การกระจายแบบปกติ

การกระจายแบบปกติ
การกระจายแบบปกติ
	ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น เส้นโค้งสีแดงคือการแจกแจงปกติมาตรฐาน
	ฟังก์ชันการกระจายสะสม
สัญกรณ์	เอ็น(μ,σ2){\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
พารามิเตอร์	μ∈อาร์{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }= ค่าเฉลี่ย ( ตำแหน่ง )σ2∈อาร์>0{\displaystyle \sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}}= ความแปรปรวน ( มาตราส่วน ยกกำลังสอง )
สนับสนุน	x∈อาร์{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
พีดี	12πσ2อี−(x−μ)22σ2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
ซีดีเอฟ	Φ(x−μσ)=12[1+เอิร์ฟ⁡(x−μσ2)]{\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}
ควอนไทล์	μ+σ2เอิร์ฟ−1⁡(2พี−1){\displaystyle \mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}
หมายถึง	μ{\displaystyle \mu }
ค่ามัธยฐาน	μ{\displaystyle \mu }
โหมด	μ{\displaystyle \mu }
ความแปรปรวน	σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}
โกรธ	σ2เอิร์ฟ−1⁡(1/2){\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)}
เอเอดี	σ2/π{\textstyle \sigma {\sqrt {2/\pi }}}
ความเบี่ยงเบน	0{\displaystyle 0}
ความโค้งส่วนเกิน	0{\displaystyle 0}
เอนโทรปี	12บันทึก⁡(2πอีσ2){\textstyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi e\sigma ^{2})}
เอ็มจีเอฟ	เอ็กซ์⁡(μที+σ2ที2/2){\displaystyle \exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)}
ซีเอฟ	เอ็กซ์⁡(ฉันμที−σ2ที2/2){\displaystyle \exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)}
ข้อมูลของฟิชเชอร์	ฉัน(μ,σ)=(1/σ2002/σ2){\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}ฉัน(μ,σ2)=(1/σ2001/(2σ4)){\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}
ความแตกต่าง Kullback–Leibler	12{(σ0σ1)2+(μ1−μ0)2σ12−1+ln⁡σ12σ02}{\displaystyle {1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}}

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ การ แจกแจงปกติหรือการแจกแจงแบบเกาส์เซียน เป็นการ แจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องชนิดหนึ่งสำหรับตัวแปรสุ่ม ค่าจริง รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นคือ^[¹^]^[²^]^[³^] $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\,.$ พารามิเตอร์⁠ $\mu$ คือค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของการแจกแจง (รวมถึงค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยม ด้วย ) ในขณะที่พารามิเตอร์ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ คือค่าความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงคือค่าบวก $\sigma$ (ซิกมา) ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนเรียกว่ามีการแจกแจงแบบปกติและเรียกว่าเบนปกติ

การแจกแจงแบบปกติมีความสำคัญในทางสถิติและมักใช้ใน วิทยาศาสตร์ ธรรมชาติและสังคม เพื่อแสดง ตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริงซึ่งไม่ทราบการแจกแจง^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}ความสำคัญของการแจกแจงแบบปกติส่วนหนึ่งมาจากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางซึ่งระบุว่าค่าเฉลี่ยของ ตัวอย่าง (การสังเกต) ที่ เป็นอิสระทางสถิติ จำนวนมาก ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจำกัดนั้นเป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน ซึ่งการแจกแจงจะลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติเมื่อจำนวนตัวอย่างเพิ่มขึ้น ดังนั้นปริมาณทางกายภาพที่คาดว่าจะเป็นผลรวมของกระบวนการอิสระจำนวนมาก เช่นข้อผิดพลาดในการวัดมักมีการแจกแจงที่ใกล้เคียงกับแบบปกติ^{[ 6 ]}

ยิ่งไปกว่านั้น การแจกแจงแบบเกาส์เซียนยังมีคุณสมบัติเฉพาะบางประการที่มีคุณค่าในการศึกษาเชิงวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นการรวมเชิงเส้น ใดๆ ของชุดค่าเบี่ยงเบนปกติอิสระที่กำหนดไว้ ถือเป็นค่าเบี่ยงเบนปกติ ผลลัพธ์และวิธีการต่างๆ มากมาย เช่นการแพร่กระจายของความไม่แน่นอนและ การปรับพารามิเตอร์ กำลังสองน้อยที่สุด^{[ 7 ]}สามารถหาได้ในรูปแบบที่ชัดเจนในเชิงวิเคราะห์เมื่อตัวแปรที่เกี่ยวข้องมีการแจกแจงแบบปกติ

บางครั้งการแจกแจงแบบปกติก็เรียกกันอย่างไม่เป็นทางการว่าเส้นโค้งระฆัง [ ^{8 ] [}^{9 ] อย่างไรก็ตาม}การแจกแจงอื่นๆ อีกมากมายก็มีรูปร่างคล้ายระฆัง (เช่น การแจกแจงCauchy , Student's $t$ และ การแจกแจง โลจิสติก ) (สำหรับชื่ออื่นๆ โปรดดูที่ การตั้งชื่อ )

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบตัวแปรเดียวได้รับการขยายความสำหรับเวกเตอร์ในการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรและสำหรับเมทริกซ์ในการแจกแจงปกติแบบเมทริกซ์

คำจำกัดความ

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

กรณีที่ง่ายที่สุดของการแจกแจงแบบปกติเรียกว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานหรือการแจกแจงแบบปกติหน่วยนี่เป็นกรณีพิเศษเมื่อ ${\textstyle \mu =0}$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}=1}$ และอธิบายโดยฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (หรือความหนาแน่น) นี้: ^{[ 10 ]} $\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,.$ ตัวแปร⁠ $z$ มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ความหนาแน่น ${\textstyle \varphi (z)}$ มีค่าสูงสุด ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ ที่ ${\textstyle z=0}$ และจุดเปลี่ยนที่ ${\textstyle z=+1}$ และ $z=-1$ ⁠ .

แม้ว่าความหนาแน่นข้างต้นจะเป็นที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อการแจกแจงปกติมาตรฐาน แต่ก็มีผู้เขียนบางท่านที่ใช้คำนี้เพื่ออธิบายการแจกแจงปกติในรูปแบบอื่นๆ ตัวอย่างเช่น คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เคยนิยามการแจกแจงปกติมาตรฐานไว้ว่า ${\textstyle \varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$ ซึ่งมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ และสตีเฟน สติกล์เลอร์เคยให้คำจำกัดความของค่าปกติมาตรฐานไว้ว่า ${\textstyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$ ซึ่งมีรูปแบบฟังก์ชันที่เรียบง่ายและค่าความแปรปรวนของ ${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$ ^{[ 11 ]}

การกระจายปกติทั่วไป

ถ้า $Z$ ถ้า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นแล้ว ${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$ จะมีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และ ค่า เบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าการแจกแจงปกติมาตรฐาน $Z$ สามารถปรับ ขนาด /ยืดได้ด้วยตัวคูณ $\sigma$ และเลื่อนโดย $\mu$ เพื่อให้ได้การแจกแจงปกติที่แตกต่างกันเรียกว่า $X$ ⁠ .

ในทางกลับกัน ถ้า⁠ $X$ เป็น ค่าเบี่ยงเบนปกติที่มีพารามิเตอร์ $\mu$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ แล้วสิ่งนี้⁠ $X$ การกระจายสามารถปรับขนาดและเลื่อนได้โดยใช้สูตร ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ เพื่อแปลงให้เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐาน ตัวแปรนี้เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบมาตรฐานของ⁠ $X$ ⁠ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับ⁠ $X$ สามารถเขียนได้ในรูปของการแจกแจงปกติมาตรฐาน $\varphi$ (โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง): $f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.$ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะต้องถูกปรับขนาดโดย ${\textstyle 1/\sigma }$ ดังนั้นค่าอินทิกรัลจึงยังคงเป็น 1

สัญกรณ์

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐานมักใช้สัญลักษณ์อักษรกรีกว่าฟี ( phi ) $\phi$ [ ¹² ]รูป^แบบตัวแปร $\varphi$ ก็ใช้เช่นกัน

ฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายปกติมาตรฐานมักใช้สัญลักษณ์อักษรกรีกตัวใหญ่ ฟี (phi ) แทน $\Phi$ ⁠ .

การแจกแจงแบบปกติมักถูกเรียกว่า ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ หรือ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ [ ¹³^]เมื่อตัวแปรสุ่ม $X$ มีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และ ค่า เบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ อาจเขียนได้ว่า

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$

การกำหนดพารามิเตอร์ทางเลือก

ผู้เขียนบางท่านสนับสนุนการใช้ความแม่นยำ $\tau$ โดยใช้เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดความกว้างของการกระจาย แทนที่จะใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ หรือความแปรปรวน $\sigma ^{2}$ ความแม่นยำโดยทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นส่วนกลับของความแปรปรวน $1/\sigma ^{2}$ [ ¹⁴^]สูตรสำหรับการแจกจ่ายจึง ^กลายเป็น $f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.$

มีการอ้างว่าตัวเลือกนี้มีข้อดีในการคำนวณเชิงตัวเลขเมื่อ⁠ $\sigma$ มี ค่าใกล้เคียงศูนย์มาก และช่วยลดความซับซ้อนของสูตรในบางบริบท เช่น ในการอนุมานแบบเบย์เซียนของตัวแปรที่มีการกระจายแบบปกติหลายตัวแปร

หรืออีกทางหนึ่งคือ ส่วนกลับของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\textstyle \tau '=1/\sigma }$ อาจนิยามได้ว่าเป็นความแม่นยำซึ่งในกรณีนี้การแสดงออกของการแจกแจงปกติจะกลายเป็น $f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.$

ตามที่สติกลอร์กล่าว การกำหนดสูตรนี้มีข้อดีคือสูตรนั้นง่ายกว่าและจำง่ายกว่ามาก อีกทั้งยังมีสูตรประมาณค่าควอนไทล์ของการกระจายตัว ที่เรียบง่ายอีกด้วย

การแจกแจงแบบปกติก่อให้เกิดตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์ตามธรรมชาติ ${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$ และ ${\textstyle \textstyle \theta _{2}=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$ และสถิติธรรมชาติ $x$ และ $x 2$ พารามิเตอร์ความคาดหวังคู่สำหรับการแจกแจงปกติคือ $η = μ$ และ $η = μ 2 + σ 2$

ฟังก์ชันการกระจายสะสม

ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของการกระจายปกติมาตรฐาน ซึ่งโดยปกติจะใช้อักษรกรีกตัวใหญ่แทน $\Phi$ คือปริพันธ์ $\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง ${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$ ให้ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม ซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1/2 จะตกอยู่ในช่วง⁠ $[-x,x]$ นั่นคือ: $\operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.$

อินทิกรัลเหล่านี้ไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ และมักถูกเรียกว่าฟังก์ชันพิเศษอย่างไรก็ตาม มีวิธีการประมาณค่าเชิงตัวเลขมากมายที่เป็นที่รู้จัก โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

หน้าที่ทั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด กล่าวคือ $\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

สำหรับการแจกแจงปกติทั่วไปที่มีความหนาแน่น⁠ $f$ ,หมายถึง ⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ฟังก์ชันการกระจายสะสมคือ $F(x)=\Phi {\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].$

ความน่าจะเป็นที่ $x$ อยู่ระหว่าง $a$ และ $b$ โดยที่ $a < b$ คือ^{[ 15 ]}^{: 84} $\operatorname {P} (a<x\leq b)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {b-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {a-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติมาตรฐาน ${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$ มักเรียกว่าฟังก์ชัน Qโดยเฉพาะในตำราวิศวกรรม^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}มันให้ความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน⁠ $X$ จะเกิน $x$ : ⁠ $P(X>x)$ คำจำกัดความอื่นๆ ของ $Q$ -ฟังก์ชัน ซึ่งทั้งหมดเป็นการแปลงอย่างง่ายของ $\Phi$ ⁠ยังถูกใช้เป็นครั้งคราวอีกด้วย^{[ 18 ]}

กราฟ ของฟังก์ชันการ กระจาย สะสมแบบ ปกติมาตรฐาน $\Phi$ มีสมมาตรการหมุน 2 เท่ารอบจุด (0,1/2) กล่าวคือ $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ ⁠ .อนุพันธ์ผกผัน (ปริพันธ์ไม่จำกัดขอบเขต) ของมันสามารถแสดงได้ดังนี้: $\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.$

สามารถหาการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันการกระจายสะสมสำหรับค่า $x มากๆ ได้โดยใช้$ การอินทิเกรตโดยส่วน : $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\,.$ ที่ไหน ${\textstyle$ หมายถึงแฟกทอเรียลคู่สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่ฟังก์ชันข้อผิดพลาด § การขยายอนุกรมอสิมโทติก^{[ 19 ]}

การแสดงผลแบบอนุกรมเทย์เลอร์

อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับการแจกแจงปกติ $\varphi$ สามารถหาได้โดยการแทนที่ $-{\tfrac {1}{2}}x^{2}$ ⁠เข้าสู่ชุดอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง :^{[ 20 ]}

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}}}x^{2n}$

อนุกรมนี้สามารถบูรณาการทีละเทอมเพื่อให้ได้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสม: ^{[ 21 ]}

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\,2^{n}(2n+1)}}x^{2n+1}.$ อย่างไรก็ตาม อนุกรมนี้ไม่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณเนื่องจากการลู่เข้าช้า ยกเว้นในกรณี⁠ $x$ มีขนาดเล็ก^{[ 21 ]}

อนุกรมทั้งสองนี้อธิบายฟังก์ชันทั้งหมดซึ่งลู่เข้าสำหรับค่าจริงและค่าเชิงซ้อนทั้งหมดของ⁠ $x$ ⁠ .

การคำนวณแบบเรียกซ้ำด้วยอนุกรมเทย์เลอร์

ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับพหุนามเฮอร์ไมต์ $He (x)$ สามารถใช้สร้าง การขยายอนุกรม เทย์เลอร์รอบจุด $x$ ใดๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ : $\Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Phi ^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,$ ที่ไหน: ${\begin{aligned}\Phi ^{(0)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x_{0}}e^{-t^{2}/2}\,dt\\\Phi ^{(1)}(x_{0})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{0}^{2}/2}\\\Phi ^{(n)}(x_{0})&=-\left(x_{0}\Phi ^{(n-1)}(x_{0})+(n-2)\Phi ^{(n-2)}(x_{0})\right),&n\geq 2\,.\end{aligned}}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความครอบคลุม

ประมาณ 68% ของค่าที่ดึงมาจากการแจกแจงปกติจะอยู่ภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $σ$ จากค่าเฉลี่ย ประมาณ 95% ของค่าจะอยู่ภายในสองส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และประมาณ 99.7% จะอยู่ภายในสามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน^{[ 8 ]}นี่เป็นที่รู้จักกันในชื่อกฎ 68–95–99.7 (เชิงประจักษ์)หรือกฎ 3 ซิกมา

กล่าวโดยละเอียดคือ ความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะอยู่ในช่วงระหว่าง ${\textstyle \mu -n\sigma }$ และ ${\textstyle \mu +n\sigma }$ ได้รับจาก $F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).$ เมื่อปัดเศษให้เหลือ 12 หลักสำคัญ ค่าสำหรับ ${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$ เป็น:

⁠

n

⁠

{\textstyle p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )}

{\textstyle 1-p}

{\textstyle {\text{or }}1{\text{ in }}(1-p)}

โออีไอเอส

1

0.682 689 492 137

0.317 310 507 863

3	.151 487 187 53

OEIS : A178647

2

0.954 499 736 104

0.045 500 263 896

21	.977 894 5080

OEIS : A110894

3

0.997 300 203 937

0.002 699 796 063

370	.398 347 345

OEIS : A270712

4

0.999 936 657 516

0.000 063 342 484

15 787

.192 7673

5

0.999 999 426 697

0.000 000 573 303

1 744 277

.893 62

6

0.999 999 998 027

0.000 000 001 973

506 797 345

.897

สำหรับขนาดใหญ่ $n$ เราสามารถใช้การประมาณค่าได้ $1-p\approx {\frac {\sqrt {2}}{n{\sqrt {\pi e^{n^{2}}}}}}$

ฟังก์ชันควอนไทล์

ฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงคือส่วนกลับของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐานเรียกว่าฟังก์ชันโพรบิตและสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน ผกผัน : $\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ สำหรับตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ฟังก์ชันควอนไทล์คือ $F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$ ควอนไทล์ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ โดยทั่วไปแล้ว ค่าของการกระจายแบบปกติมาตรฐานจะถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์⁠ $z_{p}$ ค่าเหล่านี้ใช้ในการทดสอบสมมติฐานการสร้างช่วงความเชื่อมั่นและแผนภาพ Q-Qตัวแปรสุ่มปกติ $X$ จะเกิน ${\textstyle \mu +z_{p}\sigma }$ ด้วยความน่าจะเป็น ${\textstyle 1-p}$ และจะอยู่นอกช่วงเวลา ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ ด้วยความน่าจะเป็น $2(1-p)$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควอนไทล์ ${\textstyle z_{0.975}}$ มีค่าเท่ากับ1.96ดังนั้นตัวแปรสุ่มปกติจะอยู่นอกช่วงดังกล่าว ${\textstyle \mu \pm 1.96\sigma }$ เกิดขึ้นเพียง 5% ของกรณีเท่านั้น

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าควอนไทล์ ${\textstyle z_{p}}$ โดยที่ $X$ จะอยู่ในช่วง ${\textstyle \mu \pm z_{p}\sigma }$ ด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ $p$ ค่าเหล่านี้มีประโยชน์ในการกำหนดช่วงความคลาดเคลื่อนสำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่างและตัวประมาณ ทางสถิติอื่นๆ ที่มีการแจกแจงแบบปกติ (หรือ แบบปกติ เชิงอะซิมโทติก )^[ 22 ^]ตารางต่อไปนี้^แสดง ${\textstyle {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$ , ไม่ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)}$ ตามที่ได้นิยามไว้ข้างต้น

⁠ $p$ ⁠	${\textstyle z_{p}}$	⁠ $p$ ⁠	${\textstyle z_{p}}$
0.80	1.281 551 565 545	0.999	3.290 526 731 492
0.90	1.644 853 626 951	0.9999	3.890 591 886 413
0.95	1.959 963 984 540	0.99999	4.417 173 413 469
0.98	2.326 347 874 041	0.999999	4.891 638 475 699
0.99	2.575 829 303 549	0.9999999	5.326 723 886 384
0.995	2.807 033 768 344	0.99999999	5.730 728 868 236
0.998	3.090 232 306 168	0.999999999	6.109 410 204 869

สำหรับขนาดเล็ก $p$ ฟังก์ชันควอนไทล์มีการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่ มีประโยชน์ ${\textstyle \Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).}$

การใช้การหาค่ารากเพื่อคำนวณฟังก์ชันควอนไทล์

วิธีการใดๆ ที่กล่าวมาสำหรับการคำนวณฟังก์ชันการกระจายสะสม ${\textstyle \Phi (x)}$ สามารถใช้ร่วมกับวิธีของนิวตัน (หรืออัลกอริทึมการหาค่าราก อื่นๆ เช่นวิธีของฮัลลีย์ ) เพื่อหาค่าของ⁠ $x$ ซึ่ง $\Phi (x)=q$ สำหรับควอนไทล์ที่ต้องการ $q$ ตัวอย่างเช่น เริ่มต้นด้วยการคาดเดาเบื้องต้นที่ถูกต้องโดยประมาณ $x_{0}$ การประมาณค่า ที่ดีขึ้นเรื่อยๆ $x_{1}$ , ⁠ $x_{2}$ ...สามารถคำนวณซ้ำได้โดยใช้วิธีของนิวตันด้วย $x_{n}=x_{n-1}-{\frac {\Phi (x_{n-1})-q}{\varphi (x_{n-1})}}\,.$

คุณสมบัติ

การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงเดียวที่ค่าสะสมนอกเหนือจากสองค่าแรก (เช่น นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ) เป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังเป็นการแจกแจงต่อเนื่องที่มีเอนโทรปีสูงสุดสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่กำหนด^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} Gearyได้แสดงให้เห็นแล้วว่า หากสมมติว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนมีค่าจำกัด การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงเดียวที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่คำนวณจากชุดของการสุ่มตัวอย่างอิสระจะเป็นอิสระต่อกัน^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

การแจกแจงปกติเป็นกลุ่มย่อยของการแจกแจงแบบวงรีการแจกแจงปกติมีความสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย และมีค่าไม่เป็นศูนย์ตลอดช่วงเส้นจำนวนจริง ดังนั้นจึงอาจไม่ใช่แบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับตัวแปรที่มีค่าเป็นบวกโดยธรรมชาติหรือมีการเบี่ยงเบนอย่างมาก เช่นน้ำหนักของบุคคลหรือราคาหุ้นตัวแปรดังกล่าวอาจอธิบายได้ดีกว่าด้วยการแจกแจงอื่นๆ เช่นการแจกแจงแบบลอการิทึมปกติหรือการแจกแจงแบบพาเรโต

ค่าความหนาแน่นปกติจะมีค่าเกือบเป็นศูนย์เมื่อค่า⁠ $x$ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่าสองสามค่า(เช่น การกระจายตัวสามค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานครอบคลุมเกือบทั้งหมด ยกเว้น 0.27% ของการกระจายตัวทั้งหมด) ดังนั้น แบบจำลองนี้อาจไม่เหมาะสมเมื่อคาดว่าจะมีค่าผิดปกติ จำนวนมาก —ค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยหลายค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน— และวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดและ วิธี การอนุมานทางสถิติ อื่นๆ ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับตัวแปรที่มีการกระจายแบบปกติ มักจะไม่น่าเชื่อถืออย่างยิ่งเมื่อนำไปใช้กับข้อมูลดังกล่าว ในกรณีเหล่านั้นควรสันนิษฐานว่าเป็นการกระจายแบบหางหนัก และ ใช้วิธีการอนุมานทางสถิติที่แข็งแกร่ง ที่เหมาะสม

การแจกแจงแบบเกาส์เซียนจัดอยู่ในกลุ่มของการแจกแจงแบบเสถียรซึ่งเป็นตัวดึงดูดของผลรวมของ การแจกแจง แบบอิสระที่เหมือนกันไม่ว่าค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวนจะมีค่าจำกัดหรือไม่ก็ตาม ยกเว้นการแจกแจงแบบเกาส์เซียนซึ่งเป็นกรณีจำกัด การแจกแจงแบบเสถียรทั้งหมดจะมีหางที่หนาและมีความแปรปรวนอนันต์ การแจกแจงแบบเกาส์เซียนเป็นหนึ่งในไม่กี่การแจกแจงแบบเสถียรที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สามารถแสดงออกมาในเชิงวิเคราะห์ได้ การแจกแจงแบบอื่น ๆ ได้แก่การแจกแจงแบบโคชีและการแจกแจงแบบเลวี

สมมาตรและอนุพันธ์

การแจกแจงปกติที่มีความหนาแน่น ${\textstyle f(x)}$ (ค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}>0}$ ) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

มันสมมาตรกันรอบจุดนั้น ${\textstyle x=\mu ,}$ ซึ่งในขณะเดียวกันก็เป็นโหมด มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยของการกระจาย^[²⁷^]
มีลักษณะเป็นแบบยอดเดียว : อนุพันธ์อันดับแรกเป็นบวกสำหรับ ${\textstyle x<\mu ,}$ เชิงลบสำหรับ ${\textstyle x>\mu ,}$ และศูนย์เท่านั้นที่ ${\textstyle x=\mu .}$
พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งและ⁠ $x$ แกน xมีค่าเท่ากับหนึ่ง (กล่าวคือเท่ากับหนึ่ง)
อนุพันธ์อันดับแรกของมันคือ ${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
อนุพันธ์อันดับสองของมันคือ ${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
ความหนาแน่นของมันมีจุดเปลี่ยนความโค้ง สองจุด (ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองของ⁠ $f$ ⁠เป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมาย) ซึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กล่าวคือที่ ${\textstyle x=\mu -\sigma }$ และ ${\textstyle x=\mu +\sigma .}$ ^{[ 27 ]}
ความหนาแน่นของมันเป็นลอการิทึมเว้า^{[ 27 ]}
ความหนาแน่นของมันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ไม่จำกัดครั้ง จริงๆ แล้วเรียบมากเป็นอันดับ 2 ^{[ 28 ]}

นอกจากนี้ ความหนาแน่น⁠ $\varphi$ ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (เช่น ${\textstyle \mu =0}$ และ ${\textstyle \sigma =1}$ ) ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

อนุพันธ์อันดับแรกของมันคือ ${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
อนุพันธ์อันดับสองของมันคือ ${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
โดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์อันดับที่ $n$ ของมัน คือ ${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$ ที่ไหน ${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$ คือพหุนามเฮอร์ไมต์ลำดับที่ $n$ (ความน่าจะเป็น) ^[²⁹^]
ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติ⁠ $X$ ด้วยความรู้ $\mu$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ อยู่ในชุดข้อมูลเฉพาะ สามารถคำนวณได้โดยพิจารณาจากเศษส่วน ${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ มีการกระจายแบบปกติมาตรฐาน

ช่วงเวลา

โมเมนต์ธรรมดาและสัมบูรณ์ของตัวแปร $X$ คือค่าที่คาดหวังของ ${\textstyle X^{p}}$ และ ${\textstyle |X|^{p}}$ ตามลำดับ หากค่าที่คาดหวัง⁠ $\mu$ ของ $X$ ถ้าค่าของ ⁠เป็นศูนย์ พารามิเตอร์เหล่านี้เรียกว่าโมเมนต์กลางมิฉะนั้น พารามิเตอร์เหล่านี้เรียกว่าโมเมนต์ไม่กลางโดยปกติแล้วเราจะสนใจเฉพาะโมเมนต์ที่มีอันดับเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น $p$ ⁠ .

ถ้า $X$ มีการกระจายแบบปกติ โมเมนต์ที่ไม่เป็นศูนย์กลางมีอยู่และมีค่าจำกัดสำหรับทุกๆ $p$ ซึ่งส่วนจริงมีค่ามากกว่า −1 สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ $p$ ⁠ช่วงเวลาศูนย์กลางธรรมดาคือ:^{[ 30 ]} $\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$ ที่นี่ ${\textstyle n!!}$ หมายถึงแฟกทอเรียลคู่ซึ่งก็คือผลคูณของจำนวนทั้งหมดตั้งแต่⁠ $n$ ถึง 1 ที่มีพาริ ตี เดียวกันกับ ${\textstyle n.}$

โมเมนต์สัมบูรณ์ศูนย์กลางจะตรงกับโมเมนต์ธรรมดาสำหรับลำดับคู่ทั้งหมด แต่จะไม่เป็นศูนย์สำหรับลำดับคี่ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ ${\textstyle p,}$

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\[8pt]&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}$ สูตรสุดท้ายนี้ใช้ได้กับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยเช่นกัน ${\textstyle p>-1.}$ เมื่อค่าเฉลี่ย ${\textstyle \mu \neq 0,}$ โมเมนต์ธรรมดาและโมเมนต์สัมบูรณ์สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่บรรจบกัน ${\textstyle {}_{1}F_{1}}$ และ ${\textstyle U.}$ ^{[ 31 ]} ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot {\left(-i{\sqrt {2}}\right)}^{p}\,U{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)},\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma {\left({\frac {1+p}{2}}\right)}}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$

นิพจน์เหล่านี้ยังคงใช้ได้แม้ในกรณีที่⁠ $p>-1$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดูเพิ่มเติมที่พหุนามเฮอร์ไมต์แบบทั่วไป

คำสั่ง	ช่วงเวลาที่ไม่เป็นศูนย์กลาง $\operatorname {E} \left[X^{p}\right]$	ช่วงเวลาสำคัญ $\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]$
0	⁠ $1$ ⁠	⁠ $1$ ⁠
1	⁠ $\mu$ ⁠	⁠ $0$ ⁠
2	${\textstyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\textstyle \sigma ^{2}}$
3	${\textstyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	⁠ $0$ ⁠
4	${\textstyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\textstyle 3\sigma ^{4}}$
5	${\textstyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	⁠ $0$ ⁠
6	${\textstyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\textstyle 15\sigma ^{6}}$
7	${\textstyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	⁠ $0$ ⁠
8	${\textstyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\textstyle 105\sigma ^{8}}$

ความคาดหวังของ $X$ โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้น $X$ ตั้งอยู่ในช่วงเวลาหนึ่ง ${\textstyle [a,b]}$ ได้รับจาก $\operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,$ ที่ไหน $f$ และ $F$ โดย ที่คือความหนาแน่นและฟังก์ชันการกระจายสะสมของ ตามลำดับ $X$ สำหรับ ${\textstyle b=\infty }$ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าอัตราส่วนมิลส์ผกผันโปรดสังเกตว่าข้างต้น ความหนาแน่น⁠ $f$ ของ $X$ ใช้แทนความหนาแน่นปกติมาตรฐาน เช่น ในอัตราส่วนมิลส์ผกผัน ดังนั้นในที่นี้เราจึงมี ${\textstyle \sigma ^{2}}$ แทนที่จะเป็น $\sigma$ ⁠ .

การแปลงฟูริเยร์และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ

การแปลงฟูริเยร์ของความหนาแน่นปกติ $f$ โดยมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ คือ^{[ 32 ]}

${\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\,,$

ที่ไหน $i$ คือหน่วยจินตนาการถ้าค่าเฉลี่ย ${\textstyle \mu =0}$ โดยปัจจัยแรกคือ 1 และการแปลงฟูริเยร์นั้น นอกเหนือจากปัจจัยคงที่แล้ว ยังเป็นความหนาแน่นปกติในโดเมนความถี่โดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน⁠ $1/\sigma ^{2}$ โดย เฉพาะอย่างยิ่ง การแจกแจงปกติมาตรฐาน $\varphi$ เป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การแปลงฟู ริเยร์ของการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มค่าจริง $X$ มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ${\textstyle \varphi _{X}(t)}$ ของตัวแปรนั้น ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นค่าที่คาดหวังของ ${\textstyle e^{itX}}$ โดยเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง $t$ (พารามิเตอร์ความถี่ของการแปลงฟูริเยร์) คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปสู่ตัวแปรค่าเชิงซ้อนได้โดยใช้การวิเคราะห์ $t$ [ ³³ ]ความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสอง ^คือ^: $\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.$

ส่วนที่เป็นจริงและส่วนที่เป็นจินตนาการของ ${\hat {f}}(t)=\operatorname {E} [e^{-itx}]=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ ให้: $\operatorname {E} [\cos(tx)]=\cos(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ และ $\operatorname {E} [\sin(tx)]=\sin(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

ในทำนองเดียวกัน $\operatorname {E} [\cosh(tx)]=\cosh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ และ $\operatorname {E} [\sinh(tx)]=\sinh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.$

สูตรเหล่านี้ได้รับการประเมินที่ $t=1$ จงหาค่าที่คาดหวังของฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกพื้นฐานเหล่านี้บนตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียน $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของอิสเซอร์ลิสด้วย เช่นกัน

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์และคูมูลันต์

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มจริง $X$ คือค่าที่คาดหวังของ ${\textstyle e^{tX}}$ โดยเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์จริง $t$ สำหรับการแจกแจงแบบปกติที่มีความหนาแน่น⁠ $f$ ,หมายถึง ⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์มีอยู่และเท่ากับ

$M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.$ สำหรับสิ่งใดๆ $k$ ⁠สัมประสิทธิ์ของ ⁠ $t^{k}/k!$ ในขณะนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิด (แสดงเป็นอนุกรมกำลังเลขชี้กำลังใน ⁠ $t$ )คือค่าคาดหวังของการแจกแจงปกติ $\operatorname {E} [X^{k}]$ ⁠ .

ฟังก์ชันก่อกำเนิดคูมูลันต์คือลอการิทึมของฟังก์ชันก่อกำเนิดโมเมนต์ กล่าวคือ $g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.$

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังเลขชี้กำลังนี้กำหนดค่าคุมูลันต์ แต่เนื่องจากนี่เป็นพหุนามกำลังสองใน ⁠ $t$ มี เพียง ค่าสะสมสองค่าแรกเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma ^{2}$ ⁠ .

ผู้เขียนบางท่านนิยมใช้ฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะ $E[e itX] = e iμt - σ 2 t 2 /2$ และ $ln E[e itX] = iμt - ⁠ 1 / 2 ⁠ σ 2 t 2$ แทน

ตัวดำเนินการและคลาสของสไตน์

ในวิธีการของสไตน์ตัวดำเนินการสไตน์และคลาสของตัวแปรสุ่ม ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ เป็น ${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$ และ ${\textstyle {\mathcal {F}}}$ กลุ่มของฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์ทั้งหมด $\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ โดยที่ $\operatorname {E} [\vert f'(X)\vert ]<\infty$ ⁠ .

ขีดจำกัดความแปรปรวนเป็นศูนย์

ในขีดจำกัดเมื่อ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ เมื่อความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเข้าใกล้ศูนย์ ${\textstyle f}$ เข้าใกล้ศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่ ${\textstyle \mu }$ ซึ่งเข้าใกล้ ${\textstyle \infty }$ ในขณะที่ปริพันธ์ยังคงเท่ากับ 1 การขยายการแจกแจงปกติไปยังกรณีที่มีความแปรปรวนเป็นศูนย์สามารถกำหนดได้โดยใช้มาตรวัดเดลต้าของดิแรก ${\textstyle \delta _{\mu }}$ ถึงแม้ว่าตัวแปรสุ่มที่ได้จะไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์และจึงไม่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นก็ตาม ฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจึงเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideที่เลื่อนไปตามค่าเฉลี่ย ${\textstyle \mu }$ กล่าวคือ $F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu .\end{cases}}$

เอนโทรปีสูงสุด

ของการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมดบนจำนวนจริงที่มีค่าเฉลี่ยจำกัดที่กำหนดไว้ $\mu$ และความแปรปรวนที่จำกัด $\sigma ^{2}$ การ กระจายแบบปกติ ${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ คืออันที่มีเอนโทรปีสูงสุด^{[ 23 ]}เพื่อดูสิ่งนี้ให้ ⁠ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x)$ เอนโทรปีของ $X$ ⁠ถูกกำหนดเป็น^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}^{[ 36 ]} $H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,$ ที่ไหน ${\textstyle f(x)\log f(x)}$ ถือว่ามีค่าเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่⁠ $f(x)=0$ ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าสูงสุดได้ โดยอยู่ภายใต้ข้อจำกัดที่ว่าการแจกแจงนั้นได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม และมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ระบุไว้ โดยใช้แคลคูลัสเชิง แปรผัน ฟังก์ชันที่มีตัวคูณลากรางจ์ สามตัว ถูกกำหนดขึ้น: $L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.$

ที่เอนโทรปีสูงสุด การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย ${\textstyle \delta f(x)}$ เกี่ยวกับ ${\textstyle f(x)}$ จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ${\textstyle \delta L}$ เกี่ยวกับ $L$ ซึ่งเท่ากับ 0: $0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.$

เนื่องจากหลักการนี้ต้องใช้ได้กับสิ่งเล็กๆ ใดๆก็ตาม $\delta f(x)$ โดยที่ตัวคูณ $\delta f(x)$ ต้องเป็นศูนย์ และแก้หาค่า $f(x)$ ผลลัพธ์ : $f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.$

ข้อจำกัดของลากรางจ์ที่ว่า⁠ $f(x)$ ⁠จะได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมและมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตามที่ระบุไว้ก็ต่อเมื่อ ⁠ $\lambda _{0}$ , ⁠ $\lambda _{1}$ และ $\lambda _{2}$ ถูกเลือกเพื่อให้ $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.$ เอนโทรปีของการแจกแจงปกติ ${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ เท่ากับ $H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,$ ซึ่งเป็นอิสระจากค่าเฉลี่ย $\mu$ ⁠ .

คุณสมบัติอื่นๆ

ถ้าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ${\textstyle \phi _{X}}$ ของตัวแปรสุ่มบางตัว $X$ อยู่ในรูปแบบ ${\textstyle \phi _{X}(t)=\exp Q(t)}$ ในบริเวณใกล้เคียงศูนย์ ที่ซึ่ง ${\textstyle Q(t)}$ เป็นพหุนามดังนั้นทฤษฎีบทของ Marcinkiewicz (ตั้งชื่อตามJózef Marcinkiewicz ) ยืนยันว่า $Q$ ⁠อาจเป็นพหุนามกำลังสองได้มากที่สุด และดังนั้น ⁠ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติ^{[ 37 ]}ผลที่ตามมาของผลลัพธ์นี้คือ การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงเดียวที่มีจำนวนจำกัด (สอง) ของค่าสะสม ที่ไม่เป็น ศูนย์
ถ้า $X$ และ $Y$ ถ้าตัวแปรสุ่มทั้งสองมี การกระจาย แบบปกติร่วมกันและไม่มีความสัมพันธ์กัน แสดงว่าตัวแปรสุ่มทั้งสอง เป็นอิสระต่อกันเงื่อนไขที่ว่า $X$ และ $Y$ ควรเป็น ปกติ ร่วมกันเป็นสิ่งจำเป็น หากไม่มีคุณสมบัตินี้ คุณสมบัติจะไม่เป็นจริง^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}^{[พิสูจน์]}สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ปกติ ความไม่สัมพันธ์กันไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระ
ความแตกต่าง ของKullback–Leiblerของการแจกแจงปกติหนึ่งรายการ ${\textstyle X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ จากที่อื่น ${\textstyle X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ กำหนดโดย: ^{[ 40 ]} $D_{\mathrm {KL} }(X_{1}\parallel X_{2})={\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-1-\ln {\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)$ ระยะทางเฮลลิงเกอร์ ระหว่างการแจกแจงแบบเดียวกันมีค่าเท่ากับ $H^{2}(X_{1},X_{2})=1-{\sqrt {\frac {2\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)$
เมทริกซ์ข้อมูลของฟิชเชอร์สำหรับการแจกแจงปกติเทียบกับ⁠ $\mu$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ เป็นแนวทแยงและมีรูปแบบ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{2\sigma ^{4}}}\end{pmatrix}}$
ไพรเออร์คู่ควบของค่าเฉลี่ยของการแจกแจงปกติคือการแจกแจงปกติอีกแบบหนึ่ง^{[ 41 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า ${\textstyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ เป็น iid ${\textstyle \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ และก่อนหน้านี้คือ ${\textstyle \mu \sim N(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})}$ จากนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังสำหรับตัวประมาณค่าของ⁠ $\mu$ จะเป็น $\mu \mid x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\mu _{0}+\sigma _{0}^{2}{\bar {x}}}{{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\sigma _{0}^{2}}},\left({\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}\right)^{-1}\right)$
กลุ่มการแจกแจงปกติไม่เพียงแต่ก่อตัวเป็นกลุ่มการแจกแจงเอกซ์โพเน นเชียล (EF) เท่านั้น แต่ยังก่อตัวเป็นกลุ่มการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ (NEF) ที่มีฟังก์ชันความแปรปรวน กำลังสอง ( NEF-QVF ) อีกด้วย คุณสมบัติหลายอย่างของการแจกแจงปกติสามารถนำไปใช้กับคุณสมบัติของการแจกแจง NEF-QVF, การแจกแจง NEF หรือการแจกแจง EF ได้โดยทั่วไป การแจกแจง NEF-QVF ประกอบด้วย 6 กลุ่ม ได้แก่ การแจกแจงปัวซง, แกมมา, ทวินาม และทวินามเชิงลบ ในขณะที่กลุ่มการแจกแจงทั่วไปที่ศึกษาในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติส่วนใหญ่เป็น NEF หรือ EF
ในเรขาคณิตสารสนเทศกลุ่มของการแจกแจงปกติก่อให้เกิดแมนิโฟลด์ทางสถิติที่มีความโค้งคงที่ $-1$ ครอบครัวเดียวกันนี้มีลักษณะแบนราบเมื่อเทียบกับการเชื่อมต่อ (±1 ) ${\textstyle \nabla ^{(e)}}$ และ ${\textstyle \nabla ^{(m)}}$ [ ⁴²^]
ถ้า ${\textstyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ มีการกระจายตาม ${\textstyle N(0,\sigma ^{2})}$ , แล้ว ${\textstyle E[\max _{i}X_{i}]\leq \sigma {\sqrt {2\ln n}}}$ โปรดทราบว่าไม่มีการสันนิษฐานถึงความเป็นอิสระ^{[ 43 ]}

การแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

ทฤษฎีบทลิมิตกลาง

เมื่อจำนวนเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันจะเริ่มมีลักษณะคล้ายกับการแจกแจงแบบปกติ

ทฤษฎีบทลิมิตกลางกล่าวว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ (ซึ่งค่อนข้างพบได้ทั่วไป) ผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมากจะมีลักษณะการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีที่ ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ เป็น ตัวแปรสุ่มอิสระ ที่มีการแจกแจงเหมือนกันโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ และความแปรปรวนเท่ากับ 0 ${\textstyle \sigma ^{2}}$ และ $Z$ คือค่าเฉลี่ยของพวกเขาที่ปรับขนาดโดย ${\textstyle {\sqrt {n}}}$ $Z={\sqrt {n}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\biggr )}$ จากนั้น เมื่อ⁠ $n$ เมื่อ ค่าเพิ่มขึ้น การกระจายความน่าจะเป็นของค่า จะเพิ่มขึ้น $Z$ จะมีแนวโน้ม เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน ⁠ $\sigma ^{2}$ ⁠ .

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปใช้กับตัวแปรได้ ${\textstyle (X_{i})}$ ซึ่งไม่เป็นอิสระต่อกันและ/หรือไม่ได้มีการแจกแจงแบบเดียวกัน หากมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับระดับความสัมพันธ์และโมเมนต์ของการแจกแจง

สถิติการทดสอบคะแนนและตัวประมาณค่า จำนวนมากที่พบในทางปฏิบัติ ล้วนประกอบด้วยผลรวมของตัวแปรสุ่มบางอย่าง และตัวประมาณค่าจำนวนมากสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของตัวแปรสุ่มโดยใช้ฟังก์ชันอิทธิพลทฤษฎีบทลิมิตกลางบ่งชี้ว่าพารามิเตอร์ทางสถิติเหล่านั้นจะมีการกระจายแบบปกติเชิงอะซิมโทติก

ทฤษฎีบทลิมิตกลางยังบ่งชี้ว่าการแจกแจงบางอย่างสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงปกติ ตัวอย่างเช่น:

การแจกแจงทวินาม ${\textstyle B(n,p)}$ โดยประมาณ เป็นค่าปกติที่มีค่าเฉลี่ย ${\textstyle np}$ และความแปรปรวน ${\textstyle np(1-p)}$ สำหรับขนาดใหญ่ $n$ และสำหรับ $p$ ไม่ควรอยู่ใกล้ 0 หรือ 1 มากเกินไป
การแจกแจงปัวซงที่มีพารามิเตอร์⁠ $\lambda$ ⁠มีการกระจายแบบปกติโดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ย ⁠ $\lambda$ และความแปรปรวน $\lambda$ สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ $\lambda$ ⁠ .^{[ 44 ]}
การแจกแจงไคกำลังสอง ${\textstyle \chi ^{2}(k)}$ มีลักษณะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย⁠ $k$ และความแปรปรวน ${\textstyle 2k}$ สำหรับขนาดใหญ่ $k$ ⁠ .
การแจกแจง t ของนักเรียน ${\textstyle t(\nu )}$ มีลักษณะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 เมื่อ⁠ $\nu$ มีขนาดใหญ่

ความแม่นยำของการประมาณค่าเหล่านี้เพียงพอหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ที่ต้องการใช้ และอัตราการลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติ โดยทั่วไปแล้ว การประมาณค่าเหล่านี้มักมีความแม่นยำน้อยกว่าในส่วนปลายของการแจกแจง

ขอบเขตบนทั่วไปสำหรับข้อผิดพลาดในการประมาณค่าในทฤษฎีบทลิมิตกลางนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบทเบอร์รี-เอสซีนส่วนการปรับปรุงการประมาณค่านั้นกำหนดโดยการขยายแบบเอ็ดจ์เวิร์ธ

ทฤษฎีบทนี้ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์การจำลองผลรวมของแหล่งกำเนิดสัญญาณรบกวนแบบสม่ำเสมอจำนวนมากเป็นสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนได้ดูAWGN

การดำเนินการและหน้าที่ของตัวแปรปกติ

การดำเนินการกับตัวแปรปกติตัวเดียว

ถ้า $X$ มีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , แล้ว

${\textstyle aX+b}$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ $a$ และ $b$ นอกจากนี้ยังมีการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย ${\textstyle a\mu +b}$ และความแปรปรวน ${\textstyle a^{2}\sigma ^{2}}$ กล่าวคือ ตระกูลของการแจกแจงปกติมีคุณสมบัติปิดภายใต้ การ แปลงเชิงเส้น
เลขชี้กำลังของ⁠ $X$ มีการกระจายแบบลอการิทมิกปกติ : ${\textstyle e^{X}\sim \ln(N(\mu ,\sigma ^{2}))}$ .
ค่าซิกมอยด์มาตรฐานของ⁠ $X$ มีการกระจายแบบ logit-normal : ${\textstyle \sigma (X)\sim P({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))}$ .
ค่าสัมบูรณ์ของ⁠ $X$ มี การ พับการแจกแจงแบบปกติ : ${\textstyle {\left|X\right|\sim N_{f}(\mu ,\sigma ^{2})}}$ . ถ้า ${\textstyle \mu =0}$ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าการแจกแจงแบบครึ่งปกติ (half-normal distribution )
ค่าสัมบูรณ์ของค่าความคลาดเคลื่อนที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน ${\textstyle |X-\mu |/\sigma }$ มีการแจกแจงไคโดยมีหนึ่งองศาอิสระ: ${\textstyle |X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}}$ .
สี่เหลี่ยมของ ${\textstyle X/\sigma }$ มีการแจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลางที่มีหนึ่งองศาอิสระ: ${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$ . ถ้า ${\textstyle \mu =0}$ การแจกแจงนี้เรียกง่ายๆ ว่าการแจกแจงไคกำลังสอง
ค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นของตัวแปรปกติ $x$ ⁠คือค่าลอการิทึมของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ของมัน : $\ln p(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right).$ เนื่องจากนี่คือค่ากำลังสองที่ปรับขนาดและเลื่อนของตัวแปรปกติมาตรฐาน จึงมีการกระจายตัวเหมือนตัวแปรไคกำลังสอง ที่ปรับขนาดและเลื่อน
การ กระจายตัวของตัวแปร $X$ จำกัดเฉพาะช่วงเวลา ${\textstyle [a,b]}$ เรียกว่าการแจกแจงปกติแบบตัดทอน (truncated normal distribution )
${\textstyle (X-\mu )^{-2}}$ มีการกระจายแบบ Lévyโดยมีตำแหน่ง 0 และมาตราส่วน ${\textstyle \sigma ^{-2}}$ .

การดำเนินการกับตัวแปรปกติอิสระสองตัว

ถ้า ${\textstyle X_{1}}$ และ ${\textstyle X_{2}}$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติอิสระสองตัวโดยมีค่าเฉลี่ย ${\textstyle \mu _{1}}$ , ${\textstyle \mu _{2}}$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma _{1}^{2}}$ , ${\textstyle \sigma _{2}^{2}}$ จากนั้นผลรวมของพวกมัน ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ จะมีการกระจายแบบปกติเช่นกัน^{[พิสูจน์]}โดยมีค่าเฉลี่ย ${\textstyle \mu _{1}+\mu _{2}}$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ .
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า⁠ $X$ และ $Y$ เป็นการเบี่ยงเบนปกติที่เป็นอิสระต่อกัน โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , แล้ว ${\textstyle X+Y}$ และ ${\textstyle X-Y}$ นอกจากนี้ยังเป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน ${\textstyle 2\sigma ^{2}}$ นี่เป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์โพลาไรเซชัน^{[ 45 ]}
ถ้า ${\textstyle X_{1}}$ , ${\textstyle X_{2}}$ เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติอิสระสองค่าที่มีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ และ $a$ , ⁠ $b$ ถ้าเป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวแปรนั้นก็จะเป็น... $X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$ นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ดังนั้น การแจกแจงปกติจึงมีเสถียรภาพ (โดยมีเลขชี้กำลัง) ${\textstyle \alpha =2}$ )
ถ้า ${\textstyle X_{k}\sim {\mathcal {N}}(m_{k},\sigma _{k}^{2})}$ , ${\textstyle k\in \{0,1\}}$ เป็นการแจกแจงแบบปกติ จากนั้นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแบบนอร์มาไลซ์ ของการแจกแจงเหล่านั้น ${\textstyle {\frac {1}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}X_{0}^{\alpha }(x)X_{1}^{1-\alpha }(x)\,{\text{d}}x}}X_{0}^{\alpha }X_{1}^{1-\alpha }}$ เป็นการกระจายแบบปกติ ${\textstyle {\mathcal {N}}(m_{\alpha },\sigma _{\alpha }^{2})}$ กับ ${\textstyle m_{\alpha }={\frac {\alpha m_{0}\sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )m_{1}\sigma _{0}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ และ ${\textstyle \sigma _{\alpha }^{2}={\frac {\sigma _{0}^{2}\sigma _{1}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}}$ .

