ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของ Sharkovskii (สะกดได้หลายแบบ เช่นSharkovsky , Sharkovskiy , ŠarkovskiiหรือSarkovskii ) ซึ่งตั้งชื่อตามOleksandr Mykolayovych Sharkovskyผู้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทนี้ในปี พ.ศ. 2507 เป็นผลลัพธ์เกี่ยวกับระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 1 ]}หนึ่งในนัยของทฤษฎีบทนี้คือ หากระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนจริงมีจุดคาบที่มีคาบ 3 แล้ว ระบบนั้นจะต้องมีจุดคาบที่มีคาบอื่น ๆ อีกด้วย

สำหรับช่วงเวลา หนึ่ง สมมติว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจำนวนเรียกว่าจุดคาบที่มีคาบถ้าโดยที่แทนฟังก์ชันที่ทำซ้ำซึ่งได้จากการประกอบสำเนา ของ จำนวนกล่าวได้ว่ามีคาบน้อยที่สุดถ้านอกจากนี้สำหรับทุกทฤษฎีบทของ Sharkovskii เกี่ยวข้องกับคาบน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของจุดคาบของพิจารณาการเรียงลำดับของจำนวนเต็ม บวกต่อไปนี้ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการเรียงลำดับ Sharkovskii: ^{[ 2 ]}${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$$${\displaystyle f:I\to I}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$${\displaystyle f^{(m)}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$${\displaystyle 0<k<m}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$$

ประกอบด้วย:

• เลขคี่ ( ไม่รวมเลขคี่) เรียง ลำดับจากน้อยไปมาก${\displaystyle 1}$${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$
• 2 เท่าของจำนวนคี่ที่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$
• 4 เท่าของจำนวนคี่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$
• 8 เท่าของเลขคี่${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$
• เป็นต้น${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• สุดท้ายนี้ คือเลขยกกำลังของสองเรียงลำดับจากมากไปน้อย${\displaystyle =2^{n}}$

ลำดับนี้เป็นลำดับสมบูรณ์ : จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนปรากฏเพียงครั้งเดียวในรายการนี้ อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ลำดับที่ดี (well-order)ในลำดับที่ดีนั้น เซตย่อยทุกเซตจะมีสมาชิกที่เก่าแก่ที่สุด แต่ในลำดับนี้ไม่มีเลขยกกำลังสองที่เก่าแก่ที่สุด

ทฤษฎีบทของ Sharkovskii กล่าวว่า ถ้ามีจุดคาบที่มีคาบน้อยที่สุดและอยู่ก่อนหน้าในลำดับข้างต้น แล้วก็จะมีจุดคาบที่มีคาบน้อยที่สุดเช่นกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

ผลที่ตามมาประการหนึ่งก็คือ ถ้ามีจุดคาบเพียงจำนวนจำกัด จุดคาบเหล่านั้นทั้งหมดจะต้องมีค่าเป็นกำลังของสอง นอกจากนี้ ถ้ามีจุดคาบที่มีคาบสาม ก็จะมีจุดคาบที่มีคาบอื่นๆ ทุกค่าด้วย ${\displaystyle f}$

ทฤษฎีบทของ Sharkovskii ไม่ได้ระบุว่ามี วัฏจักร ที่เสถียรในช่วงเวลาเหล่านั้น เพียงแต่ระบุว่ามีวัฏจักรในช่วงเวลาเหล่านั้น สำหรับระบบเช่นแผนที่โลจิสติกส์แผนภาพการแยกสาขาแสดงช่วงของค่าพารามิเตอร์ซึ่งเห็นได้ชัดว่ามีเพียงวัฏจักรเดียวที่มีคาบเวลา 3 ในความเป็นจริงแล้ว จะต้องมีวัฏจักรที่มีคาบเวลาทุกช่วง แต่พวกมันไม่เสถียรและจึงมองไม่เห็นในภาพที่สร้างขึ้นโดยคอมพิวเตอร์

