ข้อสันนิษฐานของStrominger–Yau–Zaslow ( SYZ ) เป็นความพยายามที่จะเข้าใจ ข้อสันนิษฐาน สมมาตรแบบกระจกเงาซึ่งเป็นประเด็นในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและคณิตศาสตร์ ข้อสันนิษฐานดั้งเดิมเสนอโดยAndrew Strominger , Shing-Tung YauและEric Zaslowในปี 1996 ^{[ 1 ]}

นอกจากทฤษฎีบทสมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลยี แล้ว ทฤษฎีบท SYZ ยังเป็นหนึ่งในเครื่องมือที่ได้รับการศึกษามากที่สุดเพื่อทำความเข้าใจสมมาตรกระจกในเชิงคณิตศาสตร์ ในขณะที่ทฤษฎีบทสมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลยีมีพื้นฐานมาจากพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีทฤษฎีบท SYZ เป็นการทำให้สมมาตรกระจกเป็นจริงในเชิงเรขาคณิต

ในทฤษฎีสตริง สมมาตรแบบกระจกเงาเชื่อมโยง ทฤษฎี ประเภท IIAและประเภท IIB เข้า ด้วยกัน โดยทำนายว่าทฤษฎีสนามประสิทธิผลของประเภท IIA และประเภท IIB ควรจะเหมือนกัน หากทฤษฎีทั้งสองถูกทำให้กระชับบนแมนิโฟลด์คู่แบบกระจกเงา

ข้อสันนิษฐาน SYZ ใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อสร้างสมมาตรแบบกระจกเงา โดยเริ่มต้นจากการพิจารณาสถานะ BPSของทฤษฎีประเภท IIA ที่ถูกบีอัดบนXโดยเฉพาะอย่างยิ่ง0-braneที่มีปริภูมิโมดูลั ส Xเป็นที่ทราบกันว่าสถานะ BPS ทั้งหมดของทฤษฎีประเภท IIB ที่ถูกบีอัดบนYเป็น3-braneดังนั้น สมมาตรแบบกระจกเงาจะแมป 0-brane ของทฤษฎีประเภท IIA ไปยังเซตย่อยของ 3-brane ของทฤษฎีประเภท IIB

โดยการพิจารณา เงื่อนไข ซูเปอร์สมมาตรพบว่า 3-brane เหล่านี้ควรจะเป็น ซับแมนิโฟล ด์ลากรางเจียนพิเศษ^{[ 2 ] [ 3 ]}ในทางกลับกันT-dualityจะทำการแปลงแบบเดียวกันในกรณีนี้ ดังนั้น "สมมาตรกระจกคือ T-duality"

ข้อเสนอเริ่มต้นของสมมติฐาน SYZ โดย Strominger, Yau และ Zaslow ไม่ได้ถูกนำเสนอเป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ^{[ 1 ]}ส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของสมมติฐาน SYZ คือการกำหนดข้อความของสมมติฐานนั้นให้ถูกต้องในบางแง่ ไม่มีข้อความที่แม่นยำที่ตกลงกันได้เกี่ยวกับสมมติฐานในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ แต่มีข้อความทั่วไปที่คาดว่าจะใกล้เคียงกับการกำหนดสมมติฐานที่ถูกต้อง ซึ่งนำเสนอไว้ที่นี่^{[ 4 ] [ 5 ]}ข้อความนี้เน้นภาพเชิงโทโพโลยีของสมมาตรแบบกระจกเงา แต่ไม่ได้ระบุลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างเชิงซ้อนและเชิงซิมเพล็กติกของคู่กระจกเงาอย่างแม่นยำ หรืออ้างอิงถึงเมตริกแบบรีมันน์ที่เกี่ยวข้อง

ข้อสันนิษฐาน SYZ:แมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว 6 มิติทุกอันจะมีแมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว 6 มิติที่เป็นกระจกเงาโดยที่ มีการส่งแบบต่อเนื่องไปยังแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบกระชับที่มีมิติ 3 เช่นนั้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {X}}\to B}$${\displaystyle B}$

1. มีเซตย่อยเปิดหนาแน่นซึ่งแผนที่ต่างๆเป็นการจัดเรียงแบบไฟเบอร์โดย ทอรัส 3 มิติแบบลากรางจ์พิเศษ ที่ไม่เอกฐาน ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับทุกจุดไฟเบอร์ทอรัสและควรจะเป็นคู่กันในบางความหมาย คล้ายกับความเป็นคู่กันของวาไรตี้อาเบเลียน${\displaystyle B_{\text{reg}}\subset B}$${\displaystyle f,{\hat {f}}}$${\displaystyle b\in B_{\text{reg}}}$${\displaystyle f^{-1}(b)}$${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$
2. สำหรับแต่ละกรณีเส้นใยและควรจะเป็นซับแมนิโฟลด์ลากรางจ์พิเศษสามมิติแบบเอกลักษณ์ของและตามลำดับ${\displaystyle b\in B\backslash B_{\text{reg}}}$${\displaystyle f^{-1}(b)}$${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$

สถานการณ์ที่ไม่มีโลคัสเอกฐานเรียกว่าขีดจำกัดกึ่งราบของสมมติฐาน SYZ และมักใช้เป็นสถานการณ์จำลองเพื่ออธิบายไฟเบอร์ของทอรัส สมมติฐาน SYZ สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงในบางกรณีง่ายๆ ของขีดจำกัดกึ่งราบ เช่น ที่กำหนดโดยวาไรตี้อาเบเลียนและพื้นผิว K3ซึ่งไฟเบอร์โดยเส้นโค้งวงรี ${\displaystyle B_{\text{reg}}=B}$

คาดว่าการกำหนดสูตรที่ถูกต้องของสมมติฐาน SYZ จะแตกต่างจากข้อความข้างต้นบ้าง ตัวอย่างเช่น พฤติกรรมที่เป็นไปได้ของเซตเอกลักษณ์ยังไม่เป็นที่เข้าใจดีนัก และเซตนี้อาจมีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับสมมาตรแบบกระจกเงามักจะถูกกำหนดในแง่ของตระกูลที่เสื่อมสภาพของแมนิโฟลด์ Calabi–Yau แทนที่จะเป็น Calabi–Yau เดียว และอาจคาดหวังว่าสมมติฐาน SYZ จะถูกกำหนดสูตรใหม่ให้แม่นยำยิ่งขึ้นในภาษานี้^{[ 4 ]}${\displaystyle B\backslash B_{\text{reg}}}$${\displaystyle B}$

ข้อสันนิษฐานสมมาตรกระจก SYZ เป็นการปรับปรุงที่เป็นไปได้ประการหนึ่งของข้อสันนิษฐานสมมาตรกระจกดั้งเดิมที่เชื่อมโยงจำนวน Hodge ของแมนิโฟลด์ Calabi–Yau กระจก อีกประการหนึ่งคือข้อสันนิษฐานสมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลยีของ Kontsevich (ข้อสันนิษฐาน HMS) ข้อสันนิษฐานทั้งสองนี้เข้ารหัสการทำนายของสมมาตรกระจกในรูปแบบที่แตกต่างกัน: สมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลยีใน รูปแบบ พีชคณิตและข้อสันนิษฐาน SYZ ในรูปแบบเรขาคณิต^{[ 6 ]}

ควรมีความสัมพันธ์ระหว่างการตีความสมมาตรกระจกทั้งสามนี้ แต่ยังไม่ทราบว่าควรจะเทียบเท่ากันหรือไม่ หรือข้อเสนอใดข้อหนึ่งแข็งแกร่งกว่ากัน มีความคืบหน้าในการแสดงให้เห็นภายใต้สมมติฐานบางประการว่าสมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลจีบ่งชี้ถึงสมมาตรกระจกเชิงทฤษฎีของ Hodge ^{[ 7 ]}

