การทดสอบtของนักเรียนแบบหนึ่งตัวอย่างเป็นการทดสอบตำแหน่งว่าค่าเฉลี่ยของประชากรมีค่าตามที่ระบุไว้ในสมมติฐานว่างหรือในการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรเท่ากับค่าที่กำหนดμ₀นั้น จะใช้สถิติ

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {x}}}$μ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างและnคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างจำนวนองศาอิสระที่ใช้ในการทดสอบนี้คือn  −  1แม้ว่าประชากรหลักไม่จำเป็นต้องมีการกระจายแบบปกติ แต่การกระจายของค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่างนั้นจำเป็นต้องมีการแจกแจงแบบปกติ${\displaystyle {\bar {x}}}$ถือว่าปกติ

ตามทฤษฎีบทลิมิตกลางถ้าการสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกันและโมเมนต์อันดับสองมีอยู่จริงแล้ว${\displaystyle t}$จะอยู่ในระดับปกติโดยประมาณ${\textstyle {\คณิตศาสตร์ {N}}(0,1)}$นี่เป็นเพียงการประมาณค่าเท่านั้น เนื่องจากทฤษฎีบทลิมิตกลางจะใช้ได้กับt ก็ต่อเมื่อsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงของxในขณะที่ s คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่างเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงนั้นไม่เป็นที่ทราบ ดังนั้นtจึงมีการแจกแจงแบบ t ของ Student ในเชิงอะซิปโทติก

การทดสอบตำแหน่งสองตัวอย่างของสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มเท่ากัน การทดสอบดังกล่าวทั้งหมดมักเรียกว่าการทดสอบtของนักเรียนแม้ว่าในทางเทคนิคแล้วชื่อนั้นควรใช้เฉพาะในกรณีที่ ถือว่า ความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากันด้วย รูปแบบของการทดสอบที่ใช้เมื่อไม่ยึดถือสมมติฐานนี้บางครั้งเรียกว่าการทดสอบtของเวลช์การทดสอบเหล่านี้มักถูกเรียกว่า การทดสอบ t ตัวอย่าง ที่ไม่จับคู่หรือตัวอย่างอิสระ เนื่องจากโดยทั่วไปจะใช้เมื่อหน่วยทางสถิติที่อยู่เบื้องหลังตัวอย่างสองตัวอย่างที่กำลังเปรียบเทียบกันนั้นไม่ทับซ้อนกัน^{[ 14 ]}

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับกลุ่มตัวอย่างอิสระ (กลุ่มตัวอย่างที่ไม่จับคู่) หรือกลุ่มตัวอย่างที่จับคู่ การทดสอบ tแบบจับคู่เป็นรูปแบบหนึ่งของการแบ่งกลุ่มและมีกำลัง (ความน่าจะเป็นในการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดประเภทที่ 2 หรือที่เรียกว่าผลลบเท็จ) มากกว่าการทดสอบที่ไม่จับคู่เมื่อหน่วยที่จับคู่มีความคล้ายคลึงกันในแง่ของ "ปัจจัยรบกวน" (ดูตัวแปรแทรกซ้อน ) ที่เป็นอิสระจากการเป็นสมาชิกในสองกลุ่มที่กำลังเปรียบเทียบ^{[ 15 ]}ในบริบทที่แตกต่างกัน การทดสอบ t แบบจับคู่ สามารถใช้เพื่อลดผลกระทบของปัจจัยแทรกซ้อนในการศึกษาเชิงสังเกตได้

สมมติว่าเรากำลังทำการปรับแบบจำลองให้เหมาะสม

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

โดยที่xทราบค่าแล้วαและβไม่ทราบค่าεเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวนσ² ที่ไม่ทราบค่า และYคือผลลัพธ์ที่สนใจ เราต้องการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าความชันβเท่ากับค่าที่กำหนดβ₀ ⁰ซึ่งในกรณีนี้สมมติฐานว่างคือxและyไม่มีความสัมพันธ์กัน)

อนุญาต

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{ตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}}.\end{aligned}}}$

แล้ว

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

มี การแจกแจง แบบ tโดยมี องศาอิสระ n − 2ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริง ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของสัมประสิทธิ์ความชันคือ:

