สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์เป็นประเภทของการวิเคราะห์ทางสถิติที่ตั้งสมมติฐานน้อยที่สุดเกี่ยวกับการกระจาย พื้นฐาน ของข้อมูลที่กำลังศึกษา โดยทั่วไปแบบจำลองเหล่านี้จะมีมิติอนันต์ แทนที่จะเป็นมิติจำกัด เช่นเดียวกับสถิติแบบใช้พารามิเตอร์ [ ^{1 ] สถิติ}แบบไม่ใช้พารามิเตอร์สามารถใช้สำหรับสถิติเชิงพรรณนาหรือการอนุมานทางสถิติการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์มักใช้เมื่อสมมติฐานของการทดสอบแบบใช้พารามิเตอร์ถูกละเมิดอย่างชัดเจน^{[ 2 ]}

คำว่า "สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์" ได้รับการนิยามอย่างไม่แม่นยำในสองลักษณะดังต่อไปนี้:

ความหมายแรกของคำว่า"ไม่พาราเมตริก"เกี่ยวข้องกับเทคนิคที่ไม่ต้องอาศัยข้อมูลที่อยู่ในตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบพาราเมตริกใดๆ ซึ่งรวมถึงเทคนิคต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• วิธีการที่ไม่ขึ้นกับการกระจายตัวของข้อมูล ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับสมมติฐานว่าข้อมูลนั้นได้มาจากตระกูลการกระจายความน่าจะเป็น แบบพาราเมตริก ที่ กำหนดไว้
• สถิติถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันของตัวอย่าง โดยไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ใด ๆ

ตัวอย่างหนึ่งคือสถิติเชิงลำดับซึ่งอิงตามการจัดอันดับตามลำดับของข้อมูลสังเกตการณ์

การอภิปรายต่อไปนี้นำมาจากทฤษฎีสถิติขั้นสูงของ Kendall ^{[ 3 ]}

สมมติฐานทางสถิติเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้... ตัวอย่างเช่น สมมติฐาน (ก) ที่ว่าการแจกแจงแบบปกติมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ระบุไว้ เป็นสมมติฐานทางสถิติ เช่นเดียวกับสมมติฐาน (ข) ที่ว่าการแจกแจงนั้นมีค่าเฉลี่ยที่กำหนดแต่ความแปรปรวนไม่ระบุ เช่นเดียวกับสมมติฐาน (ค) ที่ว่าการแจกแจงนั้นมีรูปแบบปกติโดยที่ทั้งค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่ระบุ และสุดท้าย สมมติฐาน (ง) ที่ว่าการแจกแจงต่อเนื่องสองแบบที่ไม่ระบุนั้นเหมือนกัน ก็เป็นสมมติฐานทางสถิติเช่นกัน

จะสังเกตได้ว่าในตัวอย่าง (a) และ (b) การกระจายตัวของข้อมูลที่สังเกตได้นั้นถือว่าเป็นรูปแบบหนึ่ง (แบบปกติ) และสมมติฐานนั้นเกี่ยวข้องกับค่าของพารามิเตอร์หนึ่งตัวหรือทั้งสองตัวเท่านั้น สมมติฐานเช่นนี้ ด้วยเหตุผลที่ชัดเจน จึงเรียกว่าสมมติฐานแบบพาราเมตริก

สมมติฐาน (c) มีลักษณะที่แตกต่างออกไป เนื่องจากไม่มีการระบุค่าพารามิเตอร์ใดๆ ในข้อความของสมมติฐาน เราอาจเรียกสมมติฐานดังกล่าวว่า สมมติฐานแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ (nonparametric ) ได้อย่างเหมาะสม สมมติฐาน (d) ก็เป็นสมมติฐานแบบไม่ใช้พารามิเตอร์เช่นกัน แต่ยิ่งไปกว่านั้น ยังไม่ได้ระบุรูปแบบพื้นฐานของการแจกแจง และอาจเรียกได้ว่า สมมติฐานแบบไม่ขึ้นกับการแจกแจง ( distribution-free ) ได้อย่างเหมาะสม แม้จะมีความแตกต่างเหล่านี้ แต่ในเอกสารทางสถิติโดยทั่วไปมักใช้คำว่า "ไม่ใช้พารามิเตอร์" กับวิธีการทดสอบที่เราเพิ่งเรียกว่า "ไม่ขึ้นกับการแจกแจง" ซึ่งทำให้สูญเสียการจำแนกประเภทที่มีประโยชน์ไป

ความหมายที่สองของคำว่า"ไม่ใช้พารามิเตอร์"เกี่ยวข้องกับเทคนิคที่ไม่ถือว่าโครงสร้างของแบบจำลองนั้นคงที่ โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเพื่อรองรับความซับซ้อนของข้อมูล ในเทคนิคเหล่านี้ ตัวแปรแต่ละตัว มัก จะถือว่าอยู่ในกลุ่มการแจกแจงแบบพารามิเตอร์ และมีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับประเภทของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรด้วย เทคนิคเหล่านี้ได้แก่:

• การถดถอยแบบไม่ใช้พารามิเตอร์คือการสร้างแบบจำลองที่พิจารณาโครงสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรโดยไม่ใช้พารามิเตอร์ แต่กระนั้นก็อาจมีการตั้งสมมติฐานแบบพารามิเตอร์เกี่ยวกับการกระจายของค่าความคลาดเคลื่อนของแบบจำลองได้
• แบบจำลองเบย์เซียนแบบลำดับชั้นที่ไม่ใช้พารามิเตอร์เช่น แบบจำลองที่อิงตามกระบวนการ Dirichletซึ่งอนุญาตให้จำนวนตัวแปรแฝงเพิ่มขึ้นได้ตามความจำเป็นเพื่อให้เหมาะสมกับข้อมูล แต่ตัวแปรแต่ละตัวยังคงเป็นไปตามการแจกแจงแบบพารามิเตอร์ และแม้แต่กระบวนการที่ควบคุมอัตราการเติบโตของตัวแปรแฝงก็ยังเป็นไปตามการแจกแจงแบบพารามิเตอร์

วิธีการทางสถิติแบบไม่พาราเมตริกถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาประชากรที่มีลำดับ (เช่น บทวิจารณ์ภาพยนตร์ที่ได้รับคะแนนหนึ่งถึงห้าดาว) การใช้วิธีการทางสถิติแบบไม่พาราเมตริกอาจมีความจำเป็นเมื่อข้อมูลมีลำดับแต่ไม่มี การตีความเชิง ตัวเลข ที่ชัดเจน เช่น เมื่อประเมินความชอบในแง่ของระดับการวัดวิธีการทางสถิติแบบไม่พาราเมตริกจะให้ผลลัพธ์เป็นข้อมูลเชิงลำดับ

เนื่องจากวิธีการแบบไม่ใช้พารามิเตอร์นั้นตั้งสมมติฐานน้อยกว่า จึงสามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปมากกว่าวิธีการแบบใช้พารามิเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถนำไปใช้ในสถานการณ์ที่ทราบข้อมูลเกี่ยวกับแอปพลิเคชันนั้นๆ น้อย นอกจากนี้ เนื่องจากอาศัยสมมติฐานน้อยกว่า วิธีการแบบไม่ใช้พารามิเตอร์จึงมีความแข็งแกร่งกว่า

วิธีการแบบไม่พาราเมตริกบางครั้งถูกมองว่าใช้งานง่ายกว่าและมีความเสถียรกว่าวิธีการแบบพาราเมตริก แม้ว่าข้อสมมติฐานของวิธีการแบบพาราเมตริกจะถูกต้องก็ตาม เนื่องจากวิธีการแบบไม่พาราเมตริกมีลักษณะทั่วไปมากกว่า ทำให้มีโอกาสน้อยที่จะถูกนำไปใช้ผิดวิธีหรือเข้าใจผิด วิธีการแบบไม่พาราเมตริกจึงถือเป็นทางเลือกที่รอบคอบ เพราะจะยังคงใช้งานได้แม้ว่าข้อสมมติฐานจะไม่เป็นไปตามที่กำหนด ในขณะที่วิธีการแบบพาราเมตริกอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดได้เมื่อข้อสมมติฐานถูกละเมิด

ข้อดีของการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์คือสามารถนำไป ใช้ได้ในวงกว้างกว่าและมีความแข็งแกร่ง กว่า แต่ ก็มีข้อเสียเช่นกัน กล่าวคือ ในกรณีที่เงื่อนไขของการทดสอบแบบใช้พารามิเตอร์เป็นไปตามที่กำหนด การทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์จะมีกำลังทางสถิติ น้อยกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อาจต้องใช้ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นเพื่อให้ได้ข้อสรุปที่มีระดับความมั่นใจเท่ากัน

แบบจำลองที่ไม่ใช้พารามิเตอร์แตกต่างจาก แบบจำลอง ที่ใช้พารามิเตอร์ตรงที่โครงสร้างของแบบจำลองไม่ได้ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแต่จะถูกกำหนดจากข้อมูล คำว่า"ไม่ใช้พารามิเตอร์"ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองเหล่านั้นไม่มีพารามิเตอร์เลย แต่หมายความว่าจำนวนและลักษณะของพารามิเตอร์นั้นมีความยืดหยุ่นและไม่ตายตัว

• ฮิสโตแกรม : การประมาณค่าแบบไม่ใช้พารามิเตอร์อย่างง่ายของความน่าจะเป็น
• การประมาณความหนาแน่นเคอร์เนล : วิธีการประมาณการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งมักอาศัยการหาค่าเฉลี่ยเฉพาะที่
• การปรับเส้นโค้งให้เรียบ : วิธีการถดถอยโดยใช้เส้นโค้งสปลายน์
• การวิเคราะห์การห่อหุ้มข้อมูล (Data Envelopment Analysis: DEA) : ให้ค่าสัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพที่คล้ายคลึงกับที่ได้จากการวิเคราะห์หลายตัวแปรโดยไม่ต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับลักษณะการกระจายตัวของ ข้อมูล
• k-nearest neighbors (kNN) : จำแนกตัวอย่างที่ไม่เคยเห็นมาก่อนโดยอาศัยจุด k จุดในชุดข้อมูลฝึกฝนที่อยู่ใกล้ที่สุดกับตัวอย่างนั้น
• เครื่องเรียนรู้แบบเวกเตอร์สนับสนุน (โดยใช้เคอร์เนลแบบเกาส์เซียน): ตัวจำแนกแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ที่มีขอบเขตขนาดใหญ่
• วิธีโมเมนต์ : ตัวประมาณค่าสำหรับค่าเดียว เช่นค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวนของการแจกแจง

วิธีการทางสถิติเชิงอนุมานแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ (หรือแบบไม่ขึ้นกับการกระจายตัว ) คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์สำหรับการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ ซึ่งแตกต่างจากสถิติแบบใช้พารามิเตอร์ตรงที่ไม่ตั้งสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรที่กำลังประเมิน การทดสอบที่ใช้บ่อยที่สุด ได้แก่

• การวิเคราะห์ความคล้ายคลึงกัน
• การทดสอบแอนเดอร์สัน-ดาร์ลิง : ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างที่สุ่มมานั้นมาจากกลุ่มตัวอย่างที่กำหนดหรือไม่
• วิธีการบูตสแตรปทางสถิติ : ประมาณค่าความแม่นยำ/การกระจายตัวอย่างของสถิติ
• การทดสอบไคสแควร์
• Cochran's Q : ใช้ทดสอบว่า การรักษา kวิธีในการออกแบบบล็อกแบบสุ่มที่มีผลลัพธ์ 0/1 นั้นให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน หรือไม่
• ค่าสัมประสิทธิ์แคปปาของโคเฮน : ใช้วัดความสอดคล้องระหว่างผู้ประเมินสำหรับรายการประเภทจัดกลุ่ม
• การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบสองทางของฟรีดแมน (การวัดซ้ำ)โดยใช้ลำดับ: ทดสอบว่า การรักษา k แบบในการออกแบบบล็อกแบบสุ่มมีผลลัพธ์ที่เหมือนกัน หรือไม่
• ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์
• วิธีการ Kaplan–Meier : ประมาณฟังก์ชันการอยู่รอดจากข้อมูลอายุขัย โดยจำลองการตัดตอนข้อมูล
• ค่าเทาของเคนดัลล์ (Kendall's tau) : ใช้วัดความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างตัวแปรสองตัว
• ค่า Kendall's W : ค่าที่ใช้วัดความสอดคล้องระหว่างผู้ประเมินหลายคน ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
• การทดสอบ Kolmogorov–Smirnov : ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างที่ได้มานั้นมาจากการแจกแจงที่กำหนดหรือไม่ หรือว่าตัวอย่างสองตัวอย่างมาจากการแจกแจงเดียวกันหรือไม่
• การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวของ Kruskal–Wallisโดยใช้ลำดับ: ทดสอบว่าตัวอย่างอิสระมากกว่า 2 ตัวอย่างถูกสุ่มมาจาก1การแจกแจงเดียวกันหรือไม่
• การทดสอบของ Kuiper : ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างที่สุ่มมานั้นมาจากชุดข้อมูลที่กำหนดหรือไม่ โดยมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงตามวัฏจักร เช่น วันในสัปดาห์
• การทดสอบ Logrank : เปรียบเทียบการกระจายการอยู่รอดของตัวอย่างสองกลุ่มที่มีการกระจายแบบเบ้ขวาและถูกตัดตอน
• การทดสอบ Mann–Whitney Uหรือ Wilcoxon rank sum test: ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างสองตัวอย่างมาจาก1การแจกแจงเดียวกันหรือไม่ เมื่อเปรียบเทียบกับสมมติฐานทางเลือกที่กำหนดให้
• การทดสอบของ McNemar : ใช้ทดสอบว่า ในตารางความสัมพันธ์ 2 × 2 ที่มีลักษณะแบบสองค่าและคู่ตัวอย่างที่จับคู่กัน ความถี่ขอบของแถวและคอลัมน์เท่ากันหรือไม่
• การทดสอบค่ามัธยฐาน : ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างสองตัวอย่างมาจากแหล่งกระจายที่มีค่ามัธยฐานเท่ากันหรือไม่
• การทดสอบการเรียงสับเปลี่ยนของพิตแมน : การทดสอบความสำคัญทางสถิติที่ให้ ค่า p ที่แน่นอน โดยการตรวจสอบการเรียงลำดับป้ายกำกับที่เป็นไปได้ทั้งหมด
• ผลิตภัณฑ์จัดอันดับ : ตรวจจับยีนที่มีการแสดงออกแตกต่างกันในการทดลองไมโครอาร์เรย์ที่ทำซ้ำ
• การทดสอบ Siegel–Tukey : การทดสอบเพื่อหาความแตกต่างของขนาดระหว่างสองกลุ่ม
• การทดสอบเครื่องหมาย : ทดสอบว่าตัวอย่างคู่ที่จับคู่กันนั้นมาจากกลุ่มตัวอย่างที่มีค่ามัธยฐานเท่ากันหรือไม่
• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมน : วัดความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างตัวแปรสองตัวโดยใช้ฟังก์ชันโมโนโทนิก
• การทดสอบอันดับกำลังสอง : ใช้ทดสอบความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนในสองตัวอย่างขึ้นไป
• การทดสอบ Tukey–Duckworth : ใช้ทดสอบความเท่าเทียมกันของสองการแจกแจงโดยใช้ลำดับ
• การทดสอบ Wald–Wolfowitz runs test : ทดสอบว่าองค์ประกอบในลำดับนั้นเป็นอิสระต่อกัน/สุ่มหรือไม่
• การทดสอบ Wilcoxon signed-rank : ใช้ทดสอบว่าตัวอย่างคู่ที่จับคู่กันนั้นมาจากประชากรที่มีค่าเฉลี่ยลำดับที่แตกต่างกันหรือไม่
• การระบุความพอดีเชิงเส้นสากล: วิธีการที่ไม่ขึ้นกับข้อมูล ค่าผิดปกติ และแบบจำลองการกระจายสัญญาณรบกวน และปราศจากการเติมข้อมูลที่หายไปหรือถูกลบ^{[ 4 ]}

