จำนวนเต็มคือจำนวนศูนย์ ( 0 ) จำนวนธรรมชาติ บวก (1, 2, 3, ...) หรือค่าลบของจำนวนธรรมชาติบวก ( −1 , −2, −3, ...) [ ^{1 ] ค่า}ลบหรือตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติบวกเรียกว่าจำนวนเต็มลบ [ ^{2 ] เซต}ของจำนวนเต็มทั้งหมดมักจะแสดงด้วยตัว อักษร Zตัวหนาหรือ ตัวหนา แบบกระดานดำ${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

เซตของจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {N} }$เป็นเซตย่อยของ​${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่ง ในทาง กลับกันก็เป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {Q} }$ซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$[ a ^{] เช่นเดียว กับ เซตของ จำนวน}ธรรมชาติ เซตของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠เป็นอนันต์ที่นับได้ จำนวนเต็มอาจถือได้ว่าเป็นจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้โดยไม่มี ส่วนที่เป็นเศษส่วนตัวอย่างเช่น 21, 4, 0 และ −2048 เป็นจำนวนเต็ม ในขณะที่ 9.75, ⁠ 5 + 1 / 2 ⁠ , 5/4 และรากที่สองของ 2ไม่ใช่จำนวนเต็ม ^{[ 7 ]}

จำนวนเต็มเป็นกลุ่ม ที่เล็กที่สุด และวงแหวน ที่เล็กที่สุด ที่ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตบางครั้งจำนวนเต็มจะถูกเรียกว่าจำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจาก จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตทั่วไป ที่จริงแล้ว จำนวนเต็ม (ตรรกยะ) คือจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่เป็นจำนวนตรรกยะด้วย

คำว่าจำนวนเต็มมาจากภาษาละตินintegerซึ่งหมายถึง "ทั้งหมด" หรือ (ตามตัวอักษร) "ไม่ถูกแตะต้อง" มาจากin ("ไม่") บวกกับtangere ("แตะต้อง") คำว่า " ทั้งหมด"มาจากรากศัพท์เดียวกันผ่านคำภาษาฝรั่งเศสentierซึ่งหมายถึงทั้งทั้งหมดและจำนวนเต็ม^{[ 8 ]}ในอดีต คำนี้ใช้สำหรับจำนวนที่เป็นพหุคูณของ 1 ^{[ 9 ] [ 10 ]}หรือเป็นส่วนทั้งหมดของจำนวนคละ [ ^{11 ] [ 12 ] มี}เพียงจำนวนเต็มบวกเท่านั้นที่ถูกนำมาพิจารณา ทำให้คำนี้มีความหมายเหมือนกับจำนวนธรรมชาตินิยามของจำนวนเต็มขยายออกไปตามกาลเวลาเพื่อรวมจำนวนลบด้วยเนื่องจากมีการตระหนักถึงประโยชน์ของมัน^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในหนังสือ Elements of Algebra ปี 1765 ของเขา ได้นิยามจำนวนเต็มให้รวมทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ^{[ 14 ]}

วลี " เซตของจำนวนเต็ม"ไม่ได้ถูกใช้มาก่อนปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อGeorg Cantorได้นำเสนอแนวคิดของเซตอนันต์และทฤษฎีเซตการใช้ตัวอักษร Z เพื่อแทนเซตของจำนวนเต็มมาจากคำภาษาเยอรมันZahlen ("ตัวเลข") ^{[ 3 ] [ 4 ]}และได้รับการกล่าวอ้างว่าเป็นผลงานของDavid Hilbert [ ^{15 ] การ}ใช้สัญลักษณ์นี้ในตำราเรียนที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบเกิดขึ้นในAlgèbreซึ่งเขียนโดยกลุ่มNicolas Bourbakiในปี 1947 ^{[ 3 ] [ 16 ]}สัญลักษณ์นี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้ทันที ตัวอย่างเช่น ตำราเรียนอีกเล่มหนึ่งใช้ตัวอักษร J ^{[ 17 ]}และบทความในปี 1960 ใช้ Z เพื่อแทนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ^{[ 18 ]}แต่ในปี 1961 Z ถูกใช้โดยทั่วไปในตำราพีชคณิตสมัยใหม่เพื่อแทนจำนวนเต็มบวกและลบ^{[ 19 ]}