ข้อสมมติเรื่องความต่อเนื่องมีความสำคัญ หากไม่มีข้อสมมตินี้ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง ที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งนิยามไว้ดังนี้: ซึ่งทุกค่ามีคาบ 3 จะเป็นตัวอย่างค้าน ในทำนองเดียวกัน ข้อสมมติเรื่องการนิยามบนช่วงหนึ่งก็มีความสำคัญเช่นกัน มิฉะนั้นซึ่งนิยามบนจำนวนจริงยกเว้นจำนวนหนึ่ง: และซึ่งทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์มีคาบ 3 จะเป็นตัวอย่างค้าน ${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$$${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$

Sharkovskii ยังพิสูจน์ทฤษฎีบทผกผันอีกด้วย: เซตบน ทุกเซต ของลำดับข้างต้นเป็นเซตของคาบสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันจากช่วงหนึ่งไปยังตัวมันเอง ในความเป็นจริง เซตของคาบดังกล่าวทั้งหมดเกิดขึ้นจากตระกูลของฟังก์ชันสำหรับยกเว้นเซตของคาบว่างซึ่งเกิดขึ้นจาก^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$${\displaystyle h\in [0,1]}$${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x+1}$

ในทางกลับกัน ด้วยข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงการจัดเรียงของแผนที่ช่วงเวลาที่กระทำกับจุดในวงโคจรแบบคาบ จุดคาบ n อาจบังคับให้เกิดคาบ 3 (และด้วยเหตุนี้จึงทำให้เกิดคาบทั้งหมด) กล่าวคือ หากประเภทของวงโคจร (การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยแผนที่ที่กระทำกับจุดในวงโคจรแบบคาบ) มีสิ่งที่เรียกว่าคู่การยืด นั่นหมายถึงการมีอยู่ของจุดคาบที่มีคาบ 3 สามารถแสดงได้ (ในความหมายเชิงอะซิมโทติก) ว่าการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรเกือบทั้งหมดมีคู่การยืดอย่างน้อยหนึ่งคู่ และด้วยเหตุนี้ ประเภทของวงโคจรเกือบทั้งหมดจึงหมายถึงคาบ 3 ^{[ 5 ]}

Tien-Yien LiและJames A. Yorkeแสดงให้เห็นในปี 1975 ว่าการมีอยู่ของวัฏจักรคาบ 3 ไม่เพียงแต่บ่งบอกถึงการมีอยู่ของวัฏจักรทุกคาบเท่านั้น แต่ยังบ่งบอกถึงการมีอยู่ของจุดอนันต์ที่นับไม่ถ้วนซึ่งไม่เคยแมปกับวัฏจักรใด ๆ ( จุดอลวน ) ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าคาบสามบ่งบอกถึงความอลวน^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทของ Sharkovskii ไม่สามารถนำไปใช้กับระบบไดนามิกบนปริภูมิโทโพโลยีอื่นได้โดยตรง การหาแผนที่วงกลมที่มีจุดคาบเพียง 3 นั้นทำได้ง่าย เช่น การหมุน 120 องศา แต่การวางนัยทั่วไปบางอย่างก็เป็นไปได้ โดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับกลุ่มคลาสการแมปของปริภูมิที่ลบวงโคจรคาบ ตัวอย่างเช่นPeter Kloedenแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Sharkovskii ใช้ได้กับการแมปแบบสามเหลี่ยม กล่าวคือ การแมปที่ส่วนประกอบf ขึ้นอยู่กับ ส่วนประกอบiแรกx ,..., x เท่านั้น^{[ 7 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของชาร์คอฟสกี" . MathWorld .
• ทฤษฎีบทของ Sharkovskiiที่PlanetMath
• Teschl, Gerald (2012). สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบพลวัต . พรอวิเดนซ์ : สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Misiurewicz, Michal (พฤศจิกายน 1997). "ข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Sharkovsky" The American Mathematical Monthly . 104 (9): 846– 847. doi : 10.1080/00029890.1997.11990727 .
• Keith Burns และ Boris Hasselblatt, ทฤษฎีบท Sharkovsky: การพิสูจน์โดยตรงที่เป็นธรรมชาติ
• Scholarpedia: การเรียงลำดับแบบ Sharkovsky โดย Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky