สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นและเพดานได้^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

ในภาษาของทฤษฎีลำดับฟังก์ชันพื้น (floor function) คือการแมปตกค้าง (residuated mapping ) ซึ่งก็คือส่วนหนึ่งของการเชื่อมต่อกาโลอิส (Galois connection ) กล่าวคือ มันคือตัวผกผันบน (upper adjoint) ของฟังก์ชันที่ฝังจำนวนเต็มลงในจำนวนจริง

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ ถ้าและเฉพาะเมื่อ }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเพิ่มจำนวนเต็มnเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ส่งผลต่อฟังก์ชันอย่างไร:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

ข้อความข้างต้นจะไม่เป็นจริงเลยหากnไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม สำหรับทุกค่า xและyอสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

ทั้งฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานต่างก็เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงแบบโมโนโทนิก :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

จากคำจำกัดความนั้นเห็นได้ชัดว่า

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$ โดยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อxเป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ถ้า }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ถ้า }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

ในความเป็นจริง สำหรับจำนวนเต็มnฟังก์ชันปัดเศษลงและฟังก์ชันปัดเศษขึ้นต่างก็เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

การปฏิเสธข้อโต้แย้งจะสลับพื้นและเพดาน และเปลี่ยนป้าย:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

และ:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{ถ้า }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{ถ้า }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{ถ้า }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{ถ้า }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

การปฏิเสธข้อโต้แย้งเป็นการเสริมส่วนที่เป็นเศษส่วน:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{ถ้า }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{ถ้า }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

ฟังก์ชันพื้น เพดาน และส่วนเศษส่วนเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ (idempotent ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

ผลลัพธ์ของการซ้อนฟังก์ชันพื้นหรือฟังก์ชันเพดานคือฟังก์ชันที่อยู่ด้านในสุด:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

เนื่องจากคุณสมบัติเอกลักษณ์ของจำนวนเต็ม

ถ้าmและnเป็นจำนวนเต็ม และn ≠ 0

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

ถ้าnเป็นบวก^{[ 12 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

ถ้าmเป็นบวก^{[ 13 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

สำหรับm = 2 สิ่งเหล่านี้หมายความว่า

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

โดยทั่วไป^{[ 14 ]}สำหรับm ที่เป็นบวก (ดูเอกลักษณ์ของ Hermite )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

สามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ในการแปลงพื้นเป็นเพดานและในทางกลับกัน (โดยที่mเป็นค่าบวก) ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

สำหรับจำนวนเต็มบวก mและn ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด ทั้งหมด: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

ซึ่งสำหรับmและn ที่เป็นจำนวนบวกและ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะลดรูปเป็น

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

และในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันส่วนเพดานและส่วนเศษส่วน (ยังคงสำหรับmและn ที่เป็นบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ )

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

เนื่องจากด้านขวามือของกรณีทั่วไปมีความสมมาตรในmและnดังนั้นจึงหมายความว่า

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าmและnเป็นค่าบวก

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

บางครั้งเรียกว่ากฎการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกัน^{[ 17 ]}

การหารด้วยจำนวนเต็มบวกก่อให้เกิดคุณสมบัติที่น่าสนใจและบางครั้งก็มีประโยชน์ สมมติว่า${\displaystyle m,n>0}$,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

อย่างแท้จริง,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

โดยคำนึงถึงว่า${\textstyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor .}$ ความเท่าเทียมกันข้อที่สองที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเพดานสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

สำหรับdที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีxมากกว่าdแล้ว^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left\{{\frac {x}{d}}\right\}={\frac {\{x\}+r}{d}}{\text{ และ }}\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor ={\frac {\lfloor {x}\rfloor -r}{d}},}$

ที่ไหน$0 ≤ r ≤ d-1$คือเศษเหลือจากการหาร${\textstyle \lfloor {x}\rfloor }$โดยd

สำหรับจำนวนเต็มบวกnและจำนวนจริงmและx ใดๆ : ^{[ 19 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor }{n}}\right\rfloor &=\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor \\[4px]\left\lceil {\frac {\left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil }{n}}\right\rceil &=\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องแต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง : ฟังก์ชันเหล่านั้น${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$,${\displaystyle \lceil x\rceil }$, และ${\displaystyle \{x\}}$มีจุดไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$เป็นช่วงกึ่งต่อเนื่องด้านบนและ${\displaystyle \lceil x\rceil }$และ${\displaystyle \{x\}}$เป็นค่ากึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า

