ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธี Runge –Kutta ( อังกฤษ: / ˈ r ʊ ŋ ə ˈ k ʊ t ɑː /^ⓘ RUUNG -ə- KUUT -tah ^{[ 1 ]} ) เป็นกลุ่มของวิธีการวนซ้ำแบบปริยายและชัดเจนซึ่งรวมถึงวิธีออยเลอร์ที่ใช้ในการแบ่งช่วงเวลาสำหรับการหาคำตอบโดยประมาณของสมการไม่เชิงเส้นพร้อมกัน ^{[ 2 ]}วิธีการเหล่านี้ได้รับการพัฒนาขึ้นราวปี 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ล รุนและล์ม คุตตา

วิธีการรันเก-กุตตะ (Runge–Kutta) ที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายที่สุด มักเรียกกันว่า "RK4" "วิธีการรันเก-กุตตะแบบคลาสสิก" หรือเรียกง่ายๆ ว่า "วิธีการรันเก-กุตตะ"

ให้กำหนดปัญหาค่าเริ่มต้น ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

ที่นี่${\displaystyle y}$เป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (สเกลาร์หรือเวกเตอร์) ของเวลา${\displaystyle t}$ซึ่งเราต้องการประมาณค่า เราได้รับแจ้งว่า${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$อัตราที่${\displaystyle y}$การเปลี่ยนแปลง เป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle t}$และของ${\displaystyle y}$ตัวมันเอง ในเวลาเริ่มต้น${\displaystyle t_{0}}$ที่สอดคล้องกัน${\displaystyle y}$ค่าคือ${\displaystyle y_{0}}$ฟังก์ชัน${\displaystyle f}$และเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle t_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$ได้รับแล้ว

ต่อไปเราจะเลือกขนาดขั้นตอนh > 0 และกำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

สำหรับn = 0, 1, 2, 3, ... โดยใช้^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{1}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{2}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}$

( หมายเหตุ: สมการข้างต้นมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันในตำราต่าง ๆ^{[ 4 ]} )

ที่นี่${\displaystyle y_{n+1}}$คือการประมาณค่า RK4 ของ${\displaystyle y(t_{n+1})}$และค่าถัดไป (${\displaystyle y_{n+1}}$) ถูกกำหนดโดยมูลค่าปัจจุบัน (${\displaystyle y_{n}}$) บวกกับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของช่วงเพิ่มขึ้นสี่ช่วง โดยแต่ละช่วงเพิ่มขึ้นเป็นผลคูณของขนาดของช่วงhและความชันโดยประมาณที่ระบุโดยฟังก์ชันfทางด้านขวามือของสมการเชิงอนุพันธ์

• ${\displaystyle k_{1}}$คือค่าความชัน ณ จุดเริ่มต้นของช่วงเวลา โดยใช้${\displaystyle y}$( วิธีของออยเลอร์ )
• ${\displaystyle k_{2}}$คือค่าความชัน ณ จุดกึ่งกลางของช่วง โดยใช้${\displaystyle y}$และ${\displaystyle k_{1}}$;
• ${\displaystyle k_{3}}$อีกครั้งหนึ่งคือความชันที่จุดกึ่งกลาง แต่คราวนี้ใช้${\displaystyle y}$และ${\displaystyle k_{2}}$;
• ${\displaystyle k_{4}}$คือค่าความชัน ณ จุดสิ้นสุดของช่วง โดยใช้${\displaystyle y}$และ${\displaystyle k_{3}}$.

ในการหาค่าเฉลี่ยของความชันทั้งสี่ จะให้น้ำหนักกับความชันที่จุดกึ่งกลางมากกว่า หาก${\displaystyle f}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle y}$ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จึงเทียบเท่ากับอินทิกรัลอย่างง่าย จากนั้น RK4 ก็คือกฎของซิมป์สัน^{[ 5 ]}

วิธี RK4 เป็นวิธีอันดับสี่ ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะจุดนั้นอยู่ในระดับประมาณ${\displaystyle O(h^{5})}$ในขณะที่ ข้อผิดพลาดสะสมทั้งหมดอยู่ในระดับประมาณ${\displaystyle O(h^{4})}$.

