ว ในพีชคณิตภายนอกและพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ใน มิติn เวก เตอร์เทียมคือองค์ประกอบของพีชคณิตที่มีมิติn − 1เขียนแทนด้วย ⋀ ^{n −1} R ⁿคำว่า "เทียม-" สามารถขยายความทั่วไปได้อีกเป็นสเกลาร์เทียม (pseudoscalars)และเทนเซอร์เทียม (pseudotensors ) ซึ่งทั้งสองอย่างจะมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเพิ่มขึ้นภายใต้การหมุนที่ไม่เหมาะสม เมื่อเทียบกับ สเกลาร์หรือ เท นเซอร์ ที่แท้จริง

^{ตัวอย่าง ทาง}กายภาพของเวกเตอร์เทียม ได้แก่ความเร็วเชิงมุม [ ^{4 ]}ความเร่งเชิงมุมโมเมนตัมเชิงมุม^{[ 4} ] แรงบิด [ ^{4 ] สนาม}แม่เหล็ก[ ^{4 ] และ}โมเมนต์^ได โพ ล แม่เหล็ก

ลองพิจารณา เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม เสมือนL = Σ( r × p )ขณะขับรถและมองไปข้างหน้า ล้อแต่ละล้อจะมีเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมชี้ไปทางซ้าย (ตามกฎมือขวา ) ถ้าโลกสะท้อนอยู่ในกระจกที่สลับด้านซ้ายและด้านขวาของรถ "ภาพสะท้อน" ของ "เวกเตอร์" โมเมนตัมเชิงมุมนี้ (เมื่อมองว่าเป็นเวกเตอร์ธรรมดา) จะชี้ไปทางขวา แต่ เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ที่แท้จริงของล้อ (ซึ่งยังคงหมุนไปข้างหน้าในภาพสะท้อน) ยังคงชี้ไปทางซ้าย (ตามกฎมือขวา ) ซึ่งสอดคล้องกับการเปลี่ยนเครื่องหมายเพิ่มเติมในภาพสะท้อนของเวกเตอร์เสมือน

ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์เชิงขั้วและเวกเตอร์เทียมมีความสำคัญในการทำความเข้าใจผลกระทบของสมมาตรต่อคำตอบของระบบทางฟิสิกส์ลองพิจารณาวงจรไฟฟ้าใน ระนาบ z = 0ที่สร้างสนามแม่เหล็กภายในวงจรซึ่งมีทิศทางอยู่ใน แนวแกน zระบบนี้มีสมมาตร (ไม่เปลี่ยนแปลง) ภายใต้การสะท้อนแบบกระจกผ่านระนาบนี้ โดยที่สนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการสะท้อน แต่การสะท้อนสนามแม่เหล็กในรูปเวกเตอร์ผ่านระนาบนั้นคาดว่าจะทำให้ทิศทางของสนามแม่เหล็กเปลี่ยนไป ความคาดหวังนี้ได้รับการแก้ไขโดยการตระหนักว่าสนามแม่เหล็กเป็นเวกเตอร์เทียม โดยการพลิกเครื่องหมายเพิ่มเติมทำให้สนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลง

ในวิชาฟิสิกส์ เวกเตอร์เทียมโดยทั่วไปเป็นผลมาจากการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์เชิงขั้วสองตัว หรือการหาค่าเคิร์ลของสนามเวกเตอร์เชิงขั้ว ผลคูณเชิงเวกเตอร์และค่าเคิร์ลนั้นถูกกำหนดโดยธรรมเนียมตามกฎมือขวา แต่ก็สามารถกำหนดได้โดยใช้กฎมือซ้ายได้เช่นกัน ฟิสิกส์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เทียม (มือขวา) และกฎมือขวา สามารถแทนที่ได้ด้วยการใช้เวกเตอร์เทียม (มือซ้าย) และกฎมือซ้ายโดยไม่มีปัญหาใดๆ เวกเตอร์เทียม (มือซ้าย) ที่กำหนดขึ้นในลักษณะนี้จะมีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์เทียมที่กำหนดโดยกฎมือขวา

