การตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบในสถานะเริ่มต้นที่กำหนด ประกอบด้วย วิวัฒนาการ ของเอาต์พุตตามเวลา เมื่ออินพุตควบคุมเป็น ฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideในวิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์และทฤษฎีการควบคุมการตอบสนองแบบขั้นบันไดคือพฤติกรรมของเอาต์พุตของระบบ ทั่วไปตามเวลา เมื่ออินพุตเปลี่ยนจากศูนย์เป็นหนึ่งในช่วงเวลาสั้นมาก แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่แนวคิดทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของระบบพลวัตโดยใช้พารามิเตอร์วิวัฒนาการได้

ในแง่ของการใช้งานจริง การรู้ว่าระบบตอบสนองต่อสัญญาณป้อนเข้าอย่างกะทันหันอย่างไรนั้นมีความสำคัญ เพราะการเบี่ยงเบนขนาดใหญ่และอาจเกิดขึ้นอย่างรวดเร็วจากสภาวะสมดุลระยะยาวอาจส่งผลกระทบอย่างรุนแรงต่อตัวส่วนประกอบเองและส่วนอื่นๆ ของระบบโดยรวมที่ขึ้นอยู่กับส่วนประกอบนั้น นอกจากนี้ ระบบโดยรวมไม่สามารถทำงานได้จนกว่าเอาต์พุตของส่วนประกอบจะเข้าสู่สภาวะคงที่ใกล้เคียงกับสถานะสุดท้าย ซึ่งจะทำให้การตอบสนองของระบบโดยรวมล่าช้า ในทางทฤษฎี การรู้การตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบพลวัตจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับเสถียรภาพของระบบดังกล่าว และความสามารถในการเข้าสู่สภาวะคงที่หนึ่งเมื่อเริ่มต้นจากสถานะอื่น

ส่วนนี้ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของการตอบสนองแบบขั้นบันไดในแง่ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของระบบพลวัต : สัญลักษณ์และข้อสมมติทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับคำอธิบายต่อไปนี้ได้ระบุไว้ในส่วนนี้แล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

• ${\displaystyle t\in T}$คือพารามิเตอร์การวิวัฒนาการของระบบ ซึ่งเรียกง่ายๆ ว่า " เวลา "
• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$คือสถานะของระบบ ณ เวลา t ซึ่งเรียกง่ายๆ ว่า "เอาต์พุต"${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Phi :T\times M\to M}$คือฟังก์ชันวิวัฒนาการ ของระบบพลวัต
• ${\displaystyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$คือ สถานะเริ่มต้นของระบบพลวัต
• ${\displaystyle H(t)}$คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside

สำหรับระบบพลวัตทั่วไป การตอบสนองแบบขั้นบันไดถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

นี่คือฟังก์ชันวิวัฒนาการเมื่ออินพุตควบคุม (หรือเทอมแหล่งกำเนิดหรืออินพุตบังคับ ) เป็นฟังก์ชัน Heaviside: สัญลักษณ์เน้นแนวคิดนี้โดยแสดงH ( t ) เป็นตัวห้อย

สำหรับ กล่องดำ เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (LTI) เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์ ให้กำหนดดังนี้: การตอบสนองแบบขั้นบันไดสามารถหาได้จากการคอนโวลูชันของ การควบคุม ฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและการตอบสนองแบบอิมพัลส์h ( t ) ของระบบเอง ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\equiv S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

ซึ่งสำหรับระบบ LTI นั้นเทียบเท่ากับการอินทิเกรตค่าหลังโดยตรง ในทางกลับกัน สำหรับระบบ LTI อนุพันธ์ของผลตอบสนองขั้นบันไดจะให้ผลตอบสนองอิมพัลส์:

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).}$

อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ง่ายๆ เหล่านี้ไม่เป็นจริงสำหรับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นหรือ^{เปลี่ยนแปลง}ตามเวลา [ ^{1 ]}

แทนที่จะระบุการตอบสนองความถี่ ประสิทธิภาพของระบบอาจระบุได้ในแง่ของพารามิเตอร์ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของการตอบสนองตามเวลา การตอบสนองแบบขั้นบันไดสามารถอธิบายได้ด้วยปริมาณต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมตามเวลาของ มัน

