การแสดงผลด้วยข้อความใดๆ ย่อมมีจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ทศนิยมแบบพิเศษเพื่อแสดงทศนิยมซ้ำ ด้านล่างนี้คือข้อกำหนดในการใช้สัญลักษณ์หลายแบบ แต่ไม่มีแบบใดที่ได้รับการยอมรับอย่างเป็นสากล

• เส้นเชื่อม:ในสหรัฐอเมริกาแคนาดาอินเดียฝรั่งเศสเยอรมนีเดนมาร์กเนเธอร์แลนด์อิตาลีสวิตเซอร์แลนด์สาธารณรัฐเช็กสโลวาเกียสโล^วีเนียชิลีไต้หวันและตุรกีธรรมเนียมปฏิบัติคือการลากเส้นแนวนอน (เส้นเชื่อม) เหนือส่วนที่ซ้ำกัน [ ^{4 ]}
• จุด: ในบางประเทศอิสลาม เช่น บังกลาเทศ มาเลเซีย โมร็อกโก ปากีสถาน ตูนิเซียอิหร่านแอลจีเรียและอียิปต์รวมถึงสหราชอาณาจักรนิวซีแลนด์ออสเตรเลียแอฟริกาใต้ญี่ปุ่นไทยอินเดียเกาหลีใต้สิงคโปร์และสาธารณรัฐประชาชนจีนมีธรรมเนียมที่จะวางจุดไว้เหนือตัวเลขด้านนอกสุดของตัวเลขที่ซ้ำกัน
• วงเล็บ : ในบางส่วนของยุโรปรวมถึงออสเตรียฟินแลนด์นอร์เวย์โปแลนด์รัสเซียและยูเครนตลอดจนเวียดนามและอิสราเอลมี ธรรมเนียมที่จะ ใส่วงเล็บล้อมรอบตัวเลขที่ซ้ำกัน ซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนกับสัญลักษณ์สำหรับ ความไม่แน่นอน หรือการคูณแบบมาตรฐานได้
• ส่วนโค้ง : ในสเปนและบาง ประเทศ ในละตินอเมริกาเช่นอาร์เจนตินาบราซิลและเม็กซิโกการใช้สัญลักษณ์ส่วนโค้งเหนือส่วนที่ซ้ำกันก็เป็นทางเลือกแทนการใช้เส้นเชื่อมและจุดเช่นกัน
• จุดไข่ปลา : โดยทั่วไปแล้ว ทศนิยมซ้ำมักจะแสดงด้วยจุดไข่ปลา (สามจุด เช่น 0.333...) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเริ่มเรียนการเขียนตัวเลขแบบเดิมในโรงเรียน การเขียนแบบนี้ทำให้เกิดความไม่แน่นอนว่าควรจะซ้ำตัวเลขใดบ้าง และแม้กระทั่งว่ามีการซ้ำเกิดขึ้นจริงหรือไม่ เนื่องจากจุดไข่ปลาเหล่านี้ยังใช้กับจำนวนอตรรกยะ ด้วย เช่นπสามารถแสดงได้เป็น 3.14159...

ในภาษาอังกฤษ มีหลายวิธีในการอ่านทศนิยมซ้ำออกเสียง ตัวอย่างเช่น 1.2 34อาจอ่านว่า "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองเกิดซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองเกิดซ้ำสามสี่" หรือ "หนึ่งจุดสองเข้าสู่อนันต์สามสี่" เช่นเดียวกัน 11. 1886792452830อาจอ่านว่า "สิบเอ็ดจุดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์", "สิบเอ็ดจุดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์", "สิบเอ็ดจุดเกิดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์" หรือ "สิบเอ็ดจุดเข้าสู่อนันต์หนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์"

ในการแปลงจำนวนตรรกยะที่แสดงในรูปเศษส่วนให้เป็นรูปทศนิยม เราสามารถใช้การหารยาวได้ตัวอย่างเช่น พิจารณาจำนวนตรรกยะ5/74 :

 0.0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

เป็นต้น สังเกตว่าในแต่ละขั้นตอนเราจะมีเศษเหลือ เศษเหลือที่แสดงไว้ข้างต้นคือ 56, 42, 50 เมื่อเราได้เศษเหลือเป็น 50 และนำ "0" ลงมา เราจะพบว่าเรากำลังหาร 500 ด้วย 74 ซึ่งเป็นปัญหาเดียวกันกับที่เราเริ่มต้น ดังนั้น ทศนิยมจึงซ้ำกัน: 0.0675 675 675 ....