ในสถิติทางคณิตศาสตร์แบบจำลองที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ถือเป็นแบบจำลองที่ไม่ต้องอาศัยสมมติฐานพารามิเตอร์ของการกระจายข้อมูลที่ไม่ทราบ (ใน ปัญหา การประมาณความหนาแน่น ) หรือของฟังก์ชันการถดถอย (ใน ปัญหา การถดถอย ) ในขณะที่เป้าหมายของแบบจำลองพารามิเตอร์ใดๆ คือการประมาณค่าพารามิเตอร์จำนวนจำกัดแบบจำลองที่ไม่ใช้พารามิเตอร์มีเป้าหมายเพื่อประมาณค่าการกระจายข้อมูล/ฟังก์ชันการถดถอยโดยตรง^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{p}\in \mathbb {R} }$

อย่างไรก็ตาม สำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วิธีการแบบพาราเมตริกและแบบไม่พาราเมตริกนั้นอยู่ในบริบทเดียวกัน กล่าวคือ สมมติว่าฟังก์ชันที่จะประมาณค่า (การกระจายข้อมูลหรือฟังก์ชันการถดถอย) เป็นส่วนหนึ่งของเซตของฟังก์ชันที่กำหนดโดยเซตของพารามิเตอร์ เราจะค้นหาฟังก์ชัน (ที่วัดได้) ที่ประมาณค่าพารามิเตอร์ "ที่แท้จริง" โดยอาศัยจุดข้อมูลความแตกต่างที่สำคัญระหว่างวิธีการแบบพาราเมตริกและแบบไม่พาราเมตริกคือ ในกรณีแรกจะใช้ค่าพารามิเตอร์สำหรับบางค่าในขณะที่ในกรณีหลังโดยทั่วไปแล้วค่าพารามิเตอร์จะเป็นเซตของฟังก์ชันเป้าหมายที่เป็นไปได้เอง เช่น เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องหรือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle T_{n}:{\mathcal {X}}^{n}\to \Theta }$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Theta }$

คำถามที่เกี่ยวข้องในสาขานี้เกี่ยวกับการสร้างตัวประมาณค่าที่สมเหตุสมผลความสอดคล้องอัตราการบรรจบกันและความเหมาะสมที่สุด และการประมาณค่าแบบปรับตัวได้^{[ 6 ]}

เช่นเดียวกับในสถิติเชิงพาราเมตริกคุณสมบัติที่พึงประสงค์สำหรับตัวประมาณค่าคือ ตัวประมาณค่าจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเป้าหมายเมื่อขนาดตัวอย่างเข้าสู่ค่าอนันต์ นั่นคือ ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าจะลู่เข้าสู่ศูนย์ โดยปกติแล้ว การประมาณค่าจะวัดในแง่ของระยะทางนอร์ม - ระหว่างและเนื่องจากตัวประมาณค่าเป็นฟังก์ชันของข้อมูลที่สุ่มเลือกมาการประมาณค่าจึงเป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน ดังนั้นเราจึงแยกแยะโหมดการลู่เข้าที่แตกต่างกันสองแบบ: ${\displaystyle {\หมวก {f_{n}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\หมวก {f_{n}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$

ความสอดคล้องที่อ่อนแอ: . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [\lVert {\hat {f_{n}}}(X)-f\rVert _{L^{2}}^{2}]=0}$

ความสม่ำเสมอสูง: แทบจะแน่นอน ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lVert {\hat {f_{n}}}(X)-f\rVert _{L^{2}}^{2}=0}$

ถ้าตัวประมาณค่ามีความสอดคล้องกันสำหรับตัวประมาณค่ากำลังสองที่สามารถอินทิเกรตได้ ทั้งหมด ก็จะเรียกว่า มีความสอดคล้อง กันแบบสากล^{[ 5 ]}${\displaystyle f}$

ตัวประมาณค่าแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ทั่วไปจำนวนมากมีความสอดคล้องกันในระดับอ่อน เช่นตัวประมาณค่า Nadarya-Watson , kNNsและ ตัว ประมาณค่าพหุนามเฉพาะที่ บางตัว ^{[ 5 ]}

