ที่ความเร็วปลายทาง (หรือความเร็วการตก)แรงส่วนเกินFeเนื่องมาจากความแตกต่างระหว่างน้ำหนักและแรงลอยตัวของทรงกลม (ซึ่งเกิดจากแรงโน้มถ่วง ทั้งคู่ ^{[ 7 ]} ) จะได้รับดังนี้

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

โดยที่ (ในหน่วย SI ):

• ρpคือความหนาแน่นมวลของทรงกลม [kg ^m³ ]
• ρfคือความหนาแน่นมวลของของเหลว [กก. ^ลบ.ม. ]
• gคือความเร่งโน้มถ่วง [m/ ^s² ]

เมื่อกำหนดสมดุลแรงF = F และแก้หาความเร็วvจะได้ความเร็วปลายv โปรดทราบว่าเนื่องจากแรงส่วนเกินเพิ่มขึ้นเป็นR ³และแรงต้านของสโตกส์เพิ่มขึ้นเป็นRความเร็วปลายจึงเพิ่มขึ้นเป็นR ²และดังนั้นจึงแปรผันอย่างมากกับขนาดอนุภาคดังแสดงด้านล่าง หากอนุภาคได้รับน้ำหนักของตัวเองเท่านั้นขณะตกในของเหลวหนืด ความเร็วปลายจะเกิดขึ้นเมื่อผลรวมของแรงเสียดทานและแรงลอยตัวบนอนุภาคเนื่องจากของเหลวสมดุลกับแรงโน้มถ่วง พอดี ความเร็ว v [m/s] นี้กำหนดโดย: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ ในแนวตั้งลง}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ ในแนวตั้งขึ้น}}\end{cases}}}$$

โดยที่ (ในหน่วย SI):

• gคือความแรงของสนามโน้มถ่วง [m/ ^s² ]
• Rคือรัศมีของอนุภาคทรงกลม [เมตร]
• ρpคือความหนาแน่นมวลของอนุภาค [กก.^ลบ.ม. ]
• ρfคือความหนาแน่นมวลของของเหลว [กก. ^ลบ.ม. ]
• μคือค่าความหนืดไดนามิก [กก./(ม.•วินาที)]

ในการไหลแบบสโตกส์ ที่ เลขเรย์โนลด์ต่ำมากเทอมเร่งความเร็วการพาความร้อนในสมการนาเวียร์-สโตกส์จะถูกละเลย จากนั้นสมการการไหลจะกลายเป็น สำหรับการไหลคงที่ที่ไม่สามารถอัดได้ : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldสัญลักษณ์ {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

ที่ไหน:

• pคือความดันของของเหลว (หน่วยเป็น Pa)
• uคือความเร็วการไหล (หน่วยเป็นเมตร/วินาที) และ
• ωคือค่าความหมุน (ในหน่วย s⁻¹ ⁾ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

โดยใช้เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์ บางอย่าง สมการเหล่านี้สามารถแสดงให้เห็นว่าส่งผลให้เกิดสมการของลาปลาสสำหรับความดันและแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์การหมุนวน: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldสัญลักษณ์ {\omega }}=0}$ และ ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

แรงเพิ่มเติม เช่น แรงโน้มถ่วงและแรงลอยตัว ยังไม่ได้นำมาพิจารณา แต่สามารถเพิ่มเข้าไปได้ง่าย เนื่องจากสมการข้างต้นเป็นสมการเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถใช้การซ้อนทับเชิงเส้น ของคำตอบและแรงที่เกี่ยวข้องได้

สำหรับกรณีของทรงกลมในกระแสการไหลแบบสม่ำเสมอในระยะไกลการใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก( r , φ , z ) จะเป็นประโยชน์ แกนzผ่านศูนย์กลางของทรงกลมและวางตัวในทิศทางเดียวกับทิศทางการไหลเฉลี่ย ในขณะที่rคือรัศมีที่วัดตั้งฉากกับแกนz จุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม เนื่องจากการไหลมีความสมมาตรตาม แกน zจึงไม่ขึ้นอยู่กับมุมอะซิมุธφ