แม้ว่าความสัมพันธ์ของเวกเตอร์ในฟิสิกส์สามารถแสดงได้โดยไม่ขึ้นกับพิกัด แต่ระบบพิกัดนั้นจำเป็นสำหรับการแสดงเวกเตอร์และพсевдоเวกเตอร์ในรูปตัวเลข เวกเตอร์จะถูกแทนด้วยชุดตัวเลขสามตัวเรียงลำดับ เช่นและพсевдоเวกเตอร์ก็ถูกแทนด้วยรูปแบบนี้เช่นกัน เมื่อแปลงระหว่างระบบพิกัดมือซ้ายและมือขวา การแสดงพсевдоเวกเตอร์จะไม่แปลงเหมือนเวกเตอร์ และการแทนพсевдоเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์จะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนไปอย่างไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงต้องระมัดระวังในการแยกแยะว่าชุดตัวเลขสามตัวใดแทนเวกเตอร์ และชุดใดแทนพсевдоเวกเตอร์ ปัญหานี้จะไม่เกิดขึ้นหากแทนที่ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวด้วยผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งจะได้ไบเวกเตอร์ซึ่งเป็นเทนเซอร์อันดับ 2 และแสดงด้วยเมทริกซ์ 3×3 การแสดงเทนเซอร์ 2 มิตินี้จะแปลงได้อย่างถูกต้องระหว่างระบบพิกัดสองระบบใดๆ โดยไม่ขึ้นอยู่กับมือซ้ายหรือมือขวา ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

นิยามของ "เวกเตอร์" ในทางฟิสิกส์ (รวมทั้งเวกเตอร์เชิงขั้วและเวกเตอร์เสมือน) นั้นมีความเฉพาะเจาะจงมากกว่านิยามทางคณิตศาสตร์ของ "เวกเตอร์" (กล่าวคือ องค์ประกอบใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ นามธรรม ) ตามนิยามทางฟิสิกส์ "เวกเตอร์" จำเป็นต้องมีส่วนประกอบที่ "เปลี่ยนแปลง" ในลักษณะใดลักษณะหนึ่งภายใต้การหมุนที่เหมาะสมกล่าวคือ หากทุกสิ่งในจักรวาลหมุน เวกเตอร์ก็จะหมุนในลักษณะเดียวกัน (ระบบพิกัดคงที่ในการอธิบายนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือมุมมองของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริง ) ในทางคณิตศาสตร์ หากทุกสิ่งในจักรวาลหมุนตามที่อธิบายโดยเมทริกซ์การหมุนRโดยที่เวกเตอร์การกระจัดxเปลี่ยนแปลงเป็นx ′ = R xแล้ว "เวกเตอร์" v ใดๆ ก็ต้องเปลี่ยนแปลงในทำนองเดียวกันเป็นv ′ = R vด้วย ข้อกำหนดที่สำคัญนี้เองที่เป็นสิ่งที่ทำให้เวกเตอร์ (ซึ่งอาจประกอบด้วยส่วนประกอบของความเร็ว ในแกน x , yและz เป็นต้น ) แตกต่างจากกลุ่มสามองค์ประกอบทางกายภาพอื่นๆ (ตัวอย่างเช่น ความยาว ความกว้าง และความสูงของกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่สามารถถือว่าเป็นส่วนประกอบทั้งสามของเวกเตอร์ได้ เนื่องจากเมื่อหมุนกล่องแล้ว ส่วนประกอบทั้งสามนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงไปอย่างเหมาะสม)

(ในภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ข้อกำหนดนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้เวกเตอร์เป็นเทนเซอร์ที่มี อันดับ คอนทราเว เรียนต์ เท่ากับหนึ่ง ในกรอบทั่วไปนี้ เทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าสามารถมีอันดับโคเวเรียนต์และคอนทราเวเรียนต์ผสมกันได้หลายอันดับในเวลาเดียวกัน โดยใช้ดัชนีที่ยกขึ้นและลดลงตามแบบแผนการรวมผลของไอน์สไตน์ )

