การแจกแจงปกติทั่วไป ( GND ) หรือการแจกแจงเกาส์เซียนทั่วไป ( GGD ) เป็นหนึ่งในสองตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องบน เส้น จำนวนจริง แบบ พาราเมตริกทั้งสองตระกูลนี้เพิ่มพารามิเตอร์รูปร่างเข้าไปในการแจกแจงปกติเพื่อแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองตระกูลนี้ จึงจะเรียกในที่นี้ว่า "สมมาตร" และ "อสมมาตร" อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่คำศัพท์มาตรฐาน

สมมาตรทั่วไปปกติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu \,}$ตำแหน่ง ( จริง ) มาตราส่วน (บวก, จริง ) รูปร่าง (บวก, จริง )${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$หมายถึงฟังก์ชันแกมมา
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)}$ โดยที่เป็นพารามิเตอร์รูปร่างเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วน และเป็นฟังก์ชันแกมมาล่างไม่สมบูรณ์ที่ไม่ได้ปรับให้เป็นมาตรฐาน${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$
ควอนไทล์	${\displaystyle {\text{sign}}(p-0.5)\left[\alpha ^{\beta }F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }}\right)\right]^{1/\beta }+\mu }$ ฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงแกมมา อยู่ ที่ไหน[ 1 ]${\displaystyle F^{-1}\left(p;a\right)}$
หมายถึง	${\displaystyle \mu \,}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \mu \,}$
โหมด	${\displaystyle \mu \,}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}}$
ความเบี่ยงเบน	0
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3}$
เอนโทรปี	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}-\log \left[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\right]}$[ 2 ]

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบสมมาตรหรือที่รู้จักกันในชื่อ^การแจกแจง Subbotin [ ^{3 ]}การแจกแจงกำลังเลขชี้กำลังหรือการแจกแจงข้อผิดพลาดทั่วไปเป็นตระกูลพาราเมตริกของการแจกแจงแบบสมมาตรประกอบด้วย การแจกแจง ปกติและ การแจกแจง Laplace ทั้งหมด และในกรณีจำกัด จะรวมถึงการแจกแจงเอกรูปต่อเนื่อง ทั้งหมด บนช่วงที่จำกัดของเส้นจำนวนจริง

กลุ่มการแจกแจงนี้ประกอบด้วยการแจกแจงปกติเมื่อ(โดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน) และประกอบด้วยการแจกแจงลาปลาสเมื่อ⁠ ⁠เมื่อความหนาแน่นจะลู่เข้าสู่ความหนาแน่นสม่ำเสมอ แบบจุดต่อจุด บน ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =2}$${\displaystyle \textstyle \mu }$${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle \beta =1}$${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$

ตระกูลนี้อนุญาตให้มีส่วนหางที่หนักกว่าปกติ (เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \beta <2}$ ) หรือเบากว่าปกติ (เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \beta >2}$ ) เป็นวิธีที่มีประโยชน์ในการกำหนดพารามิเตอร์ของความหนาแน่นแบบสมมาตรและแบนราบต่อเนื่องกันตั้งแต่ความหนาแน่นปกติ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =2}$ ) ไปจนถึงความหนาแน่นสม่ำเสมอ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$ ) และความหนาแน่นแบบสมมาตรและเลปโตเคอร์ ติกต่อเนื่อง กัน ตั้งแต่ความหนาแน่นลาปลาซ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =1}$ ) ไปจนถึงความหนาแน่นปกติ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta =2}$ ) พารามิเตอร์รูปร่างยังควบคุมความแหลมคมนอกเหนือจากส่วนหางด้วย ${\displaystyle \beta }$

การประมาณค่าพารามิเตอร์โดยใช้ความน่าจะเป็นสูงสุดและวิธีการของโมเมนต์ได้รับการศึกษาแล้ว^{[ 4 ]}ค่าประมาณไม่มีรูปแบบปิดและต้องได้รับมาโดยวิธีการเชิงตัวเลข นอกจากนี้ยังมีการเสนอตัวประมาณค่าที่ไม่ต้องใช้การคำนวณเชิงตัวเลขอีกด้วย^{[ 5 ]}

ฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็นปกติทั่วไปจะมีอนุพันธ์ต่อเนื่องจำนวนอนันต์ (กล่าวคือ อยู่ในกลุ่มฟังก์ชันเรียบ${\displaystyle C^{\infty }}$ ) ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเต็มคู่บวกเท่านั้น มิฉะนั้น ฟังก์ชันจะมีอนุพันธ์ต่อเนื่อง ดังนั้น ผลลัพธ์มาตรฐานสำหรับความสอดคล้องและความปกติเชิงอะซิมโทติกของการประมาณ ค่า ความน่าจะเป็นสูงสุด ของ จึงใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}$

เป็นไปได้ที่จะปรับการแจกแจงปกติทั่วไปโดยใช้วิธีความน่าจะเป็นสูงสุด โดยประมาณ ^{[ 4 ] [ 6 ]}โดยตั้งค่าเริ่มต้นเป็นโมเมนต์แรกของตัวอย่าง⁠ ⁠ , ⁠ ⁠จะถูกประมาณโดยใช้ วิธีการวน ซ้ำของ Newton–Raphsonโดยเริ่มต้นจากการคาดเดาเริ่มต้นของ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}}$

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,}$

คือ โมเมนต์ทางสถิติแรกของค่าสัมบูรณ์ และคือโมเมนต์ ทางสถิติที่สอง การวนซ้ำคือ ${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},}$

ที่ไหน

${\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {L_{\beta }}{S_{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}S_{\beta })}{\beta }},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {K_{\beta }}{S_{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {L_{\beta }^{2}}{S_{\beta }^{2}}}+{\frac {L_{\beta }}{\beta S_{\beta }}}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}S_{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}}$

$${\displaystyle S_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta },}$$$${\displaystyle L_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta }\log \left|x_{i}-\mu \right|,}$$$${\displaystyle K_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta }\left(\log \left|x_{i}-\mu \right|\right)^{2},}$$ และและคือฟังก์ชันไดแกมมาและฟังก์ชันตรีแกมมาตามลำดับ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi '}$

เมื่อกำหนดค่าให้กับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \beta }$แล้ว เราสามารถประมาณค่าได้โดยการหาค่าต่ำสุดของ: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}$

สุดท้ายนี้จะถูกประเมินว่า ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.}$

สำหรับค่ามัธยฐานจะ${\displaystyle \beta \leq 1}$เป็นตัวประมาณค่าที่เหมาะสมกว่าสำหรับค่าเมื่อ${\displaystyle \mu }$ประมาณค่า แล้ว ก็สามารถประมาณค่าได้ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น^{[ 4 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบสมมาตรถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองเมื่อความเข้มข้นของค่ารอบค่าเฉลี่ยและพฤติกรรมส่วนหางเป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ^{[ 7 ] [ 8 ]} สามารถใช้ตระกูลการแจกแจงอื่นๆ ได้หากเน้นที่ความเบี่ยงเบนอื่นๆ จากภาวะปกติ หากความสมมาตรของการแจกแจงเป็นสิ่งที่สนใจหลัก สามารถใช้ตระกูลการ แจกแจงปกติแบบเบ้หรือแบบอสมมาตรของตระกูลการแจกแจงปกติทั่วไปที่กล่าวถึงด้านล่างได้ หากพฤติกรรมส่วนหางเป็นสิ่งที่สนใจหลัก สามารถใช้ตระกูลการแจกแจง t ของนักเรียนได้ ซึ่งประมาณค่าการแจกแจงปกติเมื่อระดับความเป็นอิสระเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ การแจกแจง t แตกต่างจากการแจกแจงปกติทั่วไปนี้ตรงที่ได้ส่วนหางที่หนักกว่าปกติโดยไม่มีจุดแหลมที่จุดกำเนิด มีการนำไปใช้ในฟิสิกส์พลาสมาภายใต้ชื่อการแจกแจง Langdon ซึ่งเป็นผลมาจากการแผ่รังสีเบร็มส์สตรัลลิงแบบผกผัน^{[ 9 ]}

ใน ปัญหา การถดถอยเชิงเส้นที่จำลองเป็น⁠ ⁠ ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด ( ${\displaystyle y\sim \mathrm {GeneralizedNormal} (X\cdot \theta ,\alpha ,p)}$MLE)จะเป็นค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด ( MLE ) โดยใช้ ค่า p-norm${\displaystyle \arg \min _{\theta }\|X\cdot \theta -y\|_{p}}$

