ในทางคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์เชิงสถิติคือแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ซึ่งแต่ละจุดเป็นการกระจายความน่าจะเป็นแมนิโฟลด์เชิงสถิติเป็นกรอบสำหรับสาขาเรขาคณิตสารสนเทศเมตริกสารสนเทศของฟิชเชอร์เป็นเมตริกบนแมนิโฟลด์เหล่านี้ ตามคำจำกัดความนี้ฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็นเป็นแผนที่ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้และคะแนนเป็นการรวม^{[ 1 ]}

กลุ่มของการแจกแจงปกติ ทั้งหมด สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิพาราเมตริก 2 มิติ ที่กำหนดโดยค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ² ^≥  0 เมื่อรวมกับเมตริกแบบรีมันน์ที่กำหนดโดย เมทริกซ์ ข้อมูลฟิชเชอร์ แล้ว มันคือแมนิโฟลด์ทางสถิติที่มีเรขาคณิตจำลองมาจาก ปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิก วิธีหนึ่งในการแสดงภาพแมนิโฟลด์นี้คือการอนุมานสมการพาราเมตริกผ่านข้อมูลฟิชเชอร์ แทนที่จะเริ่มต้นจากฟังก์ชันความน่าจะเป็น

ตัวอย่างง่ายๆ ของแมนิโฟลด์เชิงสถิติที่ยกมาจากฟิสิกส์ คือ แอนเซมเบิลเชิงแคนอนิก : มันเป็นแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ โดยมีอุณหภูมิTทำหน้าที่เป็นพิกัดบนแมนิโฟลด์ สำหรับอุณหภูมิT ที่กำหนดไว้ จะมีปริภูมิความน่าจะเป็น: ดังนั้น สำหรับก๊าซของอะตอม มันจะเป็นการกระจายความน่าจะเป็นของความเร็วของอะตอม เมื่อเราเปลี่ยนอุณหภูมิTการกระจายความน่าจะเป็นก็จะเปลี่ยนไปด้วย

อีกตัวอย่างง่ายๆ จากทางการแพทย์ คือ การกระจายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของผู้ป่วยที่ตอบสนองต่อปริมาณยาที่ให้ กล่าวคือ สำหรับขนาดยาคงที่ ผู้ป่วยบางรายจะดีขึ้น และบางรายจะไม่ดีขึ้น นี่คือพื้นที่ความน่าจะเป็นพื้นฐาน หากขนาดยาเปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ก็จะเปลี่ยนแปลงไปด้วย ดังนั้น ขนาดยาจึงเป็นพิกัดบนแมนิโฟลด์ เพื่อให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบจะต้องวัดผลลัพธ์ที่ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงขนาดยาที่เล็กน้อยมาก ซึ่งไม่ใช่ตัวอย่างที่สามารถนำไปใช้ได้จริง เว้นแต่จะมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างขนาดยาและการตอบสนองอยู่แล้ว โดยที่ขนาดยาสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างอิสระ

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้และให้เป็นมาตรวัดบนXหรืออีกนัยหนึ่ง ให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นบนโดยมีซิกมาแอลเจบราและความน่าจะเป็น ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle \Omega =X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Sigma }$${\displaystyle P=\mu }$

แมนิโฟลด์เชิงสถิติS ( X ) ของXถูกนิยามว่าเป็นปริมาณของการวัดทั้งหมดบนX (โดยที่ซิกมาแอลจีบราคงที่) โปรดทราบว่าปริมาณนี้มีมิติอนันต์ โดยทั่วไปถือว่าเป็นปริมาณ Fréchetจุดต่างๆ ใน​​S ( X ) คือการวัด ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$

แทนที่จะจัดการกับปริภูมิอนันต์มิติS ( X ) โดยทั่วไปแล้วเรามักจะทำงานกับซับแมนิโฟลด์ ที่มีมิติจำกัด ซึ่งกำหนดโดยการพิจารณาชุดของการกระจายความน่าจะเป็นที่ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ที่เรียบและเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องกล่าวคือ เราจะพิจารณาเฉพาะมาตรวัดที่ถูกเลือกโดยพารามิเตอร์เท่านั้น ถ้าพารามิเตอร์มี มิติ nโดยทั่วไปแล้วซับแมนิโฟลด์ก็จะมีมิติ n เช่นกัน แมนิโฟลด์ทางสถิติที่มีมิติจำกัดทั้งหมดสามารถเข้าใจได้ในลักษณะนี้ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

• ทฤษฎีบทของเชนต์ซอฟ