ตัวอย่างพื้นฐานและค่อนข้างเป็นรูปธรรมคือเวกเตอร์แถวและคอลัมน์ภายใต้ตัวดำเนินการคูณเมทริกซ์ตามปกติ: ในลำดับหนึ่งจะได้ผลคูณดอท ซึ่งเป็นเพียงสเกลาร์และเป็นเทนเซอร์อันดับศูนย์ ในขณะที่ในอีกลำดับหนึ่งจะได้ผลคูณไดอะดิก ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่แสดงถึง เทนเซอร์ผสมอันดับสองโดยมีดัชนีคอนทราแวเรียนต์หนึ่งตัวและดัชนีโคแวเรียนต์หนึ่งตัว ด้วยเหตุนี้ คุณสมบัติการไม่สลับที่ของพีชคณิตเมทริกซ์มาตรฐานจึงสามารถใช้เพื่อติดตามความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ได้ อันที่จริงนี่คือวิธีการบันทึกข้อมูลก่อนที่จะมีการใช้สัญกรณ์เทนเซอร์ที่เป็นทางการและทั่วไปมากขึ้น มันยังคงปรากฏให้เห็นในวิธีการแสดงเวกเตอร์พื้นฐานของปริภูมิเทนเซอร์ทั่วไปสำหรับการใช้งานจริง

การอภิปรายที่ผ่านมาเกี่ยวข้องกับการหมุนที่เหมาะสมเท่านั้น กล่าวคือ การหมุนรอบแกน อย่างไรก็ตาม เรายังสามารถพิจารณาการหมุนที่ไม่เหมาะสมได้ด้วย กล่าวคือ การสะท้อนแบบกระจกเงาที่อาจตามด้วยการหมุนที่เหมาะสม (ตัวอย่างหนึ่งของการหมุนที่ไม่เหมาะสมคือการผกผันผ่านจุดในปริภูมิ 3 มิติ) สมมติว่าทุกสิ่งในจักรวาลมีการหมุนที่ไม่เหมาะสมซึ่งอธิบายโดยเมทริกซ์การหมุนที่ไม่เหมาะสมRดังนั้นเวกเตอร์ตำแหน่งxจึงถูกแปลงเป็นx ′ = R xถ้าเวกเตอร์vเป็นเวกเตอร์เชิงขั้ว มันจะถูกแปลงเป็นv ′ = R v ถ้าเป็นเวก เตอร์ เทียม มันจะถูกแปลงเป็นv ′ = − R v

กฎการแปลงสำหรับเวกเตอร์เชิงขั้วและเวกเตอร์เสมือนสามารถระบุได้อย่างกระชับดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(เวกเตอร์ขั้วโลก)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}}$

โดยที่สัญลักษณ์ต่างๆ เป็นไปตามที่อธิบายไว้ข้างต้น และเมทริกซ์การหมุนR อาจเป็น เมทริก ซ์การหมุน แบบเหมาะสมหรือไม่เหมาะสมก็ได้ สัญลักษณ์ det หมายถึง ดี เทอร์มิแนนต์ สูตรนี้ใช้ได้ผลเพราะดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การหมุนแบบเหมาะสมและไม่เหมาะสมคือ +1 และ −1 ตามลำดับ

สมมติว่าv ₁และv ₂เป็นเวกเตอร์เทียมที่ทราบค่า และv ₃ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสอง คือv ₃ = v ₁ + v ₂ถ้าเอกภพถูกแปลงโดยเมทริกซ์การหมุนRแล้วv ₃จะถูกแปลงเป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}}$

ดังนั้นv ₃ก็เป็นเวกเตอร์เทียมเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่า ผลต่างระหว่างเวกเตอร์เทียมสองตัวก็เป็นเวกเตอร์เทียม ผลรวมหรือผลต่างของเวกเตอร์เชิงขั้วสองตัวก็เป็นเวกเตอร์เชิงขั้ว การคูณเวกเตอร์เชิงขั้วด้วยจำนวนจริง ใดๆ ก็ จะได้เวกเตอร์เชิงขั้วอีกตัวหนึ่ง และการคูณเวกเตอร์เทียมด้วยจำนวนจริงใดๆ ก็จะได้เวกเตอร์เทียมอีกตัวหนึ่ง

ในทางกลับกัน สมมติว่าv ₁เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเวกเตอร์เชิงขั้วv ₂เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเวกเตอร์เทียม และv ₃ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของทั้งสองv ₃ = v ₁ + v ₂ถ้าเอกภพถูกแปลงโดยเมทริกซ์การหมุนที่ไม่เหมาะสมRแล้วv ₃จะถูกแปลงเป็น

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} )}$

ดังนั้นv ₃จึงไม่ใช่ทั้งเวกเตอร์เชิงขั้วหรือเวกเตอร์เทียม (ถึงแม้ว่าตามนิยามทางฟิสิกส์แล้วมันยังคงเป็นเวกเตอร์อยู่ก็ตาม) สำหรับการหมุนที่ไม่เหมาะสม โดยทั่วไปแล้วv ₃จะไม่คงขนาดเดิมไว้ด้วยซ้ำ:

${\displaystyle |\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ แต่ }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$.

