ให้fเป็นnewform น้ำหนัก 2 บนΓ ( qN ) –กล่าวคือ ระดับqNโดยที่qไม่หารN – พร้อมด้วย การแสดงแทนแบบ Galois mod p 2 มิติที่ไม่สามารถลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ρ ไม่มีการแตก แขนงที่qถ้าq ≠ pและแบนราบจำกัดที่q = pแล้วจะมี newform น้ำหนัก 2 gระดับN อยู่ เช่นนั้น

${\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าEเป็นเส้นโค้งวงรีเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ด้วยตัวนำqNทฤษฎีบทโมดูลาริตีรับประกันว่ามีนิวฟอร์มน้ำหนัก 2 fระดับqN อยู่จริง โดยที่การแสดงแทนกาโลอิส แบบ mod p 2 มิติ ρ ของf นั้นสมมาตรกับ การแสดงแทนกาโลอิส แบบ mod p 2 มิติρ ของE ในการประยุกต์ ใช้ทฤษฎีบทของริเบต์กับρ นั้น เพียงพอที่จะตรวจสอบความไม่สามารถลดทอนได้และการแตกแขนงของρ โดยใช้ทฤษฎีของเส้นโค้งเทตเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าρ นั้นไม่มีการแตกแขนงที่q ≠ pและแบนราบจำกัดที่q = pถ้าpหารกำลังที่qปรากฏในดิสคริมิแนนต์ขั้นต่ำΔ E นั้นทฤษฎีบทของริเบต์บ่งชี้ว่ามีนิวฟอร์มน้ำหนัก 2 gระดับN อยู่จริง โดยที่ρ ≈ ρ

ทฤษฎีบทของ Ribet กล่าวว่า การเริ่มต้นด้วยเส้นโค้งวงรีEที่มีตัวนำqNไม่ได้เป็นการรับประกันว่าจะมีเส้นโค้งวงรีE ′ที่มีระดับN อยู่ ด้วย โดยที่ρ ≈ ρ รูปแบบใหม่gที่มีระดับNอาจไม่มี สัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ที่เป็นจำนวนตรรกยะ และดังนั้นอาจเกี่ยวข้องกับวาไรตี้อาเบเลียน มิติสูงกว่า ไม่ใช่เส้นโค้งวงรี ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งวงรี 4171a1 ในฐานข้อมูล Cremona ที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}$

ด้วยตัวนำ43 × 97และตัวแยกแยะ43 ⁷ × 97 ³จะไม่ลดระดับ mod 7 ไปสู่เส้นโค้งวงรีของตัวนำ 97 แต่การแสดงแทนกาโลอิส mod p นั้น สมมาตรกับการแสดงแทนกาโลอิส mod pของรูปแบบใหม่ที่ไม่สมเหตุสมผลgที่มีระดับ 97

อย่างไรก็ตาม สำหรับpที่มีขนาดใหญ่พอเมื่อเทียบกับระดับNของรูปแบบใหม่ที่ลดระดับลง รูปแบบใหม่เชิงตรรกะ (เช่น เส้นโค้งวงรี) จะต้องลดระดับลงเป็นรูปแบบใหม่เชิงตรรกะอื่น (เช่น เส้นโค้งวงรี) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับp ≫ N ^{N 1+ ε} การแสดงแทนกาโลอิส mod pของรูปแบบใหม่เชิงตรรกะไม่สามารถเป็นไอโซมอร์ฟิกกับรูปแบบใหม่เชิงอตรรกะของระดับNได้^{[ 2 ]}

ในทำนองเดียวกัน สมมติฐานของ Frey- Mazur ทำนายว่าสำหรับ ค่า pที่มากพอ(ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับตัวนำN ) เส้นโค้งวงรีที่มีการแสดงแทน Galois mod p ที่สมมาตรกันนั้น แท้จริงแล้วเป็นไอโซจีนัสและด้วยเหตุนี้จึงมีตัวนำเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่คาดการณ์ว่าการลดระดับที่ไม่ธรรมดาระหว่างรูปแบบใหม่เชิงตรรกะจะเกิดขึ้นสำหรับค่า p ที่มาก ( p > 17 )

ในวิทยานิพนธ์ของเขาอีฟส์ เฮลเลโกอาร์ชได้ริเริ่มแนวคิดในการเชื่อมโยงคำตอบ ( a , b , c ) ของสมการของแฟร์มาต์กับวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน นั่นคือเส้นโค้งวงรี^{[ 3 ]}ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะคี่ และa , bและcเป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p},}$

ดังนั้นเส้นโค้งเฟรย์ ที่สอดคล้องกัน จึงเป็นเส้นโค้งพีชคณิตที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{p})(x+b^{p}).}$

นี่คือเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่เอกฐานที่มีจีนัสหนึ่งซึ่งกำหนดไว้เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$และการเติมเต็มเชิงโปรเจคทีฟของมันคือเส้นโค้งวงรีเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