อย่างไรก็ตาม ในบริบทที่เรียบง่าย มีวิธีที่ชัดเจนในการเชื่อมโยงข้อสันนิษฐาน SYZ และ HMS เข้าด้วยกัน คุณลักษณะสำคัญของ HMS คือ ข้อสันนิษฐานนี้เชื่อมโยงวัตถุ (ไม่ว่าจะเป็นซับแมนิโฟลด์หรือชีฟ) บนปริภูมิเรขาคณิตแบบกระจกเงา ดังนั้น ข้อมูลนำเข้าที่จำเป็นในการพยายามทำความเข้าใจหรือพิสูจน์ข้อสันนิษฐาน HMS จึงรวมถึงคู่ปริภูมิเรขาคณิตแบบกระจกเงา ข้อสันนิษฐาน SYZ ทำนายว่าคู่ปริภูมิแบบกระจกเงาเหล่านี้ควรเกิดขึ้นได้อย่างไร ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่พบคู่ปริภูมิแบบกระจกเงาของ SYZ ก็จะเป็นตัวเลือกที่ดีในการพยายามพิสูจน์ข้อสันนิษฐาน HMS บนคู่ปริภูมินี้

เพื่อเชื่อมโยงสมมติฐาน SYZ และ HMS เข้าด้วยกัน การทำงานในขีดจำกัดกึ่งราบเรียบจึงสะดวกกว่า คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่สำคัญของคู่ของไฟเบอร์ทอรัสแบบลากรางจ์ซึ่งเข้ารหัสสมมาตรแบบกระจกเงาคือไฟเบอร์ทอรัสคู่ของไฟเบอร์ทอรัสนั้น เมื่อกำหนดทอรัสแบบลากรางจ์ ทอรัสคู่จะกำหนดโดยวาไรตี้จาโค เบียน ของซึ่งแทน ด้วย นี่คือทอรัสที่มีมิติเดียวกันอีก ครั้ง และความเป็นคู่ถูกเข้ารหัสไว้ในข้อเท็จจริงที่ว่าดังนั้นและจึงเป็นคู่กันภายใต้การสร้างนี้ วาไรตี้จาโคเบียนมีการตีความที่สำคัญคือปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลเส้นบน${\displaystyle X,{\hat {X}}\to B}$${\displaystyle T\subset X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {T}}=\mathrm {Jac} (T)}$${\displaystyle \mathrm {Jac} (\mathrm {Jac} (T))=T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {T}}}$${\displaystyle {\hat {T}}}$${\displaystyle T}$

ความเป็นคู่และการตีความทอรัสคู่ว่าเป็นปริภูมิโมดูลัสของชีฟบนทอรัสเดิมนี้เองที่ทำให้สามารถแลกเปลี่ยนข้อมูลของซับแมนิโฟลด์และซับชีฟได้ มีตัวอย่างง่ายๆ สองตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้:

• ถ้าเป็นจุดซึ่งอยู่ภายในไฟเบอร์บางส่วนของทอรัสไฟเบอร์แบบลากรางจ์พิเศษแล้ว เนื่องจากจุดนั้นจะสอดคล้องกับมัดเส้นที่รองรับบนถ้าเลือกส่วนตัดลากรางจ์ที่ทำให้เป็นส่วนย่อยลากรางจ์ของแล้วเนื่องจากเลือกจุดหนึ่งจุดในแต่ละไฟเบอร์ทอรัสของไฟเบอร์แบบ SYZ ส่วนตัดลากรางจ์นี้จะเป็นคู่สมมาตรกับโครงสร้างมัดเส้นที่รองรับบนแต่ละไฟเบอร์ทอรัสของแมนิโฟลด์กระจกและด้วยเหตุนี้จึงเป็นมัดเส้นบนปริภูมิทั้งหมดของ ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของชีฟที่สอดคล้องกันที่ปรากฏในหมวดหมู่ที่ได้มาของแมนิโฟลด์กระจก ถ้าไฟเบอร์ทอรัสกระจกไม่ได้อยู่ในขีดจำกัดกึ่งแบน จะต้องระมัดระวังเป็นพิเศษเมื่อข้ามผ่านเซตเอกฐานของฐาน${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p\in T\subset X}$${\displaystyle T=\mathrm {Jac} ({\hat {T}})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$${\displaystyle s:B\to X}$${\displaystyle s(B)=L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle B}$

