ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตแบบสับเปลี่ยน (shuffle algebra)คือพีชคณิตฮอปฟ์ (Hopf algebra)ที่มีฐานซึ่งสอดคล้องกับคำบนเซตบางเซต โดยผลคูณของฐานจะกำหนดโดยผลคูณแบบสับเปลี่ยนX ⧢ YของคำสองคำX , Yซึ่งก็คือผลรวมของวิธีการสลับคำทั้งหมด การสลับคำนี้กำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบสับเปลี่ยนริฟเฟิล (riffle shuffle permutation )

พีชคณิตการสับเปลี่ยนบนเซตจำกัดคือคู่ลำดับของพีชคณิตการห่อหุ้มสากลของพีชคณิตลีอิสระบนเซตนั้น

เหนือจำนวนตรรกยะ พีชคณิตการสับเปลี่ยนนั้นสมมูลกับพีชคณิตพหุนามในคำพูดของลินดอน

ผลคูณแบบสับเปลี่ยนเกิดขึ้นในบริบททั่วไปของพีชคณิตที่ไม่สลับที่กันได้เนื่องจากสามารถรักษาลำดับสัมพัทธ์ของตัวประกอบที่คูณกันได้ ซึ่งก็คือการเรียงสับเปลี่ยนแบบริฟเฟิลชัฟเฟิล สิ่งนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับโครงสร้างกำลังแบบหารซึ่งเหมาะสมเมื่อตัวประกอบสลับที่กันได้

ผลคูณการสลับคำที่มีความยาวmและnคือผลรวมของวิธีการสลับคำทั้งสองจำนวน ⁠ ( m + n )! / m ! n ! ⁠ วิธี ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้:

ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab

aaa ⧢ aa = 10 aaaaa

อาจกำหนดโดยอุปนัยโดย^{[ 1 ]}

u ⧢ ε = ε ⧢ u = u

ua ⧢ vb = ( คุณ ⧢ vb ) a + ( ua ⧢ v ) b

โดยที่ ε คือคำว่างเปล่า , aและbคือองค์ประกอบเดี่ยว และuและvคือคำใดๆ ก็ได้

ผลิตภัณฑ์การสับเปลี่ยนถูกนำเสนอโดยEilenberg & Mac Lane (1953)ชื่อ "ผลิตภัณฑ์การสับเปลี่ยน" หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าผลิตภัณฑ์สามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมของวิธีการสับเปลี่ยนแบบริฟเฟิล ทั้งหมด กับคำสองคำเข้าด้วยกัน: นี่คือการเรียงสับเปลี่ยนแบบริฟเฟิลผลิตภัณฑ์มีคุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม^{[ 2 ]}

ผลคูณแบบสลับตำแหน่งของคำสองคำในอักษรบางชุด มักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ผลคูณแบบสลับตำแหน่ง ⧢ ( อักขระ ยูนิโค้ด U+29E2 ผลคูณแบบสลับตำแหน่งซึ่งได้มาจากอักษร ซีริ ลลิก⟨ш⟩ sha )

ผลิตภัณฑ์การแทรกซึมที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดได้รับการแนะนำโดยChen, Fox & Lyndon (1958)โดยนิยามแบบอุปนัยบนคำศัพท์เหนือตัวอักษรAโดย

ฟ้า ↑ ga = ( ฉ ↑ ga ) ก + ( ฟ้า ↑ ก. ) ก + ( ฉ ↑ ก. ) ก

ฟ้า ↑ gb = ( ฉ ↑ gb ) ก + ( ฟ้า ↑ ก . ) ข

ตัวอย่างเช่น:

ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab

ab ↑ ba = อาบา + บับ + เอบับ + 2 อับบา + 2 บับ + บาบา

ผลิตภัณฑ์การแทรกซึมยังมีคุณสมบัติการสลับที่และการเชื่อมโยงด้วย^{[ 3 ]}

• พีชคณิตฮอปฟ์ของการเรียงสับเปลี่ยน
• พีชคณิตของซินบีเอล

• สลับสัญลักษณ์ผลิตภัณฑ์