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

สามารถเขียนได้ในรูปของค่าตกค้าง ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{ค่าตกค้าง}}={\text{ค่าความคลาดเคลื่อนที่ประมาณได้}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{ผลรวมของกำลังสองของค่าตกค้าง}}.\end{aligned}}}$

จากนั้นtจะคำนวณได้จาก

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

อีกวิธีหนึ่งในการหาtคือ

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

โดยที่rคือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน

ค่าtสามารถหาได้จาก ค่า t :

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

โดยที่s ²คือค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง

การทดสอบ^{[ 25 ]}เกี่ยวข้องกับปัญหา Behrens–Fisher ที่มีชื่อเสียง กล่าวคือ การเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ เมื่อไม่ถือว่าความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากัน โดยอาศัยตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง

การทดสอบนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อเป็นการทดสอบที่แม่นยำซึ่งอนุญาตให้ขนาดตัวอย่างไม่เท่ากันและความแปรปรวนของประชากรสองกลุ่มไม่เท่ากัน คุณสมบัติความแม่นยำยังคงใช้ได้แม้กับขนาดตัวอย่างที่เล็กมากและ ไม่สมดุล (เช่น${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$เทียบกับ${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$)

สามารถคำนวณค่าสถิติเพื่อทดสอบว่าค่าเฉลี่ยแตกต่างกันหรือไม่ ดังนี้:

อนุญาต${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$และ${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$เป็นเวกเตอร์ตัวอย่าง iid (สำหรับ${\displaystyle \ m\geq n\ }$) จาก${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$และ${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$แยกกัน

อนุญาต${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$เป็น${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีองค์ประกอบในแถวแรกทั้งหมดเป็น${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$ในทำนองเดียวกัน ให้${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$เป็นคนแรก${\displaystyle \ n\ }$แถวของ${\displaystyle \ m\times m\ }$เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (ซึ่งองค์ประกอบในแถวแรกทั้งหมดเป็น${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$)

แล้ว${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$เป็น เวกเตอร์สุ่มปกติ nมิติ:

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

จากข้อมูลการกระจายข้างต้น เราจะเห็นว่าองค์ประกอบแรกของเวกเตอร์Zคือ

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

ดังนั้นองค์ประกอบแรกจึงถูกกระจายดังนี้

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

และกำลังสองขององค์ประกอบที่เหลือของZ มีการกระจายแบบไคกำลังสอง

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

และโดยการสร้างเมทริกซ์เชิงตั้งฉากPและQเราจะได้ว่า

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

ดังนั้นZ ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกของZจึงเป็นอิสระทางสถิติจากองค์ประกอบที่เหลือโดยอาศัยความเป็นตั้งฉาก สุดท้าย ให้ใช้ค่าสถิติการทดสอบเป็น

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

การทดสอบนี้ใช้เมื่อตัวอย่างมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ เมื่อมีตัวอย่างเพียงหนึ่งเดียวที่ได้รับการทดสอบสองครั้ง (การวัดซ้ำ) หรือเมื่อมีตัวอย่างสองตัวอย่างที่จับคู่กัน นี่คือตัวอย่างของการทดสอบความแตกต่างแบบจับคู่ ค่า สถิติtคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$และ${\displaystyle s_{D}}$คือค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างคู่ทั้งหมด คู่เหล่านี้อาจเป็นคะแนนก่อนและหลังการทดสอบของบุคคลคนเดียว หรือคู่ของบุคคลที่จับคู่กันเป็นกลุ่มที่มีความหมาย (ตัวอย่างเช่น มาจากครอบครัวเดียวกันหรือกลุ่มอายุเดียวกัน ดูตาราง) ค่าคงที่จะเป็นศูนย์หากเราต้องการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของความแตกต่างนั้นแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ ระดับความเป็นอิสระที่ใช้คือn − 1โดยที่nแทนจำนวนคู่

ตัวอย่างของคู่ที่ตรงกัน คู่ ชื่อ อายุ ทดสอบ 1 จอห์น 35 250 1 เจน 36 340 2 จิมมี่ 22 460 2 เจสซี่ 21 200