• อีกตัวอย่างหนึ่งของซับแมนิโฟลด์แบบลากรางจ์คือไฟเบอร์ของทอรัสเอง และจะเห็นได้ว่าหากนำทอรัสทั้งหมดมาเป็นลากรางจ์โดยเพิ่มข้อมูลของบันเดิลเส้น เอกภาพแบบแบนราบ เหนือทอรัส ซึ่งมักจำเป็นในสมมาตรกระจกเชิงโฮโมโลจีแล้ว ในทอรัสคู่ขนานสิ่งนี้จะสอดคล้องกับจุดเดียวที่แสดงถึงบันเดิลเส้นนั้นเหนือทอรัส หากนำชีฟตึกระฟ้าที่รองรับบนจุดนั้นในทอรัสคู่ขนาน เราจะเห็นว่าไฟเบอร์ของทอรัสของการจัดเรียงแบบ SYZ ถูกส่งไปยังชีฟตึกระฟ้าที่รองรับบนจุดในไฟเบอร์ทอรัสกระจก${\displaystyle T\subset X}$${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$

ตัวอย่างทั้งสองนี้สร้าง ชีฟแบบโคherent ที่สุดขั้วได้แก่ชีฟอิสระเฉพาะที่ (อันดับ 1) และชีฟทอร์ชั่นที่รองรับบนจุด ด้วยการสร้างที่ระมัดระวังมากขึ้น เราสามารถสร้างตัวอย่างชีฟแบบโคherent ที่ซับซ้อนกว่าได้ คล้ายกับการสร้างชีฟแบบโคherent โดยใช้การกรองทอร์ชั่น ตัวอย่างง่ายๆ เช่นมัลติเซกชันแบบ ลากรางจ์ (การรวมกันของ ส่วนลากรางจ์ kส่วน) ควรจะเป็นคู่สมมาตรแบบมิเรอร์กับเวกเตอร์บันเดิลอันดับkบนแมนิโฟลด์แบบมิเรอร์ แต่เราต้องระมัดระวังในการพิจารณาการแก้ไขอินสแตนตอนโดยการนับดิสก์โฮโลมอร์ฟิกที่ถูกล้อมรอบด้วยมัลติเซกชัน ในความหมายของทฤษฎี Gromov-Wittenด้วยวิธีนี้เรขาคณิตเชิงนับจึงมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจว่าสมมาตรแบบมิเรอร์สลับวัตถุคู่สมมาตรอย่างไร

โดยการผสมผสานเรขาคณิตของไฟเบอร์เรชันแบบมิเรอร์ในสมมติฐาน SYZ เข้ากับความเข้าใจอย่างละเอียดเกี่ยวกับตัวแปรคงที่เชิงนับและโครงสร้างของเซตเอกฐานทำให้สามารถใช้เรขาคณิตของไฟเบอร์เรชันเพื่อสร้างไอโซมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่จากซับแมนิโฟลด์แบบลากรางจ์ของไปยังชีฟแบบสอดคล้องกันของ ซึ่งเป็นแผนที่โดยการทำซ้ำการอภิปรายเดียวกันนี้ในทางกลับกันโดยใช้ความเป็นคู่ของไฟเบอร์เรชันแบบทอรัส เราสามารถเข้าใจชีฟแบบสอดคล้องกันบนในแง่ของซับแมนิโฟลด์แบบลากรางจ์ของ ได้เช่นกัน และหวังว่าจะได้รับความเข้าใจอย่างสมบูรณ์ว่าสมมติฐาน HMS เกี่ยวข้องกับสมมติฐาน SYZ อย่างไร ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle \mathrm {Fuk} (X)\to \mathrm {D} ^{b}\mathrm {Coh} ({\hat {X}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$