สำหรับเศษส่วนจำนวนเต็มใดๆ⁠ A / B ⁠เศษเหลือที่ขั้นตอน k สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆkคือA × 10 ^k (modulo B )

สำหรับตัวหารใดๆ จะมีเศษเหลือที่แตกต่างกันได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ในตัวอย่างข้างต้น เศษเหลือที่เป็นไปได้ 74 แบบ ได้แก่ 0,  1,  2,  ...,  73 หากเศษเหลือเป็น 0 ณ จุดใดๆ ในการหาร การขยายจะสิ้นสุดลง ณ จุดนั้น จากนั้นความยาวของส่วนที่ซ้ำกัน หรือที่เรียกว่า "คาบ" จะถูกกำหนดให้เป็น 0

ถ้าเศษเหลือไม่เคยเป็น 0 เลย กระบวนการหารจะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ และในที่สุดก็จะต้องมีเศษเหลือที่เคยเกิดขึ้นมาก่อนเกิดขึ้น ขั้นตอนต่อไปในการหารจะให้ตัวเลขใหม่ในผลหารและเศษเหลือใหม่เหมือนกับครั้งก่อนที่เศษเหลือเหมือนกัน ดังนั้น การหารครั้งต่อไปจะให้ผลลัพธ์ซ้ำเดิม ลำดับของตัวเลขที่ซ้ำกันเรียกว่า "ตัวตั้งซ้ำ" ซึ่งมีความยาวมากกว่า 0 เรียกว่า "คาบ" ^{[ 5 ]}

ในระบบเลขฐาน 10 เศษส่วนจะมีทศนิยมซ้ำก็ต่อเมื่อเมื่อเขียนในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้วตัวส่วนมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แตกต่างจาก 2 และ 5 (ตัวส่วนที่เป็นจำนวนเฉพาะถือว่าเป็นตัวประกอบเฉพาะของตัวมันเอง) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตัวส่วนไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2 ^m 5 ⁿ ได้ โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

จำนวนทศนิยมซ้ำแต่ละจำนวนจะสอดคล้องกับสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และคำตอบเฉพาะของสมการนั้นคือจำนวนตรรกยะ ในตัวอย่างข้างต้นα = 5.8144144144...สอดคล้องกับสมการ

10000 α − 10 α	= 58144.144144... − 58.144144...
9990 α	= 58086
ดังนั้นα	= 58086 / 9990 = 3227 / 555​​​​

กระบวนการในการหาค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มเหล่านี้มีรายละเอียดดังต่อไปนี้

ตัวอย่างของเศษส่วนที่อยู่ในกลุ่มนี้ ได้แก่:

• 1/7 = 0.142857 มีตัวเลขซ้ำ6 ตัว
• 1/17 = 0.0588235294117647 ,ตัวเลขซ้ำ16 ตัว
• 1/19 = 0.052631578947368421 ,ตัวเลขซ้ำ18 ตัว
• 1/23 = 0.0434782608695652173913 ,ตัวเลขซ้ำ 22 ตัว
• 1/29 = 0.0344827586206896551724137931 ,ตัวเลขซ้ำ28 ตัว
• 1/47 = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617 ,ตัวเลขซ้ำ46 ตัว
• 1/59 = 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 ,ตัวเลขซ้ำ 58 ตัว
• 1/61 = 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 ,ตัวเลขซ้ำ 60 ตัว
• 1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 ,ตัวเลขซ้ำ96 ตัว

รายการนี้สามารถขยายต่อไปได้อีกโดยรวมถึงเศษส่วน1/109 , 1/113 , 1/131 , 1/149 , 1/167 , 1/179 , 1/181 , 1/193 , 1/223 , 1/229 เป็นต้น( ลำดับA001913 ใน OEIS )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

ทุก จำนวนทวีคูณ แท้ของจำนวนวัฏจักร (กล่าวคือ จำนวนทวีคูณที่มีจำนวนหลักเท่ากัน) ล้วนเป็นการหมุน:

• 1 / 7 = 1 × 0.142857 = 0.142857
• 2 / 7 = 2 × 0.142857 = 0.285714
• 3 / 7 = 3 × 0.142857 = 0.428571
• 4 / 7 = 4 × 0.142857 = 0.571428
• 5 / 7 = 5 × 0.142857 = 0.714285
• 6 / 7 = 6 × 0.142857 = 0.857142

เหตุผลของพฤติกรรมแบบวัฏจักรนั้นเห็นได้ชัดจากแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์ของการหารยาว1/7 : เศษที่เหลือเรียงตามลำดับคือลำดับวัฏจักร{1, 3, 2, 6, 4, 5}ดูบทความ142,857สำหรับคุณสมบัติเพิ่มเติมของจำนวนวัฏจักรนี้ ด้วย

เศษส่วนที่เป็นวัฏจักรจะมีทศนิยมซ้ำที่มีความยาวเป็นเลขคู่ ซึ่งหารลงตัวเป็นสองลำดับในรูป แบบ ส่วนเติมเต็มเก้าตัวอย่างเช่น1/7 เริ่มต้นด้วย '142' และตามด้วย '857' ในขณะที่6/7 ( โดย การ หมุน) เริ่มต้น ด้วย '857' ตามด้วยส่วนเติมเต็มเก้าของมันคือ '142'

การหมุนเวียนของตัวเลขที่ซ้ำกันในจำนวนวัฏจักรจะเกิดขึ้นในลักษณะที่ตัวเลขที่ซ้ำกันแต่ละตัวถัดไปจะมีค่ามากกว่าตัวก่อนหน้าเสมอ ตัวอย่างเช่น ในลำดับข้างต้น เราจะเห็นว่า 0.142857... < 0.285714... < 0.428571... < 0.571428... < 0.714285... < 0.857142.... สำหรับเศษส่วนวัฏจักรที่มีตัวเลขที่ซ้ำกันยาวๆ วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถคาดเดาผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ตราบใดที่เรารู้ตัวเลขที่ซ้ำกัน

จำนวนเฉพาะแท้คือจำนวนเฉพาะpซึ่งลงท้ายด้วยเลข 1 ในฐาน 10 และส่วนกลับในฐาน 10 ของจำนวนเฉพาะ p นั้นมีตัวซ้ำที่มีความยาวp  − 1 ในจำนวนเฉพาะดังกล่าว เลข 0, 1,..., 9 แต่ละตัว จะ ปรากฏในลำดับซ้ำเป็นจำนวนครั้งเท่ากับเลขอื่นๆ (กล่าวคือp − 1 / 10ครั้ง ) ได้แก่: ^{[ 10 ] : 166}  

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... ( ลำดับA073761ในOEIS )

จำนวนเฉพาะจะเป็นจำนวนเฉพาะแท้ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะสมบูรณ์และสมมูลกับ 1 mod 10 เท่านั้น

ถ้าจำนวนเฉพาะpเป็นทั้งจำนวนเฉพาะที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์และจำนวนเฉพาะที่ปลอดภัยแล้ว1 / pจะสร้างลำดับของตัวเลขสุ่มเทียมp − 1 ตัวจำนวนเฉพาะเหล่านั้นคือ  

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... ( ลำดับA000353ในOEIS )

ส่วนกลับของจำนวนเฉพาะบางจำนวนที่ไม่ก่อให้เกิดจำนวนวัฏจักร ได้แก่:

• 1 / 3 = 0.3ซึ่งมีคาบ (ความยาวของการซ้ำ)เท่ากับ 1
• 1 / 11 = 0.09ซึ่งมีคาบเท่ากับสอง
• 1 / 13 = 0.076923ซึ่งมีคาบเท่ากับหก
• 1 / 31 = 0.032258064516129ซึ่งมีคาบเท่ากับ 15
• 1 / 37 = 0.027ซึ่งมีคาบเท่ากับสาม
• 1 / 41 = 0.02439ซึ่งมีคาบเท่ากับห้า
• 1/43 = 0.023255813953488372093ซึ่งมีคาบเท่ากับ 21
• 1 / 53 = 0.0188679245283ซึ่งมีคาบเท่ากับ 13
• 1 / 67 = 0.014925373134328358208955223880597 ซึ่ง มีคาบเท่ากับ 33
• 1 / 71 = 0.01408450704225352112676058338028169ซึ่งมีคาบเท่ากับ 35
• 1 / 73 = 0.01369863 ซึ่ง มีคาบแปด
• 1/79 = 0.0126582278481ซึ่งมีคาบเท่ากับ13
• 1 / 83 = 0.01204819277108433734939759036144578313253ซึ่งมีคาบเท่ากับ 41
• 1 / 89 = 0.01123595505617977528089887640449438202247191 ซึ่ง มี คาบ เวลา 44