หากขนาดของ_v³ อธิบายถึงปริมาณทางกายภาพที่วัดได้ นั่นหมายความว่ากฎของฟิสิกส์จะไม่ปรากฏเหมือนเดิมหากมองจักรวาลผ่านกระจก อันที่จริง นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน : การสลายตัวของกัมมันตรังสีบางชนิดปฏิบัติต่อ "ซ้าย" และ "ขวา" แตกต่างกัน ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่สามารถสืบย้อนไปถึงการรวมกันของเวกเตอร์เชิงขั้วกับเวกเตอร์เสมือนในทฤษฎีพื้นฐาน (ดูการละเมิดสมมาตรพาริตี )

สำหรับเมทริกซ์การหมุนRไม่ว่าจะเป็นแบบเหมาะสมหรือไม่เหมาะสม สมการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้จะเป็นจริงเสมอ:

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$,

โดยที่v ₁และv ₂เป็นเวกเตอร์สามมิติใดๆ (สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้ทั้งโดยการใช้เหตุผลทางเรขาคณิตหรือการคำนวณทางพีชคณิต) ในทำนองเดียวกัน ถ้าvเป็นสนามเวกเตอร์ใดๆ สมการต่อไปนี้จะเป็นจริงเสมอ:

${\displaystyle \nabla \times (R\mathbf {v} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v} ))}$

โดยที่∇ ×หมายถึง การดำเนินการ curlจากแคลคูลัสเวกเตอร์

สมมติว่าv ₁และv ₂เป็นเวกเตอร์เชิงขั้วที่ทราบค่า และv ₃ถูกกำหนดให้เป็นผลคูณเชิงเวกเตอร์ของทั้งสองv ₃ = v ₁ × v ₂ถ้าเอกภพถูกแปลงโดยเมทริกซ์การหมุนRแล้วv ₃จะถูกแปลงเป็น

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

ดังนั้นv ₃จึงเป็นเวกเตอร์เทียม ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่า ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์เทียมสองตัวเป็นเวกเตอร์เทียม และผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์เชิงขั้วกับเวกเตอร์เทียมก็เป็นเวกเตอร์เชิงขั้วเช่นกัน สรุปได้ว่า:

• เวกเตอร์เชิงขั้ว × เวกเตอร์เชิงขั้ว = เวกเตอร์เสมือน
• เวกเตอร์เทียม × เวกเตอร์เทียม = เวกเตอร์เทียม
• เวกเตอร์เชิงขั้ว × เวกเตอร์เสมือน = เวกเตอร์เชิงขั้ว
• เวกเตอร์เทียม × เวกเตอร์เชิงขั้ว = เวกเตอร์เชิงขั้ว

นี่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับการบวกโมดูลัส 2 โดยที่ "polar" สอดคล้องกับ 1 และ "pseudo" สอดคล้องกับ 0

ในทำนอง เดียวกันถ้าv ₁เป็นเวกเตอร์เชิงขั้วที่ทราบค่าใดๆ และv ₂ถูกกำหนดให้เป็น curl ของมันv ₂ = ∇ × v ₁แล้ว ถ้าเอกภพถูกแปลงโดยเมทริกซ์การหมุนR v ₂จะถูกแปลงเป็น

${\displaystyle \mathbf {v_{2}} '=\nabla \times \mathbf {v_{1}} '=\nabla \times (R\mathbf {v_{1}} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v_{1}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{2}} ).}$

ดังนั้นv ₂จึงเป็นสนามเวกเตอร์เทียม ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่าเคิร์ลของสนามเวกเตอร์เทียมเป็นสนามเวกเตอร์เชิงขั้ว สรุปได้ว่า:

• ∇ × สนามเวกเตอร์เชิงขั้ว = สนามเวกเตอร์เทียม
• ∇ × สนามเวกเตอร์เทียม = สนามเวกเตอร์เชิงขั้ว