หัวข้อสำคัญในการวิเคราะห์ทางสถิติของตัวประมาณค่าแบบไม่ใช้พารามิเตอร์คือ ความเร็วในการลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเป้าหมายที่แท้จริงและความเร็วที่ว่านั้นเหมาะสมที่สุดหรือไม่ กล่าวคือ การลู่เข้าเร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการวัดความเร็วในการลู่เข้าของตัวประมาณค่าคือ อัตราการลู่เข้า แบบมินิแม็กซ์ซึ่งพิจารณาถึงการสูญเสียที่คาดหวังของตัวประมาณค่าในสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด ภายใต้สมมติฐานบางประการเกี่ยวกับความเรียบของฟังก์ชันเราสามารถแสดงได้ว่ามีอัตราการลู่เข้าขั้นต่ำที่ไม่มีตัวประมาณค่าใดสามารถต่ำกว่าได้ ดังนั้นตัวประมาณค่าใด ๆ ที่บรรลุอัตราขั้นต่ำนี้จึงเรียกว่าเหมาะสมที่สุด ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเป้าหมายจะถือว่าอยู่ในกลุ่มฟังก์ชันบางกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มสมมติฐานซึ่งทำให้เกิดการแจกแจงบนและคุณภาพการประมาณค่าของตัวประมาณจะวัดได้จากฟังก์ชันบางอย่างอัตราการลู่เข้าแบบมินิแม็กซ์ของคือลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับโดยที่แสดงว่าตัวแปรสุ่มซึ่งสุ่มจุดข้อมูล มีการแจกแจง ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{f}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\hat {f_{n}}}:{\mathcal {X}}^{n}\to {\mathcal {H}}}$${\displaystyle L:{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\to [0,\infty )}$${\displaystyle {\hat {f_{n}}}}$${\displaystyle (\psi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{\psi _{n}}}\sup _{f\in {\mathcal {H}}}\mathbb {E} _{f}{\big [}L{\big (}f,{\hat {f_{n}}}(X_{1},\dots ,X_{n}){\big )}{\big ]}&<\infty ,\\\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\psi _{n}}}\sup _{f\in {\mathcal {H}}}\mathbb {E} _{f}{\big [}L{\big (}f,{\hat {f_{n}}}(X_{1},\dots ,X_{n}){\big )}{\big ]}&>0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbb {E} _{f}[\cdot ]}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{f}}$

ขอบล่างสากลของการประมาณค่าสำหรับกลุ่มสมมติฐานคือลำดับที่ค่า ต่ำสุด นั้นได้มาจากตัวประมาณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด(นั่นคือฟังก์ชันที่วัดได้ ) โดยอิงจากการสังเกต ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (\psi _{n})_{n\in {\mathcal {N}}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{\psi _{n}}}\inf _{\hat {\rho _{n}}}\sup _{f\in {\mathcal {H}}}\mathbb {E} _{f}{\big [}L{\big (}f,{\hat {\rho }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n}){\big )}{\big ]}&<\infty ,\\\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\psi _{n}}}\inf _{\hat {\rho _{n}}}\sup _{f\in {\mathcal {H}}}\mathbb {E} _{f}{\big [}L{\big (}f,{\hat {\rho }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n}){\big )}{\big ]}&>0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\hat {\rho }}_{n}}$${\displaystyle n}$

การวิเคราะห์โดยละเอียดของตัวประมาณค่าแบบไม่ใช้พารามิเตอร์จะแยกออกเป็น การประมาณความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และฟังก์ชันการถดถอย

โดยทั่วไปแล้ว การประมาณค่าความหนาแน่นจะเกี่ยวข้องกับปริภูมิของฟังก์ชันที่มีบรรทัดฐานเซตย่อยของฟังก์ชันความหนาแน่นและตัวแปรสุ่มอิสระที่กระจายตามมาตรวัดที่มีความหนาแน่นซึ่งเป็นตัวสร้างข้อมูล ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\lVert \cdot \rVert )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{f\in {\mathcal {F}}:f\geq 0,\int _{\mathcal {X}}f(x)dx=1,\lVert f\rVert \leq 1\}}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\in {\mathcal {X}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$

ค่าขอบล่างของมินิแม็กซ์เป็นที่ทราบกันดีสำหรับคู่ของคลาสฟังก์ชันและเมตริกการเปรียบเทียบ ที่แตกต่างกัน ตัวเลือกทั่วไปสำหรับค่าขอบล่างได้แก่: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=C^{\alpha }({\mathcal {X}}),\alpha >0}$: ปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง โดยที่อนุพันธ์สูงสุดเป็นฟังก์ชันเรียบแบบ-Hölder${\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor }$${\displaystyle (\alpha -\lfloor \alpha \rfloor )}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=H^{s}({\mathcal {X}})=W^{s,2}({\mathcal {X}}),s>0}$: พื้นที่ของฟังก์ชันเรียบแบบโซโบเลฟ ที่มี อนุพันธ์อ่อน ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสอง ได้
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=B_{p,q}^{s}({\mathcal {X}}),s>0,p,q\in (0,\infty ]}$: พื้นที่ของฟังก์ชันเรียบแบบเบซอ ฟ

ในความเป็นจริง พื้นที่ Hölder และพื้นที่ Sobolev เป็นกรณีพิเศษของพื้นที่ Besov บางส่วน กล่าวคือสำหรับและ^{[ 7} ] ดังนั้น การหาขอบเขตล่างภายใต้สมมติฐานความเรียบของ Besov มักจะ ^{เพียงพอ}${\displaystyle C^{\alpha }({\mathcal {X}})=B_{\infty ,\infty }^{\alpha }({\mathcal {X}})}$${\displaystyle \alpha \notin \mathbb {Z} }$${\displaystyle H^{s}({\mathcal {X}})=B_{2,2}^{s}({\mathcal {X}})}$

ตัวเลือกทั่วไปสำหรับคือ: ^{[ 6 ]}${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle L(f,g)=(f(x_{0})-g(x_{0}))^{2},x_{0}\in {\mathcal {X}}}$: ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองแบบจุดต่อจุด (MSE)
• ${\displaystyle L(f,g)=\lVert f-g\rVert _{L^{2}({\mathcal {X}})}^{2}}$: ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยแบบบูรณาการ (MISE)
• ${\displaystyle L(f,g)=\lVert f-g\rVert _{L^{\infty }({\mathcal {X}})}}$ระยะทางบรรทัดฐานสูงสุด
• ${\displaystyle L(f,g)=\mathrm {KL} (\mathbb {P} _{f}\lVert \mathbb {P} _{g})}$: ความแตกต่างแบบ Kullback-Leiblerของการกระจายที่เกิดจากและ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle L(f,g)=\mathrm {TV} (\mathbb {P} _{f},\mathbb {P} _{g})}$: ระยะทางความแปรผันรวมของการกระจายที่เกิดจากและ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle L(f,g)=W_{\beta }(\mathbb {P} _{f},\mathbb {P} _{g}),\beta \geq 1}$ระยะ ทาง วาสเซอร์สไตน์ของการกระจายที่เกิดจากและ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ตามทฤษฎีบทของ Scheffé ระยะทางความแปรผันรวมจะ เทียบเท่ากับระยะทาง -distance ของและ${\displaystyle \mathrm {TV} (\mathbb {P} _{f},\mathbb {P} _{g})}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ระดับความเรียบเนียน	${\displaystyle \lVert f-g\rVert _{L^{2}({\mathcal {X}})}^{2}}$	${\displaystyle W_{\beta }(\mathbb {P} _{f},\mathbb {P} _{g})}$	${\displaystyle \mathrm {TV} (\mathbb {P} _{f},\mathbb {P} _{g})}$	${\displaystyle \mathrm {KL} (\mathbb {P} _{f}\lVert \mathbb {P} _{g})}$
${\displaystyle B_{p,q}^{s}({\mathcal {X}})}$	${\displaystyle n^{-{\frac {2s}{2s+d}}}}$[ 8 ]${\displaystyle (p,q\geq 1,\,s>d/q)}$	${\displaystyle n^{-{\frac {s+1}{2s+d}}}}$[ 9 ]	${\displaystyle n^{-{\frac {s}{2s+d}}}}$[ 8 ]	${\displaystyle n^{-{\frac {2s}{2s+d}}}}$
${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} )}$	${\displaystyle n^{-1}}$[ 10 ]	-	-	-

ขอบล่างของ MISE บางครั้งถูกนำไปเปรียบเทียบกับขอบเขต Cramér–Raoจากสถิติเชิงพารามิเตอร์ ซึ่งเป็นขอบล่างสำหรับ ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย ของตัวประมาณค่า ที่ไม่เอนเอียง ปกติของพารามิเตอร์: โดยที่คือข้อมูล Fisherของแบบจำลองเชิงพารามิเตอร์ และคือค่าคงที่บางค่า อัตราแบบไม่ใช้พารามิเตอร์จึงช้ากว่าอัตราแบบใช้พารามิเตอร์โดยเฉพาะในมิติขนาดใหญ่ และเข้าใกล้อัตราแบบใช้พารามิเตอร์เมื่อความเรียบของความหนาแน่นมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{\theta \in \Theta }\mathbb {E} &[\lVert \theta -{\hat {\theta }}_{n}\rVert ^{2}]\geq n^{-1}\underbrace {\sup _{\theta \in \Theta }\mathrm {tr} (I(\theta )^{-1})} _{=const.},\\\sup _{f\in B_{p,q}^{s}({\mathcal {X}})}\mathbb {E} &[\lVert f-{\hat {f_{n}}}\rVert _{L^{2}({\mathcal {X}})}^{2}]\geq cn^{-2s/(2s+d)},\end{aligned}}}$$${\displaystyle I(\theta )}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle n^{-1}}$

ตัวอย่างเช่น ตัวประมาณความหนาแน่นเคอร์เนลบรรลุขอบเขตล่างของ MISE ภายใต้คลาสสมมติฐาน Sobolev ภายใต้การเลือกแบนด์วิดท์ที่เหมาะสม และจึงเหมาะสมที่สุดแบบมินิแม็กซ์^{[ 6 ]}เมื่อไม่นานมานี้โมเดลสร้างแบบอิงคะแนน ยัง แสดงให้เห็นว่าบรรลุอัตราการบรรจบกันแบบมินิแม็กซ์ในความแปรผันทั้งหมดและในระยะทาง Wasserstein-1 สำหรับการกระจายแบบเรียบ -smooth ซึ่งมีขอบเขตห่างจากศูนย์จากด้านล่าง^{[ 11 ]}${\displaystyle B_{p,q}^{s}([0,1]^{d})}$${\displaystyle s>(1/p-1/2)_{+}}$

ใน การวิเคราะห์ การถดถอยข้อมูลจะปรากฏเป็นคู่ๆโดยสมมติว่าข้อมูลเป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบเดียวกัน และเราสามารถเขียนได้เสมอว่า โดยที่ เป็นฟังก์ชันการถดถอยที่จะประมาณค่า และ เป็นตัวแปรความคลาดเคลื่อน ที่สอดคล้องกับ และโดยทั่วไป ตัวแปรอิสระจะมีค่าอยู่ในลูกบาศก์หน่วยและเป็นจุดที่กำหนดบนตาราง (การออกแบบเชิงกำหนด) หรือมีการกระจายแบบสม่ำเสมอ (การออกแบบเชิงสุ่ม) ดังนั้น ${\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\dots ,(X_{n},Y_{n})}$${\displaystyle \mathbb {E} [|Y_{1}|]<\infty }$$${\displaystyle Y_{i}=f(X_{i})+\varepsilon _{i},}$$${\displaystyle f(x)=\mathbb {E} [Y_{1}\mid X_{1}=x]}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \mathbb {E} [\varepsilon _{i}]=0}$${\displaystyle \mathbb {E} [\varepsilon ^{2}]=\sigma ^{2}>0}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle [0,1]^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}=[0,1]^{d}\times \mathbb {R} }$