(ลำดับA006559ในOEIS )

เหตุผลก็คือ 3 เป็นตัวหารของ 9, 11 เป็นตัวหารของ 99, 41 เป็นตัวหารของ 99999 เป็นต้น ในการหาคาบของ1 / p เราสามารถตรวจสอบได้ว่าจำนวนเฉพาะp หารจำนวนใดจำนวนหนึ่ง ตั้งแต่ 999 ถึง 999 ลงตัวหรือไม่ โดยที่จำนวนหลักของตัวเลขนั้นหารp − 1 ลงตัว เนื่องจากคาบจะไม่เกินp − 1 เราจึงสามารถหาค่านี้ได้โดยการคำนวณ10p − ¹ − 1 / pตัวอย่างเช่น สำหรับ 11 เราจะได้ 1/ ^p = 10/p    

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

จากนั้นตรวจสอบพบตัวเลขที่ซ้ำกัน 09 และช่วงเวลา 2

ส่วน กลับของ จำนวนเฉพาะเหล่านั้นสามารถเชื่อมโยงกับลำดับทศนิยมซ้ำหลายลำดับได้ ตัวอย่างเช่น ตัวคูณของ 1/13 สามารถแบ่งออกเป็นสองชุด โดยมีส่วนซ้ำที่แตกต่างกัน ชุดแรกคือ:

• 1 / 13 = 0.076923​​
• 10 / 13 = 0.769230​​
• 9 / 13 = 0.692307​​
• 12 / 13 = 0.923076​​
• 3 / 13 = 0.230769​​
• 4 / 13 = 0.307692​​

โดยส่วนที่ซ้ำกันของแต่ละเศษส่วนเป็นการจัดเรียงแบบวนซ้ำของ 076923 ชุดที่สองคือ:

• 2 / 13 = 0.153846​​
• 7 / 13 = 0.538461​​
• 5 / 13 = 0.384615​​
• 11 / 13 = 0.846153​​
• 6 / 13 = 0.461538​​
• 8 / 13 = 0.615384​​

โดยส่วนที่ซ้ำกันของแต่ละเศษส่วนเป็นการจัดเรียงใหม่แบบวนรอบของ 153846

โดยทั่วไป เซตของผลคูณแท้ของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะpประกอบด้วย เซตย่อย nเซต แต่ละเซตย่อยมีความยาวส่วนที่ซ้ำกันkโดยที่nk = p − 1     

สำหรับจำนวนเต็มn ใดๆ ความยาวL ( n ) ของตัวทศนิยมซ้ำของ1 / nจะหาร φ ( n ) ลงตัว โดยที่φ คือฟังก์ชันโทเทียนต์ความยาวจะเท่ากับφ ( n )ก็ต่อเมื่อ 10 เป็นรากปฐมภูมิโมดูลัส n ^{[ 11 ]}

โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง จะได้ว่าL ( p ) = p − 1 ก็ต่อเมื่อpเป็นจำนวนเฉพาะและ 10 เป็นรากปฐมภูมิมอดูล p เท่านั้น ดังนั้น การกระจายทศนิยมของn / pสำหรับn = 1, 2, ..., p − 1 ทั้งหมดจะมีคาบp − 1 และแตกต่างกันเพียงแค่การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรเท่านั้น จำนวนp ดัง กล่าวเรียกว่า จำนวน เฉพาะที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์    

The procedure below can be applied in particular if the repetend has n digits, all of which are 0 except the final one which is 1. For instance for n = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