สัญลักษณ์​${\displaystyle \mathbb {Z} }$มักมีการใส่คำอธิบาย ประกอบเพื่อระบุชุดข้อมูลต่างๆ โดยมีการใช้งานที่แตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียน :${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$, ⁠​${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$หรือ​​${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$สำหรับจำนวนเต็มบวก${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$หรือ​​${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ ผู้เขียนบางคนใช้${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$บางคนใช้กับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่บางคนใช้กับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ หรือใช้กับ {−1,1} (กลุ่มของหน่วยของ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$นอกจากนี้⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ใช้เพื่อแสดงถึงเซตของจำนวนเต็มมอดูล p (เช่น เซตของชั้นความสอดคล้องของจำนวนเต็ม) หรือเซตของจำนวนเต็มp - adic ^{[ 20 ] [ 21 ]}

จำนวนเต็มมีความหมายเหมือนกับจำนวนเต็มบวกจนกระทั่งช่วงต้นทศวรรษ 1950 ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของขบวนการคณิตศาสตร์ใหม่^{[ 25 ]}ครูโรงเรียนประถมของอเมริกาเริ่มสอนว่าจำนวนเต็มหมายถึงจำนวนธรรมชาติไม่รวมจำนวนลบ ในขณะที่จำนวนเต็มบวกรวมถึงจำนวนลบด้วย^{[ 26 ] [ 27 ]}จำนวนเต็ม ยังคงคลุมเครือ มาจนถึงปัจจุบัน^{[ 28 ]}

เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เซตนี้มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการบวกและการคูณ กล่าวคือ ผลบวกและผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ ก็ได้เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อรวมจำนวนธรรมชาติที่เป็นลบ (และที่สำคัญคือ 0 ) เข้าไปด้วยแล้ว ...${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งแตกต่างจากจำนวนธรรมชาติ ยังปิดภายใต้การลบ อีก ด้วย ^{[ 29 ]}

จำนวนเต็มก่อตัวเป็นวงแหวนซึ่งเป็นวงแหวนพื้นฐานที่สุดในความหมายต่อไปนี้: สำหรับวงแหวนใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว จากจำนวนเต็มไปยังวงแหวนนี้คุณสมบัติสากล นี้ กล่าวคือ การเป็นวัตถุเริ่มต้นในหมวดหมู่ของวงแหวน บ่งบอกลักษณะ ของวงแหวน ${\displaystyle \mathbb {Z} }$โฮโม มอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อ หนึ่งก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของริงเป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้น ริงทุกวงที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์จึงมีซับริงที่สม isomorphicกับ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งเป็นวงแหวนย่อยที่เล็กที่สุดของมัน

⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$จำนวนเต็มไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการหารเนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอไป แม้ว่าจำนวนธรรมชาติจะเป็นไปตามคุณสมบัติการยกกำลังแต่จำนวนเต็มไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการยกกำลัง (เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นเศษส่วนเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบ)

ตารางต่อไปนี้แสดงคุณสมบัติพื้นฐานบางประการของการบวกและการคูณสำหรับจำนวนเต็มใดๆa , bและc :

คุณสมบัติห้าประการแรกที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับการบวกนั้นกล่าวว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ภายใต้การบวก กลุ่ม เป็นกลุ่มอาเบเลียนและยังเป็นกลุ่มวัฏจักร ด้วย เนื่องจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมจำกัด 1 + 1 + ... + 1หรือ (−1) + (−1) + ... + (−1)อันที่จริงแล้ว ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ภายใต้การบวก เป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์เพียงกลุ่มเดียว —ในความหมายที่ว่ากลุ่มวัฏจักรอนันต์ใดๆ ก็ตามจะสมสัณฐานกับ${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ .

คุณสมบัติสี่ประการแรกที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับการคูณนั้นกล่าวว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ภายใต้การคูณ นั้นเป็นโมโนอิดแบบสลับที่ได้อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกจำนวนเต็มจะมีตัวผกผันการคูณ (เช่นเดียวกับเลข 2) ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \mathbb {Z} }$ภายใต้การคูณนั้นไม่ใช่กลุ่ม

กฎทั้งหมดจากตารางคุณสมบัติข้างต้น (ยกเว้นข้อสุดท้าย) เมื่อนำมารวมกันแล้ว กล่าวว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เมื่อรวมกับการบวกและการคูณแล้ว จะได้วงแหวนสลับที่ที่มีเอกลักษณ์มันเป็นต้นแบบของวัตถุทั้งหมดที่มีโครงสร้างพีชคณิต แบบนั้น มีเพียงความเท่าเทียมกันของนิพจน์ เหล่านั้นเท่านั้น ที่เป็นจริงใน ${\displaystyle \mathbb {Z} }$สำหรับ ค่าตัวแปรทั้งหมด ที่เป็นจริงในริงสลับที่ที่มีเอกลักษณ์ใดๆ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์บางจำนวนจะถูกแปลงเป็น ศูนย์ในริงบางประเภท

การที่ไม่มีตัวหารศูนย์ในจำนวนเต็ม (คุณสมบัติสุดท้ายในตาราง) หมายความว่าวงแหวนสลับที่⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นโดเมนเชิงปริพันธ์

การขาดตัวผกผันการคูณ ซึ่งเทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ไม่ได้ถูกปิดภายใต้การแบ่งส่วน หมายความว่า${\displaystyle \mathbb {Z} }$ไม่ใช่ฟิลด์ฟิลด์ที่เล็กที่สุดที่มีจำนวนเต็มเป็นซับริงคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะกระบวนการสร้างจำนวนตรรกยะจากจำนวนเต็มสามารถเลียนแบบเพื่อสร้างฟิลด์ของเศษส่วน ในโดเมนจำนวนเต็มใดๆ ได้และย้อนกลับมา โดยเริ่มจากฟิลด์จำนวนพีชคณิต (ส่วนขยายของจำนวนตรรกยะ)สามารถแยกริงของจำนวนเต็ม ออกมาได้ ซึ่งรวม ถึง${\displaystyle \mathbb {Z} }$ใน ฐานะวงแหวนย่อยของมัน

แม้ว่าการหารธรรมดาจะไม่ได้กำหนดไว้ใน⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$การ หาร "แบบมีเศษเหลือ" ถูกกำหนดขึ้นบนจำนวนเหล่านี้ เรียกว่าการหารแบบยุคลิดและมีคุณสมบัติสำคัญดังต่อไปนี้: กำหนดให้จำนวนเต็มสองจำนวน aและ bโดยที่ b ≠ 0จะมีจำนวนเต็ม qและ r ที่ไม่ซ้ำกันเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ที่ทำให้ a = q × b + rและ 0 ≤ r < | b |โดยที่ | b |หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของ bจำนวนเต็ม qเรียกว่าผลหารและ rเรียกว่าเศษเหลือของการหาร aด้วย b ขั้นตอน วิธีแบบยุคลิดสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมมากทำงานโดยใช้ลำดับของการหารแบบยุคลิด

ข้อความข้างต้นระบุว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นโดเมนแบบยุคลิดซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นโดเมนอุดมคติหลักและจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ในลักษณะที่ไม่ซ้ำกันโดยพื้นฐาน^{[ 30 ]}นี่คือทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต

⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์โดยไม่มีขอบเขตบนหรือล่างลำดับของ${\displaystyle \mathbb {Z} }$กำหนดโดย:

${\displaystyle \cdots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\cdots .}$

จำนวนเต็มจะเป็นบวกก็ต่อเมื่อมีค่ามากกว่าศูนย์และเป็นลบก็ต่อเมื่อมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ส่วนศูนย์นั้นนิยามว่าไม่ใช่ทั้งลบและบวก

ลำดับของจำนวนเต็มนั้นสอดคล้องกับการดำเนินการทางพีชคณิตในลักษณะดังต่อไปนี้:

1. ถ้าa < bและc < dแล้วa + c < b + d
2. ถ้าa < bและ0 < cแล้วac < bc

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เมื่อจัดเรียงตามลำดับข้างต้น จะได้แหวนที่มีการจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบ

จำนวนเต็มเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่มีลำดับสมบูรณ์ที่ ไม่ธรรมดาเพียงกลุ่มเดียว ที่มีองค์ประกอบบวกที่มีลำดับที่ดี [ ^{31 ] ซึ่ง}เทียบเท่ากับข้อความที่ว่าวงแหวนการประเมินค่าโนเธอร์เรียน ใด ๆ จะเป็นฟิลด์หรือ วงแหวนการ ประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง

จำนวนเต็มมักเป็นชนิดข้อมูล พื้นฐาน ในภาษาคอมพิวเตอร์อย่างไรก็ตาม ชนิดข้อมูลจำนวนเต็มสามารถแสดงได้เพียงส่วนย่อยของจำนวนเต็มทั้งหมดเท่านั้น เนื่องจากคอมพิวเตอร์ในทางปฏิบัติมีขีดจำกัดความสามารถ นอกจากนี้ ใน การแสดงค่า แบบสองส่วนเติมเต็ม (two's complement ) ทั่วไป นิยามของเครื่องหมายจะแยกความแตกต่างระหว่าง "ลบ" และ "ไม่เป็นลบ" มากกว่า "ลบ บวก และ 0" (อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้แน่นอนที่คอมพิวเตอร์จะตรวจสอบว่าค่าจำนวนเต็มนั้นเป็นบวกจริงหรือไม่) ชนิดข้อมูลประมาณค่าจำนวนเต็มที่มีความยาวคงที่ (หรือส่วนย่อย) จะใช้สัญลักษณ์intหรือ Integer ในภาษาโปรแกรมหลายภาษา (เช่นAlgol68 , C , Java , Delphiเป็นต้น)

หน่วยข้อมูลที่มีความยาวแปรผันได้สำหรับจำนวนเต็ม เช่นบิ๊กนัม (bignums ) สามารถจัดเก็บจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ที่พอดีกับหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ ส่วนหน่วยข้อมูลจำนวนเต็มอื่นๆ นั้นมีขนาดคงที่ โดยปกติจะเป็นจำนวนบิตที่เป็นกำลังของ 2 (เช่น 4, 8, 16 เป็นต้น) หรือจำนวนหลักทศนิยมที่จำได้ง่าย (เช่น 9 หรือ 10)

เซตของจำนวนเต็มเป็นเซตที่นับได้อนันต์หมายความว่าสามารถจับคู่จำนวนเต็มแต่ละจำนวนกับจำนวนธรรมชาติได้เพียงจำนวนเดียว ตัวอย่างของการจับคู่ดังกล่าวคือ

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 − k , 2 k − 1), ( k , 2 k ), . . .

ในเชิงเทคนิคแล้วจำนวนสมาชิกของ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$กล่าวกันว่าเท่ากับ ℵ ( aleph-null ) การจับคู่ระหว่างองค์ประกอบของ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$และ​​${\displaystyle \mathbb {N} }$เรียกว่า การจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection )

• การแยกตัวประกอบแบบแคนอนิกของจำนวนเต็มบวก
• จำนวนเต็มเชิงซ้อน
• ไฮเปอร์อินทีเจอร์
• ความซับซ้อนของจำนวนเต็ม
• แลตทิซจำนวนเต็ม
• ส่วนจำนวนเต็ม
• ลำดับจำนวนเต็ม
• ฟังก์ชันค่าจำนวนเต็ม
• สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• ความเท่าเทียมกัน (คณิตศาสตร์)
• จำนวนเต็มจำกัด

ค้นหาคำว่า "จำนวนเต็ม"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• "จำนวนเต็ม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• จำนวนเต็มบวก – ตารางตัวหารและเครื่องมือแสดงตัวเลข
• สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) (ดูที่OEIS)
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "จำนวนเต็ม" . แมทเวิลด์ .

บทความนี้มีการนำเนื้อหาจาก Integer บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License