ค่าคงที่ฟิโบนาชชีผกผันψคือผลรวมของค่าผกผันของจำนวนฟิโบนาชชี :

$${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$$

เนื่องจากอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันมีแนวโน้มเข้าใกล้ส่วนกลับของอัตราส่วนทองคำซึ่งน้อยกว่า 1 การทดสอบอัตราส่วนจึงแสดงให้เห็นว่าผลรวมลู่เข้า

ค่าของψมีค่าประมาณ

$${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots }$$( ลำดับA079586ในOEIS )

ด้วย พจน์ kอนุกรมจะให้ความแม่นยำO( k ) หลัก บิลล์ กอสเปอร์ได้พัฒนาอนุกรมเร่งความเร็วซึ่งให้ ความแม่นยำ O( k² )หลัก^{[ 1 ]} ψเป็นจำนวนอตรรกยะดังที่พอล เออร์โดสโรนัลด์ เกรแฮมและเลียวนาร์ด คาร์ลิต ซ์ ได้ ตั้งข้อสันนิษฐานไว้^และริชาร์ด อองเดร-ฌานนินได้พิสูจน์ในปี 1989 ^{[ 2 ]}

การแสดงผล แบบเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายคือ:

$${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,}$$( ลำดับA079587ในOEIS )

ในทำนองเดียวกันกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ให้กำหนดฟังก์ชันซีตาของฟิโบนาชชีดังนี้ $${\displaystyle \zeta _{F}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(F_{n})^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }$$สำหรับจำนวนเชิงซ้อนsที่มีRe( s ) > 0และการขยายเชิงวิเคราะห์ในที่อื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันที่กำหนดจะเท่ากับψเมื่อs = 1 ^{[ 3 ]}

ผลการศึกษาแสดงให้เห็นว่า:

• ค่าของζ (2 s )เป็นค่าอดิศัยสำหรับจำนวนเต็มบวกs ใด ^ๆซึ่งคล้ายกับกรณีของค่าคงที่ซีตาของรีมันน์ดัชนี คู่ ζ (2 s ) [ ^{3 ] [ 4 ]}
• ค่าคงที่ζ (2) , ζ (4)และζ (6)มีความเป็นอิสระทางพีชคณิต^{[ 3 ] [ 4 ]}
• ยกเว้นζ (1)ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ คุณสมบัติทางทฤษฎีจำนวนของζ (2 s + 1) (เมื่อใดก็ตามที่ s เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ) ส่วนใหญ่ยังไม่เป็นที่รู้จัก^{[ 3 ]}

• รายการผลรวมของส่วนกลับ
• รายการค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ค่าคงที่ฟิโบนาชชีผกผัน" . MathWorld .

บทความเกี่ยวกับตัวเลข นี้ ยังไม่สมบูรณ์คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มข้อมูลที่ขาดหายไป

• วี
• ที
• อี