So this particular repeating decimal corresponds to the fraction ⁠1/10ⁿ − 1⁠, where the denominator is the number written as n 9s. Knowing just that, a general repeating decimal can be expressed as a fraction without having to solve an equation. For example, one could reason:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

or

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

It is possible to get a general formula expressing a repeating decimal with an n-digit period (repetend length), beginning right after the decimal point, as a fraction:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

More explicitly, one gets the following cases:

If the repeating decimal is between 0 and 1, and the repeating block is n digits long, first occurring right after the decimal point, then the fraction (not necessarily reduced) will be the integer number represented by the n-digit block divided by the one represented by n 9s. For example,

• 0.444444... = ⁠4/9⁠ since the repeating block is 4 (a 1-digit block),
• 0.565656... = ⁠56/99⁠ since the repeating block is 56 (a 2-digit block),
• 0.012012... = ⁠12/999⁠ since the repeating block is 012 (a 3-digit block); this further reduces to ⁠4/333⁠.
• 0.999999... = ⁠9/9⁠ = 1, since the repeating block is 9 (also a 1-digit block)

If the repeating decimal is as above, except that there are k (extra) digits 0 between the decimal point and the repeating n-digit block, then one can simply add k digits 0 after the n digits 9 of the denominator (and, as before, the fraction may subsequently be simplified). For example,

• 0.000444... = ⁠4/9000⁠ since the repeating block is 4 and this block is preceded by 3 zeros,
• 0.005656... = 56 / 9900 เนื่องจาก บล็อกที่ซ้ำกันคือ 56และมีเลขศูนย์ 2 ตัวนำหน้า
• 0.00012012... = 12 / 99900 = 1 / 8325 เนื่องจาก บล็อกที่ซ้ำกัน คือ012และมีเลขศูนย์ 2 ตัวนำหน้า

ทศนิยมซ้ำใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้เป็นผลรวมของทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำประเภทใดประเภทหนึ่งในสองประเภทข้างต้น (จริงๆ แล้วประเภทแรกก็เพียงพอแล้ว แต่ทศนิยมรู้จบอาจต้องเป็นจำนวนลบ) ตัวอย่างเช่น

• 1.23444 ... = 1.23 + 0.00444 ... = 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + 4 / 900 = 1111 / 900​​​
  • หรืออีกวิธีหนึ่ง1.23444 ... = 0.79 + 0.44444 ... = 79 / 100 + 4 / 9 = 711 / 900 + 400 / 900 = 1111 / 900
• 0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 ... = 3 / 10 + 789 / 9990 = 2997 / 9990 + 789 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665​​​​​
  • หรืออีกวิธีหนึ่ง 0.3789789... = −0.6 + 0.9789789... = − ⁠ 6 / 10 ⁠ + 978/999 = − ⁠ 5994 / 9990 ⁠ + ⁠ 9780 / 9990 ⁠ = ⁠ 3786 / 9990 ⁠ = ⁠ 631 / 1665 ⁠

วิธีที่เร็วกว่านั้นคือการละเลยจุดทศนิยมไปเลย แล้วเขียนแบบนี้

• 1.23444... = ⁠ 1234 − 123 / 900 ⁠ = ⁠ 1111 / 900 ⁠ (ตัวส่วนมีเลข 9 หนึ่งตัวและเลข 0 สองตัว เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำกันหนึ่งตัว และมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันสองตัวหลังจุดทศนิยม)
• 0.3789789... = 3789 − 3 / 9990 = 3786 / 9990 ( ตัวส่วนมีเลข 9 สามตัวและ เลข 0 หนึ่งตัว เนื่องจาก มีตัวเลขซ้ำกันสามตัว และมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตัวหลังจุดทศนิยม)

ดังนั้น จำนวนทศนิยมซ้ำใดๆ ที่มีคาบnและ มี kหลักหลังจุดทศนิยมที่ไม่ใช่ส่วนที่ซ้ำกัน สามารถเขียนได้เป็นเศษส่วน (ไม่จำเป็นต้องลดรูป) ที่มีตัวส่วนเป็น (10 ⁿ  −  1) 10 ^k

ในทางกลับกัน คาบของทศนิยมซ้ำของเศษส่วนc / dจะเป็น (อย่างมากที่สุด) จำนวน n ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ 10n ⁻ 1 หาร ด้วย dลงตัว  