ตัวอย่างของการวัดซ้ำ ตัวเลข ชื่อ การทดสอบที่ 1 การทดสอบที่ 2 1 ไมค์ 35% 67% 2 เมลานี 50% 46% 3 เมลิสสา 90% 86% 4 มิทเชลล์ 78% 91%

หากใช้วิธีการคำนวณสำหรับความแปรปรวนที่ไม่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

ค่าสถิติการทดสอบอยู่ที่ประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p -value ของการทดสอบแบบสองด้านเท่ากับ 0.09077

หากใช้วิธีการสำหรับความแปรปรวนที่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

ค่าสถิติการทดสอบมีค่าประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p แบบสองด้าน เท่ากับ 0.07857

การ ทดสอบ tให้การทดสอบที่แม่นยำสำหรับความเท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยของประชากรปกติอิสระและกระจายเหมือนกันสองกลุ่มที่มีความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าแต่เท่ากัน ( การทดสอบtของ Welchเป็นการทดสอบที่แม่นยำเกือบสมบูรณ์สำหรับกรณีที่ข้อมูลมีการกระจายแบบปกติ แต่ความแปรปรวนอาจแตกต่างกัน) สำหรับตัวอย่างที่มีขนาดปานกลางและการทดสอบแบบหางเดียว การ ทดสอบ tมีความทนทานต่อการละเมิดสมมติฐานเรื่องการกระจายแบบปกติใน ระดับปานกลาง ^{[ 26 ]}ในตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอ การทดสอบ t จะเข้าใกล้ การทดสอบzในเชิงอะ ซิมโทติก และมีความทนทานแม้กระทั่งต่อการเบี่ยงเบนจากการกระจายแบบปกติในระดับมาก^{[ 18 ]}

หากข้อมูลมีการกระจายตัวที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติอย่างมาก และขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก การทดสอบ tอาจให้ผลลัพธ์ที่คลาดเคลื่อนได้ โปรดดูการทดสอบตำแหน่งสำหรับการแจกแจงแบบผสมมาตราส่วนเกาส์เซียนสำหรับทฤษฎีบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลการแจกแจงที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติโดยเฉพาะ

เมื่อสมมติฐานเรื่องความปกติไม่เป็นจริง ทางเลือก ที่ไม่ใช้พารามิเตอร์แทน การทดสอบ tอาจมีพลังทางสถิติ ที่ดีกว่า อย่างไรก็ตาม เมื่อข้อมูลไม่เป็นไปตามปกติและมีความแปรปรวนที่แตกต่างกันระหว่างกลุ่ม การทดสอบ tอาจมีการควบคุมข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้ดีกว่าทางเลือกที่ไม่ใช้พารามิเตอร์บางอย่าง ^{[ 27 ]}นอกจากนี้ วิธีการที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ เช่นการทดสอบ Mann-Whitney Uที่กล่าวถึงด้านล่าง โดยทั่วไปจะไม่ทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ย ดังนั้นจึงควรใช้อย่างระมัดระวังหากความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นสิ่งที่น่าสนใจทางวิทยาศาสตร์เป็นหลัก^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น การทดสอบ Mann-Whitney U จะรักษาระดับข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ไว้ที่ระดับอัลฟาที่ต้องการ หากทั้งสองกลุ่มมีการกระจายตัวเหมือนกัน นอกจากนี้ยังมีพลังในการตรวจจับทางเลือกที่กลุ่ม B มีการกระจายตัวเหมือนกับกลุ่ม A แต่หลังจากมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างด้วยค่าคงที่ (ในกรณีนี้จะมีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันระหว่างสองกลุ่ม) อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีที่กลุ่ม A และ B มีการกระจายตัวที่แตกต่างกัน แต่มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (เช่น การกระจายตัวสองแบบ แบบหนึ่งมีความเบ้เป็นบวก และอีกแบบมีความเบ้เป็นลบ แต่มีการเลื่อนเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน) ในกรณีเช่นนี้ MW อาจมีอำนาจในการปฏิเสธสมมติฐานว่างมากกว่าระดับอัลฟา แต่การตีความว่าความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นผลมาจากผลลัพธ์ดังกล่าวจะไม่ถูกต้อง