ในการใช้งานจริงหลายๆ ด้าน ฟังก์ชันนี้${\displaystyle f}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle t}$(เรียกว่าระบบอัตโนมัติหรือระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยเฉพาะในทางฟิสิกส์) และค่าที่เพิ่มขึ้นของระบบเหล่านี้จะไม่ถูกคำนวณเลยและจะไม่ถูกส่งต่อไปยังฟังก์ชัน${\displaystyle f}$โดยมีเพียงสูตรสุดท้ายสำหรับ${\displaystyle t_{n+1}}$ใช้แล้ว.

กลุ่ม วิธี Runge–Kutta แบบชัดเจน (explicit Runge–Kutta methods) เป็นการขยายความของวิธี RK4 ที่กล่าวถึงข้างต้น โดยกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

โดยที่^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}}$

( หมายเหตุ: สมการข้างต้นอาจมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันในตำราบางเล่ม^{[ 4 ]} )

ในการระบุวิธีการเฉพาะเจาะจง จำเป็นต้องระบุจำนวนเต็มs (จำนวนขั้นตอน) และสัมประสิทธิ์a (สำหรับ 1 ≤ j < i ≤ s ), b (สำหรับi = 1, 2, ..., s ) และc (สำหรับi = 2, 3, ..., s ) เมทริกซ์ [ a ] เรียกว่าเมทริกซ์ Runge–Kuttaในขณะที่b และc เรียกว่าน้ำหนักและโหนด^{[ 7 ]}ข้อมูลเหล่านี้มักจะถูกจัดเรียงในอุปกรณ์ช่วยจำที่เรียกว่าตาราง Butcher (ตั้งชื่อตามJohn C. Butcher ):

${\displaystyle 0}$
${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์แสดงให้เห็นว่าวิธี Runge–Kutta มีความสอดคล้องก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.}$

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเพิ่มเติมหากต้องการให้วิธีการมีลำดับp ที่แน่นอน ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอนเฉพาะที่คือ O( h ^{p +1} ) สิ่งเหล่านี้สามารถอนุมานได้จากนิยามของข้อผิดพลาดในการตัดทอนเอง ตัวอย่างเช่น วิธีการสองขั้นตอนมีลำดับ 2 ถ้าb + b = 1, b c = 1/2 และb a = 1/2 ^{[ 8 ]}โปรดทราบว่าเงื่อนไขที่นิยมใช้ในการกำหนดสัมประสิทธิ์คือ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ สำหรับ }}i=2,\ldots ,s.}$

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอหรือจำเป็นต่อความสอดคล้อง ^{[ 9 ]}

โดยทั่วไป หากมีการระบุอย่างชัดเจน${\displaystyle s}$วิธีการ Runge–Kutta แบบหลายขั้นตอนมีลำดับ${\displaystyle p}$จากนั้นจึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนขั้นตอนต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด${\displaystyle s\geq p}$และถ้า${\displaystyle p\geq 5}$, แล้ว${\displaystyle s\geq p+1}$[ ^{10 ]} อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าขอบเขตเหล่านี้มีความแม่นยำ ในทุกกรณีหรือ ^ไม่ในบางกรณี มีการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถบรรลุขอบเขตได้ ตัวอย่างเช่น Butcher พิสูจน์ว่าสำหรับ${\displaystyle p>6}$ไม่มีวิธีการที่ชัดเจนด้วย${\displaystyle s=p+1}$ขั้นตอน^{[ 11 ]}บุชเชอร์ยังพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ${\displaystyle p>7}$ไม่มีวิธีการ Runge-Kutta ที่ชัดเจนด้วย${\displaystyle p+2}$ขั้นตอน^{[ 12 ]}โดยทั่วไปแล้ว ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขว่าจำนวนขั้นตอนขั้นต่ำที่แน่นอนคือเท่าใด${\displaystyle s}$คือเพื่อให้วิธีการ Runge–Kutta ที่ชัดเจนมีลำดับ${\displaystyle p}$ค่าบางค่าที่ทราบได้แก่: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}}$

ขอบเขตที่พิสูจน์ได้ข้างต้นจึงหมายความว่าเราไม่สามารถหาวิธีการเรียงลำดับได้${\displaystyle p=1,2,\ldots ,6}$ซึ่งต้องใช้ขั้นตอนน้อยกว่าวิธีการที่เราทราบอยู่แล้วสำหรับลำดับเหล่านี้ งานของ Butcher ยังพิสูจน์ได้ว่าวิธีการลำดับที่ 7 และ 8 มีขั้นตอนขั้นต่ำ 9 และ 11 ขั้นตอนตามลำดับ^{[ 11 ] [ 12 ]}ตัวอย่างของวิธีการที่ชัดเจนของลำดับที่ 6 ที่มี 7 ขั้นตอนสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง^{[ 14 ]}วิธีการที่ชัดเจนของลำดับที่ 7 ที่มี 9 ขั้นตอน^{[ 11 ]}และวิธีการที่ชัดเจนของลำดับที่ 8 ที่มี 11 ขั้นตอน^{[ 15 ]}ก็เป็นที่รู้จักเช่นกัน ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 16 ] [ 17 ]}สำหรับบทสรุป

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาวิธี Runge–Kutta อันดับสองแบบสองขั้นตอนที่มี α = 2/3 หรือที่รู้จักกันในชื่อวิธี Ralstonซึ่งแสดงโดยตาราง

พร้อมด้วยสมการที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}}$

วิธีนี้ใช้ในการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in [1,1.1]}$

โดยมีขนาดขั้นตอนh = 0.025 ดังนั้นวิธีการนี้จึงต้องใช้สี่ขั้นตอน

วิธีการดำเนินการมีดังนี้:

${\displaystyle t_{0}=1\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$
${\displaystyle t_{1}=1.025\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$	${\displaystyle k_{1}=2.557407725}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7138981400}$
	${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}}$
${\displaystyle t_{2}=1.05\colon }$
	${\displaystyle y_{1}=1.066869388}$	${\displaystyle k_{1}=2.813524695}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}}$
${\displaystyle t_{3}=1.075\colon }$
	${\displaystyle y_{2}=1.141332181}$	${\displaystyle k_{1}=3.183536647}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}}$
${\displaystyle t_{4}=1.1\colon }$
	${\displaystyle y_{3}=1.227417567}$	${\displaystyle k_{1}=3.796866512}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.}$

ค่าที่ขีดเส้นใต้แสดงถึงคำตอบเชิงตัวเลข

โดยทั่วไปแล้ว วิธี Runge–Kutta แบบชัดเจนไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการแข็งเนื่องจากขอบเขตของเสถียรภาพสัมบูรณ์มีขนาดเล็ก โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีขอบเขตจำกัด^{[ 21 ]} ปัญหานี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ความไม่เสถียรของวิธีการรันเก-คุตตะแบบชัดแจ้งเป็นแรงผลักดันให้เกิดการพัฒนาวิธีการรันเก-คุตตะแบบไม่ชัดแจ้ง วิธีการรันเก-คุตตะแบบไม่ชัดแจ้งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

ที่ไหน

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}$^{[ 22 ]}

ความแตกต่างกับวิธีการที่ชัดเจนคือ ในวิธีการที่ชัดเจน ผลรวมเหนือjจะไปถึงแค่i − 1 เท่านั้น ^{[ 23 ]}สิ่งนี้ยังปรากฏในตาราง Butcher ด้วย นั่นคือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์${\displaystyle a_{ij}}$ของวิธีการที่ชัดเจนนั้นเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ในวิธีการโดยปริยาย ผลรวมเหนือjจะเพิ่มขึ้นเป็นsและเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่ใช่เมทริกซ์สามเหลี่ยมอย่างเคร่งครัด ทำให้ได้ตาราง Butcher ในรูปแบบ^{[ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

ผลที่ตามมาของความแตกต่างนี้คือ ในแต่ละขั้นตอน จะต้องแก้ระบบสมการพีชคณิต ซึ่งจะเพิ่มต้นทุนการคำนวณอย่างมาก หากใช้ วิธีที่มี s ขั้นตอนในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มี mส่วนประกอบ ระบบสมการพีชคณิตจะมีmsส่วนประกอบ ซึ่งสามารถเปรียบเทียบได้กับวิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้น แบบปริยาย (ซึ่งเป็นอีกกลุ่มใหญ่ของวิธีการสำหรับ ODE): วิธีการหลายขั้นตอนเชิงเส้นแบบปริยายsขั้นตอนจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตที่มีเพียงmส่วนประกอบเท่านั้น ดังนั้นขนาดของระบบจึงไม่เพิ่มขึ้นเมื่อจำนวนขั้นตอนเพิ่มขึ้น^{[ 24 ]}

วิธีการปรับตัวถูกออกแบบมาเพื่อสร้างค่าประมาณของข้อผิดพลาดการตัดทอนเฉพาะที่ของขั้นตอน Runge–Kutta เดียว โดยทำได้โดยใช้สองวิธี วิธีหนึ่งมีลำดับ${\displaystyle p}$และหนึ่งรายการที่มีคำสั่ง${\displaystyle p-1}$วิธีการเหล่านี้เชื่อมโยงกัน กล่าวคือ มีขั้นตอนกลางที่เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้ การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนจึงใช้ต้นทุนการคำนวณน้อยหรือแทบไม่มีเลย เมื่อเทียบกับขั้นตอนที่ใช้วิธีการลำดับสูงกว่า

ในระหว่างการคำนวณแบบอินทิเกรต ขนาดของขั้นตอนจะถูกปรับเพื่อให้ค่าความคลาดเคลื่อนที่คาดการณ์ไว้ต่ำกว่าเกณฑ์ที่ผู้ใช้กำหนด: หากค่าความคลาดเคลื่อนสูงเกินไป ขั้นตอนจะถูกทำซ้ำด้วยขนาดขั้นตอนที่เล็กลง หากค่าความคลาดเคลื่อนน้อยลงมาก ขนาดของขั้นตอนจะถูกเพิ่มขึ้นเพื่อประหยัดเวลา วิธีนี้ส่งผลให้ได้ขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุด (เกือบจะ) ซึ่งช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณ นอกจากนี้ ผู้ใช้ไม่จำเป็นต้องเสียเวลาในการค้นหาขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมอีกด้วย

ขั้นตอนลำดับต่ำกว่ากำหนดโดย

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

ที่ไหน${\displaystyle k_{i}}$เหมือนกับวิธีการลำดับสูงกว่า ดังนั้นข้อผิดพลาดคือ

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

ซึ่งคือ${\displaystyle O(h^{p})}$ตาราง Butcher สำหรับวิธีการประเภทนี้ได้รับการขยายเพื่อให้ได้ค่าของ${\displaystyle b_{i}^{*}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

วิธี Runge –Kutta–Fehlbergมีสองวิธี คือ วิธีลำดับที่ 5 และวิธีลำดับที่ 4 ตาราง Butcher ที่ขยายแล้วมีดังนี้:

อย่างไรก็ตาม วิธี Runge–Kutta แบบปรับตัวที่ง่ายที่สุดนั้นเกี่ยวข้องกับการรวมวิธีของ Heunซึ่งมีลำดับที่ 2 เข้ากับวิธีของ Eulerซึ่งมีลำดับที่ 1 ตาราง Butcher ที่ขยายแล้วมีดังนี้:

วิธีการ Runge–Kutta แบบปรับตัวได้อื่นๆ ได้แก่วิธี Bogacki–Shampine (ลำดับที่ 3 และ 2), วิธี Cash–Karpและวิธี Dormand–Prince (ทั้งสองวิธีมีลำดับที่ 5 และ 4)

กล่าวกันว่าวิธี Runge–Kutta ไม่มีการบรรจบกัน^{[ 33 ]}หากทั้งหมด${\displaystyle c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s}$แตกต่างกันอย่างชัดเจน