การดำเนินการกับตัวแปรปกติมาตรฐานอิสระสองตัว

ถ้า ${\textstyle X_{1}}$ และ ${\textstyle X_{2}}$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานอิสระสองตัวที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 แล้ว

ผลรวมและผลต่างของทั้งสองค่ามีการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าความแปรปรวนเป็นสอง: ${\textstyle X_{1}\pm X_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,2)}$ .
ผลิตภัณฑ์ของพวกเขา ${\textstyle Z=X_{1}X_{2}}$ เป็นไปตามการกระจายผลิตภัณฑ์^{[ 46 ]}ด้วยฟังก์ชันความหนาแน่น ${\textstyle f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)}$ ที่ไหน ${\textstyle K_{0}}$ คือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สองการกระจายนี้สมมาตรกันรอบศูนย์ และไม่มีขอบเขตที่ ${\textstyle z=0}$ และมีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ${\textstyle \phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}}$ .
อัตราส่วนของพวกเขานั้นเป็นไปตาม การแจกแจงแบบโคชีมาตรฐาน: ${\textstyle X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$ .
บรรทัดฐานยุคลิดของพวกเขา ${\textstyle {\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}}$ มีการแจกแจงแบบเรย์ลี

การดำเนินการกับตัวแปรปกติอิสระหลายตัว

การรวมกันเชิงเส้นใดๆของค่าเบี่ยงเบนปกติที่เป็นอิสระต่อกัน ถือเป็นค่าเบี่ยงเบนปกติ
ถ้า ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ถ้าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน ผลรวมของกำลังสองของตัวแปรสุ่มทั้งสองจะมีการแจกแจงแบบไคกำลังสองโดยมี⁠ $n$ ระดับความเป็นอิสระ $X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.$
ถ้า ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ของพวกเขา จึงเป็นอิสระจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตัวอย่าง [ ⁴⁷^]ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Basuหรือทฤษฎีบทของ Cochran ^[⁴⁸^]อัตราส่วนของปริมาณทั้งสองนี้จะมี การกระจายแบบ Student's t ^- distributionด้วย ${\textstyle n-1}$ ระดับความเป็นอิสระ: $t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.$
ถ้า ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ , ${\textstyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}}$ หากตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานที่เป็นอิสระต่อกัน อัตราส่วนของผลรวมกำลังสองปกติของตัวแปรสุ่มเหล่านั้นจะมีการกระจายแบบ Fที่มีองศาอิสระ $(n, m)$ ^{[ 49 ]} $F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.$

การดำเนินการกับตัวแปรปกติที่มีความสัมพันธ์กันหลายตัว

รูปแบบกำลังสองของเวกเตอร์ปกติ กล่าวคือ ฟังก์ชันกำลังสอง ${\textstyle q=\sum x_{i}^{2}+\sum x_{j}+c}$ ตัวแปรไคสแควร์ทั่วไปคือตัวแปรที่ประกอบด้วยตัวแปรปกติอิสระหรือสัมพันธ์กันหลายตัว

การดำเนินการกับฟังก์ชันความหนาแน่น

การแจกแจงปกติแบบแยกส่วน (Split Normal Distribution)นั้น นิยามได้โดยตรงที่สุดโดยการนำส่วนที่ปรับขนาดแล้วของฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติที่แตกต่างกันมาเชื่อมต่อกัน และปรับขนาดความหนาแน่นใหม่เพื่อให้ค่าอินทิเกรตเท่ากับหนึ่ง ส่วนการแจกแจงปกติแบบตัดทอน (Truncated Normal Distribution) นั้น ได้มาจากการปรับขนาดส่วนหนึ่งของฟังก์ชันความหนาแน่นเดียว

การหารลงตัวอย่างไม่จำกัดและทฤษฎีบทของเครเมอร์

$สำหรับจำนวนเต็มบวก n$ ใดๆการแจกแจงปกติใดๆ ที่มีค่าเฉลี่ย⁠ $\mu$ และความแปรปรวน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ คือการแจกแจงของผลรวมของค่าเบี่ยงเบนปกติอิสระ $n ค่า โดยแต่ละค่ามีค่าเฉลี่ย$ ${\textstyle {\frac {\mu }{n}}}$ และความแปรปรวน ${\textstyle {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการหารลงตัวแบบไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 50 ]}

ในทางกลับกัน ถ้า ${\textstyle X_{1}}$ และ ${\textstyle X_{2}}$ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระและผลรวมของตัวแปรเหล่านั้น ${\textstyle X_{1}+X_{2}}$ มีการกระจายแบบปกติ ดังนั้นทั้งสองอย่าง ${\textstyle X_{1}}$ และ ${\textstyle X_{2}}$ ต้องเป็นค่าเบี่ยงเบนปกติ^{[ 51 ]}

ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทการแยกส่วนของ Cramérและเทียบเท่ากับการกล่าวว่าการสังเคราะห์ของสองการแจกแจงจะเป็นแบบปกติก็ต่อเมื่อทั้งสองเป็นการแจกแจงแบบปกติเท่านั้น ทฤษฎีบทของ Cramér บ่งชี้ว่าการรวมเชิงเส้นของตัวแปรอิสระที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนจะไม่มีการแจกแจงแบบปกติอย่างแท้จริง แม้ว่าจะเข้าใกล้มากเท่าที่ต้องการก็ตาม^{[ 37 ]}

ทฤษฎีบท Kac–Bernstein

ทฤษฎีบท Kac –Bernsteinกล่าวว่า ถ้า ${\textstyle X}$ และ $Y$ เป็นอิสระและ ${\textstyle X+Y}$ และ ${\textstyle X-Y}$ นอกจากนี้ ยังเป็นอิสระต่อกันด้วย ดังนั้นทั้ง $X$ และ $Y$ จะต้องมีการกระจายแบบปกติ^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ถ้า ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ดังนั้นจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นที่แตกต่างกันสองแบบ ${\textstyle \sum {a_{k}X_{k}}}$ และ ${\textstyle \sum {b_{k}X_{k}}}$ จะเป็นอิสระได้ก็ต่อเมื่อทุกสิ่ง ${\textstyle X_{k}}$ เป็นเรื่องปกติและ ${\textstyle \sum {a_{k}b_{k}\sigma _{k}^{2}=0}}$ , ที่ไหน ${\textstyle \sigma _{k}^{2}}$ แสดงถึงความแปรปรวนของ ${\textstyle X_{k}}$ [ ⁵²^]

ส่วนขยาย

แนวคิดของการแจกแจงปกติ ซึ่งเป็นหนึ่งในการแจกแจงที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น ได้ถูกขยายออกไปไกลเกินกว่ากรอบมาตรฐานของกรณีตัวแปรเดียว (นั่นคือหนึ่งมิติ) (กรณีที่ 1) การขยายเหล่านี้ทั้งหมดก็เรียกว่า กฎ ปกติหรือ กฎ เกาส์เซียน เช่นกัน ดังนั้นจึงมีความกำกวมในชื่อเรียกอยู่บ้าง

การแจกแจงปกติหลายตัวแปรอธิบายกฎของเกาส์ในปริภูมิยุคลิดมิติ $k$ เวกเตอร์ $X$ $\in$ $R$ $k$ มีการแจกแจงปกติหลายตัวแปรก็ต่อเมื่อการรวมเชิงเส้นใดๆ ของส่วนประกอบ $Σ$ $k$ $a$ $X$ มีการแจกแจงปกติ (ตัวแปรเดียว) ความแปรปรวนของ $X$ คือเมทริกซ์สมมาตรบวกกำหนด $V ขนาด$ $k$ $\times$ $k$ การแจกแจงปกติหลายตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบวงรีดังนั้น เส้นความหนาแน่นเท่ากันใน กรณี $k$ $= 2$ จึง เป็นรูปวงรีและในกรณี $k$ ใดๆ จะเป็นทรงรี
การแจกแจงแบบเกาส์เซียนปรับแก้คือการแจกแจงแบบปกติที่ถูกปรับแก้ โดยกำหนดค่าลบทั้งหมดให้เป็น 0
การแจกแจงปกติเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ปกติเชิงซ้อน เวกเตอร์เชิงซ้อน $X \in C k$ จะเรียกว่าเป็นเวกเตอร์ปกติ ถ้าทั้งส่วนจริงและส่วนจินตนาการของมันมี การแจกแจงปกติหลายตัวแปรแบบ $2 k$ มิติร่วมกัน โครงสร้างความแปรปรวนร่วมของ $X$ อธิบายได้ด้วยเมทริกซ์สองตัว คือเมทริกซ์ความแปรปรวน $Γ$ และเมทริกซ์ความสัมพันธ์ $C$
การแจกแจงปกติของเมทริกซ์อธิบายถึงกรณีของเมทริกซ์ที่มีการแจกแจงแบบปกติ
กระบวนการเกาส์เซียนเป็นกระบวนการสุ่ม ที่มีการแจกแจงแบบปกติ สามารถมองได้ว่าเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ต อนันต์มิติ Hและดังนั้นจึงเป็นอนาล็อกของเวกเตอร์ปกติหลายตัวแปรสำหรับกรณีk = ∞องค์ประกอบสุ่มh ∈ Hกล่าวได้ว่าเป็นปกติ ถ้าสำหรับค่าคงที่a ∈ H ใดๆ ผลคูณเชิงสเกลาร์( a , h )มีการแจกแจงแบบปกติ (ตัวแปรเดียว) โครงสร้างความแปรปรวนขององค์ประกอบสุ่มเกาส์เซียนดังกล่าวสามารถอธิบายได้ในแง่ของตัวดำเนินการความแปรปรวน ร่วมเชิงเส้น K : H → Hกระบวนการเกาส์เซียนหลายกระบวนการได้รับความนิยมมากพอที่จะมีชื่อเฉพาะของตนเอง:
การแจกแจงแบบเกาส์เซียน qเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่แสดงถึงการแจกแจงแบบปกติในรูปแบบ q
การแจกแจงแบบ q-Gaussianเป็นการแจกแจงแบบอนาล็อกของการแจกแจงแบบ Gaussian ในแง่ที่ว่ามันทำให้ค่าเอนโทรปีของ Tsallis สูงสุด และเป็นการแจกแจงแบบ Tsallis ประเภทหนึ่ง การแจกแจงนี้แตกต่างจากการแจกแจงแบบ q-Gaussianที่กล่าวถึงข้างต้น
การ แจกแจงแบบ Kaniadakis $κ$ -Gaussianเป็นการขยายความของการแจกแจงแบบ Gaussian ซึ่งเกิดขึ้นจากสถิติของ Kaniadakisโดยเป็นหนึ่งในการแจกแจงของ Kaniadakis

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงแบบปกติสองส่วน ถ้าหากมีรูปแบบการแจกแจงดังนี้ $f_{X}(x)={\begin{cases}N(\mu ,\sigma _{1}^{2}),&{\text{ if }}x\leq \mu \\N(\mu ,\sigma _{2}^{2}),&{\text{ if }}x\geq \mu \end{cases}}$ โดยที่ $μ$ คือค่าเฉลี่ย และ $σ 2 1$ และ $σ 2 2$ คือค่าความแปรปรวนของการกระจายตัวทางด้านซ้ายและด้านขวาของค่าเฉลี่ยตามลำดับ

ค่าเฉลี่ย $E(X)$ ความแปรปรวน $V(X)$ และโมเมนต์กลางลำดับที่สาม $T(X)$ ของการแจกแจงนี้ได้รับการกำหนดแล้ว^{[ 54 ]} ${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\mu +{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1}),\\\operatorname {V} (X)&=\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2},\\\operatorname {T} (X)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right].\end{aligned}}$

หนึ่งในประโยชน์หลักของการใช้กฎเกาส์เซียนในทางปฏิบัติคือการสร้างแบบจำลองการแจกแจงเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่มต่างๆ มากมายที่พบเจอในทางปฏิบัติ ในกรณีเช่นนี้ การขยายเพิ่มเติมที่เป็นไปได้คือตระกูลการแจกแจงที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ซึ่งมีพารามิเตอร์มากกว่าสองตัว และด้วยเหตุนี้จึงสามารถปรับให้เข้ากับการแจกแจงเชิงประจักษ์ได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างของการขยายเพิ่มเติมดังกล่าว ได้แก่:

การแจกแจงแบบเพียร์สัน — ตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีพารามิเตอร์สี่ตัว ซึ่งขยายกฎการแจกแจงปกติเพื่อรวมค่าความเบี่ยงเบนและความโค้งที่แตกต่างกัน
การแจกแจงปกติทั่วไปหรือที่รู้จักกันในชื่อการแจกแจงกำลังเอกซ์โปเนนเชียล อนุญาตให้ส่วนหางของการแจกแจงมีลักษณะเชิงอะซิมโทติกที่หนาหรือบางกว่าได้

การอนุมานทางสถิติ

การประมาณค่าพารามิเตอร์

บ่อยครั้งที่เราไม่ทราบค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ แต่ต้องการประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านั้น นั่นคือ มีตัวอย่างข้อมูลอยู่ ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ จากปกติ ${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ เราต้องการทราบค่าโดยประมาณของพารามิเตอร์ในกลุ่มประชากรนี้ $\mu$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ วิธีการมาตรฐานในการแก้ปัญหานี้คือ วิธี ความน่าจะเป็นสูงสุดซึ่งต้องทำการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็น : ${\begin{aligned}\ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})&=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})\\&=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.\end{aligned}}$ การหาอนุพันธ์เทียบกับ⁠ $\mu$ และ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ และการแก้ระบบเงื่อนไขอันดับแรกที่เกิดขึ้นจะให้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด : ${\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

แล้ว ${\textstyle \ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$ มีรายละเอียดดังนี้: $\ln {\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})=-{\frac {n}{2}}[\ln \left(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}\right)+1]$

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ผู้ประเมิน $\textstyle {\hat {\mu }}$ เรียกว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างเนื่องจากเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมด สถิตินี้ เรียกว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\textstyle {\overline {x}}$ สมบูรณ์และเพียงพอสำหรับ $\mu$ และด้วยเหตุนี้ ตามทฤษฎีบทของเลห์มันน์-เชฟเฟ่ $\textstyle {\hat {\mu }}$ เป็น ตัวประมาณ ค่าความแปรปรวนต่ำสุดแบบสม่ำเสมอที่ไม่เอนเอียง (UMVU) ^{[ 55 ]}ในตัวอย่างจำกัด จะมีการกระจายแบบปกติ: ${\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).$ ความแปรปรวนของตัวประมาณค่านี้เท่ากับ องค์ประกอบ μμของเมทริกซ์ข้อมูลฟิชเชอร์ ผกผัน $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ ซึ่งหมายความว่าตัวประมาณค่ามีประสิทธิภาพสำหรับตัวอย่างขนาดจำกัดสิ่งที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติคือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของ $\textstyle {\hat {\mu }}$ เป็นสัดส่วนกับ $\textstyle 1/{\sqrt {n}}$ กล่าวคือ หากต้องการลดค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานลง 10 เท่า จะต้องเพิ่มจำนวนจุดในกลุ่มตัวอย่างขึ้น 100 เท่า ข้อเท็จจริงนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดขนาดกลุ่มตัวอย่างสำหรับการสำรวจความคิดเห็นและจำนวนครั้งในการ จำลองแบบมอนเตคา ร์โล

จากมุมมองของทฤษฎีเชิงอะซิมโทติก $\textstyle {\hat {\mu }}$ มีความสอดคล้องนั่นคือ ลู่เข้าสู่ค่าความน่าจะเป็น⁠ $\mu$ ในฐานะ ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ ตัวประมาณค่านี้ยังมีการแจกแจงแบบปกติเชิงอะซิมโทติกซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้มาง่ายๆ จากการที่มันเป็นแบบปกติในตัวอย่างจำกัด: ${\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).$

ความแปรปรวนของตัวอย่าง

ผู้ประมาณค่า $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ เรียกว่าค่าความแปรปรวนของตัวอย่างเนื่องจากเป็นค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง ( ${\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ในทางปฏิบัติ มักจะใช้ตัวประมาณค่าอื่นแทน $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ ตัวประมาณค่าอีกตัวหนึ่งนี้เรียกว่า ${\textstyle s^{2}}$ และยังเรียกว่าความแปรปรวนของตัวอย่างซึ่งแสดงถึงความกำกวมบางอย่างในคำศัพท์ รากที่สองของมัน $s$ เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างตัวประมาณค่า ${\textstyle s^{2}}$ แตกต่างจาก $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ โดยใช้ $(n - 1)$ แทน $n$ ในตัวส่วน (ซึ่งเรียกว่าการแก้ไขของเบสเซล ): $s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ ความแตกต่างระหว่าง ${\textstyle s^{2}}$ และ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ จะมีค่าเล็กน้อยจนแทบไม่มีนัยสำคัญสำหรับ ค่า $n$ ที่ มาก อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างที่มีขนาดจำกัด แรงจูงใจเบื้องหลังการใช้ ${\textstyle s^{2}}$ นั่นคือ มันเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของพารามิเตอร์พื้นฐาน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , ในทางตรงกันข้าม $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ มีความลำเอียง นอกจากนี้ ตามทฤษฎีบทของเลห์มันน์-เชฟเฟ่ ตัวประมาณค่า ${\textstyle s^{2}}$ มีค่าความแปรปรวนต่ำสุดสม่ำเสมอและไม่มีอคติ ( UMVU ) ^{[ 55 ]}ซึ่งทำให้เป็นตัวประมาณค่าที่ดีที่สุดในบรรดาตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติทั้งหมด อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าตัวประมาณค่าที่มีอคติ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ ดีกว่า ${\textstyle s^{2}}$ ในแง่ของ เกณฑ์ ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย (MSE) ในตัวอย่างที่มีขนาดจำกัดทั้ง ${\textstyle s^{2}}$ และ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ มีการแจกแจงไคกำลังสองแบบปรับ ขนาด ที่มีองศาอิสระ $(n - 1) :$ $s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.$ นิพจน์แรกนี้แสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนของ ${\textstyle s^{2}}$ เท่ากับ ${\textstyle 2\sigma ^{4}/(n-1)}$ ซึ่งมีค่ามากกว่า ค่า σσของเมทริกซ์ข้อมูลฟิชเชอร์ ผกผันเล็กน้อย $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$ ซึ่งก็คือ ${\textstyle 2\sigma ^{4}/n}$ . ดังนั้น, ${\textstyle s^{2}}$ ไม่ใช่ตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพสำหรับ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ และยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจาก ${\textstyle s^{2}}$ หากเป็น UMVU เราสามารถสรุปได้ว่าตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพสำหรับตัวอย่างขนาดจำกัดคือ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ ไม่มีอยู่จริง

เมื่อใช้ทฤษฎีเชิงอะซิมโทติก ตัวประมาณค่าทั้งสอง ${\textstyle s^{2}}$ และ $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ มีความสอดคล้องกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นจะลู่เข้าหากัน ${\textstyle \sigma ^{2}}$ เนื่องจากขนาดตัวอย่าง ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ ตัวประมาณค่าทั้งสองตัวมีลักษณะการแจกแจงปกติเชิงอะซิมโทติกทั้งคู่: ${\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวประมาณค่าทั้งสองมีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกสำหรับ ${\textstyle \sigma ^{2}}$ .

ช่วงความเชื่อมั่น

ตามทฤษฎีบทของ Cochranสำหรับการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง $\textstyle {\hat {\mu }}$ และค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง $s²$ เป็นอิสระต่อกันซึ่งหมายความว่าไม่มีประโยชน์ที่จะพิจารณาการแจกแจงร่วมกันของพวกมัน $นอกจาก$ นี้ยังมีทฤษฎีบทผกผัน: ถ้าในตัวอย่างหนึ่ง ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างและค่าความแปรปรวนของตัวอย่างเป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างนั้นจะต้องมาจากการแจกแจงปกติ ความเป็นอิสระระหว่าง $\textstyle {\hat {\mu }}$ และ สามารถใช้ $ค่า s ในการสร้าง$ ค่าสถิติ tได้: $t={\frac {{\hat {\mu }}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\sim t_{n-1}$ ปริมาณ $t$ นี้ มีการแจกแจงแบบ Student's tที่มี องศาอิสระ $(n - 1)$ และเป็นสถิติเสริม (ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์) การกลับการแจกแจงของ สถิติ $t$ $นี้$ จะช่วยให้เราสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ $μ$ ได้^{[ 56 ]} $ใน ทำนอง$ เดียวกัน การกลับ การ ^{แจกแจง} $χ²$ ของสถิติ $s²$ จะทำให้เราได้ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ $σ²$ ^[ $57$ ^] $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}},\,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[{\frac {n-1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}}s^{2},\,{\frac {n-1}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}s^{2}\right]$ โดยที่ $t$ และχ 2 k,p คือ ค วอนไทล์ $ที่ p$ ของ การแจกแจง $t$ และ $χ$ $2$ ตามลำดับ ช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้มีระดับความเชื่อมั่น $1 -$ $α$ หมายความว่าค่าจริง $μ$ และ $σ$ $2$ จะอยู่นอกช่วงเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็น (หรือระดับนัยสำคัญ ) $α$ ในทางปฏิบัติ ผู้คนมักจะใช้ $α$ $= 5%$ ส่งผลให้ได้ช่วงความเชื่อมั่น 95% ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ $σ$ สามารถหาได้โดยการถอดรากที่สองของขอบเขตช่วงสำหรับ $σ$ $2$

สูตรโดยประมาณสามารถหาได้จากการกระจายเชิงอะซิมโทติกของ $\textstyle {\hat {\mu }}$ และ $s 2$ : $\mu \in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s,\,{\hat {\mu }}+{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s\right]$ $\sigma ^{2}\in \left[s^{2}-{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2},\,s^{2}+{\sqrt {2}}{\frac {|z_{\alpha /2}|}{\sqrt {n}}}s^{2}\right]$ สูตรโดยประมาณจะใช้ได้สำหรับค่า $n$ ที่มาก และสะดวกกว่าสำหรับการคำนวณด้วยมือ เนื่องจากควอนไทล์ปกติมาตรฐาน $z$ ไม่ขึ้นอยู่กับ $n$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่า $α ที่นิยมใช้มากที่สุด คือ 5%$ ซึ่งจะ ได้ผลลัพธ์เป็น $| z | = 1.96$

การทดสอบความปกติ

การทดสอบความปกติจะประเมินโอกาสที่ชุดข้อมูลที่กำหนด ${x, ..., x}$ จะมาจากการกระจายแบบปกติ โดยทั่วไปสมมติฐานว่าง $H$ คือ ข้อมูลมีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย $μ$ และความแปรปรวน $σ 2$ ที่ไม่ระบุ ในขณะที่สมมติฐานทางเลือก $H$ คือ การกระจายนั้นเป็นไปโดยพลการ มีการทดสอบมากมาย (มากกว่า 40 แบบ) ที่ถูกคิดค้นขึ้นสำหรับปัญหานี้ การทดสอบที่โดดเด่นกว่านั้นมีรายละเอียดดังต่อไปนี้:

แผนภาพการวินิจฉัยนั้นดูน่าสนใจกว่าในแง่ของสัญชาตญาณ แต่ในขณะเดียวกันก็มีความเป็นอัตวิสัยสูง เนื่องจากอาศัยการตัดสินใจอย่างไม่เป็นทางการของมนุษย์ในการยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานว่าง

แผนภูมิ Q–Qหรือที่รู้จักกันในชื่อแผนภูมิความน่าจะเป็นปกติหรือ แผนภูมิ แรงค์กิตคือแผนภูมิที่แสดงค่าที่เรียงลำดับแล้วจากชุดข้อมูลเทียบกับค่าที่คาดหวังของควอนไทล์ที่สอดคล้องกันจากการแจกแจงปกติมาตรฐาน กล่าวคือ เป็นแผนภูมิของจุดในรูปแบบ $(Φ -1 (p), x)$ โดยที่จุดพล็อต $p$ เท่ากับ $p = (k - α)/(n + 1 - 2 α)$ และ $α$ เป็นค่าคงที่ปรับแก้ ซึ่งสามารถเป็นอะไรก็ได้ระหว่าง 0 ถึง 1 หากสมมติฐานว่างเป็นจริง จุดที่พล็อตควรจะอยู่บนเส้นตรงโดยประมาณ
แผนภูมิ P–P – คล้ายกับแผนภูมิ Q–Q แต่ใช้ไม่บ่อยนัก วิธีนี้ประกอบด้วยการพล็อตจุด $(Φ (z), p)$ โดยที่ ${\textstyle \textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}}$ สำหรับข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติ กราฟนี้ควรอยู่บนเส้นตรงระหว่าง $(0, 0)$ และ $(1, 1$ )

การทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลอง :

การทดสอบตามช่วงเวลา :

การทดสอบ K-squared ของ D'Agostino
การทดสอบ Jarque–Bera
การทดสอบ Shapiro–Wilk : การทดสอบนี้อิงจากเส้นในกราฟ Q–Q ที่มีค่าความชันเท่ากับ $σ$ การทดสอบจะเปรียบเทียบค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุดของค่าความชันนั้นกับค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง และจะปฏิเสธสมมติฐานว่างหากค่าทั้งสองนี้แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ

การทดสอบโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ :

การทดสอบแอนเดอร์สัน-ดาร์ลิง
การทดสอบลิลลีฟอร์ส (เป็นการดัดแปลงมาจากการทดสอบโคลโมโกโรฟ-สเมียร์นอฟ )

การวิเคราะห์แบบเบย์เซียนของการแจกแจงปกติ

การวิเคราะห์แบบเบย์เซียนของข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติมีความซับซ้อน เนื่องจากมีปัจจัยหลายอย่างที่อาจต้องพิจารณา:

ค่าเฉลี่ย หรือค่าความแปรปรวน หรือทั้งสองอย่าง อาจถือได้ว่าเป็นปริมาณคงที่
เมื่อไม่ทราบค่าความแปรปรวน การวิเคราะห์อาจทำได้โดยตรงในแง่ของค่าความแปรปรวน หรือในแง่ของความแม่นยำซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าความแปรปรวน เหตุผลที่แสดงสูตรในแง่ของความแม่นยำก็เพราะว่าการวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่จะง่ายขึ้น
ต้องพิจารณาทั้งกรณีตัวแปรเดียวและหลายตัวแปร
สามารถกำหนดการ แจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบคอนจูเกตหรือแบบไม่เหมาะสมให้ กับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าได้
ใน แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นแบบเบย์เซียนมีกรณีเพิ่มเติมอีกชุดหนึ่งเกิดขึ้นโดยในแบบจำลองพื้นฐานจะถือว่าข้อมูลมีการกระจายแบบปกติ และมีการกำหนดค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบปกติให้กับสัมประสิทธิ์การถดถอย การวิเคราะห์ที่ได้จะคล้ายกับกรณีพื้นฐานของข้อมูลที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน

สูตรสำหรับกรณีการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นได้สรุปไว้ในบทความก่อนหน้าที่เกี่ยวข้องแล้ว

ผลรวมของกำลังสองสองจำนวน

รูปแบบสเกลาร์

สูตรเสริมต่อไปนี้มีประโยชน์ในการทำให้ สมการการปรับปรุง ภายหลัง ง่ายขึ้น ซึ่งหากไม่ใช้สูตรนี้จะค่อนข้างยุ่งยาก

$a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}$

สมการนี้เป็นการเขียนผลรวมของพหุคูณกำลังสองสองตัวใน ตัวแปร $x$ ใหม่ โดยการกระจายกำลังสอง จัดกลุ่มพจน์ในตัวแปร $x$ และทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์โปรดสังเกตสิ่งต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวประกอบคงที่เชิงซ้อนที่แนบมากับบางพจน์:

ปัจจัย ${\textstyle {\frac {ay+bz}{a+b}}}$ มีรูปแบบเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ $y$ และ $z$
${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.}$ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าปัจจัยนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นผลมาจากสถานการณ์ที่ส่วนกลับของปริมาณ $a$ และ $b$ บวกกันโดยตรง ดังนั้นในการรวม $a$ และ $b$ เข้าด้วยกัน จึงจำเป็นต้องหาค่าส่วนกลับ บวก และหาค่าส่วนกลับอีกครั้งเพื่อให้ได้หน่วยเดิมกลับคืนมา นี่คือการดำเนินการแบบเดียวกับที่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ทำ ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ ${\textstyle {\frac {ab}{a+b}}}$ คือครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $a$ และ $b$

รูปแบบเวกเตอร์

สามารถเขียนสูตรที่คล้ายกันสำหรับผลรวมของเวกเตอร์กำลังสองสองตัวได้ดังนี้: ถ้า $x$ , $y$ , $z$ เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาว $k$ และ $A$ และ $B$ เป็น เมทริก ซ์สมมาตรที่ผกผัน ได้และมีขนาด k ${\textstyle k\times k}$ , แล้ว

${\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}$ ที่ไหน $\mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )$

รูปแบบ $x' A x$ เรียกว่ารูปแบบกำลังสองและเป็นสเกลาร์ : $\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันจะรวมผลรวมของการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของผลคูณของคู่ขององค์ประกอบจาก $x$ โดยมีสัมประสิทธิ์แยกต่างหากสำหรับแต่ละคู่ นอกจากนี้ เนื่องจาก ${\textstyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}}$ เฉพาะผลรวมเท่านั้น ${\textstyle a_{ij}+a_{ji}}$ เรื่องนี้มีผลต่อองค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมใดๆ ของ $A$ และไม่มีการสูญเสียความเป็นทั่วไปในการสมมติว่า $A$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรยิ่งไปกว่านั้น ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรแล้ว รูปแบบจะเป็นดังนี้ ${\textstyle \mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .}$

ผลรวมของความแตกต่างจากค่าเฉลี่ย

สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่งมีดังนี้: $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}$ ที่ไหน ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

โดยทราบค่าความแปรปรวนแล้ว

สำหรับชุดข้อมูล $X$ ที่มีการกระจายแบบปกติแบบอิสระและเหมือนกัน (iid ) ขนาด $n$ โดยที่แต่ละจุด $x$ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ เมื่อทราบค่าความแปรปรวน $σ² แล้ว$ การ แจกแจง ก่อนหน้าแบบสังยุคก็จะเป็นการแจกแจงแบบปกติเช่นกัน

สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายขึ้นโดยการเขียนค่าความแปรปรวนใหม่เป็นค่าความแม่นยำกล่าวคือใช้ $τ = 1/ σ 2$ จากนั้นถ้า ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )}$ และ ${\textstyle \mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),}$ เราดำเนินการดังต่อไปนี้

ขั้นแรกฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ (โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับผลรวมของความแตกต่างจากค่าเฉลี่ย): ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}$

จากนั้น เราจะดำเนินการดังต่อไปนี้: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \mu )p(\mu )\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]{\sqrt {\frac {\tau _{0}}{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(n\tau ({\bar {x}}-\mu )^{2}+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}+{\frac {n\tau \tau _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$

ในการพิสูจน์ข้างต้น เราใช้สูตรข้างต้นสำหรับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน และตัดค่าคงที่ทั้งหมดที่ไม่เกี่ยวข้องกับ $μ$ ออกไป ผลลัพธ์ที่ได้คือเคอร์เนลของการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย ${\textstyle {\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}}$ และความแม่นยำ ${\textstyle n\tau +\tau _{0}}$ , เช่น $p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)$

สามารถเขียนสิ่งนี้ได้ในรูปของชุดสมการปรับปรุงแบบเบย์เซียนสำหรับพารามิเตอร์ภายหลัง โดยพิจารณาจากพารามิเตอร์ก่อนหน้า: ${\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

กล่าวคือ การรวมจุดข้อมูล $n จุด$ $เข้า ด้วยกัน โดยมีความแม่นยำโดยรวมเท่ากับ$ $nτ$ (หรือเทียบเท่ากับความแปรปรวนโดยรวมเท่ากับ $n / σ²$ ) และค่าเฉลี่ยของค่าต่างๆ ${\textstyle {\bar {x}}}$ เราสามารถหาค่าความแม่นยำรวมใหม่ได้ง่ายๆ โดยการเพิ่มค่าความแม่นยำรวมของข้อมูลเข้ากับค่าความแม่นยำรวมก่อนหน้า และสร้างค่าเฉลี่ยใหม่โดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความแม่นยำ กล่าว คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยของข้อมูลและค่าเฉลี่ยก่อนหน้า โดยแต่ละค่าจะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยค่าความแม่นยำรวมที่เกี่ยวข้อง วิธีนี้สมเหตุสมผลหากเรามองว่าความแม่นยำบ่งบอกถึงความแน่นอนของการสังเกต: ในการกระจายของค่าเฉลี่ยภายหลัง แต่ละองค์ประกอบของข้อมูลนำเข้าจะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยความแน่นอน และความแน่นอนของการกระจายนี้คือผลรวมของความแน่นอนแต่ละส่วน (เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น ลองเปรียบเทียบกับวลี "ทั้งหมดนั้น (หรือไม่) มากกว่าผลรวมของส่วนต่างๆ" นอกจากนี้ ลองพิจารณาว่าความรู้เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยภายหลังมาจากการรวมกันของความรู้เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยก่อนหน้าและความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่เราจะมีความแน่นอนในค่าเฉลี่ยภายหลังมากกว่าในองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง)

สูตรข้างต้นแสดงให้เห็นว่าเหตุใดการวิเคราะห์แบบเบย์เซียนของไพรเออร์คู่ควบสำหรับการแจกแจงปกติจึงสะดวกกว่าในแง่ของความแม่นยำ ความแม่นยำของโพสทีเรียร์คือผลรวมของความแม่นยำของไพรเออร์และความน่าจะเป็น และค่าเฉลี่ยของโพสทีเรียร์คำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความแม่นยำ ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น สูตรเดียวกันนี้สามารถเขียนในแง่ของความแปรปรวนได้โดยการผกผันความแม่นยำทั้งหมด ซึ่งจะได้สูตรที่ซับซ้อนกว่า ${\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$

ด้วยค่าเฉลี่ยที่ทราบ

สำหรับชุดข้อมูล $X$ ที่มีการกระจายแบบปกติแบบอิสระและเหมือนกัน (iid ) ขนาด $n$ โดยที่แต่ละจุด $x$ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ เมื่อทราบค่าเฉลี่ย $μ$ แล้ว ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสังยุคของความแปรปรวนจะมีการกระจายแบบแกมมาผกผันหรือการกระจายแบบไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาด การ $กระจาย$ ทั้งสองแบบนี้เทียบเท่ากัน ยกเว้นมีพารามิเตอร์ที่ แตกต่างกัน แม้ว่าการกระจายแบบแกมมาผกผันจะใช้กันทั่วไปมากกว่า แต่เราใช้การกระจายแบบไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาดเพื่อความสะดวก ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับ $σ²$ มีดังนี้: $p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นจากข้างต้น เมื่อเขียนในรูปของความแปรปรวน จะได้ดังนี้: ${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$ ที่ไหน $S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

แล้ว: ${\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

ข้างต้นเป็นการแจกแจงไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาดเช่นกัน โดยที่ ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}$ หรือเทียบเท่า ${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}$

เมื่อกำหนดพารามิเตอร์ใหม่โดยใช้การแจกแจงแกมมาผกผันผลลัพธ์ที่ได้คือ: ${\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\end{aligned}}$

โดยที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่ทราบค่า

สำหรับชุดข้อมูล $X$ ที่มีการกระจายแบบปกติแบบอิสระและเหมือนกัน (iid ) ขนาด $n$ โดยที่แต่ละจุด $x$ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $เมื่อค่าเฉลี่ย μ$ ไม่ทราบค่าและความแปรปรวน $σ² ไม่ทราบ ค่า$ จะมีการใช้ไพรเออร์ แบบผสม (หลายตัวแปร) คอนจูเกตกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ซึ่งประกอบด้วยการแจกแจงแบบนอร์มัล-อินเวอร์ส-แกมมาตามหลักตรรกะแล้ว มีที่มาดังนี้:

จากการวิเคราะห์กรณีที่มีค่าเฉลี่ยไม่ทราบค่าแต่ทราบค่าความแปรปรวน เราพบว่าสมการปรับปรุงนั้นเกี่ยวข้องกับสถิติที่เพียงพอซึ่งคำนวณจากข้อมูล โดยประกอบด้วยค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลและความแปรปรวนทั้งหมดของจุดข้อมูล ซึ่งคำนวณได้จากค่าความแปรปรวนที่ทราบหารด้วยจำนวนจุดข้อมูล
จากการวิเคราะห์กรณีที่มีค่าความแปรปรวนไม่ทราบค่าแต่ทราบค่าเฉลี่ย เราพบว่าสมการปรับปรุงนั้นเกี่ยวข้องกับสถิติที่เพียงพอสำหรับข้อมูล ซึ่งประกอบด้วยจำนวนจุดข้อมูลและผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง
โปรดจำไว้ว่าค่าอัปเดตภายหลังจะทำหน้าที่เป็นค่าการแจกแจงก่อนหน้าเมื่อมีการประมวลผลข้อมูลเพิ่มเติม ดังนั้น เราควรคิดถึงค่าก่อนหน้าของเราอย่างมีเหตุผลโดยใช้สถิติเพียงพอที่ได้อธิบายไปแล้ว โดยคำนึงถึงความหมายเดียวกันให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
เพื่อจัดการกับกรณีที่ทั้งค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่ทราบค่า เราอาจกำหนดค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า (prior) ที่เป็นอิสระต่อกันสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน โดยมีค่าประมาณคงที่ของค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนทั้งหมด จำนวนจุดข้อมูลที่ใช้ในการคำนวณค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าของความแปรปรวน และผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าในความเป็นจริง ความแปรปรวนทั้งหมดของค่าเฉลี่ยขึ้นอยู่กับความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนที่ใช้ในค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าของความแปรปรวน (ดูเหมือนว่าจะ) ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบค่า ในทางปฏิบัติ ความสัมพันธ์หลังนี้ค่อนข้างไม่สำคัญ: การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยจริงจะทำให้จุดที่สร้างขึ้นเปลี่ยนแปลงไปในปริมาณที่เท่ากัน และโดยเฉลี่ยแล้วกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนจะยังคงเท่าเดิม อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีของความแปรปรวนทั้งหมดของค่าเฉลี่ย: เมื่อความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าเพิ่มขึ้น ความแปรปรวนทั้งหมดของค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน และเราต้องการที่จะจับความสัมพันธ์นี้ไว้
แนวคิด นี้ชี้ให้เห็นว่าเราควรสร้าง ค่าความ น่าจะเป็นล่วงหน้าแบบมีเงื่อนไขของค่าเฉลี่ยโดยอิงจากค่าความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า โดยมีพารามิเตอร์ตัวหนึ่งระบุค่าเฉลี่ยของข้อมูลจำลองที่เกี่ยวข้องกับค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า และอีกพารามิเตอร์หนึ่งระบุจำนวนข้อมูลจำลอง จำนวนนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การปรับขนาดของค่าความแปรปรวน ทำให้สามารถควบคุมค่าความแปรปรวนโดยรวมของค่าเฉลี่ยเมื่อเทียบกับค่าความแปรปรวนจริงได้ ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับค่าความแปรปรวนก็มีพารามิเตอร์สองตัวเช่นกัน ตัวหนึ่งระบุผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนของข้อมูลจำลองที่เกี่ยวข้องกับค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า และอีกตัวหนึ่งระบุจำนวนข้อมูลจำลองอีกครั้ง ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแต่ละค่ามีพารามิเตอร์ที่ระบุจำนวนข้อมูลจำลอง และในแต่ละกรณีนี้จะควบคุมค่าความแปรปรวนสัมพัทธ์ของค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้านั้น พารามิเตอร์เหล่านี้ถูกกำหนดเป็นสองตัวแยกกัน เพื่อให้สามารถควบคุมค่าความแปรปรวน (หรือความเชื่อมั่น) ของค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าทั้งสองแยกกันได้
This leads immediately to the normal-inverse-gamma distribution, which is the product of the two distributions just defined, with conjugate priors used (an inverse gamma distribution over the variance, and a normal distribution over the mean, conditional on the variance) and with the same four parameters just defined.

The priors are normally defined as follows: ${\begin{aligned}p(\mu \mid \sigma ^{2};\mu _{0},n_{0})&\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n_{0})\\p(\sigma ^{2};\nu _{0},\sigma _{0}^{2})&\sim I\chi ^{2}(\nu _{0},\sigma _{0}^{2})=IG(\nu _{0}/2,\nu _{0}\sigma _{0}^{2}/2)\end{aligned}}$

The update equations can be derived, and look as follows: ${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\\\mu _{0}'&={\frac {n_{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{n_{0}+n}}\\n_{0}'&=n_{0}+n\\\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n_{0}n}{n_{0}+n}}(\mu _{0}-{\bar {x}})^{2}\end{aligned}}$ The respective numbers of pseudo-observations add the number of actual observations to them. The new mean hyperparameter is once again a weighted average, this time weighted by the relative numbers of observations. Finally, the update for ${\textstyle \nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'}$ is similar to the case with known mean, but in this case the sum of squared deviations is taken with respect to the observed data mean rather than the true mean, and as a result a new interaction term needs to be added to take care of the additional error source stemming from the deviation between prior and data mean.

Occurrence and applications

The occurrence of normal distribution in practical problems can be loosely classified into four categories:

Exactly normal distributions;
Approximately normal laws, for example when such approximation is justified by the central limit theorem; and
Distributions modeled as normal – the normal distribution being the distribution with maximum entropy for a given mean and variance.
Regression problems – the normal distribution being found after systematic effects have been modeled sufficiently well.

Exact normality

The ground state of a quantum harmonic oscillator has the Gaussian distribution.

A normal distribution occurs in some physical theories:

The velocity distribution of independently moving and perfectly elastic spheres, which is a consequence of Maxwell's Dynamical Theory of Gases, Part I (1860).^[58]^[59]
The ground state wave function in position space of the quantum harmonic oscillator.^[60]
The position of a particle that experiences diffusion. If initially the particle is located at a specific point (that is its probability distribution is the Dirac delta function), then after time $t$ its location is described by a normal distribution with variance $t$ , which satisfies the diffusion equation ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,t)}$ . If the initial location is given by a certain density function ${\textstyle g(x)}$ ดังนั้น ความหนาแน่น ณ เวลา $t$ จึงเป็นการสังเคราะห์ระหว่าง $g$ และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นปกติ

ความปกติโดยประมาณ

การแจกแจงแบบปกติ โดยประมาณเกิดขึ้นในหลายสถานการณ์ ดังที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเมื่อผลลัพธ์เกิดจากผลกระทบเล็กๆ จำนวนมากที่กระทำแบบบวกและเป็นอิสระการแจกแจงของผลลัพธ์จะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ การประมาณค่าแบบปกติจะไม่ถูกต้องหากผลกระทบกระทำแบบคูณ (แทนที่จะเป็นแบบบวก) หรือหากมีอิทธิพลภายนอกเพียงอย่างเดียวที่มีขนาดใหญ่กว่าผลกระทบอื่นๆ อย่างมาก

ในปัญหาการนับ ซึ่งทฤษฎีบทลิมิตกลางครอบคลุมการประมาณจากแบบไม่ต่อเนื่องไปสู่แบบต่อเนื่อง และเกี่ยวข้องกับ การแจกแจงที่แบ่ง ได้ไม่จำกัดและสามารถแยกส่วนได้เช่น
- ตัวแปรสุ่มทวินามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตอบสนองแบบไบนารี;
- ตัวแปรสุ่มปัวซงเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก
การแผ่รังสีความร้อนมี ลักษณะการกระจายแบบ โบส-ไอน์สไตน์ในช่วงเวลาสั้นมาก และมีการกระจายแบบปกติในช่วงเวลาที่ยาวขึ้นเนื่องจากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

ถือว่าปกติ

ผมมองว่าการปรากฏของเส้นโค้งปกติ – เส้นโค้งลาปลาเซียนของข้อผิดพลาด – เป็นปรากฏการณ์ที่ผิดปกติอย่างมาก มันถูกประมาณค่าคร่าวๆ ในบางการแจกแจง ด้วยเหตุนี้ และเนื่องจากความเรียบง่ายที่สวยงามของมัน เราอาจใช้มันเป็นค่าประมาณเบื้องต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาเชิงทฤษฎี

— เพียร์สัน (1901)

มีวิธีการทางสถิติเพื่อทดสอบสมมติฐานนั้นในเชิงประจักษ์ โปรดดูส่วน " การทดสอบภาวะปกติ" ด้านบน

ในทางชีววิทยาค่าลอการิทึมของตัวแปรต่างๆ มักมีการกระจายแบบปกติ กล่าวคือ มักมีการกระจายแบบลอการิทึมปกติ (หลังจากแยกตามกลุ่มประชากรชาย/หญิง) โดยมีตัวอย่างเช่น:
- การวัดขนาดของเนื้อเยื่อที่มีชีวิต (ความยาว ความสูง พื้นที่ผิว น้ำหนัก) ^{[ 61 ]}
- ความยาวของ ส่วนประกอบ ที่ไม่เคลื่อนไหว (เช่น เส้นผม กรงเล็บ เล็บ ฟัน) ของสิ่งมีชีวิตในทิศทางการเจริญเติบโตซึ่งสันนิษฐานได้ว่าความหนาของเปลือกไม้ก็จัดอยู่ในประเภทนี้เช่นกัน
- การวัดค่าทางสรีรวิทยาบางอย่าง เช่น ความดันโลหิตของผู้ใหญ่
ในด้านการเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแบบจำลอง Black–Scholesนั้น การเปลี่ยนแปลงของ ค่า ลอการิทึมของอัตราแลกเปลี่ยน ดัชนีราคา และดัชนีตลาดหุ้น จะถูกสมมติว่ามีการกระจายแบบปกติ (ตัวแปรเหล่านี้มีพฤติกรรมเหมือนดอกเบี้ยทบต้นไม่ใช่ดอกเบี้ยธรรมดา และดังนั้นจึงเป็นการกระจายแบบทวีคูณ) นักคณิตศาสตร์บางคน เช่นBenoit Mandelbrotได้โต้แย้งว่าการกระจายแบบ log-Levyซึ่งมีหางหนาจะเป็นแบบจำลองที่เหมาะสมกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์การตกต่ำของตลาดหุ้นการใช้สมมติฐานของการกระจายแบบปกติในแบบจำลองทางการเงินนั้น ยังถูกวิพากษ์วิจารณ์โดยNassim Nicholas Talebในงานเขียนของเขา ด้วย
ข้อผิดพลาดในการวัดในการทดลองทางกายภาพมักจะถูกจำลองโดยการแจกแจงแบบปกติ การใช้การแจกแจงแบบปกติไม่ได้หมายความว่าเรากำลังสมมติว่าข้อผิดพลาดในการวัดมีการแจกแจงแบบปกติ แต่การใช้การแจกแจงแบบปกติจะสร้างการคาดการณ์ที่อนุรักษ์นิยมที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยอาศัยเพียงความรู้เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของข้อผิดพลาด^{[ 62 ]}
ในการทดสอบมาตรฐานผลลัพธ์สามารถทำให้มีการกระจายแบบปกติได้โดยการเลือกจำนวนและความยากของคำถาม (เช่นในการทดสอบ IQ ) หรือการแปลงคะแนนดิบของการทดสอบให้เป็นคะแนนผลลัพธ์โดยการปรับให้เข้ากับการกระจายแบบปกติ ตัวอย่างเช่น ช่วงคะแนนมาตรฐานของ SATที่ 200–800 นั้นอิงตามการกระจายแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 100

ใช้การแจกแจงปกติสะสมที่เหมาะสมกับปริมาณน้ำฝนในเดือนตุลาคม ดูวิธีการปรับการแจกแจงได้ที่นี่

คะแนนหลายอย่างได้มาจากค่าการแจกแจงปกติ รวมถึงอันดับเปอร์เซ็นไทล์ (เปอร์เซ็นไทล์หรือควอนไทล์) ค่า เทียบเท่าเส้นโค้งปกติสแตนไนน์คะแนนz และคะแนน T นอกจากนี้ วิธีการ ทางสถิติเชิงพฤติกรรม บางอย่าง ยังถือว่าคะแนนมีการแจกแจงแบบปกติ เช่นการทดสอบ tและANOVA การให้คะแนนแบบเส้นโค้งระฆังจะกำหนดเกรดสัมพัทธ์โดยอิงจากการแจกแจงปกติของคะแนน
ในทางอุทกวิทยาการกระจายตัวของปริมาณน้ำไหลหรือปริมาณน้ำฝนในระยะยาว เช่น ปริมาณรวมรายเดือนและรายปี มักถูกมองว่าเป็นการกระจายแบบปกติในทางปฏิบัติ ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง^{[ 63 ]}แผนภาพทางด้านขวาแสดงตัวอย่างของการปรับการกระจายแบบปกติให้เข้ากับปริมาณน้ำฝนในเดือนตุลาคมที่จัดอันดับ โดยแสดงแถบความเชื่อมั่น 90% ตามการกระจายแบบทวินามข้อมูลปริมาณน้ำฝนแสดงโดยตำแหน่งการพล็อตเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ความถี่สะสม

ปัญหาเชิงวิธีวิจัยและการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ

จอห์น ไอโออันนิดิส แย้งว่า การใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีการกระจายแบบปกติเป็นมาตรฐานในการตรวจสอบความถูกต้องของผลการวิจัย ทำให้การคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่ไม่มีการกระจายแบบปกติไม่ได้รับการทดสอบ ตัวอย่างเช่น ปรากฏการณ์ที่ปรากฏขึ้นเฉพาะเมื่อมีเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดครบถ้วน และปรากฏการณ์หนึ่งไม่สามารถใช้แทนอีกปรากฏการณ์หนึ่งได้ในลักษณะการบวก และปรากฏการณ์ที่ไม่มีการกระจายแบบสุ่ม ไอโออันนิดิสกล่าวว่า การตรวจสอบความถูกต้องโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์กลาง ทำให้สมมติฐานและทฤษฎีดูเหมือนมีความถูกต้องอย่างผิดๆ ในกรณีที่การคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดบางส่วนแต่ไม่ใช่ทั้งหมดมีการกระจายแบบปกติ เนื่องจากส่วนของการคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดซึ่งมีหลักฐานขัดแย้งอยู่นั้น อาจและในบางกรณีก็อยู่ในส่วนที่ไม่มีการกระจายแบบปกติของช่วงของการคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด รวมถึงการปฏิเสธสมมติฐานที่ไม่มีการคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดใดๆ มีการกระจายแบบปกติอย่างไม่มีมูลความจริง ราวกับว่าสมมติฐานเหล่านั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด ทั้งๆ ที่ความจริงแล้วสมมติฐานเหล่านั้นมีการคาดการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด Ioannidis โต้แย้งว่ากรณีทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเองหลายกรณีได้รับการยอมรับว่าถูกต้องโดยวารสารวิจัยนั้นเกิดจากความล้มเหลวของวารสารในการนำเอาการพิสูจน์เชิงประจักษ์ที่ผิดพลาดของการคาดการณ์ที่ไม่กระจายตัวตามปกติเข้ามาพิจารณา และไม่ใช่เพราะทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเองเป็นจริง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แม้ว่าทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเองสองทฤษฎีอาจผิดทั้งคู่และทฤษฎีที่สามถูกต้องก็ตาม^{[ 64 ]}

วิธีการคำนวณ

การสร้างค่าจากการกระจายแบบปกติ

ในการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้วิธีมอนเตคาร์โลมักเป็นที่พึงปรารถนาที่จะสร้างค่าที่มีการกระจายแบบปกติ อัลกอริทึมที่ระบุไว้ด้านล่างทั้งหมดสร้างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติ เนื่องจาก $N$ $(μ, σ²) สามารถ$ สร้างได้เป็น $X = μ + σZ$ โดยที่ $Z$ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติ อัลกอริทึมทั้งหมดนี้อาศัยความพร้อมใช้งานของตัวสร้างเลขสุ่ม $U$ ที่สามารถสร้างตัวแปรสุ่มแบบเอกรูปได้

วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดคือการใช้ คุณสมบัติ การแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็น : ถ้า $U$ กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง (0,1) แล้ว $Φ -1 (U)$ จะมีการกระจายแบบปกติมาตรฐาน ข้อเสียของวิธีนี้คือต้องอาศัยการคำนวณฟังก์ชัน probit Φ ⁻¹ซึ่งไม่สามารถทำได้โดยวิธีวิเคราะห์ วิธีการโดยประมาณบางวิธีได้อธิบายไว้ในHart (1968)และใน บทความ erf Wichura ได้นำเสนออัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการคำนวณฟังก์ชันนี้ถึง 16 ตำแหน่งทศนิยม^{[ 65 ]} ซึ่ง Rใช้ในการคำนวณตัวแปรสุ่มของการกระจายแบบปกติ
วิธีการประมาณค่าที่ง่ายต่อการเขียนโปรแกรมซึ่งอาศัยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางมีดังนี้: สร้างค่าเบี่ยงเบน $U (0,1)$ ที่เป็นเอกรูป 12 ค่า นำมารวมกันทั้งหมด แล้วลบด้วย 6 ค่า ตัวแปรสุ่มที่ได้จะมีค่าประมาณการกระจายแบบปกติมาตรฐาน ในความเป็นจริง การกระจายจะเป็นแบบ^Irwin –Hallซึ่งเป็นการประมาณค่าพหุนามลำดับที่ 11 แบบ 12 ส่วนสำหรับการกระจายแบบปกติ ค่าเบี่ยงเบนสุ่มนี้จะมีช่วงจำกัดที่ $(-6, 6)$ [ ^{66 ]}โปรดทราบว่าในการกระจายแบบปกติที่แท้จริง มีเพียง 0.00034% ของตัวอย่างทั้งหมดเท่านั้นที่จะตกอยู่นอกช่วง± $6$ $σ$
วิธี Box –Mullerใช้ตัวเลขสุ่มอิสระสองตัว $U$ และ $V$ ที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง (0,1) จากนั้นจึงสร้างตัวแปรสุ่มสองตัว $X$ และ $Y$ $X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V),\qquad Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\sin(2\pi V).$ ทั้งสองจะมีค่าการแจกแจงปกติมาตรฐาน และจะเป็นอิสระต่อกันการกำหนดสูตรนี้เกิดขึ้นเนื่องจากสำหรับเวกเตอร์สุ่มปกติแบบสองตัวแปร $(X, Y)$ ค่า กำลัง $สอง ของ$ $นอร์ม$ $X² + Y²$ จะมีค่าการแจกแจงไคกำลังสองที่มีสององศาอิสระ ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียล ที่ สร้าง ได้ง่าย ซึ่งสอดคล้องกับปริมาณ $-2 ln(U)$ ในสมการเหล่านี้ และมุมจะกระจายอย่างสม่ำเสมอรอบวงกลมที่เลือกโดยตัวแปรสุ่ม $V$
วิธีการเชิงขั้วของ Marsagliaเป็นการดัดแปลงวิธีการของ Box–Muller ซึ่งไม่จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ในวิธีการนี้ $U$ และ $V$ จะถูกสุ่มมาจากการแจกแจงแบบเอกรูป (−1,1) จากนั้นคำนวณ $S = U² + V²$ $ถ้า S$ มากกว่าหรือเท่ากับ 1 วิธีการจะเริ่มต้นใหม่ มิฉะนั้นจะใช้ค่า $ทั้ง$ $สอง$ $X=U{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}},\qquad Y=V{\sqrt {\frac {-2\ln S}{S}}}$ ส่งคืนค่าเดิม โดยที่ $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานที่เป็นอิสระต่อกัน
วิธีอัตราส่วน^{[ 67 ]}เป็นวิธีการปฏิเสธ อัลกอริทึมดำเนินไปดังนี้:
- สร้างค่าเบี่ยงเบนสม่ำเสมออิสระสองค่า คือ $U$ และ $V$ ;
- คำนวณ $X = \sqrt 8/ e (V - 0.5)/ U$ ;
- ตัวเลือกเสริม: ถ้า $X 2 \leq 5 - 4 e 1/4 U$ ให้ยอมรับ $X$ และยุติอัลกอริทึม
- ตัวเลือกเสริม: ถ้า $X 2 \geq 4 e -1.35 / U + 1.4$ ให้ปฏิเสธ $X$ และเริ่มต้นใหม่ตั้งแต่ขั้นตอนที่ 1
- ถ้า $X 2 \leq -4 ln U$ ให้ยอมรับ $X$ มิฉะนั้นให้เริ่มอัลกอริทึมใหม่
ขั้นตอนเสริมสองขั้นตอนช่วยให้สามารถหลีกเลี่ยงการประเมินลอการิทึมในขั้นตอนสุดท้ายได้ในกรณีส่วนใหญ่ ขั้นตอนเหล่านี้สามารถปรับปรุงได้อย่างมาก^{[ 68 ]}เพื่อให้การประเมินลอการิทึมเกิดขึ้นได้น้อยมาก
อัลกอริทึมซิกกูแรต^{[ 69 ]}เร็วกว่าการแปลงบ็อกซ์-มุลเลอร์และยังคงแม่นยำ ในประมาณ 97% ของทุกกรณี จะใช้เพียงตัวเลขสุ่มสองตัว ตัวเลขสุ่มจำนวนเต็มหนึ่งตัวและตัวเลขสุ่มแบบเอกรูปหนึ่งตัว การคูณหนึ่งครั้ง และการทดสอบเงื่อนไข เฉพาะใน 3% ของกรณีเท่านั้น ที่การรวมกันของทั้งสองนั้นอยู่นอก "แกนหลักของซิกกูแรต" (การสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธโดยใช้ลอการิทึม) จึงต้องใช้เลขชี้กำลังและตัวเลขสุ่มแบบเอกรูปเพิ่มเติม
สามารถใช้เลขคณิตจำนวนเต็มเพื่อสุ่มตัวอย่างจากการกระจายปกติมาตรฐานได้^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}วิธีนี้มีความแม่นยำในแง่ที่ว่ามันตรงตามเงื่อนไขของ การประมาณค่า ในอุดมคติ^{[ 72 ]}กล่าวคือ มันเทียบเท่ากับการสุ่มตัวอย่างจำนวนจริงจากการกระจายปกติมาตรฐานและปัดเศษให้เป็นจำนวนจุดลอยตัวที่ใกล้ที่สุดที่สามารถแสดงได้
นอกจากนี้ยังมีการตรวจสอบ^{[ 73 ]} บางส่วน เกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างการแปลง Hadamard แบบเร็ว กับการกระจายแบบปกติ เนื่องจากการแปลงใช้เพียงการบวกและการลบ และตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ตัวเลขสุ่มจากการกระจายเกือบทุกแบบจะถูกแปลงเป็นการกระจายแบบปกติ ในแง่นี้ ชุดของการแปลง Hadamard สามารถรวมเข้ากับการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มเพื่อเปลี่ยนชุดข้อมูลใดๆ ให้เป็นข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติได้

การประมาณค่าเชิงตัวเลขสำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติและฟังก์ชันควอนไทล์ปกติ

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบปกติมาตรฐานถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และสถิติ

ค่า $Φ (x)$ สามารถประมาณได้อย่างแม่นยำมากด้วยวิธีการต่างๆ เช่นการอินทิเกรตเชิงตัวเลขอนุกรมเทย์เลอร์อนุกรมเชิงเส้นกำกับและเศษส่วนต่อเนื่องมีการใช้การประมาณค่าที่แตกต่างกันไปตามระดับความแม่นยำที่ต้องการ

Zelen & Severo (1964)ให้ค่าประมาณสำหรับ $Φ (x)$ สำหรับ $x > 0$ โดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ $| ε (x) | < 7.5\cdot10 -8$ (อัลกอริทึม26.2.17 ): $\Phi (x)=1-\varphi (x)\left(b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}+b_{4}t^{4}+b_{5}t^{5}\right)+\varepsilon (x),\qquad t={\frac {1}{1+b_{0}x}},$ โดยที่ $ϕ (x)$ คือฟังก์ชันความ หนาแน่นความน่าจะเป็นปกติมาตรฐาน และ $b = 0.2316419$ , $b = 0.319381530$ , $b = -0.356563782$ , $b = 1.781477937$ , $b = -1.821255978$ , $b = 1.330274429$
ฮาร์ท (1968)แสดงรายการการประมาณค่าหลายสิบวิธีโดยใช้ฟังก์ชันตรรกยะ ทั้งแบบมีและไม่มีเลขชี้กำลัง สำหรับ ฟังก์ชัน erfc()โดยที่ erfc(x) = 1 - erf(x) อัลกอริทึมของเขามีความซับซ้อนและความแม่นยำแตกต่างกันไป โดยมีความแม่นยำสัมบูรณ์สูงสุด 24 หลัก อัลกอริทึมของเวสต์ (2009)ได้รวมอัลกอริทึม 5666 ของฮาร์ทเข้ากับ การประมาณ ค่าเศษส่วนต่อเนื่องในส่วนท้าย เพื่อให้ได้อัลกอริทึมการคำนวณที่รวดเร็วและมีความแม่นยำ 16 หลัก
Cody (1969)หลังจากระลึกได้ว่าวิธีแก้ปัญหาของ Hart68 ไม่เหมาะสมสำหรับ erf จึงได้เสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับทั้ง erf และ erfc โดยมีขอบเขตข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุด ผ่านการประมาณค่า Chebyshev แบบมีเหตุผล
Marsaglia (2004)เสนออัลกอริทึมง่ายๆ^{[หมายเหตุ 1 ]}โดยอิงจากการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ $\Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots \right)$ สำหรับการคำนวณ $Φ (x)$ ด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ ข้อเสียของอัลกอริทึมนี้คือใช้เวลาในการคำนวณค่อนข้างช้า (ตัวอย่างเช่น ต้องใช้การวนซ้ำมากกว่า 300 ครั้งในการคำนวณฟังก์ชันด้วยความแม่นยำ 16 หลัก เมื่อ $x = 10$ )
ไลบรารีวิทยาศาสตร์ของ GNUคำนวณค่าของฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติมาตรฐานโดยใช้อัลกอริทึมของ Hart และการประมาณค่าด้วย พหุ นามChebyshev
Dia (2023)เสนอการประมาณค่าต่อไปนี้ของ ${\textstyle 1-\Phi }$ โดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดน้อยกว่า ${\textstyle 2^{-53}}$ ${\textstyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$ ในค่าสัมบูรณ์: สำหรับ ${\textstyle x\geq 0}$ ${\textstyle {\begin{aligned}1-\Phi \left(x\right)&=\left({\frac {0.39894228040143268}{x+2.92678600515804815}}\right)\left({\frac {x^{2}+8.42742300458043240x+18.38871225773938487}{x^{2}+5.81582518933527391x+8.97280659046817350}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+7.30756258553673541x+18.25323235347346525}{x^{2}+5.70347935898051437x+10.27157061171363079}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.66479518878470765x+18.61193318971775795}{x^{2}+5.51862483025707963x+12.72323261907760928}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+4.91396098895240075x+24.14804072812762821}{x^{2}+5.26184239579604207x+16.88639562007936908}}\right)\left({\frac {x^{2}+3.83362947800146179x+11.61511226260603247}{x^{2}+4.92081346632882033x+24.12333774572479110}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\end{aligned}}}$ และสำหรับ ${\textstyle x<0}$ ,

$1-\Phi \left(x\right)=1-\left(1-\Phi \left(-x\right)\right)$

Shore (1982) ได้นำเสนอการประมาณค่าอย่างง่ายที่อาจนำไปใช้ในแบบจำลองการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงสุ่มของวิศวกรรมและการวิจัยการดำเนินงาน เช่น วิศวกรรมความน่าเชื่อถือและการวิเคราะห์สินค้าคงคลัง โดยกำหนดให้ $p = Φ (z)$ การประมาณค่าที่ง่ายที่สุดสำหรับฟังก์ชันควอนไทล์คือ: $z=\Phi ^{-1}(p)=5.5556\left[1-\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{0.1186}\right],\qquad p\geq 1/2$

การประมาณค่านี้ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุด สำหรับ $z ที่ 0.026 (สำหรับ$ $0.5 \leq p \leq 0.9999$ ซึ่งสอดคล้องกับ $0 \leq z \leq 3.719$ ) สำหรับ $p < 1/2$ ให้แทน $p$ ด้วย $1 - p$ แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย การประมาณค่าอีกวิธีหนึ่งซึ่งมีความแม่นยำน้อยกว่าเล็กน้อย คือการประมาณค่าแบบพารามิเตอร์เดียว: $z=-0.4115\left\{{\frac {1-p}{p}}+\log \left[{\frac {1-p}{p}}\right]-1\right\},\qquad p\geq 1/2$

วิธีการหลังนี้ใช้เพื่อหาค่าประมาณอย่างง่ายสำหรับปริพันธ์การสูญเสียของการแจกแจงปกติ ซึ่งกำหนดโดย ${\begin{aligned}L(z)&=\int _{z}^{\infty }(u-z)\varphi (u)\,du=\int _{z}^{\infty }[1-\Phi (u)]\,du\\[5pt]L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)-z,&p<1/2,\\\\0.4115\left({\dfrac {1-p}{p}}\right),&p\geq 1/2.\end{cases}}\\[5pt]{\text{or, equivalently,}}\\L(z)&\approx {\begin{cases}0.4115\left\{1-\log \left[{\frac {p}{1-p}}\right]\right\},&p<1/2,\\\\0.4115{\dfrac {1-p}{p}},&p\geq 1/2.\end{cases}}\end{aligned}}$

การประมาณค่านี้มีความแม่นยำเป็นพิเศษสำหรับส่วนปลายด้านขวา (ข้อผิดพลาดสูงสุด 10 ⁻³สำหรับ $z \geq 1.4$ ) การประมาณค่าที่มีความแม่นยำสูงสำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสม โดยอิงตามระเบียบวิธีแบบจำลองการตอบสนอง (RMM, Shore, 2011, 2012) แสดงไว้ใน Shore (2005)

สามารถดูค่าประมาณเพิ่มเติมได้ที่: ฟังก์ชันข้อผิดพลาด#การประมาณค่าด้วยฟังก์ชันพื้นฐานโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อผิดพลาด สัมพัทธ์ เล็กน้อย ในโดเมนทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสม $\Phi$ และฟังก์ชันควอนไทล์ ${\textstyle \Phi ^{-1}}$ นอกจากนี้ ยังสามารถหาคำตอบได้ด้วยสูตรที่สามารถผกผันได้อย่างชัดเจน ซึ่งคิดค้นโดย Sergei Winitzki ในปี 2008

ประวัติศาสตร์

การพัฒนา

ผู้เขียนบางท่าน^{[ 74 ]}^{[ 75 ]}ระบุว่าการค้นพบการแจกแจงปกติเป็นผลงานของเดอ มัวฟร์ซึ่งในปี 1738 ^{[หมายเหตุ 2 ]} ได้ตีพิมพ์ผล การศึกษาเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ในการขยายทวินามของ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $n$ ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของหนังสือ The Doctrine of Chancesของเขาเดอ มัวฟร์พิสูจน์ว่าพจน์กลางในการขยายนี้มีขนาดโดยประมาณเท่ากับ ${\textstyle 2^{n}/{\sqrt {2\pi n}}}$ และว่า "ถ้า $m$ หรือ $1$ $/$ $2n$ $เป็น ปริมาณที่มากอย่างไม่มีที่$ $สิ้นสุด$ $แล้ว$ ลอการิทึมของอัตราส่วนที่พจน์ที่อยู่ห่างจากตรงกลางด้วยช่วง $ℓ$ มีต่อพจน์ตรงกลางคือ ${\textstyle -{\frac {2\ell \ell }{n}}}$ ." ^{[ 76 ]}แม้ว่าทฤษฎีบทนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการแสดงออกที่ไม่ชัดเจนครั้งแรกสำหรับกฎความน่าจะเป็นปกติ แต่Stiglerชี้ให้เห็นว่า de Moivre เองก็ไม่ได้ตีความผลลัพธ์ของเขาว่าเป็นอะไรมากไปกว่ากฎโดยประมาณสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินาม และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง de Moivre ขาดแนวคิดของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น^{[ 77 ]}

ในปี ค.ศ. 1823 เกาส์ได้ตีพิมพ์งานวิจัยเรื่อง" Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae "ซึ่งในงานวิจัยนี้ เขาได้แนะนำแนวคิดทางสถิติที่สำคัญหลายประการ เช่นวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดวิธีการความน่าจะเป็นสูงสุดและการแจกแจงแบบปกติเกาส์ใช้ $M$ , $M'$ , $M ″, ...$ แทนการวัดปริมาณที่ไม่ทราบค่า $V$ และพยายามหาตัวประมาณค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุดของปริมาณนั้น นั่นคือ ตัวประมาณค่าที่ทำให้ความน่าจะเป็น $φ$ $($ $M$ $-$ $V$ $) \cdot$ $φ$ $($ $M$ $' -$ $V$ $) \cdot$ $φ$ $($ $M$ $″ -$ $V$ $) \cdot ...$ ของการได้ผลการทดลองที่สังเกตได้สูงสุด ในสัญลักษณ์ของเขา φΔ คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการวัดที่มีขนาด Δ เนื่องจากไม่ทราบว่าฟังก์ชัน $φ$ คืออะไร เกาส์จึงต้องการให้วิธีการของเขาลดลงเหลือคำตอบที่รู้จักกันดี นั่นคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่วัดได้^[^{หมายเหตุ 3}^]จากหลักการเหล่านี้ เกาส์แสดงให้เห็นว่ากฎเดียวที่อธิบายเหตุผลของการเลือกค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นตัวประมาณค่าพารามิเตอร์ตำแหน่งได้ก็คือกฎความคลาดเคลื่อนปกติ: ^[⁷⁸^] $\varphi {\mathit {\Delta }}={\frac {h}{\surd \pi }}\,e^{-\mathrm {hh} \Delta \Delta },$ โดยที่ $h$ คือ "การวัดความแม่นยำของการสังเกต" เมื่อใช้กฎปกตินี้เป็นแบบจำลองทั่วไปสำหรับข้อผิดพลาดในการทดลอง เกาส์ได้กำหนดสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าวิธีการถ่วงน้ำหนักกำลังสองน้อยที่สุดแบบ ไม่เชิงเส้น^[⁷⁹^]

แม้ว่าเกาส์จะเป็นคนแรกที่เสนอกฎการแจกแจงแบบปกติ แต่ลาปลาซก็มีส่วนสำคัญอย่างมาก^{[หมายเหตุ 4 ]}ลาปลาซเป็นคนแรกที่ตั้งปัญหาการรวมการสังเกตหลายๆ ครั้งในปี 1774 ^{[ 80 ]}แม้ว่าวิธีแก้ปัญหาของเขาเองจะนำไปสู่การแจกแจงแบบลาปลาซก็ตาม ลาปลาซเป็นคนแรกที่คำนวณค่าของอินทิกรัล $\int e - t 2 dt = \sqrt π$ ในปี 1782 ซึ่งให้ค่าคงที่ของการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับการแจกแจงแบบปกติ^{[ 81 ]}สำหรับความสำเร็จนี้ เกาส์ยอมรับความสำคัญของลาปลาซ^{[ 82 ]} ในที่สุด ลาปลาซเป็นผู้ที่พิสูจน์และนำเสนอ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางพื้นฐานต่อวงการวิชาการในปี 1810 ซึ่งเน้นย้ำถึงความสำคัญทางทฤษฎีของการแจกแจงแบบปกติ^{[ 83 ]}

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าในปี พ.ศ. 2352 นักคณิตศาสตร์ชาวไอริช-อเมริกันชื่อRobert Adrainได้ตีพิมพ์ผลงานการพิสูจน์กฎความน่าจะเป็นปกติที่ลึกซึ้งแต่มีข้อบกพร่องสองชิ้นพร้อมกันและเป็นอิสระจาก Gauss ^{[ 84 ]} ผลงานของเขาส่วนใหญ่ไม่เป็นที่รู้จักของชุมชนวิทยาศาสตร์ จนกระทั่งในปี พ.ศ. 2314 Abbeได้นำผลงานเหล่านั้นกลับมาศึกษาอีกครั้ง^{[ 85 ]}

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 แม็กซ์เวลล์ได้แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงแบบปกติไม่ได้เป็นเพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกเท่านั้น แต่ยังอาจเกิดขึ้นในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติได้อีกด้วย: ^{[ 58 ]}จำนวนอนุภาคที่มีความเร็วซึ่งถูกวิเคราะห์ในทิศทางหนึ่งๆ อยู่ระหว่าง $x$ และ $x + dx$ คือ $\operatorname {N} {\frac {1}{\alpha \;{\sqrt {\pi }}}}\;e^{-{\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}}\,dx$

การตั้งชื่อ

ในปัจจุบัน แนวคิดนี้มักเรียกกันในภาษาอังกฤษว่าการแจกแจงปกติหรือการแจกแจงแบบเกาส์เซียนชื่ออื่นๆ ที่ใช้กันน้อยกว่า ได้แก่ การแจกแจงแบบเกาส์ การแจกแจงแบบลาปลาซ-เกาส์ กฎแห่งความคลาดเคลื่อน กฎแห่งความง่ายของความคลาดเคลื่อน กฎข้อที่สองของลาปลาซ และกฎแบบเกาส์เซียน

ดูเหมือนว่าเกาส์เองจะเป็นผู้บัญญัติศัพท์นี้โดยอ้างอิงถึง "สมการปกติ" ที่เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ โดยคำว่าปกติในเชิงเทคนิคหมายถึงตั้งฉากกัน ไม่ใช่ปกติ^{[ 86 ]}อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ผู้เขียนบางคน^{[หมายเหตุ 5 ]}ได้เริ่มใช้ชื่อการแจกแจงปกติโดยใช้คำว่า "ปกติ" เป็นคำคุณศัพท์ ซึ่ง ในขณะนั้นคำนี้ถูกมองว่าเป็นการสะท้อนให้เห็นว่าการแจกแจงนี้เป็นเรื่องปกติ ทั่วไป และจึงถือว่าปกติเพียร์ซ (หนึ่งในผู้เขียนเหล่านั้น) เคยให้คำจำกัดความของ "ปกติ" ไว้ดังนี้: "... 'ปกติ' ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย (หรือค่าเฉลี่ยประเภทอื่นใด) ของสิ่งที่เกิดขึ้นจริง แต่เป็นสิ่งที่ในระยะยาวจะ เกิดขึ้นภายใต้สถานการณ์บางอย่าง" ^{[ 87 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เพียร์สันได้ทำให้คำว่าปกติ เป็นที่นิยม ในฐานะคำที่ใช้เรียกการแจกแจงนี้^{[ 88 ]}

หลายปีที่แล้ว ผมเคยเรียกเส้นโค้งลาปลาซ-เกาส์เซียนว่า เส้นโค้ง ปกติซึ่งชื่อนี้ถึงแม้จะช่วยหลีกเลี่ยงประเด็นเรื่องความได้เปรียบในระดับนานาชาติ แต่ก็มีข้อเสียคือทำให้ผู้คนเข้าใจผิดว่าการแจกแจงความถี่แบบอื่นๆ ทั้งหมดนั้น 'ผิดปกติ' ในแง่ใดแง่หนึ่ง

— เพียร์สัน (1920)

นอกจากนี้ เพียร์สันเป็นคนแรกที่เขียนการแจกแจงในรูปของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน $σ$ ดังเช่นสัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบัน ไม่นานหลังจากนั้น ในปี 1915 ฟิชเชอร์ได้เพิ่มพารามิเตอร์ตำแหน่งเข้าไปในสูตรการแจกแจงปกติ โดยแสดงออกมาในรูปแบบที่เขียนกันในปัจจุบัน: $df={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ^{2}\pi }}}e^{-(x-m)^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dx.$

คำว่าการแจกแจงปกติมาตรฐานซึ่งหมายถึงการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง เริ่มใช้กันอย่างแพร่หลายในช่วงทศวรรษ 1950 โดยปรากฏในตำราเรียนยอดนิยมของ P. G. Hoel (1947) Introduction to Mathematical StatisticsและAlexander M. Mood (1950) Introduction to the Theory of Statistics ^{[ 89 ]}^{[ 90 ]}^{[ 91 ]}

ดูเพิ่มเติม

การแจกแจงเบตส์ – คล้ายกับการแจกแจงเออร์วิน-ฮอลล์ แต่ปรับขนาดให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 1
ปัญหาของเบห์เรนส์-ฟิชเชอร์ – ปัญหาที่ค้างคามานานเกี่ยวกับการทดสอบว่าตัวอย่างปกติสองตัวอย่างที่มีความแปรปรวนต่างกันจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากันหรือไม่
ระยะทาง Bhattacharyya – วิธีที่ใช้ในการแยกส่วนผสมของการแจกแจงแบบปกติ
ทฤษฎีบท Erdős–Kac – เกี่ยวกับการปรากฏของการกระจายแบบปกติในทฤษฎีจำนวน
ความกว้างเต็มที่ที่ครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุด
การเบลอแบบเกาส์เซียน – การแปลงแบบคอนโวลูชันซึ่งใช้การแจกแจงแบบปกติเป็นเคอร์เนล
ฟังก์ชันเกาส์เซียน
การกระจายแบบครึ่งปกติที่แก้ไขแล้ว^{[ 92 ]}พร้อม pdf บน ${\textstyle (0,\infty )}$ กำหนดให้เป็น ${\textstyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$ , ที่ไหน ${\textstyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$ หมายถึงฟังก์ชันPsi ของ Fox–Wright
การกระจายแบบปกติและไม่มีความสัมพันธ์กันไม่ได้หมายความว่าเป็นอิสระต่อกัน
อัตราส่วนการกระจายแบบปกติ
การแจกแจงปกติผกผัน
ตารางปกติมาตรฐาน
ทฤษฎีบทของสไตน์
การกระจายแบบซับเกาส์เซียน
ผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบปกติ
การแจกแจงแบบทวีดี (Tweedie distribution ) – การแจกแจงแบบปกติเป็นสมาชิกของตระกูลแบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล ของทวีดี (Tweedie exponential dispersion models )
การแจกแจงปกติแบบห่อหุ้ม – การแจกแจงปกติที่ใช้กับโดเมนรูปวงกลม
การทดสอบ Z – โดยใช้การแจกแจงแบบปกติ
การแจกแจงแบบเกาส์เซียนบนกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับในระดับท้องถิ่น

หมายเหตุ

↑ตัวอย่างเช่น อัลกอริทึมนี้มีอยู่ในบทความเรื่องภาษาโปรแกรม Bc
↑เดอ มัวร์ตีพิมพ์ผลการค้นพบของเขาครั้งแรกในปี 1733 ในจุลสารชื่อ Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansiซึ่งกำหนดไว้สำหรับการเผยแพร่ภายในเท่านั้น แต่จนกระทั่งปี 1738 เขาจึงเปิดเผยผลลัพธ์ของเขาต่อสาธารณะ จุลสารฉบับดั้งเดิมได้รับการพิมพ์ซ้ำหลายครั้ง ดูตัวอย่างเช่น Walker (1985 )
↑ "โดยทั่วไปแล้ว มักถือว่าสมมติฐานที่ว่า หากปริมาณใดๆ ได้รับการกำหนดโดยการสังเกตโดยตรงหลายครั้ง ภายใต้สถานการณ์เดียวกันและด้วยความระมัดระวังเท่าเทียมกัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้จะให้ค่าที่มีความน่าจะเป็นมากที่สุด หากไม่แม่นยำอย่างเคร่งครัด แต่ก็ใกล้เคียงมากที่สุด ดังนั้นจึงปลอดภัยที่สุดที่จะยึดถือค่าเฉลี่ยเลขคณิตนี้เสมอ" —เกาส์ (1809 , มาตรา 177)
↑ "ธรรมเนียมของผมในการเรียกเส้นโค้งนี้ว่าเส้นโค้งเกาส์-ลาปลาเซียนหรือ เส้นโค้ง ปกติช่วยให้เราไม่ต้องแบ่งความดีความชอบในการค้นพบระหว่างนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งสองท่าน" อ้างอิงจากเพียร์สัน (1905 , หน้า 189)
↑นอกจากที่อ้างอิงไว้โดยเฉพาะในที่นี้แล้ว ยังพบการใช้งานในลักษณะนี้ในงานของ Peirce , Galton ( Galton (1889 , บทที่ V)) และ Lexis ( Lexis (1878) , Rohrbasser & Véron (2003) ) ประมาณปี 1875

ลิงก์ภายนอก

"การแจกแจงแบบปกติ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
เครื่องคำนวณการแจกแจงปกติ

[74] ตัวอย่างเช่น อัลกอริทึมนี้มีอยู่ในบทความเรื่องภาษาโปรแกรม Bc

[77] เดอ มัวร์ตีพิมพ์ผลการค้นพบของเขาครั้งแรกในปี 1733 ในจุลสารชื่อ Approximatio ad Summam Terminorum Binomii $(a + b) n$ in Seriem Expansiซึ่งกำหนดไว้สำหรับการเผยแพร่ภายในเท่านั้น แต่จนกระทั่งปี 1738 เขาจึงเปิดเผยผลลัพธ์ของเขาต่อสาธารณะ จุลสารฉบับดั้งเดิมได้รับการพิมพ์ซ้ำหลายครั้ง ดูตัวอย่างเช่น Walker (1985 )

[80] "โดยทั่วไปแล้ว มักถือว่าสมมติฐานที่ว่า หากปริมาณใดๆ ได้รับการกำหนดโดยการสังเกตโดยตรงหลายครั้ง ภายใต้สถานการณ์เดียวกันและด้วยความระมัดระวังเท่าเทียมกัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้จะให้ค่าที่มีความน่าจะเป็นมากที่สุด หากไม่แม่นยำอย่างเคร่งครัด แต่ก็ใกล้เคียงมากที่สุด ดังนั้นจึงปลอดภัยที่สุดที่จะยึดถือค่าเฉลี่ยเลขคณิตนี้เสมอ" —เกาส์ (1809 , มาตรา 177)

[83] "ธรรมเนียมของผมในการเรียกเส้นโค้งนี้ว่าเส้นโค้งเกาส์-ลาปลาเซียนหรือ เส้นโค้ง ปกติช่วยให้เราไม่ต้องแบ่งความดีความชอบในการค้นพบระหว่างนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งสองท่าน" อ้างอิงจากเพียร์สัน (1905 , หน้า 189)

[91] นอกจากที่อ้างอิงไว้โดยเฉพาะในที่นี้แล้ว ยังพบการใช้งานในลักษณะนี้ในงานของ Peirce , Galton ( Galton (1889 , บทที่ V)) และ Lexis ( Lexis (1878) , Rohrbasser & Véron (2003) ) ประมาณปี 1875

[

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

8 ] [

9 ] อย่างไรก็ตาม

[ 10 ]

[ 11 ]

12

13

14

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ 28 ]

[

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

33

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

42

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

47

[

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

แจกแจง

[58]

[59]

[60]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

Irwin

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[หมายเหตุ 1 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[หมายเหตุ 2 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[

[

[

[หมายเหตุ 4 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[หมายเหตุ 5 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

การกระจายแบบปกติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น เส้นโค้งสีแดงคือการแจกแจงปกติมาตรฐาน
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
สัญกรณ์	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
พารามิเตอร์	$\mu \in \mathbb {R}$ = ค่าเฉลี่ย ( ตำแหน่ง ) $\sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ = ความแปรปรวน ( มาตราส่วน ยกกำลังสอง )
สนับสนุน	$x\in \mathbb {R}$
พีดี	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
ซีดีเอฟ	$\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
ควอนไทล์	$\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)$
หมายถึง	$\mu$
ค่ามัธยฐาน	$\mu$
โหมด	$\mu$
ความแปรปรวน	$\sigma ^{2}$
โกรธ	$\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)$
เอเอดี	${\textstyle \sigma {\sqrt {2/\pi }}}$
ความเบี่ยงเบน	$0$
ความโค้งส่วนเกิน	$0$
เอนโทรปี	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi e\sigma ^{2})}$
เอ็มจีเอฟ	$\exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)$
ซีเอฟ	$\exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$
ความแตกต่าง Kullback–Leibler	${1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}$