ให้เป็นการกระจายแบบเกาส์เซียนทั่วไปที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ มีรูปร่างและพารามิเตอร์การปรับขนาด⁠ ⁠โมเมนต์ของ มีอยู่และมีค่าจำกัดสำหรับ⁠ ⁠ ใดๆ ที่ มากกว่า⁠ ⁠สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ⁠ ⁠โมเมนต์กลางธรรมดาคือ^{[ 2 ]}${\displaystyle X_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X_{\beta }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติทั่วไปแบบสมมาตรเป็นฟังก์ชันบวกแน่นอน สำหรับ ^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle \beta \in (0,2]}$

การแจกแจงแบบเกาส์เซียนทั่วไปแบบสมมาตรเป็นการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัด ก็ ต่อเมื่อ⁠ ⁠ เท่านั้น ${\displaystyle \beta \in (0,1]\cup \{2\}}$^{[ 10 ]}

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบหลายตัวแปร กล่าวคือ ผลคูณของ การแจกแจงกำลังเอกซ์โพเนนเชียลที่มี พารามิเตอร์เดียวกัน เป็นความหนาแน่นความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียวที่สามารถเขียนในรูปแบบและมีขอบเขตอิสระ^{[ 12 ]}ผลลัพธ์สำหรับกรณีพิเศษของการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรนั้น เดิมทีเป็นผลงานของแม็กซ์เวลล์^{[ 13 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })}$

ปกติทั่วไปแบบไม่สมมาตร
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \xi \,}$ตำแหน่ง ( จริง ) มาตราส่วน (บวก, จริง ) รูปร่าง ( จริง )${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \kappa \,}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0}$${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0}$${\displaystyle x\in (\xi +\alpha /\kappa ,+\infty ){\text{ if }}\kappa <0}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$แล้ว PDFมาตรฐานปกติ อยู่ ที่ไหน${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$${\displaystyle \phi }$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle \Phi (y)}$โดยที่ CDF ของ การแจกแจง ปกติมาตรฐานคือตำแหน่งใด${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$${\displaystyle \Phi }$
หมายถึง	${\displaystyle \xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \xi \,}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

การแจกแจงปกติทั่วไปแบบไม่สมมาตรเป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องซึ่งพารามิเตอร์รูปร่างสามารถใช้เพื่อแนะนำความไม่สมมาตรหรือความเบ้ได้^{[ 14 ] [ 15 ]} เมื่อพารามิเตอร์รูปร่างเป็นศูนย์ จะได้การแจกแจงปกติ ค่าบวกของพารามิเตอร์รูปร่างจะให้การแจกแจงแบบเบ้ซ้ายที่มีขอบเขตด้านขวา และค่าลบของพารามิเตอร์รูปร่างจะให้การแจกแจงแบบเบ้ขวาที่มีขอบเขตด้านซ้าย เฉพาะเมื่อพารามิเตอร์รูปร่างเป็นศูนย์เท่านั้นที่ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงนี้จะเป็นบวกตลอดทั้งเส้นจำนวนจริง ในกรณีนี้ การแจกแจงจะเป็นการแจกแจงปกติ มิฉะนั้น การแจกแจงจะเป็นการ แจกแจงแบบลอกา ริทมิกปกติ แบบเลื่อนและอาจกลับด้านได้

สามารถประมาณค่าพารามิเตอร์ได้โดยใช้ วิธี การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดหรือวิธีโมเมนต์ ค่าประมาณพารามิเตอร์ไม่มีสูตรตายตัว ดังนั้นจึงต้องใช้การคำนวณเชิงตัวเลขเพื่อหาค่าประมาณ เนื่องจากปริภูมิของตัวอย่าง (เซตของจำนวนจริงที่ความหนาแน่นไม่เป็นศูนย์) ขึ้นอยู่กับค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ ผลลัพธ์มาตรฐานบางอย่างเกี่ยวกับประสิทธิภาพของการประมาณค่าพารามิเตอร์จึงไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยอัตโนมัติเมื่อทำงานกับกลุ่มตัวแปรนี้

การแจกแจงปกติแบบทั่วไปที่ไม่สมมาตรสามารถใช้สร้างแบบจำลองค่าที่อาจมีการกระจายแบบปกติ หรืออาจเบ้ขวาหรือเบ้ซ้ายเมื่อเทียบกับการแจกแจงปกติได้ การแจกแจงปกติแบบเบ้เป็นอีกหนึ่งการแจกแจงที่มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองความเบี่ยงเบนจากภาวะปกติเนื่องจากความเบ้ การแจกแจงอื่นๆ ที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่มีความเบ้ ได้แก่ การแจกแจงแกมมา การแจกแจงล็อก นอร์มั ล และ การแจกแจง ไวบูลแต่การแจกแจงเหล่านี้ไม่ได้รวมถึงการแจกแจงปกติเป็นกรณีพิเศษ

ความแตกต่าง Kullback–Leibler (KLD) เป็นวิธีการที่ใช้ในการคำนวณความแตกต่างหรือความคล้ายคลึงกันระหว่างฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสองฟังก์ชัน^{[ 16 ]}

ให้และเป็นการแจกแจงแบบเกาส์เซียนทั่วไปสองแบบที่มีพารามิเตอร์และภายใต้ข้อจำกัด⁠ ⁠ . ^{[ 17 ]} จากนั้นความแตกต่างนี้จะกำหนดโดย: ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\mu _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2},\beta _{2},\mu _{2}}$${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle {\rm {KLD_{pdf}}}(P(x)\parallel Q(x))=-{\frac {1}{\beta _{1}}}+{\frac {({\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}})^{\beta _{2}}\Gamma ({\frac {1+\beta _{2}}{\beta _{1}}})}{\Gamma ({\frac {1}{\beta _{1}}})}}+\log \left({\frac {\alpha _{2}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{2}}})}{\alpha _{1}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{1}}})}}\right)}$

ตระกูลการแจกแจงปกติทั่วไปสองตระกูลที่กล่าวถึงในที่นี้ เช่นเดียวกับ ตระกูลการแจกแจง ปกติแบบเบ้เป็นตระกูลพาราเมตริกที่ขยายการแจกแจงปกติโดยการเพิ่มพารามิเตอร์รูปร่าง เนื่องจากบทบาทสำคัญของการแจกแจงปกติในความน่าจะเป็นและสถิติ การแจกแจงจำนวนมากจึงสามารถอธิบายได้ในแง่ของความสัมพันธ์กับการแจกแจงปกติ ตัวอย่างเช่น การแจกแจงลอการิทึมปกติ การแจกแจงปกติ แบบพับและ การแจกแจง ปกติผกผันถูกกำหนดให้เป็นการแปลงค่าที่แจกแจงแบบปกติ แต่แตกต่างจากตระกูลการแจกแจงปกติทั่วไปและการแจกแจงปกติแบบเบ้ตรงที่ การแจกแจงเหล่านี้ไม่ได้รวมการแจกแจงปกติเป็นกรณีพิเศษ

อันที่จริงแล้ว การแจกแจงทั้งหมดที่มีความแปรปรวนจำกัดนั้น ในขีดจำกัดแล้วมีความสัมพันธ์อย่างมากกับการแจกแจงปกติ การแจกแจง Student-t การแจกแจง Irwin-Hallและการแจกแจง Batesก็เป็นการขยายการแจกแจงปกติ และรวมถึงในการแจกแจงปกติในขีดจำกัดด้วย ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนที่จะเลือกใช้การแจกแจงปกติแบบ "ทั่วไป" ประเภทที่ 1 เช่น มากกว่าการรวมกันของ Student-t และการแจกแจง Irwin-Hall ที่ขยายแบบปกติ – ซึ่งจะรวมถึงการแจกแจงแบบสามเหลี่ยม (ซึ่งไม่สามารถจำลองได้ด้วยการแจกแจงเกาส์เซียนแบบทั่วไปประเภทที่ 1)

สามารถสร้างการแจกแจงแบบสมมาตรที่สามารถจำลองพฤติกรรมทั้งส่วนหาง (ยาวและสั้น) และส่วนกลาง (เช่น แบบแบน แบบสามเหลี่ยม หรือแบบเกาส์เซียน) ได้อย่างอิสระโดยสมบูรณ์เช่น โดยใช้X  =  IH/ χ

การแจกแจงแบบ Tukey g และ hยังอนุญาตให้มีการเบี่ยงเบนจากภาวะปกติ ทั้งผ่านความเบี่ยงเบนและหางที่หนา^{[ 18 ]}

• การกระจายปกติที่ซับซ้อน
• การกระจายแบบเบ้ปกติ