นี่ก็คล้ายกับกฎข้างต้นสำหรับผลคูณไขว้ หากเราตีความตัวดำเนินการเดล ∇ ว่าเป็นเวกเตอร์เชิงขั้ว

จากนิยาม จะเห็นได้ชัดว่า การกระจัดเชิงเส้นเป็นเวกเตอร์เชิงขั้ว ความเร็วเชิงเส้นคือการกระจัดเชิงเส้น (เวกเตอร์เชิงขั้ว) หารด้วยเวลา (ปริมาณสเกลาร์) ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เชิงขั้วเช่นกัน โมเมนตัมเชิงเส้นคือความเร็วเชิงเส้น (เวกเตอร์เชิงขั้ว) คูณด้วยมวล (ปริมาณสเกลาร์) ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เชิงขั้ว โมเมนตัมเชิงมุม (ในวัตถุจุด) คือผลคูณเชิงเวกเตอร์ของการกระจัดเชิงเส้น (เวกเตอร์เชิงขั้ว) และโมเมนตัมเชิงเส้น (เวกเตอร์เชิงขั้ว) ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เทียม แรงบิดคือโมเมนตัมเชิงมุม (เวกเตอร์เทียม) หารด้วยเวลา (ปริมาณสเกลาร์) ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เทียมเช่นกัน ความเร็วเชิงมุม (ในวัตถุหรือของเหลวที่หมุน) คือครึ่งหนึ่งของเคิร์ลของความเร็วเชิงเส้น (สนามเวกเตอร์เชิงขั้ว) ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เทียม ด้วยวิธีนี้ จึงสามารถจำแนกเวกเตอร์ทั่วไปในฟิสิกส์ว่าเป็นเวกเตอร์เทียมหรือเวกเตอร์เชิงขั้วได้อย่างง่ายดาย (ในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน มีเวกเตอร์ที่ละเมิดสมมาตรพาริตี ซึ่งไม่ใช่ทั้งเวกเตอร์เชิงขั้วหรือเวกเตอร์เทียม อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์เหล่านี้เกิดขึ้นได้น้อยมากในทางฟิสิกส์)

ข้างต้นได้มีการกล่าวถึงเวกเตอร์เทียมโดยใช้การแปลงแบบแอ คทีฟ แนวทางอื่นที่คล้ายกับการแปลงแบบพาสซีฟ มากกว่า คือการรักษาเอกภพให้คงที่ แต่เปลี่ยน " กฎมือขวา " เป็น "กฎมือซ้าย" ทุกที่ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ รวมถึงในคำจำกัดความของผลคูณไขว้และเคิร์ลเวกเตอร์เชิงขั้วใดๆ (เช่น เวกเตอร์การแปล) จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เวกเตอร์เทียม (เช่น สนามแม่เหล็ก ณ จุดหนึ่ง) จะเปลี่ยนเครื่องหมาย อย่างไรก็ตาม จะไม่มีผลกระทบทางกายภาพใดๆ นอกเหนือจาก ปรากฏการณ์ ที่ละเมิดสมมาตรพาริตีเช่นการสลายตัวของกัมมันตรังสี บางชนิด ^{[ 6 ]}

วิธีหนึ่งในการกำหนดเวกเตอร์เทียมอย่างเป็นทางการมีดังนี้: ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์nมิติเวกเตอร์เทียมของVคือองค์ประกอบของกำลังภายนอก ลำดับที่ ( n  − 1) ของV : ⋀ ^{n −} 1 ⁽ V )เวกเตอร์เทียมของV ก่อให้ เกิด ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเท่ากับV

นิยามนี้ไม่เทียบเท่ากับนิยามที่ต้องมีการพลิกเครื่องหมายภายใต้การหมุนที่ไม่เหมาะสม แต่เป็นนิยามทั่วไปสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อnเป็นจำนวนคู่ เวกเตอร์เทียมดังกล่าวจะไม่เกิดการพลิกเครื่องหมาย และเมื่อลักษณะเฉพาะของฟิลด์ พื้นฐาน ของVคือ 2 การพลิกเครื่องหมายจะไม่มีผลใดๆ มิฉะนั้น นิยามจะเทียบเท่ากัน แม้ว่าควรระลึกไว้ว่าหากไม่มีโครงสร้างเพิ่มเติม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบปริมาตรหรือการวางแนว ) จะไม่มีการระบุ ⋀ ^{n −1} ( V ) กับV อย่างเป็น ธรรมชาติ