ตัวอย่าง เช่นเศษส่วน2/7มีค่า d = 7 และค่า k ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ 10k ⁻ 1 หารด้วย 7 ลงตัวคือk = 6 เนื่องจาก 999999 = 7 × 142857 ดังนั้นคาบของเศษส่วน2/7จึงเท่ากับ6    

ในรูปแบบย่อ

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงลักษณะการบีอัดของทางลัดข้างต้น${\displaystyle \mathbf {I} }$แทนตัวเลขส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของเลขทศนิยม (ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม)${\displaystyle \mathbf {A} }$ประกอบขึ้นเป็นลำดับตัวเลขของช่วงก่อนและ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ความยาวของมัน และ${\displaystyle \mathbf {P} }$เป็นสตริงของตัวเลขที่ซ้ำกัน (จุด) ที่มีความยาว${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ซึ่งไม่ใช่ศูนย์

ในเศษส่วนที่สร้างขึ้น ตัวเลขหลักนั้น${\displaystyle 9}$จะมีการทำซ้ำ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ครั้ง และตัวเลข${\displaystyle 0}$จะมีการทำซ้ำ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ครั้ง

โปรดทราบว่าในกรณีที่ไม่มี ส่วน ที่เป็นจำนวนเต็มในทศนิยม${\displaystyle \mathbf {I} }$ตัวเลข นี้จะถูกแทนด้วยเลขศูนย์ ซึ่งอยู่ทางซ้ายของตัวเลขอื่นๆ จึงจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย และสามารถละเว้นได้ในการคำนวณฟังก์ชันก่อกำเนิด

ตัวอย่าง:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

สัญลักษณ์${\displaystyle \emptyset }$ในตัวอย่างข้างต้น หมายถึงการไม่มีตัวเลขของส่วนนั้น${\displaystyle \mathbf {A} }$ในรูปแบบทศนิยม และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$และไม่มีอยู่จริงในเศษส่วนที่สร้างขึ้น

สำหรับจำนวนตรรกยะ0 < ⁠ p / q ⁠ < 1 (และฐานb ∈ N ) จะมีอัลกอริทึมต่อไปนี้ที่สร้างตัวเลขซ้ำพร้อมกับความยาวของตัวเลขซ้ำนั้น:

ฟังก์ชันb_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // จนถึงหลักที่มีค่า b–1 begin s = "" ; // สตริงของตัวเลขpos = 0 ; // ตำแหน่งทั้งหมดอยู่ทางขวาของจุดทศนิยมwhile not defined ( occurs [ p ]) do occurs [ p ] = pos ; // ตำแหน่งของหลักที่มีเศษเหลือ p bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // ดัชนี z ของตัวเลขภายใน: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s . substring ( digits , z , 1 ) ; // เพิ่มอักขระของตัวเลขpos += 1 ; end while L = pos - occurs [ p ] ; // ความยาวของส่วนที่ซ้ำ (ซึ่งน้อยกว่า q) // ทำเครื่องหมายตัวเลขของส่วนที่ซ้ำด้วยเส้นเชื่อม: for i from occurs [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 )) ; end for return ( s ) ; endการทำงาน

บรรทัดแรกที่ไฮไลต์ไว้จะคำนวณ ค่าตัวเลขz

บรรทัดถัดไปจะคำนวณเศษเหลือใหม่p′ของการหารมอดูลัสตัวส่วนqซึ่งเป็นผลมาจากฟังก์ชันพื้นfloorเราจึงได้

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

และ

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

เนื่องจากเศษเหลือ pทั้งหมดเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่าqดังนั้นจึงมีเศษเหลือได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ซึ่งส่งผลให้เศษเหลือเหล่านี้ต้องปรากฏซ้ำในwhileลูป การเกิดซ้ำดังกล่าวถูกตรวจจับโดยอาร์เรย์แบบเชื่อมโยงoccursตัวเลขใหม่zถูกสร้างขึ้นในแถวสีเหลือง โดยที่pเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าคงที่เพียงตัวเดียว ความยาวLของตัวเลขที่ซ้ำกันเท่ากับจำนวนของเศษเหลือ (ดูเพิ่มเติมในหัวข้อจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำ )