ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ทฤษฎีบททรงกลมหรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบททรงกลมแบบบิดตัวหนึ่งในสี่ จำกัดขอบเขตทางโทโพโลยีของแมนิโฟลด์ที่ยอมรับเมตริกที่มีขอบเขตความโค้งเฉพาะอย่างมาก คำกล่าวที่แม่นยำของทฤษฎีบทมีดังนี้ ถ้าเป็นแมนิโฟลด์แบบ รีมันน์ ที่สมบูรณ์เชื่อมต่ออย่างง่ายและ มีมิติ nโดยมี ความโค้ง ภาคตัดขวางอยู่ในช่วงแล้วจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลมn มิติ (กล่าวให้แม่นยำคือ ความโค้งภาคตัดขวางของระนาบสัมผัส 2 มิติทุกจุดต้องอยู่ในช่วง) อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงผลลัพธ์คือ ถ้าไม่โฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดเมตริกบนด้วยความโค้งแบบบิดตัวหนึ่งในสี่ ${\displaystyle M}$${\displaystyle (1,4]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (1,4]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

โปรดทราบว่าข้อสรุปนี้เป็นเท็จหากอนุญาตให้ความโค้งภาคตัดขวางมีค่าอยู่ในช่วงปิดตัวอย่างค้านมาตรฐานคือปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปร เจคทีฟ ที่มีเมตริกฟูบินี-สตูดีความโค้งภาคตัดขวางของเมตริกนี้จะมีค่าอยู่ระหว่างและโดยรวมจุดปลายไว้ด้วย อาจพบตัวอย่างค้านอื่นๆ ได้ในปริภูมิ สมมาตร อันดับหนึ่ง${\displaystyle [1,4]}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$

การพิสูจน์ทฤษฎีทรงกลมดั้งเดิมไม่ได้สรุปว่าทรงกลมn มิติ จะต้องเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิก (diffeomorphic) เสมอไป ความซับซ้อนนี้เกิดจากทรงกลมในมิติที่สูงกว่ายอมรับโครงสร้างเรียบที่ไม่ใช่ดิฟเฟโอเมอร์ฟิก (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับทรงกลมแปลกใหม่ ) อย่างไรก็ตาม ในปี 2007 ไซมอน เบรนด์เดิลและริชาร์ด โชเอนได้ใช้การไหลของริชชี (Ricci flow ) เพื่อพิสูจน์ว่าภายใต้สมมติฐานข้างต้น ทรง กลม n มิติ จะต้องเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิก กับทรงกลม nมิติที่มีโครงสร้างเรียบมาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้น การพิสูจน์ของเบรนด์เดิลและโชเอนใช้เพียงสมมติฐานที่อ่อนกว่าคือการบีบอัดแบบจุดต่อจุด (pointwise pinching) แทนที่จะเป็นการบีบอัดแบบทั่วโลก (global pinching) ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีทรงกลมที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable sphere theorem ) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ไฮนซ์ ฮอปฟ์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีความโค้งภาคตัดขวางแบบบีบนั้นเป็นทรงกลม^{[ 1 ]}ในปี 1951 แฮร์รี เราช์แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีความโค้งในเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลม^{[ 2 ]}ในปี 1960 ทั้งมาร์เซล เบอร์เกอร์และวิลเฮล์ม คลิงเกนเบิร์กได้พิสูจน์ทฤษฎีบททรงกลมในเวอร์ชันโทโพโลยีด้วยค่าคงที่การบีบที่เหมาะสมที่สุด^{[ 3 ] [ 4 ]}เบอร์เกอร์ได้กล่าวถึงประวัติของทฤษฎีบทในหนังสือของเขาเรื่องA Panoramic View of Riemannian Geometryซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 2003 ^{[ 5 ]}${\displaystyle [3/4,1]}$