ในระบบพิกัดทรงกระบอกนี้ การไหลที่ไม่สามารถอัดได้สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันกระแสสโตกส์ψซึ่งขึ้นอยู่กับrและz : ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

โดยที่u และu คือส่วนประกอบความเร็วการไหลใน ทิศทาง rและzตามลำดับ ส่วนประกอบความเร็วเชิงมุมใน ทิศทาง φเท่ากับศูนย์ในกรณีสมมาตรตามแกนนี้ ฟลักซ์ปริมาตรผ่านท่อที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่มีค่าคงที่ψเท่ากับ2 πψและคงที่^{[ 9 ]}

สำหรับกรณีการไหลแบบสมมาตรตามแกนนี้ ส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวของเวกเตอร์ความหมุนωคือส่วนประกอบ เชิงมุม φ ω ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

ตัวดำเนินการลาปลาซที่ใช้กับความหมุนω จะกลายเป็นในระบบพิกัดทรงกระบอกที่มีสมมาตรแกนนี้: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

จากสมการสองสมการก่อนหน้านี้ และด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม สำหรับความเร็วการไหลสม่ำเสมอระยะไกลuใน ทิศทาง zและทรงกลมรัศมีRพบว่าคำตอบคือ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

การหาค่าความเร็วในระบบพิกัดทรงกระบอกและส่วนประกอบต่างๆ มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

วิธีแก้ปัญหาเรื่องความหมุนวนในระบบพิกัดทรงกระบอกมีดังนี้:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

การหาค่าความดันในระบบพิกัดทรงกระบอกมีวิธีการดังนี้:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

วิธีแก้ปัญหาเรื่องความดันในระบบพิกัดทรงกลมมีดังนี้:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

สูตรของความดันเรียกอีกอย่างว่าศักย์ไดโพลซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในไฟฟ้าสถิต

สูตรทั่วไปที่ครอบคลุมมากขึ้น โดยมีเวกเตอร์ความเร็วระยะไกลแบบใดก็ได้${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$ตามด้วย: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

ในสูตรนี้ เทอม ที่ไม่คงตัวแสดงถึงสิ่งที่เรียกว่าStokeslet Stokeslet คือฟังก์ชันกรีนของสมการการไหลของ Stokes ส่วนเทอมที่คงตัวนั้นเท่ากับสนามเกรเดียนต์ไดโพลสูตรของความหมุนวนนั้นคล้ายคลึงกับกฎของ Biot–Savart ในแม่เหล็กไฟฟ้า

อีกทางเลือกหนึ่งที่กระชับกว่าคือ สามารถกำหนดสูตรสนามความเร็วได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$,

ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ของเมทริกซ์เฮสเซียน และ${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ประกอบขึ้นจากผลต่างของตัวดำเนินการลาปลาเซียนและตัวดำเนินการเฮสเซียน ด้วยวิธีนี้จึงเห็นได้ชัดเจนว่าคำตอบประกอบขึ้นจากอนุพันธ์ของศักยภาพคูลอมบ์ (${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$) และศักยภาพไบฮาร์มอนิก (${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์${\displaystyle \mathrm {S} }$นำไปใช้กับนอร์มเวกเตอร์${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$สร้าง Stokeslet ขึ้นมา

สูตรต่อไปนี้อธิบายถึงเทนเซอร์ความเค้นหนืดสำหรับกรณีพิเศษของการไหลแบบสโตกส์ ซึ่งจำเป็นในการคำนวณแรงที่กระทำต่ออนุภาค ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเวกเตอร์เกรเดียนต์${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$เหมือนกับเมทริกซ์จาโคเบียนทุกประการเมทริกซ์Iแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

แรงที่กระทำต่อทรงกลมสามารถคำนวณได้จากการอินทิเกรตเทนเซอร์ความเค้นบนพื้นผิวของทรงกลม โดยที่e แทนเวกเตอร์หน่วยรัศมีของพิกัดทรงกลม :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$