วิธีการ Runge–Kutta–Nyström (RKN) เป็นกลุ่มของวิธีการที่ใช้หลักการเดียวกันกับวิธีการ Runge–Kutta แต่สำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นอันดับสอง^{[ 34 ] [ 35 ]}ดังนั้นปัญหาในรูปแบบ :

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=f(t,{\frac {dy}{dt}},y),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad {\frac {dy}{dt}}(t_{0})=y'_{0}.}$

มีอนุพันธ์สองตัวและค่าประมาณสองค่า ดังนั้นวิธีการ Runge-Kutta-Nyström จึงใช้เมทริกซ์ Runge-Kutta สองตัว${\displaystyle a_{ij},a'_{ij}}$และตุ้มน้ำหนักสองชุด${\displaystyle b_{i},b'_{i}}$แต่ยังคงต้องการเพียงชุดโหนดเดียวเท่านั้น${\displaystyle c_{i}}$ซึ่งจะได้โต๊ะสำหรับชำแหละเนื้อที่มีรูปทรงดังนี้ :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &a'_{11}&a'_{12}&\dots &a'_{1s}\\&a'_{21}&a'_{22}&\dots &a'_{2s}\\&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\&a'_{s1}&a'_{s2}&\dots &a'_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {A'} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

สมมติว่าการประมาณค่าได้ดำเนินการจนถึงระดับหนึ่งแล้ว${\displaystyle t_{n}}$, กับ${\displaystyle y_{n}}$การประมาณค่าของ${\displaystyle y(t_{n})}$และ${\displaystyle y'_{n}}$การประมาณค่าของ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}(t_{n})}$การประมาณค่า${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$ที่${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$คำตอบของระบบสมการต่อไปนี้คือ :

$${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}=y_{n}+c_{i}hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}a_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\g'_{i}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a'_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\\\y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}b_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\\y'_{n+1}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}b'_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\end{cases}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$เป็นการประมาณค่าระดับกลางของ${\displaystyle y}$และ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$มันเทียบเท่ากับการทำงานกับค่าต่างๆ อย่างเคร่งครัด${\displaystyle k_{j}=f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})}$ที่ซึ่ง${\displaystyle g_{j},g'_{j}}$ได้ถูกแทนที่ด้วยสูตรของพวกเขา แทนที่จะทำงานร่วมกับ${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$ในทำนองเดียวกันกับที่เราเคยทำกับวิธีการ Runge-Kutta แต่ระบบนี้เขียนได้ง่ายกว่าด้วยวิธีนี้

วิธีการ Runge-Kutta-Nyström จะเรียกว่าเป็นแบบชัดเจน (explicit) ถ้าทั้ง${\displaystyle A,A'}$เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างอย่างเคร่งครัด และในกรณีนี้ ผลรวม${\textstyle \sum _{j=1}^{s}}$ในการแสดงออกของ${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$อาจถูกแทนที่ด้วย${\textstyle \sum _{j=1}^{i-1}}$^{[ 36 ]}นอกจากนี้ วิธี Runge-Kutta-Nyström ยังกล่าวกันว่ามีลำดับ${\displaystyle p}$หากข้อผิดพลาดการตัดทอนในพื้นที่ของทั้งสอง${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$เป็น${\displaystyle O(h^{p+1})}$.

ถ้าฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ปัญหาค่าเริ่มต้นที่พิจารณานั้นเป็นอิสระจาก${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$ไม่จำเป็นต้องประมาณค่าระหว่างกลาง${\displaystyle g'_{i}}$เพื่อคำนวณค่าประมาณและน้ำหนัก${\displaystyle a'_{ij}}$ดังนั้น วิธีการเหล่านั้นจึงไร้ประโยชน์ และเราจึงเขียนวิธีการที่ใช้เฉพาะกรณีพิเศษนี้ขึ้นมาแทน โดยใช้ตารางในรูปแบบดังนี้ :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

กรณีพิเศษนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากช่วยให้ได้ลำดับที่สูงกว่าที่วิธีการ Runge-Kutta-Nyström ทั่วไปสามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น วิธีการ RKN ลำดับที่สี่แบบชัดเจนสองวิธีแสดงอยู่ในตาราง Butcher ต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2-{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5-3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3+{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1+{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2+{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5+3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3-{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1-{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$