ในปี 1982 Gerhard Freyได้ดึงความสนใจไปที่คุณสมบัติที่ผิดปกติของเส้นโค้งเดียวกัน ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเส้นโค้ง Frey [ ^{4 ] สิ่ง}นี้ได้สร้างสะพานเชื่อมระหว่างFermatและTaniyamaโดยแสดงให้เห็นว่าตัวอย่างค้านสำหรับ FLT จะสร้างเส้นโค้งที่ไม่เป็นโมดูลาร์ ข้อสันนิษฐานนี้ดึงดูดความสนใจอย่างมากเมื่อ Frey เสนอว่าข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura บ่งชี้ถึง FLT อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งของเขายังไม่สมบูรณ์^{[ 5 ]}ในปี 1985 Jean-Pierre Serreเสนอว่าเส้นโค้ง Frey ไม่สามารถเป็นโมดูลาร์ได้ และได้ให้การพิสูจน์บางส่วน^{[ 6 ] [ 7 ]}สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์กรณีแบบกึ่งเสถียรของข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimura จะบ่งชี้ถึง FLT Serre ไม่ได้ให้การพิสูจน์ที่สมบูรณ์ และส่วนที่ขาดหายไปกลายเป็นที่รู้จักในชื่อข้อสันนิษฐานเอปซิลอนหรือข้อสันนิษฐาน ε ในช่วงฤดูร้อนปี 1986 เคนเนธ อลัน ริเบตได้พิสูจน์สมมติฐานเอปซิลอน ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทโมดูลาริตีบ่งชี้ถึง FLT ^{[ 8 ]}

ที่มาของชื่อนี้มาจากส่วน ε ของ "ข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระ + ε ⇒ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"

สมมติว่าสมการของแฟร์มาต์ที่มีเลขชี้กำลังp ≥ 5 ^{[ 8 ]}มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์a , b , cเส้นโค้งเฟรย์ที่สอดคล้องกันE เป็นเส้นโค้งวงรีที่มีดิสคริมิแนนต์ขั้นต่ำΔเท่ากับ2 ⁻⁸ ( abc ) ^{2 p}และตัวนำNคือรากของabc กล่าว คือ ผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมดที่หารabc ลงตัว การพิจารณาสมการa ^p + b ^p = c ^p อย่างง่าย ๆ ทำให้เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในa , b , cเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นN ก็เป็นจำนวนคู่เช่น กัน ตามสมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระEเป็นเส้นโค้งวงรีแบบโมดูลาร์ เนื่องจากจำนวนเฉพาะคี่ทั้งหมดที่หารa , b , cในNปรากฏกำลังpในดิสครีมิแนนต์ขั้นต่ำΔโดยทฤษฎีบทของ Ribet การลดระดับ ซ้ำๆ โมดูลpจะกำจัดจำนวนเฉพาะคี่ทั้งหมดออกจากตัวนำ อย่างไรก็ตาม ไม่มีรูปแบบใหม่ของระดับ 2 เหลืออยู่ เนื่องจากจีนัสของเส้นโค้งโมดูลาร์X (2)เป็นศูนย์ (และรูปแบบใหม่ของระดับNเป็นอนุพันธ์บนX ( N ) )

• การคาดการณ์ ABC
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์

1. ↑ "การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" . 2008-12-10. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2008-12-10.
2. ↑ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). "Powers in Lucas Sequences via Galois Representations". Proceedings of the American Mathematical Society . 143 (3): 1027– 1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . MR 3293720 . S2CID 16892383 .   
3. ↑เฮลเลอโกอาร์ช, อีฟส์ (1972) "กูร์บรีและสมการเดอแฟร์มาต์" วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอก . BnF 359121326 . 
4. ↑ Frey, Gerhard (1982), "Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven" [จุดเหตุผลบนเส้นโค้ง Fermat และเส้นโค้งโมดูลาร์ที่บิดเบี้ยว] , J. Reine Angew คณิตศาสตร์. (ภาษาเยอรมัน), 1982 (331): 185– 191, doi : 10.1515/crll.1982.331.185 , MR 0647382 , S2CID 118263144  
5. ↑ Frey, Gerhard (1986), "ความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีเสถียรและสมการไดโอแฟนไทน์บางประการ", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387  
6. ↑ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [จดหมายถึง J.-F. Mestre]", แนวโน้มปัจจุบันในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงเลขคณิต (Arcata, Calif., 1985) , คณิตศาสตร์ร่วมสมัย (ภาษาฝรั่งเศส), เล่มที่67, Providence, RI: American Mathematical Society, หน้า263–268 , doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN   9780821850749, MR 0902597 
7. ↑ Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les representations modulaires de degré 2 de Gal( Q / Q )", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179– 230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413-5 , ISSN 0012-7094 , คุณ0885783  
8. 1 2 Ribet, Ken (1990). "เกี่ยวกับการแสดงแทนแบบโมดูลาร์ของ Gal( Q / Q ) ที่เกิดขึ้นจากรูปแบบโมดูลาร์" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431– 476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007/BF01231195 . MR 1047143 . S2CID 120614740 .  

• เคน ริเบต์ และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยเควิน บัซซาร์ด 28 มิถุนายน 2551