• โอเวอร์ชูต
• เวลาขึ้น
• เวลาในการปรับตัว
• เสียงเรียกเข้า

ในกรณีของ ระบบไดนามิก เชิงเส้น เราสามารถอนุมานข้อมูลเกี่ยวกับระบบได้มากมายจากลักษณะเฉพาะเหล่านี้ด้านล่างนี้เป็นการนำเสนอการตอบสนองแบบขั้นบันไดของวงจรขยายสัญญาณสองขั้วอย่างง่าย และมีการยกตัวอย่างประกอบคำศัพท์เหล่านี้บางส่วน

ในระบบ LTI ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลง อย่างรวดเร็วที่สุด โดยไม่ก่อให้เกิดการโอเวอร์ชูตหรือการสั่น คือฟังก์ชันเกาส์เซียนเนื่องจากเป็นฟังก์ชันเดียวที่การแปลงฟูริเยร์มีรูปร่างเหมือนกัน

ส่วนนี้อธิบายถึงการตอบสนองแบบขั้นบันไดของวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับเชิงลบ อย่างง่าย ที่แสดงในรูปที่ 1 วงจรขยายสัญญาณป้อนกลับประกอบด้วยวงจรขยายหลักแบบวงเปิดที่มีอัตราขยายA _OLและวงจรป้อนกลับที่ควบคุมโดยปัจจัยป้อนกลับ β วงจรขยายสัญญาณป้อนกลับนี้ได้รับการวิเคราะห์เพื่อพิจารณาว่าการตอบสนองแบบขั้นบันไดขึ้นอยู่กับค่าคงที่เวลาที่ควบคุมการตอบสนองของวงจรขยายหลัก และปริมาณการป้อนกลับที่ใช้ อย่างไร

วงจรขยายสัญญาณป้อนกลับเชิงลบมีอัตราขยายที่กำหนดโดย (ดูวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับเชิงลบ ):

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

โดยที่A _OL = อัตรา ขยายแบบวงเปิด , A _FB = อัตรา ขยายแบบวงปิด (อัตราขยายเมื่อมีการป้อนกลับเชิงลบ) และβ = ตัวประกอบการป้อนกลับ

ในหลายกรณี วงจรขยายสัญญาณไปข้างหน้าสามารถจำลองได้ดีพอสมควรโดยใช้ขั้วเด่นเดี่ยวที่มีค่าคงที่เวลา τ โดยที่อัตราขยายแบบวงเปิดกำหนดโดย:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

โดยมีอัตราขยายที่ความถี่ศูนย์A ₀และความถี่เชิงมุม ω = 2π fวงจรขยายสัญญาณไปข้างหน้าตัวนี้มีการตอบสนองแบบขั้นบันไดหน่วย

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$,

การเข้าใกล้ค่าสมดุลใหม่ของA ₀ แบบเลขชี้กำลังจาก 0

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวขยายสัญญาณแบบขั้วเดียว นำไปสู่ค่าอัตราขยายแบบวงปิด:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

อัตราขยายแบบวงปิดนี้มีรูปแบบเดียวกับอัตราขยายแบบวงเปิด นั่นคือ ตัวกรองแบบหนึ่งขั้ว การตอบสนองแบบขั้นบันไดมีรูปแบบเดียวกัน นั่นคือการลดลงแบบเอกซ์ponentialไปสู่ค่าสมดุลใหม่ แต่ค่าคงที่เวลาของฟังก์ชันขั้นบันไดแบบวงปิดคือτ / (1 + β A ₀ ) ดังนั้นจึงเร็วกว่าการตอบสนองของตัวขยายสัญญาณไปข้างหน้าด้วยปัจจัย 1 + β A ₀ :

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),}$

เมื่อค่าตัวประกอบป้อนกลับβเพิ่มขึ้น การตอบสนองแบบขั้นบันไดจะเร็วขึ้น จนกระทั่งสมมติฐานเดิมที่ว่ามีขั้วเด่นเพียงขั้วเดียวไม่ถูกต้องอีกต่อไป หากมีขั้วที่สอง เมื่อค่าคงที่เวลาของวงปิดเข้าใกล้ค่าคงที่เวลาของขั้วที่สอง จะต้องทำการวิเคราะห์แบบสองขั้ว