ในกรณีที่มีค่าผิดปกติการ ทดสอบ tจะไม่แข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง เมื่อการกระจายข้อมูลไม่สมมาตร (นั่นคือ การกระจายเบี่ยงเบน)หรือการกระจายมีหางขนาดใหญ่ การทดสอบ Wilcoxon rank-sum (หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบMann–Whitney U ) สามารถมีกำลังการทดสอบสูงกว่าการทดสอบt ถึงสามถึงสี่เท่า ^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]}การทดสอบWilcoxon signed-rank สำหรับตัวอย่างจับคู่ เป็นการ ทดสอบ แบบไม่ใช้พารามิเตอร์ สำหรับการ อภิปรายเกี่ยวกับการเลือกใช้ระหว่าง การทดสอบ tและทางเลือกแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ โปรดดู Lumley และคณะ (2002) ^{[ 18 ]}

การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียว (ANOVA) เป็นการขยายผลของการทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเมื่อข้อมูลมีมากกว่าสองกลุ่ม

เมื่อมีทั้งการสังเกตแบบจับคู่และการสังเกตแบบอิสระในแบบแผนตัวอย่างสองตัวอย่าง โดยสมมติว่าข้อมูลขาดหายไปโดยสมบูรณ์แบบสุ่ม (MCAR) การสังเกตแบบจับคู่หรือการสังเกตแบบอิสระอาจถูกละทิ้งเพื่อดำเนินการทดสอบมาตรฐานข้างต้นต่อไป หรืออีกทางหนึ่ง การใช้ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด โดยสมมติว่าเป็นแบบปกติและ MCAR สามารถใช้การทดสอบt แบบตัวอย่างที่ทับซ้อนกันบางส่วนแบบทั่วไปได้ ^{[ 30 ]}

สถิติ t -squared ของ Hotellingซึ่งเป็นการขยายผลของ สถิติ t ของ Student ช่วยให้สามารถทดสอบสมมติฐานกับตัวแปรหลายตัว (ซึ่งมักมีความสัมพันธ์กัน) ภายในกลุ่มตัวอย่างเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น นักวิจัยอาจทำการทดสอบบุคลิกภาพกับกลุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยมาตรวัดบุคลิกภาพหลายมาตรวัด (เช่น แบบทดสอบบุคลิกภาพMinnesota Multiphasic Personality Inventory ) เนื่องจากตัวแปรประเภทนี้มักมีความสัมพันธ์เชิงบวก จึงไม่ควรทำการทดสอบt แบบตัวแปรเดียวแยกกัน เพื่อทดสอบสมมติฐาน เพราะจะละเลยความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรและเพิ่มโอกาสที่จะปฏิเสธสมมติฐานอย่างน้อยหนึ่งข้ออย่างผิดพลาด ( ข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ) ในกรณีนี้ การทดสอบแบบหลายตัวแปรเพียงครั้งเดียวจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการทดสอบสมมติฐานวิธีของ Fisherสำหรับการรวมการทดสอบหลายครั้งโดย ลด ค่าอัลฟา ลงสำหรับความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างการทดสอบเป็นหนึ่งในนั้น อีกวิธีหนึ่งคือ สถิติT2ของ Hotelling ซึ่งมีการแจกแจง ^แบบ T2อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การแจกแจงนี้ไม่ค่อยได้ใช้ เนื่องจากหาค่า^T2ในตาราง^ได้ ยาก โดยปกติแล้ว^ค่า T2จะถูกแปลงเป็นค่าสถิติF แทน

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบตัวอย่างเดียว สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ ) เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด ( )สถิติการทดสอบคือHotelling 's t² ^:

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างxคือเวกเตอร์ของค่าเฉลี่ยคอลัมน์ และSคือ เมท ริกซ์ความแปรปรวนร่วมของกลุ่มตัวอย่างขนาดm × m

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบสองกลุ่มตัวอย่าง สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ , μ ) ของสองกลุ่มตัวอย่างเท่ากัน สถิติการทดสอบคือt ²แบบสองกลุ่มตัวอย่างของ Hotelling :

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเป็นกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้น แบบง่าย ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

การทดลองทางคลินิกตรวจสอบผู้ป่วย 6 รายที่ได้รับยาหรือยาหลอก ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 0 หน่วย (กลุ่มยาหลอก) ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 1 หน่วย (กลุ่มรักษาจริง) เมื่อสิ้นสุดการรักษา นักวิจัยจะวัดการเปลี่ยนแปลงจากค่าพื้นฐานในจำนวนคำที่ผู้ป่วยแต่ละรายสามารถจำได้ในการทดสอบความจำ

ตารางแสดงค่าการจดจำคำศัพท์และขนาดยาของผู้ป่วยแสดงอยู่ด้านล่าง

มีการให้ข้อมูลและโค้ดสำหรับการวิเคราะห์โดยใช้ภาษาโปรแกรม Rพร้อมt.testฟังก์ชันlmสำหรับการทดสอบ t และการถดถอยเชิงเส้น ต่อไปนี้คือข้อมูล (สมมติ) ชุดเดียวกันข้างต้นที่สร้างขึ้นใน R

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

ทำการทดสอบt -test โปรดสังเกตว่าจำเป็นต้องมีสมมติฐานเรื่องความแปรปรวนเท่ากัน (σ²/σ²) var.equal=Tเพื่อให้การวิเคราะห์เทียบเท่ากับการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายอย่างแท้จริง

> ด้วย( ข้อมูลการเรียกคืนคำ, การทดสอบ t ( ข้อมูลการเรียกคืนคำ~ ปริมาณยา, ตัวแปรเท่ากับT ))

เมื่อรันโค้ด R จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ไม่ได้รับยาขนาด 0 คือ 2
• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ได้รับยาขนาดเดียวคือ 6
• ความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดลองในค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์คือ 6 – 2 = 4
• ความแตกต่างของการจดจำคำศัพท์ระหว่างขนาดยาต่างๆ มีนัยสำคัญทางสถิติ (p=0.00805)

ทำการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลชุดเดียวกัน การคำนวณสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันlm()สำหรับแบบจำลองเชิงเส้นในโปรแกรม R

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นจะให้ตารางแสดงค่าสัมประสิทธิ์และค่า p-value

ตารางสัมประสิทธิ์ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าประมาณของจุดตัดแกน y ที่ได้คือ 2 ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของการจำคำศัพท์เมื่อปริมาณยาเป็น 0
• ค่าประมาณ 4 สำหรับขนาดยาบ่งชี้ว่า การเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6) ซึ่งนี่คือความชันของเส้นตรงที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม
• ค่า p ที่แสดงว่าความชันของ 4 แตกต่างจาก 0 คือ p = 0.00805

สัมประสิทธิ์ของการถดถอยเชิงเส้นระบุค่าความชันและค่าจุดตัดแกน y ของเส้นที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม ดังแสดงในกราฟ ค่าจุดตัดแกน y คือ 2 และค่าความชันคือ 4

เปรียบเทียบผลลัพธ์จากการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับผลลัพธ์จากการทดสอบt

• จากการ ทดสอบ t -test พบว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มคือ 6-2=4
• จากสมการถดถอย ค่าความชันก็คือ 4 เช่นกัน ซึ่งบ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6)
• ค่าpของการทดสอบtสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ย และค่า p ของการถดถอยสำหรับความชัน มีค่าเท่ากับ 0.00805 ทั้งคู่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า ในกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่มีตัวแปร x เพียงตัวเดียวซึ่งมีค่าเป็น 0 และ 1 การทดสอบ tจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการถดถอยเชิงเส้น ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ด้วยวิธีทางพีชคณิตเช่นกัน

การรับรู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง การทดสอบ tและการถดถอยเชิงเส้นนี้ทำให้สามารถใช้การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรและการวิเคราะห์ความแปรปรวน แบบหลายทางได้ง่ายขึ้น ทางเลือกเหล่านี้แทน การทดสอบ tช่วยให้สามารถรวมตัวแปรอธิบาย เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการตอบสนองได้ การรวมตัวแปรอธิบายเพิ่มเติมดังกล่าวโดยใช้การถดถอยหรือ ANOVA จะช่วยลด ความแปรปรวน ที่ไม่สามารถอธิบายได้และโดยทั่วไปจะให้พลัง ในการตรวจจับความแตกต่างได้มากกว่า การทดสอบtสองกลุ่มตัวอย่าง^{[ 37 ]}