การตั้งค่าข้างต้นใช้ได้กับการจำแนกแบบไบนารีเช่นกัน ในกรณีนั้น ค่าสังเกตจะมีเพียงสองค่า เช่น 0 และ 1 โดยที่และเมื่อกำหนดตัวประมาณค่าของ แล้วตัวจำแนกจะมีรูปแบบนั่นคือ จะจำแนกจุดเป็น 1 ถ้าความน่าจะเป็นที่ประมาณได้ของมากกว่า(และ 0 ในกรณีอื่น) อันที่จริง วิธีการจำแนกหลายวิธีมีรูปแบบดังกล่าว ตัวอย่างเช่นการถดถอยโลจิสติกการวิเคราะห์การจำแนกเชิงเส้นการวิเคราะห์การจำแนกเชิงกำลังสองและ วิธีการ เพื่อนบ้านใกล้ที่สุด k ตัวและเครื่องสนับสนุนเวกเตอร์ ${\displaystyle f(x)=\mathbb {E} [\mathbb {1} _{\{Y_{1}=1\}}\mid X=x]=\mathbb {P} (Y_{1}=1\mid X=x)}$${\displaystyle {\hat {f_{n}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C(x)=\mathbb {1} _{[1/2,1]}({\hat {f_{n}}}(x))}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle 1/2}$

จากนั้น สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติ คลาสสมมติฐานจะมีรูปแบบสำหรับปริภูมิฟังก์ชันมาตรฐานบางอย่างและค่าคาดหวังจะคำนวณโดยสัมพันธ์กับการกระจายร่วมของและ(หรือเฉพาะในกรณีที่ เป็นค่าที่แน่นอน) ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{f\in {\mathcal {F}}:\lVert f\rVert \leq 1\}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},\lVert \cdot \rVert )}$${\displaystyle \mathbb {E} _{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{i}}$

ในการวิเคราะห์การถดถอยแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ ตัวเลือกทั่วไปสำหรับค่าต่างๆ ได้แก่: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=C^{\alpha }([0,1]^{d}),\alpha >0}$: ปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง โดยที่อนุพันธ์สูงสุดเป็นฟังก์ชันเรียบแบบ-Hölder${\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor }$${\displaystyle (\alpha -\lfloor \alpha \rfloor )}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=W^{k,q}([0,1]^{d}),k\in \mathbb {N} ,q>d}$: พื้นที่ของฟังก์ชันเรียบแบบโซโบเลฟ ที่มี อนุพันธ์อ่อนที่สามารถอินทิเกรตได้${\displaystyle L^{q}}$

ตัวเลือกที่นิยมใช้ได้แก่: ${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle L(f,g)=(f(x_{0})-g(x_{0}))^{2},x_{0}\in [0,1]^{d}}$: ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองแบบจุดต่อจุด (MSE)
• ${\displaystyle L(f,g)=\lVert f-g\rVert _{L^{p}([0,1]^{d})},p\in [1,\infty )}$: นอร์มลำดับที่ -th${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle L(f,g)=\lVert f-g\rVert _{L^{\infty }([0,1]^{d})}}$ระยะทางบรรทัดฐานสูงสุด

ภายใต้สมมติฐานทางเทคนิคบางประการ ขอบเขตล่างต่อไปนี้เป็นที่ทราบกันดี

ระดับความเรียบเนียน	${\displaystyle (f(x_{0})-g(x_{0}))^{2}}$	${\displaystyle L^{p}([0,1]^{d})}$	${\displaystyle L^{\infty }([0,1]^{d})}$
${\displaystyle C^{\alpha }([0,1]^{d})}$	${\displaystyle n^{-{\frac {2\alpha }{2\alpha +d}}}}$[ 6 ] (การออกแบบที่กำหนด)	${\displaystyle n^{-{\frac {\alpha }{2\alpha +d}}}}$[ 6 ] [ 12 ]	${\displaystyle (\log n/n)^{\frac {\alpha }{2\alpha +d}}}$[ 6 ] [ 12 ]
${\displaystyle W^{k,q}([0,1]^{d})}$	-	${\displaystyle n^{-{\frac {k}{2k+d}}}}$[ 12 ]${\displaystyle ({\sqrt {n}}/\sigma \geq 1)}$	${\displaystyle n^{-{\frac {k}{2k+d}}}}$[ 12 ]${\displaystyle ({\sqrt {n}}/\sigma \geq 1)}$

ตัวประมาณ พหุนามท้องถิ่นบางตัวมีค่าเหมาะสมที่สุดแบบมินิแม็กซ์เมื่อพิจารณาภายใต้เงื่อนไขใดๆเมื่อแบนด์วิดท์อยู่ในลำดับ[ ^{6 ] kNN}ยังมีค่าเหมาะสมที่สุดแบบมินิแม็กซ์เมื่อพิจารณา MSE ภายใต้เงื่อนไขและเมื่อพิจารณาภายใต้ เงื่อนไข เมื่อจำนวนเพื่อนบ้านที่พิจารณาอยู่ในลำดับและตามลำดับ^{[ 5 ]}${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=C^{\alpha }([0,1]^{d})}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{-{\frac {1}{2\alpha +d}}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=C^{2}([0,1]^{d})}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=C^{1}([0,1]^{d})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{d+4}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{d+2}})}$