ในกรณีที่อัตราขยายแบบวงเปิดมีสองขั้ว ( ค่าคงที่เวลา สอง ค่าτ ₁ , τ ₂ ) การตอบสนองแบบขั้นบันไดจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย อัตราขยายแบบวงเปิดกำหนดโดย:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

โดยมีอัตราขยายความถี่เป็นศูนย์A ₀ และ ความถี่ เชิงมุมω = 2 πf

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวขยายสัญญาณแบบสองขั้วนำไปสู่ค่าอัตราขยายแบบวงปิด:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

สามารถตรวจสอบการพึ่งพาเวลาของแอมพลิฟายเออร์ได้ง่ายๆ โดยการเปลี่ยนตัวแปรเป็นs = j ω ซึ่งจะทำให้ค่าเกนเป็นดังนี้:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

จุดขั้วของนิพจน์นี้ (กล่าวคือ จุดศูนย์ของตัวส่วน) อยู่ที่:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า βA ₀ที่มากพอรากที่สองจะกลายเป็นรากที่สองของจำนวนลบ นั่นคือ รากที่สองจะกลายเป็นจำนวนจินตนาการ และตำแหน่งขั้วจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค คือs ₊หรือs ₋ดูรูปที่ 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

กับ

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

และ

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

โดยใช้พิกัดเชิงขั้วที่มีขนาดของรัศมีให้กับรากที่กำหนดโดย | s | (รูปที่ 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

และพิกัดเชิงมุม φ กำหนดโดย:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

ตารางการแปลงลาปลาสแสดงให้เห็นว่าการตอบสนองต่อเวลาของระบบดังกล่าวประกอบด้วยการรวมกันของฟังก์ชันทั้งสอง:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{และ}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

กล่าวคือ วิธีแก้ปัญหาคือการสั่นแบบหน่วงในเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การตอบสนองขั้นบันไดของระบบคือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

เมื่อA ₀มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ และปัจจัยป้อนกลับβมีค่าเท่ากับหนึ่ง

โปรดสังเกตว่าการลดทอนการตอบสนองถูกกำหนดโดย ρ ซึ่งก็คือค่าคงที่เวลาของวงจรขยายแบบเปิด ในทางตรงกันข้าม ความถี่ของการสั่นถูกกำหนดโดย μ ซึ่งก็คือพารามิเตอร์ป้อนกลับผ่าน β A ₀เนื่องจาก ρ เป็นผลรวมของส่วนกลับของค่าคงที่เวลา จึงน่าสนใจที่จะสังเกตว่า ρ นั้นถูกครอบงำด้วยค่าคงที่เวลาที่ สั้นกว่า

รูปที่ 3 แสดงการตอบสนองต่อเวลาของสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วยสำหรับค่าพารามิเตอร์ μ สามค่า จะเห็นได้ว่าความถี่ของการสั่นเพิ่มขึ้นตาม μ แต่การสั่นนั้นอยู่ระหว่างเส้นกำกับสองเส้นที่กำหนดโดยเลขชี้กำลัง [ 1 − exp(− ρt ) ] และ [ 1 + exp(−ρt) ] เส้นกำกับเหล่านี้ถูกกำหนดโดย ρ และดังนั้นจึงถูกกำหนดโดยค่าคงที่เวลาของวงจรขยายแบบเปิด โดยไม่ขึ้นอยู่กับการป้อนกลับ

ปรากฏการณ์การแกว่งไปมาเกี่ยวกับค่าสุดท้ายเรียกว่าการแกว่ง (ringing ) ค่า เกิน (overshoot)คือค่าการแกว่งสูงสุดที่สูงกว่าค่าสุดท้าย และจะเพิ่มขึ้นตามค่า μ อย่างชัดเจน ในทำนองเดียวกัน ค่า ต่ำกว่า (undershoot)คือค่าการแกว่งต่ำสุดที่ต่ำกว่าค่าสุดท้าย และจะเพิ่มขึ้นตามค่า μ เช่นกันเวลาในการปรับตัว (settling time)คือเวลาที่ค่าเบี่ยงเบนจากค่าสุดท้ายลดลงต่ำกว่าระดับที่กำหนดไว้ เช่น 10% ของค่าสุดท้าย

ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาการเข้าสู่สภาวะคงที่กับ μ นั้นไม่ชัดเจน และการประมาณระบบสองขั้วอาจไม่แม่นยำเพียงพอที่จะสรุปผลในโลกแห่งความเป็นจริงเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของเวลาการเข้าสู่สภาวะคงที่กับการป้อนกลับได้ อย่างไรก็ตาม เส้นกำกับ [ 1 − exp(− ρt ) ] และ [ 1 + exp (− ρt ) ] ส่งผลกระทบต่อเวลาการเข้าสู่สภาวะคงที่อย่างชัดเจน และเส้นกำกับเหล่านี้ถูกควบคุมโดยค่าคงที่เวลาของวงจรขยายแบบเปิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าคงที่เวลาที่สั้นกว่า ซึ่งแสดงให้เห็นว่าข้อกำหนดเกี่ยวกับเวลาการเข้าสู่สภาวะคงที่ต้องเป็นไปตามการออกแบบวงจรขยายแบบเปิดที่เหมาะสม

ข้อสรุปหลักสองประการจากการวิเคราะห์นี้คือ:

1. การควบคุมแบบป้อนกลับจะควบคุมแอมพลิจูดของการแกว่งไปรอบค่าสุดท้ายสำหรับแอ มพลิฟายเออร์แบบวงเปิดที่กำหนด และค่าคงที่เวลาแบบวงเปิดที่กำหนด τ ₁และ τ ₂
2. วงจรขยายแบบเปิดจะกำหนดเวลาการเข้าสู่สภาวะเสถียร โดยจะกำหนดมาตราส่วนเวลาในรูปที่ 3 และยิ่งวงจรขยายแบบเปิดทำงานเร็วเท่าไร มาตราส่วนเวลานี้ก็จะยิ่งเร็วขึ้นเท่านั้น

อนึ่ง ควรสังเกตว่าการเบี่ยงเบนจากแบบจำลองสองขั้วเชิงเส้นในโลกแห่งความเป็นจริงนั้นเกิดจากความซับซ้อนหลักสองประการ ประการแรก แอมพลิฟายเออร์ในโลกแห่งความเป็นจริงมีขั้วมากกว่าสองขั้ว รวมถึงศูนย์ด้วย และประการที่สอง แอมพลิฟายเออร์ในโลกแห่งความเป็นจริงเป็นแบบไม่เชิงเส้น ดังนั้นการตอบสนองแบบขั้นบันไดจึงเปลี่ยนแปลงไปตามแอมพลิจูดของสัญญาณ

หัวข้อถัดไปจะกล่าวถึงวิธีการควบคุมการโอเวอร์ชูตโดยการเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสม

โดยใช้สมการข้างต้น ปริมาณการโอเวอร์ชูตสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของการตอบสนองขั้นบันไดและหาค่าสูงสุด ผลลัพธ์สำหรับการตอบสนองขั้นบันไดสูงสุดS _maxคือ: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

ค่าสุดท้ายของการตอบสนองแบบขั้นบันไดคือ 1 ดังนั้นค่าเลขชี้กำลังจึงเป็นค่าโอเวอร์ชูตที่แท้จริง เห็นได้ชัดว่าค่าโอเวอร์ชูตเป็นศูนย์ถ้าμ = 0 ซึ่งเป็นเงื่อนไข:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

สมการกำลังสองนี้แก้หาอัตราส่วนของค่าคงที่เวลาโดยกำหนดให้x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

เนื่องจาก β A ₀ ≫ 1 เลข 1 ในรากที่สองจึงสามารถตัดทิ้งได้ และผลลัพธ์คือ

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

กล่าวคือ ค่าคงที่เวลาตัวแรกต้องมีค่ามากกว่าค่าคงที่เวลาตัวที่สองมาก เพื่อให้การออกแบบมีความท้าทายมากกว่าการออกแบบที่ไม่อนุญาตให้เกิดการโอเวอร์ชูต เราสามารถเพิ่มปัจจัยα เข้าไป ในความสัมพันธ์ข้างต้นได้:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