เนื่องจากฟังก์ชันที่กล่าวถึงในบทความนี้ไม่มีฟังก์ชันต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่มี การขยาย อนุกรมกำลังเนื่องจากพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ จึงไม่มี การขยาย อนุกรมฟูริเยร์ที่ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ฟังก์ชันส่วนเศษส่วนมีการขยายอนุกรมฟูริเยร์^{[ 20 ]}$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ สำหรับxที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูริเยร์จะลู่เข้าสู่ค่าที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและขวา ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันพื้น เพดาน และส่วนเศษส่วน: สำหรับyที่คงที่และxที่เป็นพหุคูณของyอนุกรมฟูริเยร์ที่กำหนดจะลู่เข้าสู่y /2 แทนที่จะเป็นx  mod y = 0 ณ จุดต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าสู่ค่าที่แท้จริง   

โดยใช้สูตร${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$ให้ $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ สำหรับxที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

สำหรับจำนวนเต็มxและจำนวนเต็มบวกyการดำเนินการโมดูลัสซึ่งเขียนแทนด้วยx mod yจะให้ค่าของเศษเหลือเมื่อxหารด้วยyนิยามนี้สามารถขยายไปยังจำนวนจริงxและyโดย ที่ y ≠ 0 ได้โดยใช้สูตร

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

จากนิยามของฟังก์ชันพื้น จึงสรุปได้ว่าการดำเนินการที่ขยายออกไปนี้มีคุณสมบัติตามธรรมชาติหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งx mod yจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 และy เสมอ นั่นคือ

ถ้าyเป็นค่าบวก

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

และถ้าyเป็นค่าลบ

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

การพิสูจน์ ความสัมพันธ์กำลังสองครั้งที่สามของเกาส์ตามที่ไอเซนสไตน์แก้ไข มีขั้นตอนพื้นฐานสองขั้นตอน^{[ 21 ] [ 22 ]}

ให้pและqเป็นจำนวนเฉพาะคี่บวกที่แตกต่างกัน และให้${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

ขั้นแรกใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ เพื่อแสดงว่า สัญลักษณ์เลอจองเดอร์กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

ขั้นตอนที่สองคือการใช้ เหตุผล ทางเรขาคณิตเพื่อแสดงว่า

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

เมื่อรวมสูตรเหล่านี้เข้าด้วยกันจะได้ความสัมพันธ์แบบผกผันกำลังสองในรูปแบบ

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

มีสูตรที่ใช้พื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนน้อย mod จำนวนเฉพาะคี่p : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

สำหรับจำนวนจริงใดๆ${\displaystyle x}$การปัดเศษ${\displaystyle x}$ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด โดยหากค่า เท่า กัน ให้พิจารณาค่าอนันต์บวกเป็นเกณฑ์ตัดสิน

${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil$ ;}

การปัดเศษเข้าหาค่าลบอนันต์จะได้ดังนี้

${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor .}$

ถ้าค่าตัดสินกรณีเสมอกันไม่เท่ากับ 0 ฟังก์ชันการปัดเศษจะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$

(ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {sgn} }$คือฟังก์ชันเครื่องหมาย ) และการปัดเศษเข้าหาเลขคู่สามารถแสดงได้ด้วยวิธีที่ยุ่งยากกว่า

${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rfloor -1,}$

ซึ่งก็คือสูตรข้างต้นสำหรับการปัดเศษเข้าหาค่าอนันต์บวก${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ลบด้วยตัวบ่งชี้ความสมบูรณ์ สำหรับ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$.

การปัดเศษจำนวนจริง${\displaystyle x}$การประมาณค่าเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดนั้นก่อให้เกิด ควอนไทเซอร์ประเภทพื้นฐานมากนั่นคือ ควอนไทเซอร์ แบบสม่ำเสมอ ควอนไทเซอร์แบบสม่ำเสมอ ทั่วไป ( แบบกลาง ) ที่มีขนาดขั้นตอน การควอนไทซ์ เท่ากับค่าบางค่า${\displaystyle \Delta }$สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

จำนวนหลักของฐานbของจำนวนเต็มบวกkคือ

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

จำนวนสตริง ที่เป็นไปได้ ที่มีความยาวตามอำเภอใจซึ่งไม่ใช้อักขระซ้ำกันจะได้รับจาก^{[ 24 ]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

ที่ไหน:

• n > 0 คือจำนวนตัวอักษรในอักษรภาษาอังกฤษ (เช่น 26 ตัวในภาษาอังกฤษ )
• แฟกทอเรียล ที่ลดลง${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$หมายถึงจำนวนสตริงที่มีความยาวkซึ่งไม่ใช้ตัวอักษรใดซ้ำกัน
• n ! หมายถึงแฟกทอเรียลของ n
• e = 2.718... คือเลขของออยเลอร์

สำหรับn = 26 จะได้ผลลัพธ์เป็น 1096259850353149530222034277

ให้nเป็นจำนวนเต็มบวกและp เป็น จำนวนเฉพาะบวกเลขชี้กำลังของกำลังสูงสุดของpที่หารn ! ลงตัวจะได้รับจากสูตรของLegendre เวอร์ชัน หนึ่ง ^{[ 25 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

ที่ไหน${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$เป็นวิธีการเขียนnในฐานpนี่คือผลรวมจำกัด เนื่องจากค่าพื้นเป็นศูนย์เมื่อp ^k > n

ลำดับBeatty แสดงให้เห็นว่า จำนวนอตรรกยะบวกทุก จำนวน ก่อให้เกิดการแบ่งจำนวนธรรมชาติออกเป็นสองลำดับโดยใช้ฟังก์ชันพื้น^{[ 26 ]}

มีสูตรสำหรับค่าคงที่ของออยเลอร์ γ = 0.57721 56649 ... ที่เกี่ยวข้องกับพื้นและเพดาน เช่น^{[ 27 ]}

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

และ

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

ฟังก์ชันส่วนเศษส่วนยังปรากฏในการแสดงอินทิกรัลของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ด้วย พิสูจน์ได้ง่าย (โดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน ) ^{[ 28 ]}ว่าถ้า${\displaystyle \varphi (x)}$คือฟังก์ชันใดๆ ที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่องในช่วงปิด [ a , b ]

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

ให้เช่า${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$สำหรับส่วนจริงของsที่มากกว่า 1 และให้aและbเป็นจำนวนเต็ม และให้bเข้าใกล้ค่าอนันต์ จะได้

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

สูตรนี้ใช้ได้กับs ทั้งหมด ที่มีส่วนจริงมากกว่า− 1 (ยกเว้นs = 1 ซึ่งมีขั้ว) และเมื่อรวมกับการขยายฟูริเยร์สำหรับ { x } สามารถใช้เพื่อขยายฟังก์ชันซีตาไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดและพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชันได้^{[ 29 ]}

สำหรับs = σ + itในแถบวิกฤต 0 < σ < 1

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

ในปี พ.ศ. 2490 แวน เดอร์ โพลใช้การแสดงแทนนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์อนาล็อกสำหรับค้นหารากของฟังก์ชันซีตา^{[ 30 ]}

ฟังก์ชันพื้น (floor function) ปรากฏในสูตรหลายสูตรที่ใช้อธิบายจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor ={\begin{cases}1&{\text{if }}m{\text{ divides }}n\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ดังนั้น จำนวนเต็มบวกnจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดสูตรสำหรับการสร้างจำนวนเฉพาะได้ ตัวอย่างเช่น ให้p เป็น จำนวนเฉพาะลำดับที่ nและสำหรับจำนวนเต็มr  >  1 ใดๆ ให้กำหนดจำนวนจริงαโดยผลรวม

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

จากนั้น^{[ 32 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันคือ มีค่าθ = 1.3064... ( ค่าคงที่ของมิลส์ ) ที่มีคุณสมบัติว่า

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 33 ]}

นอกจากนี้ยังมีจำนวนω = 1.9287800... ที่มีคุณสมบัติว่า

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 33 ]}

ให้π ( x ) เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับxเป็นการอนุมานโดยตรงจากทฤษฎีบทของวิลสันว่า^{[ 34 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

นอกจากนี้ ถ้าn ≥ 2 ^{[ 35 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\displaystyle \sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

สูตรใดๆ ในส่วนนี้ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Ramanujanได้ส่งปัญหาเหล่านี้ไปยังวารสารของสมาคมคณิตศาสตร์อินเดีย^{[ 38 ]}

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

มีการพิสูจน์การสรุปทั่วไปบางประการเกี่ยวกับเอกลักษณ์ฟังก์ชันพื้นข้างต้นแล้ว^{[ 39 ]}

การศึกษาปัญหาของวาริงนำไปสู่ปัญหาที่ยังหาคำตอบไม่ได้:

มีจำนวนเต็มบวกk ≥ 6 ใดบ้างที่^{[ 40 ]}

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\$ ?}

มาห์เลอร์ ได้พิสูจน์แล้วว่าจะมี kดังกล่าวได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นไม่มีใครรู้จัก k ดังกล่าว ^{[ 41 ]}