อีกวิธีหนึ่งในการทำให้เป็นทางการคือการพิจารณาพวกมันเป็นองค์ประกอบของปริภูมิการแสดงแทนสำหรับเวกเตอร์แปลงรูปในการแสดงแทนพื้นฐานของด้วยข้อมูลที่กำหนดโดยดังนั้นสำหรับเมทริกซ์ใด ๆในจะมี เวก เตอร์เทียมแปลงรูปในการแสดงแทนพื้นฐานเทียมด้วยอีกวิธีหนึ่งในการมองโฮโมมอร์ฟิซึมนี้สำหรับจำนวนคี่คือในกรณีนี้ดังนั้น จึงเป็นผลคูณโดยตรงของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม มันคือผลคูณโดยตรงของโฮโมมอร์ฟิซึมพื้นฐานบนกับโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่สำคัญบน ${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle \rho _{\text{fund}}(R)=R}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตองค์ประกอบพื้นฐานคือเวกเตอร์ และเวกเตอร์เหล่านี้ถูกนำมาใช้สร้างลำดับชั้นขององค์ประกอบโดยใช้คำนิยามของผลคูณในพีชคณิตนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตนี้สร้างเวกเตอร์เทียมจากเวกเตอร์

การคูณพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตคือผลคูณเชิงเรขาคณิตซึ่งเขียนแทนด้วยการวางเวกเตอร์สองตัวไว้ข้างๆ กัน เช่นabผลคูณนี้แสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

โดยที่พจน์นำหน้าคือผลคูณดอท เวกเตอร์ตามปกติ และพจน์ที่สองเรียกว่าผลคูณเวดจ์หรือผลคูณภายนอกโดยใช้หลักการพื้นฐานของพีชคณิต เราสามารถประเมินค่าผลคูณดอทและเวดจ์ทุกรูปแบบได้ มีการให้คำศัพท์เพื่ออธิบายรูปแบบต่างๆ เหล่านั้น ตัวอย่างเช่นมัลติเวกเตอร์คือผลรวมของ ผลคูณเวดจ์ kเท่าของค่าk ต่างๆ ผลคูณเวดจ์ kเท่าเรียกอีกอย่างว่าk-เบลด

ในบริบทปัจจุบันเวกเตอร์เทียมเป็นหนึ่งในชุดค่าผสมเหล่านี้ คำนี้เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับมิติของปริภูมิ (นั่นคือ จำนวน เวกเตอร์ ที่เป็นอิสระเชิงเส้นในปริภูมิ) ในสามมิติ ไบเวกเตอร์ 2 ใบมีดหรือไบเวกเตอร์ ทั่วไปที่สุด สามารถแสดงได้เป็นผลคูณเวดจ์ของเวกเตอร์สองตัวและเป็นเวกเตอร์เทียม^{[ 7 ]}อย่างไรก็ตาม ในสี่มิติ เวกเตอร์เทียมคือไตรเวกเตอร์ [ ^{8 ] โดย}ทั่วไปแล้ว มันคือ ใบมีด ( n − 1)โดยที่nคือมิติของปริภูมิและพีชคณิต^{[ 9 ]}ปริภูมิnมิติมี เวกเตอร์ฐาน nตัวและ เวกเตอร์เทียมฐาน nตัว เวกเตอร์เทียมฐานแต่ละตัวถูกสร้างขึ้นจากผลคูณภายนอก (เวดจ์) ของเวกเตอร์ฐาน ทั้งหมด ยกเว้นหนึ่งตัวจาก n ตัว ตัวอย่างเช่น ในสี่มิติที่เวกเตอร์ฐานถูกกำหนดให้เป็น { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ } เวกเตอร์เทียมสามารถเขียนได้ดังนี้: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }

คุณสมบัติการแปลงของเวกเตอร์เทียมในสามมิติได้รับการเปรียบเทียบกับคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์โดย Baylis ^{[ 10 ]}เขากล่าวว่า: "คำว่าเวกเตอร์แกนและเวกเตอร์เทียมมักถูกมองว่าเป็นคำพ้องความหมาย แต่การแยกแยะเวกเตอร์คู่จากเวกเตอร์คู่ของมันนั้นมีประโยชน์มาก" เพื่อถอดความคำพูดของ Baylis: เมื่อกำหนดเวกเตอร์ขั้วสองตัว (นั่นคือเวกเตอร์จริง) aและbในสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ที่ประกอบขึ้นจากaและbคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบของพวกมัน โดยกำหนดเป็นc = a × b เมื่อกำหนดเซตของ เวกเตอร์ฐาน ตั้งฉากแบบมือขวา{ e _ℓ }ผลคูณเวกเตอร์จะแสดงในรูปของส่วนประกอบดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

โดยที่ตัวยกจะระบุส่วนประกอบของเวกเตอร์ ในทางกลับกัน ระนาบของเวกเตอร์ทั้งสองแสดงด้วยผลคูณภายนอกหรือผลคูณลิ่ม ซึ่งแสดงด้วยa ∧ bในบริบทของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนี้ไบเวกเตอร์ นี้ เรียกว่าเวกเตอร์เทียม และเป็นคู่ฮอดจ์ของผลคูณไขว้^{[ 11 ]}คู่ตรงข้ามของe ₁ถูกนำเสนอเป็นe ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃และอื่นๆ นั่นคือ คู่ตรงข้ามของe ₁คือปริภูมิย่อยที่ตั้งฉากกับe ₁กล่าวคือ ปริภูมิย่อยที่เกิดจากe ₂และe ₃ด้วยความเข้าใจนี้^{[ 12 ]}

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

สำหรับรายละเอียด โปรดดูที่ตัวดำเนินการดาวของ Hodge § สามมิติผลคูณไขว้และผลคูณลิ่มมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,}$

โดยที่i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃เรียกว่าหน่วยสเกลาร์เทียม [ ^{13 ] [ 14 ] มี}คุณสมบัติดังนี้: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\ .}$

จากการใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น จะเห็นได้ว่า ถ้าเวกเตอร์aและbถูกกลับด้านโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบในขณะที่เวกเตอร์ฐานคงที่ ทั้งเวกเตอร์เทียมและผลคูณไขว้จะไม่เปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน ถ้าส่วนประกอบคงที่และเวกเตอร์ฐานe _ℓ ถูกกลับด้าน เวกเตอร์เทียมจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ผลคูณไขว้จะเปลี่ยนเครื่องหมาย พฤติกรรมนี้ของผลคูณไขว้สอดคล้องกับนิยามของมันในฐานะองค์ประกอบคล้ายเวกเตอร์ที่เปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้การแปลงจากระบบพิกัดมือขวาเป็นระบบพิกัดมือซ้าย ซึ่งแตกต่างจากเวกเตอร์เชิงขั้ว

นอกจากนี้ อาจสังเกตได้ว่าไม่ใช่ผู้เขียนทุกคนในสาขาพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ใช้คำว่าเวกเตอร์เทียม และผู้เขียนบางคนใช้ศัพท์เฉพาะที่ไม่แยกความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์เทียมกับผลคูณไขว้^{[ 16 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากผลคูณไขว้ไม่สามารถขยายไปสู่มิติอื่นนอกจากสามมิติได้^{[ 17 ]} แนวคิดของเวกเตอร์เทียมที่อิงตามผลคูณไขว้จึงไม่สามารถขยายไปสู่ปริภูมิที่มีจำนวนมิติอื่นได้ เวกเตอร์เทียมในฐานะ ใบมีด ( n – 1)ใน ปริภูมิ nมิติไม่ได้ถูกจำกัดในลักษณะนี้

ข้อสังเกตที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือ แม้ว่าชื่อจะเป็น "เวกเตอร์เทียม" แต่แท้จริงแล้วมันคือ "เวกเตอร์" ในแง่ของการเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์แนวคิดที่ว่า "เวกเตอร์เทียมแตกต่างจากเวกเตอร์" นั้นเป็นจริงก็ต่อเมื่อใช้คำจำกัดความของคำว่า "เวกเตอร์" ที่แตกต่างและเฉพาะเจาะจงมากขึ้นตามที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น

• พีชคณิตภายนอก
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ด
• แอนติเวกเตอร์คือ การขยายความของซูโดเวกเตอร์ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
• ความสามารถในการกำหนดทิศทาง — การอภิปรายเกี่ยวกับพื้นที่ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้
• ความหนาแน่นเทนเซอร์