และให้กำหนดค่า α โดยพิจารณาจากปริมาณการเลยเป้าหมายที่ยอมรับได้

ภาพที่ 4 แสดงขั้นตอนการทำงาน การเปรียบเทียบแผงด้านบน (α = 4) กับแผงด้านล่าง (α = 0.5) แสดงให้เห็นว่าค่า α ที่ต่ำลงจะเพิ่มอัตราการตอบสนอง แต่จะเพิ่มค่าโอเวอร์ชูตด้วย กรณี α = 2 (แผงตรงกลาง) คือการ ออกแบบ ที่ราบเรียบที่สุดซึ่งไม่แสดงจุดสูงสุดในกราฟอัตราขยายของ Bode เทียบกับความถี่การออกแบบนี้มีกฎทั่วไปที่สร้างระยะปลอดภัยไว้เพื่อรับมือกับความเป็นจริงที่ไม่สมบูรณ์แบบ เช่น ขั้ว (หรือศูนย์) หลายตัว ความไม่เป็นเชิงเส้น (การพึ่งพาแอมพลิจูดของสัญญาณ) และความแปรปรวนในการผลิต ซึ่งทั้งหมดนี้อาจทำให้เกิดโอเวอร์ชูตมากเกินไป การปรับระยะห่างของขั้ว (นั่นคือ การตั้งค่า α) เป็นเรื่องของการชดเชยความถี่และหนึ่งในวิธีการดังกล่าวคือ การ แยก ขั้ว

แอมพลิจูดของการสั่นในผลตอบสนองขั้นบันไดในรูปที่ 3 ถูกควบคุมโดยปัจจัยการหน่วง exp(− ρt ) นั่นคือ ถ้าเรากำหนดค่าเบี่ยงเบนผลตอบสนองขั้นบันไดที่ยอมรับได้จากค่าสุดท้าย เช่น Δ ดังนี้:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

เงื่อนไขนี้เป็นไปตามที่กำหนดโดยไม่คำนึงถึงค่าของ β A _OLตราบใดที่เวลานานกว่าเวลาการตั้งตัว เช่นt _Sซึ่งกำหนดโดย: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

โดยที่ τ ₁  ≫ τ ₂สามารถนำมาใช้ได้เนื่องจากเงื่อนไขการควบคุมโอเวอร์ชูต ซึ่งทำให้τ ₁  =  αβA _OL τ ₂บ่อยครั้งที่เงื่อนไขเวลาการตั้งตัวจะถูกกล่าวถึงโดยบอกว่าช่วงเวลาการตั้งตัวแปรผกผันกับแบนด์วิดท์อัตราขยายหนึ่งหน่วย เนื่องจาก 1/(2 π  τ ₂ ) ใกล้เคียงกับแบนด์วิดท์นี้สำหรับแอมพลิฟายเออร์ที่มีการชดเชยขั้วเด่นทั่วไปอย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้มีความแม่นยำมากกว่ากฎทั่วไป นี้ ตัวอย่างเช่น หากΔ = 1/e ⁴ = 1.8 %เงื่อนไขเวลาการตั้งตัวคือ t S ₌  8  τ ₂

โดยทั่วไป การควบคุมการโอเวอร์ชูตจะกำหนดอัตราส่วนค่าคงที่เวลา และเวลาการตั้งตัว^t S _จะกำหนด τ ₂ ^{[ 5} ] ^{[ 6 ] [ 7 ]}

วิธีนี้ใช้จุดสำคัญของการตอบสนองขั้นบันได ไม่จำเป็นต้องเดาเส้นสัมผัสของสัญญาณที่วัดได้ สมการได้มาจากการจำลองเชิงตัวเลข โดยกำหนดอัตราส่วนที่สำคัญบางอย่างและปรับพารามิเตอร์ของสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น ดูเพิ่มเติมที่^{[ 8 ]}

ขั้นตอนมีดังนี้:

• วัดการตอบสนองขั้นบันไดของระบบด้วยสัญญาณอินพุตแบบขั้นบันได${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$
• กำหนดช่วงเวลาและจุดที่การตอบสนองแบบขั้นบันไดถึง 25% และ 75% ของค่าเอาต์พุตสภาวะคงที่${\displaystyle t_{25}}$${\displaystyle t_{75}}$
• กำหนดค่าเกนสภาวะคงที่ของระบบด้วย${\displaystyle k=A_{0}}$${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• คำนวณ$${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$$${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$$${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• กำหนดค่าคงที่เวลาทั้งสองค่า$${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$$${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• คำนวณฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบที่ระบุภายในโดเมนลาปลาส$${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

ถัดไป การเลือกอัตราส่วนขั้วτ ₁ / τ ₂เกี่ยวข้องกับระยะขอบเฟสของแอมพลิฟายเออร์ป้อนกลับ^{[ 9 ]} ปฏิบัติตาม ขั้นตอนที่ระบุไว้ใน บทความ Bode plotรูปที่ 5 คือ Bode gain plot สำหรับแอมพลิฟายเออร์สองขั้วในช่วงความถี่จนถึงตำแหน่งขั้วที่สอง ข้อสมมติฐานเบื้องหลังรูปที่ 5 คือความถี่f _{0 dB}อยู่ระหว่างขั้วต่ำสุดที่f ₁  = 1/(2πτ ₁ ) และขั้วที่สองที่f ₂  = 1/(2πτ ₂ ) ดังที่แสดงในรูปที่ 5 เงื่อนไขนี้เป็นไปตามค่าของ α ≥ 1

จากรูปที่ 5 จะพบความถี่ (ระบุด้วยf _{0 dB} ) ที่อัตราขยายของวงจร β A ₀เป็นไปตามเงื่อนไขอัตราขยายหนึ่งหน่วยหรือ 0 dB ตามที่กำหนดโดย:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

ความชันของส่วนขาลงของกราฟอัตราขยายคือ (20 dB/ทศวรรษ) สำหรับทุก ๆ การเพิ่มขึ้นของความถี่สิบเท่า อัตราขยายจะลดลงในอัตราส่วนเดียวกัน

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

ระยะขอบเฟส คือ ค่าเบี่ยงเบนของเฟสที่f _{0 dB}จาก −180° ดังนั้น ระยะขอบเฟสคือ:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

เนื่องจากf _{0 dB} / f ₁ =  βA ₀  ≫ 1 เทอมในf ₁ จึง มีค่า 90° ซึ่งทำให้ระยะขอบเฟสเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกรณีα = 1, φ _m = 45° และสำหรับα = 2, φ _m = 63.4° Sansen ^{[ 10 ]}แนะนำα = 3, φ _m = 71.6° เป็น "ตำแหน่งความปลอดภัยที่ดีที่จะเริ่มต้น"

ถ้าเพิ่มค่า α โดยการลดค่าτ ₂เวลาในการปรับตัวt _Sก็จะสั้นลงด้วย แต่ถ้าเพิ่มค่า α โดยการเพิ่มค่า τ ₁เวลาในการปรับตัวt _Sจะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย โดยทั่วไปแล้ว ทั้งτ ₁ และτ ₂ จะเปลี่ยนแปลงไปพร้อมกัน เช่น ในกรณีที่ ใช้ เทคนิคการแยกขั้ว

นอกจากนี้ สำหรับแอมพลิฟายเออร์ที่มีขั้วมากกว่าสองขั้ว แผนภาพในรูปที่ 5 ยังคงสามารถปรับให้เข้ากับแผนภูมิ Bode ได้โดยการทำให้f ₂เป็นพารามิเตอร์การปรับ ซึ่งเรียกว่าตำแหน่ง "ขั้วที่สองที่เทียบเท่า" ^{[ 11 ]}

• การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น
• สัญญาณโอเวอร์ชูต
• การผ่าเสา
• เวลาตื่น
• เวลาในการปรับตัว
• ค่าคงที่เวลา

• สไลด์พาวเวอร์พอยต์ของ Kuo โดยเฉพาะบทที่ 7