ในแคลคูลัสแนวคิดเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์ด้านเดียวและความสามารถในการหาอนุพันธ์กึ่งด้านของฟังก์ชันค่าจริงfของตัวแปรจริงนั้นอ่อนกว่าความสามารถในการหาอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันfกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ด้านขวาได้ที่จุดaถ้าโดยคร่าวๆ แล้วอนุพันธ์ สามารถนิยามได้ว่าเป็นการ เคลื่อน ตัวแปร xของฟังก์ชัน จากทางขวาไปยังจุด aและกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ด้านซ้าย ได้ ที่ จุด aถ้าอนุพันธ์สามารถนิยามได้ว่าเป็นการเคลื่อน ตัวแปร xจากทางซ้าย ไปยัง จุด a

ในทางคณิตศาสตร์อนุพันธ์ซ้ายและอนุพันธ์ขวาคืออนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน) ที่กำหนดขึ้นสำหรับการเคลื่อนที่ในทิศทางเดียวเท่านั้น (ซ้ายหรือขวา กล่าวคือ ไปยังค่าที่ต่ำกว่าหรือสูงกว่า) โดยตัวแปรของฟังก์ชัน

ให้fแทนฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตย่อยIของจำนวนจริง

ถ้าa  ∈  Iเป็นจุดลิมิตของI  ∩  [ a ,∞)และลิมิตด้านเดียว

${\displaystyle \partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

ถ้า f เป็นจำนวนจริงแสดง ว่า f สามารถหา อนุพันธ์ขวาได้ที่จุด aและลิมิต∂ ₊ f ( a ) เรียกว่าอนุพันธ์ขวาของfที่จุด a

ถ้าa  ∈  Iเป็นจุดลิมิตของI  ∩  (–∞, a ]และลิมิตด้านเดียว

${\displaystyle \partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

ถ้า f เป็นจำนวนจริงแสดง ว่า f สามารถหา อนุพันธ์ซ้ายได้ที่จุด aและลิมิต∂ _– f ( a ) เรียกว่าอนุพันธ์ซ้ายของfที่จุด a

ถ้าa  ∈  Iเป็นจุดลิมิตของI  ∩  [ a ,∞)และI  ∩  (–∞, a ]และถ้าfสามารถหาอนุพันธ์ได้ทั้งซ้ายและขวาที่aแล้วfจะเรียกว่า สามารถหาอนุพันธ์ ได้ บางส่วนที่a

ถ้าอนุพันธ์ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน อนุพันธ์เหล่านั้นจะมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ปกติ ("แบบสองทิศทาง") นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดอนุพันธ์สมมาตร ได้ ซึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุพันธ์ด้านซ้ายและด้านขวา (เมื่อทั้งสองมีอยู่) ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรอาจมีอยู่เมื่ออนุพันธ์ปกติไม่มีอยู่^{[ 1 ]}

• ฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในaของโดเมนก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์กึ่งได้ที่จุดaและอนุพันธ์ด้านซ้ายเท่ากับอนุพันธ์ด้านขวา
• ตัวอย่างของฟังก์ชันกึ่งอนุพันธ์ ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันอนุพันธ์โดยตรง คือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่a  = 0 เราหาค่านี้ได้ง่ายๆ${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle \partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.}$
• ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์กึ่งได้ที่จุดaแสดงว่าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องที่จุด aด้วย
• ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ 1 _[0,∞)สามารถหาอนุพันธ์ขวาได้ที่ทุกค่าจริงaแต่ไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ (โปรดทราบว่าฟังก์ชันตัวบ่งชี้นี้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ซ้ายได้ที่ศูนย์)

ถ้าฟังก์ชันf ซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่หาอนุพันธ์ได้ และกำหนดบนช่วงIบนเส้นจำนวนจริง มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ทุกจุด ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ดังที่แสดงให้เห็นจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ข้อสมมติเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์สามารถลดทอนลงเหลือเพียงความต่อเนื่องและความสามารถในการหาอนุพันธ์ด้านเดียวของfได้ เวอร์ชันสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ทางขวาได้แสดงไว้ด้านล่าง ส่วนเวอร์ชันสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ทางซ้ายได้นั้นก็คล้ายคลึงกัน

อีกหนึ่งการใช้งานทั่วไปคือการอธิบายอนุพันธ์ที่ถือเป็นตัวดำเนินการไบนารีในสัญกรณ์อินฟิกซ์ซึ่งอนุพันธ์จะถูกนำไปใช้กับตัวถูกดำเนินการ ด้านซ้ายหรือด้านขวา วิธีนี้มีประโยชน์ เช่น เมื่อกำหนดรูปแบบทั่วไปของวงเล็บปัวซงสำหรับฟังก์ชัน f และ g อนุพันธ์ด้านซ้ายและด้านขวาจะถูกกำหนดดังนี้ตามลำดับ

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial _{x}}}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g}$

${\displaystyle f{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.}$

ในสัญกรณ์ bra–ketตัวดำเนินการอนุพันธ์สามารถกระทำกับตัวถูกดำเนินการทางขวาเป็นอนุพันธ์ปกติหรือทางซ้ายเป็นอนุพันธ์ลบได้^{[ 2 ]}

นิยามข้างต้นสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันค่าจริงfที่กำหนดบนเซตย่อยของR ⁿ ได้ โดยใช้อนุพันธ์ทิศทางใน รูปแบบที่อ่อนกว่า ให้aเป็นจุดภายในของโดเมนของfแล้วfเรียกว่ากึ่งอนุพันธ์ได้ที่จุดaถ้าสำหรับทุกทิศทางu  ∈  R ⁿลิมิตของ f = 0

${\displaystyle \partial _{\mathbf {u} }f(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {u} )-f(\mathbf {a} )}{h}}}$

มีอยู่จริงใน รูป ของจำนวนจริง โดยที่h  ∈  R

ดังนั้น ความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบกึ่งจึงอ่อนกว่าความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบ Gateauxซึ่งในลิมิตข้างต้นh  → 0 นั้นไม่จำเป็นต้องจำกัดhให้เป็นค่าบวกเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์กึ่งได้ที่แต่ไม่ใช่อนุพันธ์เกตโตซ์ที่จุดนั้น อันที่จริง ด้วย${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ และสำหรับ }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y),}$${\displaystyle \mathbf {a} =(0,0),\mathbf {u} =(x,y){\text{ และ }}\partial _{\mathbf {u} }f(0,0)=f(x,y).}$

(โปรดทราบว่าการสรุปทั่วไปนี้ไม่เทียบเท่ากับนิยามเดิมสำหรับn = 1เนื่องจากแนวคิดของจุดลิมิตด้านเดียวถูกแทนที่ด้วยแนวคิดที่แข็งแกร่งกว่าของจุดภายใน)

• ฟังก์ชันนูนใดๆบนเซตย่อยเปิด นูน ของR ⁿนั้นเป็นฟังก์ชันกึ่งอนุพันธ์
• ในขณะที่ฟังก์ชันกึ่งอนุพันธ์ทุกฟังก์ชันของตัวแปรเดียวมีความต่อเนื่อง แต่สำหรับตัวแปรหลายตัวนั้น ข้อนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป

แทนที่จะใช้ฟังก์ชันค่าจริง เราอาจพิจารณาฟังก์ชันที่รับค่าในR ⁿหรือในปริภูมิบานาคก็ได้

• อนุพันธ์เชิงทิศทาง
• อนุพันธ์ย่อย
• ไล่ระดับสี
• อนุพันธ์ของ Gateaux
• อนุพันธ์ของ Fréchet
• อนุพันธ์ (การสรุปทั่วไป)
• การกำหนดสูตรพื้นที่เฟส § ผลคูณดาว
• อนุพันธ์ของ Dini