ในกลศาสตร์ควอนตัม ดีเทอร์มิแนนต์ของ สเลเตอร์ คือการแสดงออกที่อธิบายฟังก์ชันคลื่นของ ระบบ เฟอร์มิออน หลายตัว มันสอดคล้องกับ ข้อกำหนด ของสมมาตรแบบผกผันและด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับหลักการของเปาลีโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อมีการแลกเปลี่ยนเฟอร์มิออนสองตัว^{[ 1 ]}มีเพียงส่วนย่อยเล็กๆ ของฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออนหลายตัวที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่านั้นที่สามารถเขียนได้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์เพียงตัวเดียว แต่ส่วนย่อยเหล่านั้นเป็นส่วนย่อยที่สำคัญและมีประโยชน์เนื่องจากความเรียบง่าย

ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์เกิดขึ้นจากการพิจารณาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกลุ่มอิเล็กตรอนแต่ละตัวซึ่งมีฟังก์ชันคลื่นที่เรียกว่าสปิน-ออร์บิทัล${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {x} }$แสดงถึงตำแหน่งและสปินของอิเล็กตรอนตัวเดียว ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์ที่มีอิเล็กตรอนสองตัวที่มีวงโคจรสปินเดียวกัน จะสอดคล้องกับฟังก์ชันคลื่นที่เป็นศูนย์ทุกที่

ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์ตั้งชื่อตามจอห์น ซี. สเลเตอร์ผู้ซึ่งแนะนำดีเทอร์มิแนนต์ในปี พ.ศ. 2462 เพื่อเป็นวิธีการรับรองความไม่สมมาตรของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนหลายตัว^{[ 2 ]}แม้ว่าฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบดีเทอร์มิแนนต์จะปรากฏขึ้นอย่างอิสระในบทความของไฮเซนเบิร์ก^{[ 3 ]}และดิแรก^{[ 4 ] [ 5 ]}สามปีก่อนหน้านั้น

คุณสมบัติหลายประการของดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์ปรากฏให้เห็นได้จากตัวอย่างในปัญหาอิเล็กตรอนหลายตัวที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ^{[ 7 ]}

• เทอมอนุภาคเดี่ยวของแฮมิลโทเนียนจะส่งผลในลักษณะเดียวกับผลคูณฮาร์ทรีแบบง่าย กล่าวคือ พลังงานจะถูกรวมเข้าด้วยกันและสถานะต่างๆ จะเป็นอิสระต่อกัน
• เทอมหลายอนุภาคของแฮมิลโทเนียนจะทำให้เกิดเทอมแลกเปลี่ยนเพื่อลดพลังงานสำหรับฟังก์ชันคลื่นแบบแอนตี้สมมาตร

เริ่มต้นจากแฮมิลโทเนียนระดับโมเลกุล : $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{tot}}=\sum _{i}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}}{2m}}+\sum _{I}{\frac {\mathbf {P} _{I}^{2}}{2M_{I}}}+\sum _{i}V_{\text{nucl}}(\mathbf {r_{i}} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}+{\frac {1}{2}}\sum _{I\neq J}{\frac {Z_{I}Z_{J}e^{2}}{|\mathbf {R} _{I}-\mathbf {R} _{J}|}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$อิเล็กตรอนและ${\displaystyle \mathbf {R} _{I}}$นิวเคลียสและ

${\displaystyle V_{\text{nucl}}(\mathbf {r} )=-\sum _{I}{\frac {Z_{I}e^{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} _{I}|}}}$

เพื่อความง่าย เราจะตรึงนิวเคลียสไว้ที่ตำแหน่งสมดุลตำแหน่งเดียว และเราจะยังคงใช้แฮมิลโทเนียนแบบง่ายต่อไป

${\displaystyle {\hat {H}}_{e}=\sum _{i}^{N}{\hat {h}}(\mathbf {r} _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}{\frac {e^{2}}{r_{ij}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\hat {h}}(\mathbf {r} )={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+V_{\text{nucl}}(\mathbf {r} )}$

และในแฮมิลโทเนียน เราจะแยกแยะความแตกต่างระหว่างชุดเทอมแรกดังนี้${\displaystyle {\hat {G}}_{1}}$(พจน์อนุภาค "1") และพจน์สุดท้าย${\displaystyle {\hat {G}}_{2}}$(เทอมอนุภาค "2") ซึ่งประกอบด้วยเทอมแลกเปลี่ยนสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์

${\displaystyle {\hat {G}}_{1}=\sum _{i}^{N}{\hat {h}}(\mathbf {r} _{i})}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}{\frac {e^{2}}{r_{ij}}}}$

ส่วนประกอบทั้งสองจะแสดงพฤติกรรมที่แตกต่างกันเมื่อต้องมีปฏิสัมพันธ์กับฟังก์ชันคลื่นดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์ เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณค่าคาดหวังของเทอมหนึ่งอนุภาค

${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{1}|\Psi _{0}\rangle ={\frac {1}{N!}}\langle \det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}|G_{1}|\det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}\rangle }$

ในนิพจน์ข้างต้น เราสามารถเลือกการเรียงสับเปลี่ยนที่เหมือนกันในดีเทอร์มิแนนต์ทางด้านซ้ายได้เลย เนื่องจากลำดับการเรียงสับเปลี่ยนอีก N! − 1 แบบที่เหลือจะให้ผลลัพธ์เดียวกันกับแบบที่เลือกไว้ ดังนั้นเราจึงสามารถตัด N! ออกจากตัวส่วนได้

${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{1}|\Psi _{0}\rangle =\langle \psi _{1}...\psi _{N}|G_{1}|\det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}\rangle }$

เนื่องจากความเป็นออร์โทนอร์มอลของสปิน-ออร์บิทัล จึงเห็นได้ชัดว่ามีเพียงการเรียงสับเปลี่ยนที่เหมือนกันเท่านั้นที่คงอยู่ในดีเทอร์มิแนนต์ทางด้านขวาขององค์ประกอบเมทริกซ์ข้างต้น

${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{1}|\Psi _{0}\rangle =\langle \psi _{1}...\psi _{N}|G_{1}|\psi _{1}...\psi _{N}\rangle }$

ผลลัพธ์นี้แสดงให้เห็นว่า การทำให้ผลคูณไม่สมมาตรนั้นไม่มีผลใดๆ ต่อพจน์ที่มีอนุภาคเดียว และมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับกรณีของผลคูณฮาร์ทรีแบบง่าย

สุดท้ายนี้ เรายังคงอยู่กับร่องรอยของแฮมิลโทเนียนอนุภาคเดี่ยว

${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{1}|\Psi _{0}\rangle =\sum _{i}\langle \psi _{i}|h|\psi _{i}\rangle }$

ซึ่งบอกเราว่า ในระดับของพจน์อนุภาคเดี่ยว ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนแต่ละตัวเป็นอิสระต่อกัน และค่าเฉลี่ยของระบบโดยรวมจะเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยของอนุภาคแต่ละตัว

สำหรับพจน์สองอนุภาคแทน

${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{2}|\Psi _{0}\rangle ={\frac {1}{N!}}\langle \det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}|G_{2}|\det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}\rangle =\langle \psi _{1}...\psi _{N}|G_{2}|\det\{\psi _{1}...\psi _{N}\}\rangle }$

หากเราพิจารณาเฉพาะการกระทำของเทอมใดเทอมหนึ่ง${\displaystyle G_{2}}$ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เพียงสองพจน์เท่านั้น

${\displaystyle \langle \psi _{1}(r_{1},\sigma _{1})...\psi _{N}(r_{N},\sigma _{N})|{\frac {e^{2}}{r_{12}}}|\mathrm {det} \{\psi _{1}(r_{1},\sigma _{1})...\psi _{N}(r_{N},\sigma _{N})\}\rangle =\langle \psi _{1}\psi _{2}|{\frac {e^{2}}{r_{12}}}|\psi _{1}\psi _{2}\rangle -\langle \psi _{1}\psi _{2}|{\frac {e^{2}}{r_{12}}}|\psi _{2}\psi _{1}\rangle }$

และสุดท้ายนี้ $${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{2}|\Psi _{0}\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}\left[\langle \psi _{i}\psi _{j}|{\frac {e^{2}}{r_{ij}}}|\psi _{i}\psi _{j}\rangle -\langle \psi _{i}\psi _{j}|{\frac {e^{2}}{r_{ij}}}|\psi _{j}\psi _{i}\rangle \right]}$$

ซึ่งเป็นพจน์ผสม ส่วนประกอบแรกเรียกว่าพจน์ "คูลอมบ์" หรือปริพันธ์ "คูลอมบ์" และส่วนประกอบที่สองคือพจน์ "แลกเปลี่ยน" หรือปริพันธ์แลกเปลี่ยน บางครั้งอาจใช้ช่วงดัชนีที่แตกต่างกันในการบวก${\textstyle \sum _{ij}}$เนื่องจากผลกระทบจากแรงคูลอมบ์และแรงแลกเปลี่ยนหักล้างกันอย่างสมบูรณ์${\displaystyle i=j}$.

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตอย่างชัดเจนว่าเทอมการแลกเปลี่ยนซึ่งเป็นบวกเสมอสำหรับสปินออร์บิทัลเฉพาะที่^{[ 8 ]}จะไม่มีอยู่ในผลคูณฮาร์ทรีแบบง่าย ดังนั้นพลังงานการผลักกันระหว่างอิเล็กตรอนจึงไม่มี${\displaystyle \langle \Psi _{0}|G_{2}|\Psi _{0}\rangle }$พลังงานจากการคูณแบบแอนติสมมาตรของสปิน-ออร์บิทัลนั้นต่ำกว่าพลังงานผลักกันระหว่างอิเล็กตรอนบนผลคูณแบบฮาร์ทรีอย่างง่ายของสปิน-ออร์บิทัลเดียวกันเสมอ เนื่องจากปริพันธ์ไบอิเล็กตรอนของการแลกเปลี่ยนมีค่าต่างจากศูนย์เฉพาะสำหรับสปิน-ออร์บิทัลที่มีสปินขนานกันเท่านั้น เราจึงเชื่อมโยงการลดลงของพลังงานกับข้อเท็จจริงทางกายภาพที่ว่าอิเล็กตรอนที่มีสปินขนานกันจะถูกแยกออกจากกันในพื้นที่จริงในสถานะดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์

พื้นที่ของสถานะควอนตัมบริสุทธิ์ทั้งหมดในปริภูมิฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {H}}}$สามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ของปริภูมิย่อย 1 มิติทั้งหมดของ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$เนื่องจากสถานะที่แตกต่างกันด้วยเฟสโดยรวมแสดงถึงสถานะทางกายภาพเดียวกัน ตัวกำหนดสเลเตอร์ในผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes N}}$ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง จนถึงระดับสากล โดย${\displaystyle N}$ปริภูมิย่อยมิติของ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ครอบคลุมโดยสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สอดคล้องกัน พื้นที่ของสถานะที่สามารถเขียนได้เป็นตัวกำหนดสเลเตอร์ตัวเดียวใน${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ก่อให้เกิดแมนิโฟลด์เรียบและวาไรตีพีชคณิตเชิงฉายซึ่งโดยธรรมชาติแล้วสามารถระบุได้ว่าเป็นกราสส์มันเนียน${\displaystyle \mathbf {Gr} _{N}({\mathcal {H}})}$การฝังตัวลงในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงโปรเจกทีฟหลายอนุภาค${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {H}}^{\otimes N})}$เทียบเท่ากับการฝังตัวแบบ Plückerซึ่งตรงกับการหาดีเทอร์มิแนนต์ Slater แบบหลายอนุภาคของเซตที่กำหนดอย่างแม่นยำ${\displaystyle N}$สถานะอนุภาคเดี่ยว ในเคมีควอนตัมโครงสร้างทางเรขาคณิตของพื้นที่เหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีของวิธี Hartree-Fockและสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์เชิงทฤษฎีเกี่ยวกับการมีอยู่ของคำตอบของสมการ Hartree-Fock ^{[ 9 ]}

ฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออนส่วนใหญ่ไม่สามารถแสดงเป็นดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์ได้ การประมาณค่าสเลเตอร์ที่ดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออนที่กำหนดสามารถกำหนดได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ทำให้การทับซ้อนระหว่างดีเทอร์มิแนนต์สเลเตอร์และฟังก์ชันคลื่นเป้าหมาย มีค่าสูงสุด ^{[ 10 ]}การทับซ้อนสูงสุดเป็นการวัดทางเรขาคณิตของการพันกันระหว่างเฟอร์มิออน

ใน ทฤษฎีฮาร์ทรี-ฟ็อคจะใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์เพียงตัวเดียวในการประมาณค่าฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน แต่ในทฤษฎีที่แม่นยำกว่า (เช่นทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ของคอนฟิกูเรชันและMCSCF ) จะต้องใช้การรวมกันเชิงเส้นของดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์หลายตัว

คำว่า " detor " ได้รับการเสนอโดยSF Boysเพื่ออ้างถึงตัวกำหนดสเลเตอร์ของออร์บิทัลออร์โทนอร์มอล^{[ 11 ]}แต่คำนี้ไม่ค่อยได้ใช้

ต่างจากเฟอร์มิออนที่อยู่ภายใต้หลักการกีดกันของเปาลีโบซอน สองตัวหรือมากกว่านั้นสามารถครอบครอง สถานะควอนตัมอนุภาคเดี่ยวเดียวกันได้ฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายระบบของโบซอน ที่เหมือนกันนั้น มีความสมมาตรภายใต้การสลับอนุภาค และสามารถขยายได้ในรูปของค่าคงที่

• ตัวทำให้สมมาตร
• วงโคจรอิเล็กตรอน
• พื้นที่ฟ็อค
• ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์
• กลศาสตร์ควอนตัม
• เคมีกายภาพ
• กฎของฮุนด์
• วิธีฮาร์ทรี-ฟ็อค

• รัฐอิเล็กตรอนหลายแห่งใน E. Pavarini, E. Koch และ U. Schollwöck: ปรากฏการณ์ฉุกเฉินในเรื่องที่สัมพันธ์กัน, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6