โดยทั่วไปแล้ว การเลือกค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง (เช่น แบนด์วิดท์สำหรับวิธีการเคอร์เนล หรือจำนวนเพื่อนบ้านสำหรับ kNN) ที่จำเป็นเพื่อให้ได้อัตราการล convergence ที่เหมาะสมที่สุดนั้น มักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ความเรียบของฟังก์ชันเป้าหมายที่ไม่ทราบค่า ซึ่งหมายความว่า ในทางปฏิบัติ หากไม่มีการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสม วิธีการที่กล่าวมาข้างต้นก็จะไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด

แต่สิ่งที่สนใจคือวิธีการที่บรรลุอัตราการบรรจบกันที่เหมาะสมที่สุดแบบมินิแม็กซ์ ไม่เพียงแต่สำหรับพารามิเตอร์ความเรียบเฉพาะตัวหนึ่งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าต่างๆ ด้วย ให้คลาสสมมติฐานอยู่ในรูปแบบ(เช่นหรือ) และให้เป็นอัตราการบรรจบกันที่เหมาะสมที่สุดในแล้วตระกูลของตัวประมาณค่าจะเรียกว่าปรับตัวได้ในความหมายของมินิแม็กซ์หากมีค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับ เท่านั้นที่ทำให้^{[ 6 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำเป็นต้องมีตัวประมาณค่าแบบปรับตัวได้เพื่อให้ได้อัตราการบรรจบกันแบบมินิแม็กซ์ในทุกคลาสสมมติฐานแต่โดยไม่ต้องใช้พารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าเป็นอาร์กิวเมนต์ ตัวประมาณค่าแบบปรับตัวได้มักจะเกิดขึ้นจากการใช้ตัวประมาณค่าที่เหมาะสมที่สุดแบบมินิแม็กซ์สำหรับตระกูลของคลาสสมมติฐาน และโดยการประมาณค่าไฮเปอร์พารามิเตอร์ผ่านกระบวนการระดับสูงกว่า เช่น การประมาณความเสี่ยงที่ไม่เอนเอียงหรือ การตรวจ สอบแบบไขว้^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigcup _{\beta >0}{\mathcal {H}}_{\beta }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\beta }=C^{\beta }([0,1]^{d})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\beta }=H^{\beta }([0,1]^{d})}$${\displaystyle \psi _{n}^{\beta }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\beta }}$${\displaystyle ({\hat {f_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle C(\beta )}$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {H}}_{\beta }}\mathbb {E} [L({\hat {f_{n}}},f)]\leq C(\beta )\psi _{n}^{\beta },\quad \forall \beta >0,\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$

สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ในยุคแรกๆ ได้แก่ค่ามัธยฐาน (ศตวรรษที่ 13 หรือก่อนหน้านั้น ใช้ในการประมาณค่าโดยเอ็ดเวิร์ด ไรท์ในปี 1599 ดูค่ามัธยฐาน § ประวัติ ) และการทดสอบเครื่องหมายโดยจอห์น อาร์บัทนอต (1710) ในการวิเคราะห์อัตราส่วนเพศของมนุษย์เมื่อแรกเกิด (ดูการทดสอบเครื่องหมาย § ประวัติ ) ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• การถดถอยแบบไม่ใช้พารามิเตอร์
• สถิติเชิงพารามิเตอร์
• การสุ่มตัวอย่างซ้ำ (สถิติ)
• แบบจำลองกึ่งพาราเมตริก
• ช่วงความเชื่อมั่นแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ตาม CDF

• Bagdonavicius, V., Kruopis, J., Nikulin, MS (2011). "การทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์สำหรับข้อมูลที่สมบูรณ์", ISTE & WILEY: ลอนดอนและโฮโบเคน. ISBN 978-1-84821-269-5.
• Corder, GW; Foreman, DI (2014). สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์: วิธีการทีละขั้นตอน . Wiley. ISBN 978-1-118-84031-3.
• Gibbons, Jean Dickinson ; Chakraborti, Subhabrata (2003). การอนุมานทางสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ฉบับที่ 4 สำนักพิมพ์ CRC ISBN 0-8247-4052-1.
• Hettmansperger, TP; McKean, JW (1998). วิธีการทางสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ที่ทนทาน . ห้องสมุดสถิติของ Kendall. เล่มที่ 5. ลอนดอน: Edward Arnold . ISBN 0-340-54937-8MR 1604954​ ​และ ISBNด้วย 0-471-19479-4.
• Hollander M., Wolfe DA, Chicken E. (2014). วิธีการทางสถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ , John Wiley & Sons.
• เชสกิน, เดวิด เจ. (2003) คู่มือวิธีการทางสถิติแบบพาราเมตริกและไม่พาราเมตริกสำนักพิมพ์ซีอาร์ซีISBN 1-58488-440-1
• วาสเซอร์แมน, แลร์รี (2007). สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ทั้งหมด , สปริงเกอร์. ISBN 0-387-25145-6.