แผนการทั้งสองนี้ยังมีคุณสมบัติในการรักษาสภาพเชิงซิมเพล็กติกเมื่อสมการดั้งเดิมได้มาจากระบบกลศาสตร์คลาสสิกแบบอนุรักษ์ กล่าวคือเมื่อ

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

สำหรับฟังก์ชันสเกลาร์บางฟังก์ชัน${\displaystyle V}$[ ^{37 ]​}

แนวคิดเรื่องเสถียรภาพ Aสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้นเกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นแบบอิสระ${\displaystyle y'=\lambda y}$Dahlquist (1963)เสนอให้ศึกษาเสถียรภาพของวิธีการเชิงตัวเลขเมื่อนำไปใช้กับระบบไม่เชิงเส้นที่ตรงตามเงื่อนไขความเป็นเอกรูป แนวคิดที่เกี่ยวข้องได้รับการกำหนดเป็นเสถียรภาพแบบ Gสำหรับวิธีการหลายขั้นตอน (และวิธีการขาเดียวที่เกี่ยวข้อง) และเสถียรภาพแบบ B (Butcher, 1975) สำหรับวิธีการ Runge–Kutta วิธีการ Runge–Kutta ที่นำไปใช้กับระบบไม่เชิงเส้น${\displaystyle y'=f(y)}$ซึ่งเป็นการตรวจสอบยืนยัน${\displaystyle \langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0}$เรียกว่าB-stableถ้าเงื่อนไขนี้หมายความว่า${\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|}$สำหรับสองวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข

อนุญาต${\displaystyle B}$,${\displaystyle M}$และ${\displaystyle Q}$เป็นสาม${\displaystyle s\times s}$เมทริกซ์ที่กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\\[4pt]M&=BA+A^{T}B-bb^{T},\\[4pt]Q&=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.\end{aligned}}}$$ กล่าวกันว่าวิธี Runge–Kutta มีเสถียรภาพทางพีชคณิต^{[ 38 ]}หากเมทริกซ์${\displaystyle B}$และ${\displaystyle M}$ทั้งสองเป็นค่าบวกที่ไม่เป็นลบแน่นอน เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความเสถียรของ B ^{[ 39 ]}คือ:${\displaystyle B}$และ${\displaystyle Q}$เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนที่ไม่เป็นลบ

โดยทั่วไป วิธี Runge–Kutta ลำดับ${\displaystyle s}$สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h)}$

คือค่าเพิ่มขึ้นที่ได้จากการประเมินอนุพันธ์ของ${\displaystyle y_{t}}$ที่${\displaystyle i}$ลำดับที่ -

เราพัฒนาการคำนวณ^{[ 40 ]}สำหรับวิธีการ Runge–Kutta อันดับสี่โดยใช้สูตรทั่วไปด้วย${\displaystyle s=4}$ประเมินผลตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ณ จุดเริ่มต้น จุดกึ่งกลาง และจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาใดๆ${\displaystyle (t,\ t+h)}$ดังนั้น เราจึงเลือก:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}}$

และ${\displaystyle \beta _{ij}=0}$มิฉะนั้น เราจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดปริมาณต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}}$และ${\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}.}$ ถ้าเรากำหนดนิยามดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}}$

และสำหรับความสัมพันธ์ก่อนหน้านี้ เราสามารถแสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริงจนถึง${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\right]\end{aligned}}}$$ ที่ไหน:$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}}$$ คืออนุพันธ์รวมของ${\displaystyle f}$โดยคำนึงถึงเวลา

ถ้าเราแสดงสูตรทั่วไปโดยใช้สิ่งที่เราเพิ่งได้มา เราจะได้:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right.+\\&{}+c\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]+\\&{}+d\cdot \left[f(y_{t},\ t)+h{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}}$$

และเมื่อเปรียบเทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์ของ${\displaystyle y_{t+h}}$รอบๆ${\displaystyle t}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}}$$