ในกลศาสตร์ควอนตัมการเปลี่ยนสถานะการหมุนคือการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันของโมเมนตัมเชิงมุมเช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นๆ ของอนุภาค ควอนตั มโมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเป็น ควอนตั ม หมายความว่ามันสามารถมีค่าได้เพียงค่าที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น ซึ่งสอดคล้องกับ สถานะ พลังงานการหมุน ที่แตกต่างกัน เมื่ออนุภาคสูญเสียโมเมนตัมเชิงมุม จะกล่าวได้ว่ามันเปลี่ยนสถานะไปสู่สถานะพลังงานการหมุนที่ต่ำกว่า ในทำนองเดียวกัน เมื่ออนุภาคได้รับโมเมนตัมเชิงมุม จะกล่าวได้ว่าเกิดการเปลี่ยนสถานะการหมุนในเชิงบวกขึ้น

การเปลี่ยนสถานะแบบหมุนมีความสำคัญในทางฟิสิกส์เนื่องจากเส้นสเปกตรัม ที่เป็นเอกลักษณ์ ที่เกิดขึ้น เนื่องจากมีการได้หรือเสียพลังงานสุทธิในระหว่างการเปลี่ยนสถานะ จึง ต้องมีการดูดซับหรือปล่อย รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ที่ มีความถี่เฉพาะ ซึ่งจะ ก่อให้เกิดเส้นสเปกตรัมที่ความถี่นั้นและสามารถตรวจจับได้ด้วยเครื่องสเปกโทรเมตรเช่น ในสเปกโทรสโกปีแบบหมุนหรือสเปกโทรสโกปีแบบรามาน

โมเลกุลมีพลังงานการหมุนเนื่องจากการเคลื่อนที่แบบหมุนของนิวเคลียสรอบจุดศูนย์กลางมวลเนื่องจากหลักการควอนตัมพลังงานเหล่านี้จึงสามารถมีได้เฉพาะค่าที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น การเปลี่ยนสถานะการหมุนจึงสอดคล้องกับการเปลี่ยนสถานะของโมเลกุลจากระดับพลังงาน การหมุนหนึ่ง ไปยังอีกระดับหนึ่งโดยการรับหรือสูญเสียโฟ ตอน การวิเคราะห์ทำได้ง่ายในกรณีของโมเลกุลไดอะตอมิก

การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีควอนตัมของโมเลกุลจะง่ายขึ้นโดยใช้การประมาณของบอร์น-ออปเพนไฮเมอร์โดยทั่วไป พลังงานการหมุนของโมเลกุลจะมีค่าน้อยกว่า พลังงาน การเปลี่ยนสถานะอิเล็กตรอนด้วยปัจจัยm / M ≈ 10 ⁻³ –10 ⁻⁵โดยที่mคือมวลอิเล็กตรอนและMคือมวลนิวเคลียร์ทั่วไป^{[ 1 ]}จากหลักการความไม่แน่นอนคาบการเคลื่อนที่อยู่ในลำดับของค่าคงที่ของพลังค์hหารด้วยพลังงาน ดังนั้นคาบการหมุนของนิวเคลียสจึงยาวกว่าคาบของอิเล็กตรอนมาก ดังนั้นการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนและนิวเคลียสจึงสามารถแยกพิจารณาได้ ในกรณีง่ายๆ ของโมเลกุลไดอะตอมิก ส่วนรัศมีของสมการชโรดิงเจอร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นนิวเคลียร์F _s ( R )ในสถานะอิเล็กตรอนsเขียนได้ดังนี้ (โดยไม่คำนึงถึงอันตรกิริยาของสปิน) โดยที่μคือมวลลดทอนของนิวเคลียสสองตัวRคือเวกเตอร์ที่เชื่อมระหว่างนิวเคลียสทั้งสองE _s ( R )คือค่าพลังงานเฉพาะของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนΦ _sที่แสดงถึงสถานะอิเล็กตรอนsและNคือตัวดำเนินการโมเมนตัม เชิงวงโคจร สำหรับการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของนิวเคลียสสองตัวที่กำหนดโดย ฟังก์ชันคลื่น ทั้งหมดสำหรับโมเลกุลคือ โดยที่r _iคือเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดศูนย์กลางมวลของโมเลกุลไปยัง อิเล็กตรอนตัวที่ iผลที่ตามมาจากการประมาณของบอร์น-ออปเพนไฮเมอร์ ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนΦ _sถือว่าเปลี่ยนแปลงช้ามากเมื่อเทียบกับR ดังนั้นสมการชโรดิงเจอร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจึงถูกแก้ก่อนเพื่อหาE _s ( R )สำหรับค่าR ที่แตกต่างกัน จากนั้น E _sจะทำหน้าที่เป็นบ่อศักย์ ในการ วิเคราะห์ ฟังก์ชันคลื่นนิวเคลียร์F _s ( R )$${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu R^{2}}}{\frac {\partial }{\partial R}}\left(R^{2}{\frac {\partial }{\partial R}}\right)+{\frac {\langle \Phi _{s}|N^{2}|\Phi _{s}\rangle }{2\mu R^{2}}}+E_{s}(R)-E\right]F_{s}(\mathbf {R} )=0}$$$${\displaystyle N^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial }{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \Phi ^{2}}}\right]}$$$${\displaystyle \Psi _{s}=F_{s}(\mathbf {R} )\Phi _{s}(\mathbf {R} ,\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$$

พจน์แรกในสมการฟังก์ชันคลื่นนิวเคลียร์ข้างต้นสอดคล้องกับพลังงานจลน์ของนิวเคลียสเนื่องจากการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี พจน์⁠⟨Φ _s | N ² |Φ _s ⟩/2 μR ²แสดงถึงพลังงานจลน์การหมุนของนิวเคลียสทั้งสองรอบจุดศูนย์กลางมวลในสถานะอิเล็กตรอน Φs _ที่กำหนด ค่าที่เป็นไปได้ของ คือระดับพลังงานการหมุนที่แตกต่างกันของโมเลกุล

โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของนิวเคลียสสามารถเขียนได้ดังนี้ โดย ที่Jคือโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรทั้งหมดของโมเลกุล และLคือโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของอิเล็กตรอน ถ้าเวกเตอร์ระหว่างนิวเคลียสRอยู่ตามแกน z ส่วนประกอบของNตามแกน z – N _z – จะเป็นศูนย์ ดังนั้น เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นโมเลกุล Ψ _sเป็นฟังก์ชันเฉพาะ พร้อมกัน ของJ ²และJ _zโดย ที่ J เรียกว่าเลขควอนตัมการหมุนและJสามารถเป็นจำนวนเต็ม บวก หรือศูนย์ได้ โดยที่− J ≤ M _j ≤ J . $${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {J} -\mathbf {L} }$$$${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {R} \times \mathbf {P} }$$$${\displaystyle J_{z}=L_{z}}$$$${\displaystyle J^{2}\Psi _{s}=J(J+1)\hbar ^{2}\Psi _{s}}$$$${\displaystyle J_{z}\Psi _{s}=M_{j}\hbar \Psi _{s}}$$

_{นอกจากนี้}เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนΦsเป็นฟังก์ชันเฉพาะของLzดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นโมเลกุลΨs _ก็เป็นฟังก์ชันเฉพาะของLz เช่น _{กันโดย}มีค่าเฉพาะ±Λħ เนื่องจาก Lz และ Jz เท่ากันΨs _จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะของ_Jzโดยมีค่าเฉพาะเดียวกันคือ±Λħ เนื่องจาก | J | ≥ Jzเราจึงได้_J ≥ Λดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของเลขควอนตัมการหมุนคือ ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นโมเลกุลΨs _จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะพร้อมกันของJ2 ^, JzและLz เนื่องจาก โมเลกุลอยู่ในสถานะเฉพาะของ_Lz ค่าคาดหวังของส่วนประกอบ ที่ ตั้งฉากกับทิศทาง _{ของ แกน z (}เส้นระหว่างนิวเคลียส) จึงเป็นศูนย์ _{ดังนั้น} และ ดังนั้น $${\displaystyle L_{z}\Phi _{s}=\pm \Lambda \hbar \Phi _{s}}$$$${\displaystyle J=\Lambda ,\Lambda +1,\Lambda +2,\dots }$$$${\displaystyle \langle \Psi _{s}|L_{x}|\Psi _{s}\rangle =\langle L_{x}\rangle =0}$$$${\displaystyle \langle \Psi _{s}|L_{y}|\Psi _{s}\rangle =\langle L_{y}\rangle =0}$$$${\displaystyle \langle \mathbf {J} .\mathbf {L} \rangle =\langle J_{z}L_{z}\rangle =\langle {L_{z}}^{2}\rangle }$$

เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งหมดมารวมกันแล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Phi _{s}|N^{2}|\Phi _{s}\rangle F_{s}(\mathbf {R} )&=\langle \Phi _{s}|\left(J^{2}+L^{2}-2\mathbf {J} \cdot \mathbf {L} \right)|\Phi _{s}\rangle F_{s}(\mathbf {R} )\\&=\hbar ^{2}\left[J(J+1)-\Lambda ^{2}\right]F_{s}(\mathbf {R} )+\langle \Phi _{s}|\left({L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}\right)|\Phi _{s}\rangle F_{s}(\mathbf {R} )\end{aligned}}}$$

สมการชโรดิงเกอร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นนิวเคลียร์สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ โดยที่ E′ _sทำหน้าที่เป็นศักยภาพประสิทธิผลในสมการฟังก์ชันคลื่นนิวเคลียร์เชิงรัศมี $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu R^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial R}}\left(R^{2}{\frac {\partial }{\partial R}}\right)-J(J+1)\right]F_{s}(\mathbf {R} )+[{E'}_{s}(R)-E]F_{s}(\mathbf {R} )=0}$$$${\displaystyle {E'}_{s}(R)=E_{s}(R)-{\frac {\Lambda ^{2}\hbar ^{2}}{2\mu R^{2}}}+{\frac {1}{2\mu R^{2}}}\langle \Phi _{s}|\left({L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}\right)|\Phi _{s}\rangle }$$

สถานะโมเลกุลที่โมเมนตัมเชิงวงโคจรรวมของอิเล็กตรอนเป็นศูนย์เรียกว่าสถานะซิกมาในสถานะซิกมาΛ = 0ดังนั้นE ′ _s ( R ) = E _s ( R )เนื่องจากการเคลื่อนที่ของนิวเคลียสสำหรับโมเลกุลที่เสถียรโดยทั่วไปจะจำกัดอยู่ในช่วงเล็กๆ รอบR ₀โดยที่R ₀สอดคล้องกับระยะห่างระหว่างนิวเคลียสสำหรับค่าต่ำสุดของศักยภาพE _s ( R ₀ )พลังงานการหมุนจึงกำหนดโดย โดยที่ I ₀คือโมเมนต์ความเฉื่อยของโมเลกุลที่สอดคล้องกับระยะสมดุลR ₀และBเรียกว่าค่าคงที่การหมุนสำหรับสถานะอิเล็กตรอนที่กำหนดΦ _sเนื่องจากมวลลดทอนμมีค่ามากกว่ามวลอิเล็กตรอนมาก พจน์สองพจน์สุดท้ายในนิพจน์ของE ′ _s ( R )จึงมีค่าน้อยเมื่อเทียบกับE _sดังนั้นแม้สำหรับสถานะอื่นๆ นอกเหนือจากสถานะซิกมา พลังงานการหมุนก็กำหนดโดยประมาณโดยนิพจน์ข้างต้น $${\displaystyle E_{r}={\frac {\hbar ^{2}}{2\mu {R_{0}}^{2}}}J(J+1)={\frac {\hbar ^{2}}{2I_{0}}}J(J+1)=BJ(J+1)}$$$${\displaystyle J=\Lambda ,\Lambda +1,\Lambda +2,\dots }$$

เมื่อเกิดการเปลี่ยนสถานะการหมุน ค่าของเลขควอนตัมการหมุน Jจะเปลี่ยนแปลงไปกฎการเลือกสำหรับการเปลี่ยนสถานะการหมุนคือ เมื่อΛ = 0 , Δ J = ±1และเมื่อΛ ≠ 0 , Δ J = 0, ±1เนื่องจากโฟตอนที่ถูกดูดกลืนหรือปล่อยออกมาสามารถทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่เท่ากันและตรงกันข้ามในโมเมนตัมเชิงมุมนิวเคลียร์รวมและโมเมนตัมเชิงมุมอิเล็กตรอนรวมโดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของ J

สเปกตรัมการหมุนบริสุทธิ์ของโมเลกุลไดอะตอมิกประกอบด้วยเส้นในย่านอินฟราเรด ไกล หรือไมโครเวฟความถี่ของเส้นเหล่านี้กำหนดโดย _{ดังนั้น} ค่าของB , I₀และR₀ของสารสามารถหาได้จากสเปกตรัมการหมุนที่สังเกต _ได้$${\displaystyle \hbar \omega =E_{r}(J+1)-E_{r}(J)=2B(J+1)}$$

• การเปลี่ยนผ่านการสั่นสะเทือน