ในทางเรขาคณิตการวางแนวทัศนคติทิศทางหรือตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุ เช่นเส้นระนาบหรือวัตถุแข็งเกร็งคือการหมุนที่จำเป็นในการเคลื่อนย้ายวัตถุจากตำแหน่งอ้างอิงไปยังตำแหน่งปัจจุบัน ทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าในสามมิติการวางแนวใดๆ ก็สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยการหมุนเพียงครั้งเดียวรอบแกนคงที่นี่เป็นวิธีทั่วไปวิธีหนึ่งในการแสดงการวางแนวโดยใช้การแสดงแบบแกน-มุมวิธีอื่นๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ได้แก่ ควอเทอร์ เนียนการหมุนโรเตอร์มุมออยเลอร์หรือเมทริกซ์การหมุน การใช้งานเฉพาะทางมาก ขึ้น ได้แก่ดัชนีมิลเลอร์ในผลึกศาสตร์การวางตัวและการเอียงในธรณีวิทยา และระดับบนแผนที่และป้ายบอกทาง เวกเตอร์หน่วยอาจใช้เพื่อแสดงทิศทางเวกเตอร์ปกติ ของวัตถุ หรือทิศทางสัมพัทธ์ระหว่างสองจุด ได้เช่นกัน

การวางแนวเป็นส่วนหนึ่งของคำอธิบายว่าวัตถุถูกวางไว้อย่างไรในพื้นที่ที่มันครอบครอง^{[ 1 ]} การหมุนอาจไม่เพียงพอที่จะไปถึงตำแหน่งปัจจุบัน ในกรณีดังกล่าว อาจจำเป็นต้องเพิ่มการแปล เพื่อเปลี่ยน ตำแหน่ง (หรือตำแหน่งเชิงเส้น) ของวัตถุตำแหน่งและการวางแนวร่วมกันอธิบายได้อย่างครบถ้วนว่าวัตถุถูกวางไว้อย่างไรในอวกาศ การหมุนและการแปลอาจเกิดขึ้นในลำดับใดก็ได้ เนื่องจากการวางแนวของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปล และตำแหน่งของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการหมุน

โดยทั่วไป การกำหนดทิศทางจะทำโดยเทียบกับกรอบอ้างอิงซึ่งมักระบุด้วยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

โดยทั่วไป ตำแหน่งและการวางตัวในอวกาศของวัตถุแข็งเกร็งจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งและการวางตัวสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงหลักของกรอบอ้างอิงอื่น ซึ่งกรอบอ้างอิงนี้อยู่กับที่เมื่อเทียบกับวัตถุ และดังนั้นจึงเคลื่อนที่และหมุนไปพร้อมกับวัตถุ ( กรอบอ้างอิงเฉพาะที่ ของวัตถุ หรือระบบพิกัดเฉพาะที่ ) อย่างน้อยที่สุดต้องใช้ค่าอิสระสามค่าในการอธิบายการวางตัวของกรอบอ้างอิงเฉพาะที่นี้ ค่าอีกสามค่าจะอธิบายตำแหน่งของจุดบนวัตถุ จุดทั้งหมดบนวัตถุจะเปลี่ยนตำแหน่งระหว่างการหมุน ยกเว้นจุดที่อยู่บนแกนหมุน หากวัตถุแข็งเกร็งมีความสมมาตรแบบหมุนได้การวางตัวทั้งหมดจะไม่สามารถแยกแยะได้ ยกเว้นโดยการสังเกตว่าการวางตัวเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปจากการวางตัวเริ่มต้นที่ทราบ ตัวอย่างเช่น การวางตัวในอวกาศของเส้นตรงส่วนของเส้นตรงหรือเวกเตอร์สามารถระบุได้ด้วยค่าเพียงสองค่า เช่นค่าโคไซน์ทิศทาง สอง ค่า อีกตัวอย่างหนึ่งคือตำแหน่งของจุดบนโลก ซึ่งมักจะอธิบายโดยใช้การวางตัวของเส้นตรงที่เชื่อมจุดนั้นกับศูนย์กลางของโลก ซึ่งวัดโดยใช้มุมลองจิจูดและละติจูดสอง มุม ในทำนองเดียวกัน ทิศทางของระนาบสามารถอธิบายได้ด้วยค่าสองค่าเช่นกัน ตัวอย่างเช่น โดยการระบุทิศทางของเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบนั้น หรือโดยการใช้มุมเอียงและมุมราบ

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแสดงทิศทางของวัตถุแข็งและระนาบในสามมิติจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปนี้

ในสองมิติทิศทางของวัตถุใดๆ (เส้นตรง เวกเตอร์ หรือรูปทรงระนาบ ) จะถูกกำหนดด้วยค่าเพียงค่าเดียว นั่นคือ มุมที่วัตถุนั้นหมุนไป มีเพียงองศาอิสระเดียว และมีจุดคงที่เพียงจุดเดียวที่การหมุนเกิดขึ้น

เมื่อมี มิติ dมิติ การระบุทิศทางของวัตถุที่ไม่มีสมมาตรแบบหมุนต้องใช้ค่าอิสระ d ( d − 1) / 2 ค่า

มีการพัฒนาวิธีการหลายวิธีเพื่ออธิบายทิศทางของวัตถุแข็งในสามมิติ ซึ่งจะสรุปไว้ในหัวข้อต่อไปนี้

ความพยายามครั้งแรกในการแสดงทิศทางนั้นเป็นผลงานของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เขาจินตนาการถึงกรอบอ้างอิงสามกรอบที่สามารถหมุนรอบกันและกันได้ และตระหนักว่าโดยเริ่มต้นจากกรอบอ้างอิงคงที่และทำการหมุนสามครั้ง เขาสามารถได้กรอบอ้างอิงอื่นใดในอวกาศได้ (โดยใช้การหมุนสองครั้งเพื่อตรึงแกนแนวตั้งและการหมุนอีกครั้งเพื่อตรึงแกนอีกสองแกน) ค่าของการหมุนทั้งสามนี้เรียกว่ามุมออยเลอร์

มุมทั้งสามนี้ หรือที่รู้จักกันในชื่อ มุมหันเห มุมเงย และมุมม้วน เป็นมุมนำทางและมุมคาร์ดาน ในทางคณิตศาสตร์ มุมเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นชุดความเป็นไปได้หกแบบจากชุดมุมออยเลอร์สิบสองแบบ โดยลำดับที่ได้นั้นเป็นลำดับที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการอธิบายทิศทางของยานพาหนะ เช่น เครื่องบิน ในวิศวกรรมการบินและอวกาศ มักเรียกมุมเหล่านี้ว่า มุมออยเลอร์

ออยเลอร์ยังตระหนักอีกว่า การรวมกันของการหมุนสองครั้งนั้นเทียบเท่ากับการหมุนเพียงครั้งเดียวรอบแกนคงที่ที่แตกต่างกัน ( ทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์ ) ดังนั้น การรวมกันของมุมทั้งสามก่อนหน้านี้จึงต้องเท่ากับการหมุนเพียงครั้งเดียว ซึ่งการคำนวณแกนของการหมุนนั้นซับซ้อนจนกระทั่งมีการพัฒนาเมทริกซ์ขึ้นมา

จากข้อเท็จจริงนี้ เขาจึงนำเสนอวิธีการแบบเวกเตอร์เพื่ออธิบายการหมุนใดๆ โดยใช้เวกเตอร์บนแกนการหมุนและมีขนาดเท่ากับค่าของมุม ดังนั้น การวางแนวใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์การหมุน (หรือเรียกว่าเวกเตอร์ออยเลอร์) ที่นำไปสู่การวางแนวนั้นจากกรอบอ้างอิง เมื่อใช้เพื่อแสดงการวางแนว เวกเตอร์การหมุนมักเรียกว่าเวกเตอร์การวางแนว หรือเวกเตอร์ทัศนคติ

วิธีการที่คล้ายกันนี้ เรียกว่าการแสดงผลแบบแกน-มุมอธิบายการหมุนหรือการวางแนวโดยใช้เวกเตอร์หน่วยที่จัดเรียงตามแกนการหมุน และค่าแยกต่างหากเพื่อระบุมุม (ดูรูป)

ด้วยการนำเมทริกซ์มาใช้ ทฤษฎีบทของออยเลอร์จึงถูกเขียนใหม่ การหมุนถูกอธิบายด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์การหมุนหรือเมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง เมื่อใช้เพื่อแสดงทิศทาง เมทริกซ์การหมุนมักเรียกว่าเมทริกซ์ทิศทางหรือเมทริกซ์ทัศนคติ

เวกเตอร์ออยเลอร์ที่กล่าวถึงข้างต้นคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การหมุน (เมทริกซ์การหมุนมีค่าลักษณะ เฉพาะที่เป็นจำนวนจริงเพียงค่าเดียว ) ผลคูณของเมทริกซ์การหมุนสองเมทริกซ์คือการประกอบของการหมุน ดังนั้นเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ การวางแนวสามารถกำหนดได้โดยการหมุนจากเฟรมเริ่มต้นเพื่อให้ได้เฟรมที่เราต้องการอธิบาย

ปริภูมิการกำหนดค่าของวัตถุที่ไม่สมมาตรในปริภูมิn มิติ คือ SO( n ) × Rnการวางแนวสามารถมองเห็นได้โดยการกำหนดฐานของเวกเตอร์สัมผัส ให้กับวัตถุ ทิศทางที่เวกเตอร์แต่ละตัวชี้ไป ^จะเป็นตัวกำหนดการวางแนวของวัตถุนั้น

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายการหมุนคือการใช้ควอเทอร์เนียนการหมุนหรือที่เรียกว่าเวกเตอร์การหมุน ซึ่งเทียบเท่ากับเมทริกซ์การหมุนและเวกเตอร์การหมุน เมื่อเทียบกับเวกเตอร์การหมุนแล้ว ควอเทอร์เนียนการหมุนสามารถแปลงเป็นและจากเมทริกซ์ได้ง่ายกว่า เมื่อใช้เพื่อแสดงทิศทาง ควอเทอร์เนียนการหมุนมักเรียกว่าควอเทอร์เนียนทิศทางหรือควอเทอร์เนียนทัศนคติ

ทัศนคติของวัตถุแข็งเกร็งคือการวางแนวของวัตถุตามที่อธิบายไว้ เช่น โดยการวางแนวของกรอบที่ยึดอยู่กับวัตถุเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงคงที่ ทัศนคติอธิบายได้ด้วยพิกัดทัศนคติและประกอบด้วยพิกัดอย่างน้อยสามพิกัด^{[ 2 ]} แผนการหนึ่งสำหรับการวางแนวของวัตถุแข็งเกร็งนั้นขึ้นอยู่กับการหมุนแกนของวัตถุ การหมุนต่อเนื่องสามครั้งรอบแกนของกรอบอ้างอิงคงที่ของวัตถุ ทำให้เกิดมุมออยเลอร์ของวัตถุ^{[ 3 ] [ 4 ]}อีกแผนหนึ่งขึ้นอยู่กับการ หมุน รอบ แกน ( roll), การเอียง (pitch) และการหัน (yaw ) ^{[ 5 ]}แม้ว่าคำเหล่านี้จะหมายถึงการเบี่ยงเบนที่เพิ่มขึ้นจากทัศนคติที่กำหนดไว้ ก็ตาม

• การกระจัดเชิงมุม
• การควบคุมทัศนคติ
• ทิศทางสัมพันธ์ของร่างกาย
• สถิติเชิงทิศทาง
• พื้นที่ที่กำหนดทิศทาง
• ระนาบการหมุน
• รูปแบบการหมุนในสามมิติ
• คำสั่งที่ลงนาม
• เงื่อนไขการปฐมนิเทศ
• วิธีการไตรแอด

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับการวางแนว (คณิตศาสตร์)ในวิกิมีเดียคอมมอนส์