อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์

สี่เหลี่ยมผืนผ้าซุปเปอร์ซิลเวอร์ประกอบด้วยสำเนาที่ปรับขนาดของตัวเองสองชุดς = ((ς − 1) 2 + 2(ς − 1) + 1) / ς
ความมีเหตุผล	พีชคณิตอตรรกยะ
เครื่องหมาย	ς
การนำเสนอ
ทศนิยม	2.205 569 430 400 590 311 70 ...
รูปแบบพีชคณิต	รากจริงของx³ = 2x² + 1
เศษส่วนต่อเนื่อง (เชิงเส้น)	[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,...] [ 1 ] ไม่เป็นคาบอนันต์

ในทางคณิตศาสตร์อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์เป็นสัดส่วนทางเรขาคณิตซึ่งกำหนดโดยคำตอบ จริงเพียงหนึ่งเดียว ของสมการx³ ⁼ 2x² + 1การ^ขยายทศนิยมเริ่มต้นด้วย2.205 569 430 400 5903 ... (ลำดับ A356035ในOEIS )

ชื่อ " อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์" ^มาจากการเปรียบเทียบกับ " อัตราส่วนซิลเวอร์"ซึ่งเป็นคำตอบที่เป็นบวกของสมการx² = 2x + 1และ " อัตราส่วนซูเปอร์โกลด์ "

ปริมาณสามค่าa > b > c > 0อยู่ในอัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์ ถ้า$${\displaystyle {\frac {2a+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}\,.}$$ อัตราส่วนนี้โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์⁠${\displaystyle \varsigma }$⁠ .

การแทนที่${\displaystyle a=\varsigma b=\varsigma ^{2}c}$ในเศษส่วนแรกให้ $${\displaystyle \varsigma ={\frac {2\varsigma ^{2}c+c}{\varsigma ^{2}c}}.}$$ดังนั้น อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์จึงเป็นคำตอบจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการกำลังสาม${\displaystyle \varsigma ^{3}-2\varsigma ^{2}-1=0.}$

พหุนามขั้นต่ำสำหรับรากผกผันคือพหุนามลูกบาศก์ที่ลดรูป${\displaystyle x^{3}+2x-1,}$ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดคือ การใช้ สูตรของคาร์ดาโน $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {59}{3}}}\right)/2\\1/\varsigma &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$ หรือใช้ฟังก์ชันไซน์ไฮเปอร์โบลิก$${\displaystyle 1/\varsigma =-2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\right).}$$

⁠${\displaystyle 1/\varsigma }$⁠คือจุดคงที่เสถียร ยิ่งยวด ของการวนซ้ำ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+2).}$

การแบ่งพหุนามกำหนด${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1}$โดย​${\displaystyle x-\varsigma }$หนึ่งได้รับ${\displaystyle x^{2}+x/\varsigma ^{2}+1/\varsigma ,}$และองค์ประกอบคู่ควบของ⁠${\displaystyle \varsigma }$คือ​ $${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {8\varsigma ^{2}+3}}\right)/2\varsigma ^{2},}$$ กับ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=2-\varsigma \;}$และ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\varsigma .}$

คูณพหุนามขั้นต่ำด้วย⁠${\displaystyle x}$และจัดเรียงความสัมพันธ์ใหม่ดังนี้${\displaystyle (x^{2}+1)^{2}=x+1.}$ซึ่งส่งผลให้เกิดการวนซ้ำ${\displaystyle x\gets {\sqrt {-1+{\sqrt {{\phantom {|}}1+x}}}}}$โดยมีค่าเริ่มต้น⁠${\displaystyle x_{0}>0}$และ ความรุนแรง ที่ต่อเนื่อง^{[ 2 ]} $${\displaystyle 1/\varsigma ={\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {{\phantom {|}}1+\cdots }}}}}}}}}$$

สามารถหาค่าที่เทียบเท่าได้โดยใช้พหุนาม${\displaystyle f:y^{3}+y^{2}-y-2}$ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์จริง${\displaystyle \varsigma -1}$[ ³ ]คูณ^​​​${\displaystyle f}$โดย​​${\displaystyle y-1}$จากนั้น${\displaystyle (y^{2}-1)^{2}=y-1,}$และการวนซ้ำที่สอดคล้องกันด้วย⁠${\displaystyle y_{0}>1}$ให้​ $${\displaystyle \varsigma -1={\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {{\phantom {|}}-1+\cdots }}}}}}}}}$$

เพื่อให้ลู่เข้าได้ดียิ่งขึ้น ให้หารทั้งสองข้างของ${\displaystyle y^{3}=y(1-y)+2\,}$โดย​${\displaystyle y}$และแทนที่${\displaystyle 1/\varsigma =1/(y+1)\,{\text{ สำหรับ }}\,2/yy.}$สิ่งนี้ทำให้เกิดการวนซ้ำ${\displaystyle y\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{1+y}}}},}$และรากที่สองผกผันต่อเนื่อง $${\displaystyle \varsigma -1={\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$

อัตราการเติบโตของค่าเฉลี่ยของพจน์ที่ n ของลำดับฟิโบนาชี่แบบสุ่มคือ⁠${\displaystyle \varsigma -1}$⁠ . ^{[ 4 ]}

สมการนิยามสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}1&={\frac {1}{\varsigma -1}}+{\frac {1}{\varsigma ^{2}+1}}\\&={\frac {1}{\varsigma }}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}+{\frac {\varsigma -2}{\varsigma -1}}.\end{aligned}}}$$

อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์สามารถแสดงได้ในรูปของเศษส่วน $${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma &={\frac {\varsigma }{\varsigma -1}}+{\frac {\varsigma -1}{\varsigma +1}}\\\varsigma ^{2}&={\frac {1}{\varsigma -2}}.\end{aligned}}}$$

เช่นเดียวกับอนุกรมเรขาคณิต อนันต์$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varsigma }{\varsigma -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-n}\\{\frac {\varsigma ^{2}}{\varsigma ^{2}-1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-2n}\\{\frac {\varsigma }{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varsigma ^{-3n},\end{aligned}}}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับเอกลักษณ์ อัตราส่วนเงิน$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-n}\\{\frac {\sigma }{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n}\\{\frac {\sigma ^{3}}{\sigma ^{3}-1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-3n}.\end{aligned}}}$$

สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวน${\displaystyle n}$หนึ่งมี $${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{n}&=2\varsigma ^{n-1}+\varsigma ^{n-3}\\&=4\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+2\varsigma ^{n-4}\\&=\varsigma ^{n-1}+2\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+\varsigma ^{n-4}\end{aligned}}}$$ จากสิ่งนี้ เราสามารถค้นพบความสัมพันธ์เพิ่มเติมได้อีกมากมายนับไม่ถ้วน

รูปแบบ เศษส่วนต่อเนื่องของกำลังต่ำบางส่วน $${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{-2}&=[0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 0.2056\;({\tfrac {5}{24}})\\\varsigma ^{-1}&=[0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...]\approx 0.4534\;({\tfrac {5}{11}})\\\varsigma ^{0}&=[1]\\\varsigma ^{1}&=[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 2.2056\;({\tfrac {53}{24}})\\\varsigma ^{2}&=[4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...]\approx 4.8645\;({\tfrac {73}{15}})\\\varsigma ^{3}&=[10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...]\approx 10.729\;({\tfrac {118}{11}})\end{aligned}}}$$

จากผลที่ได้จากการขยายเศษส่วนอย่างต่อเนื่อง การประมาณค่าเชิงตรรกะที่ง่ายที่สุดของ⁠${\displaystyle \varsigma }$ได้แก่ :$${\displaystyle {\tfrac {9}{4}},{\tfrac {11}{5}},{\tfrac {53}{24}},{\tfrac {75}{34}},{\tfrac {161}{73}},{\tfrac {236}{107}},{\tfrac {397}{180}},{\tfrac {633}{287}},{\tfrac {1030}{467}},{\tfrac {1663}{754}},{\tfrac {2693}{1221}},{\tfrac {7049}{3196}},\ldots }$$

อัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์คือเลขพิโซต์ [ ^{5 ] ตาม}คำจำกัดความของตัวเลขเหล่านี้ค่าสัมบูรณ์${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma }}}$ค่าของตัวผกผันทางพีชคณิตมีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้นกำลังของ⁠${\displaystyle \varsigma }$สร้างค่าเกือบเป็นจำนวนเต็ม [ ^{6 ] ตัวอย่าง} เช่น:${\displaystyle \varsigma ^{10}=2724.00146856...\approx 2724+1/681.}$หลังจากหมุนไปสิบรอบเฟสของคู่ควบที่หมุนเข้าด้านใน–ในตอนแรกจะใกล้เคียงกับ⁠${\displaystyle \pm 45\pi /82}$–เกือบจะอยู่ในแนวเดียวกับแกนสมมุติ

พหุนามขั้นต่ำของอัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์${\displaystyle m(x)=x^{3}-2x^{2}-1}$มีการเลือกปฏิบัติ${\displaystyle \Delta =-59}$และปัจจัยต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle (x-21)^{2}(x-19){\pmod {59}};\;}$ฟิลด์กำลังสองจินตนาการ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$มีหมายเลขชั้นเรียน${\displaystyle h=3}$ดังนั้นฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตของ${\displaystyle K}$สามารถสร้างขึ้นได้โดยการเชื่อมต่อ${\displaystyle \varsigma }$[ ^{7 ]} พร้อม^ข้อโต้แย้ง${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ตัวสร้างสำหรับวงแหวนของจำนวนเต็มของ⁠${\displaystyle K}$รากจริง j ( τ ) ของพหุนามชั้นฮิล เบิร์ตกำหนดโดย ${\displaystyle (\varsigma ^{-6}-27\varsigma ^{6}-6)^{3}.}$^{[ 8 ] [ 9 ]}

ค่าคงที่ ของชั้น Weber-Ramanujanถูกประมาณด้วยข้อผิดพลาด< 3.5 ∙ 10 ⁻²⁰โดย$${\displaystyle {\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})={\sqrt[{4}]{2}}\,G_{59}\approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24},}$$ในขณะที่ค่าที่แท้จริงของมันคือรากจริงเพียงรากเดียวของพหุนาม$${\displaystyle W_{59}(x)=x^{9}-4x^{8}+4x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+16x-8.}$$

ค่าเอกลักษณ์ของอินทิกรัลวงรี^{[ 10 ]} ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r){\text{ for }}r=59}$มีนิพจน์รูปแบบปิด $${\displaystyle \lambda ^{*}(59)=\sin(\arcsin \left(G_{59}^{-12}\right)/2)}$$ (ซึ่งน้อยกว่า 1/294 ของค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของดาวศุกร์)

Hop o' my Thumb : แฟ ร็กทั ล Rauzy ซูเปอร์ซิลเวอร์ชนิดa ↦ baaขอบเขตของแฟร็กทัลมีมิติการนับกล่อง 1.22

แฟร็กทัล Rauzy ซูเปอร์ซิลเวอร์ชนิดc ↦ bcaโดยมีพื้นที่ในอัตราส่วนς ² + 1  : ς (ς − 1)  : ς  : 1

ตัวเลขเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์ เช่นเดียวกับที่ตัวเลขเพลล์และตัวเลขเพลล์-ลูคัสมีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนซิลเวอร์

ลำดับพื้นฐานถูกกำหนดโดย ความสัมพันธ์เวียนเกิดลำดับที่สาม$${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$ ด้วยค่าเริ่มต้น$${\displaystyle S_{0}=1,S_{1}=2,S_{2}=4.}$$

เทอมแรกๆ ได้แก่ 1, 2, 4, 9, 20, 44, 97, 214, 472, 1041, 2296, 5064,... (ลำดับA008998ในOEIS )อัตราส่วนจำกัดระหว่างเทอมที่ต่อเนื่องกันคืออัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์:${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n+1}/S_{n}=\varsigma .}$

ดัชนี n 8 ตัวแรกซึ่ง⁠${\displaystyle S_{n}}$จำนวนเฉพาะคือ n = 1, 6, 21, 114, 117, 849, 2418, 6144 โดยจำนวนสุดท้ายมีเลขฐานสิบ 2111 หลัก

ลำดับนี้สามารถขยายไปยังดัชนีติดลบได้โดยใช้$${\displaystyle S_{n}=S_{n+3}-2S_{n+2}.}$$

กำลังของอัตราส่วนซูเปอร์ซิลเวอร์สามารถเขียนได้โดยใช้เลขเพลล์อันดับสามเป็นสัมประสิทธิ์กำลังสอง$${\displaystyle \varsigma ^{n}=\varsigma ^{2}S_{n-2}+\varsigma S_{n-4}+S_{n-3},}$$ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์บน⁠${\displaystyle n}$ความสัมพันธ์นี้ยังใช้ได้กับ ⁠ ด้วย${\displaystyle n<0}$ลำดับของสัมประสิทธิ์สอดคล้องกับแถวล่างสุดของเมทริกซ์${\displaystyle Q}$ด้านล่าง

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับจะได้รับจาก^{[ 11 ]} $${\displaystyle {\frac {1}{1-2x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}{\text{ for }}x<{\tfrac {1}{\varsigma }}}$$

ตัวเลขเพลล์ลำดับที่สามเกี่ยวข้องกับผลรวมของสัมประสิทธิ์ทวินามโดย^{[ 12 ]} $${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}\cdot 2^{n-3k}}$$

สมการลักษณะเฉพาะของการเกิดซ้ำคือ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1=0.}$ถ้าคำตอบทั้งสามเป็นรากจริง${\displaystyle \alpha }$และคู่สังยุค${\displaystyle \beta }$และ​​${\displaystyle \gamma }$สามารถคำนวณค่าซูเปอร์ซิลเวอร์ได้โดยใช้สูตรของบิเนต์$${\displaystyle S_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ ด้วยของจริง${\displaystyle a}$และคู่ควบ${\displaystyle b}$และ​​${\displaystyle c}$รากเหง้าของ${\displaystyle 59x^{3}+4x-1=0.}$

เนื่องจาก${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/\alpha ^{n/2}}$และ${\displaystyle \alpha =\varsigma ,}$ตัวเลข​${\displaystyle S_{n}}$เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดกับ${\displaystyle a\,\varsigma ^{n+2},}$โดยที่n ≥ 0และ${\displaystyle a=\varsigma /(2\varsigma ^{2}+3)=}$0.17327 02315 50408 18074 84794...

สัมประสิทธิ์${\displaystyle a=b=c=1}$ส่งผลให้ได้สูตร Binet สำหรับลำดับที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle A_{n}=S_{n}+2S_{n-3}.}$

เทอมแรกๆ ได้แก่ 3, 2, 4, 11, 24, 52, 115, 254, 560, 1235, 2724, 6008,... ( ลำดับA332647ในOEIS )

ลำดับเพลล์-ลูคัสลำดับที่สามนี้มีสมบัติของแฟร์มาต์ กล่าวคือ ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.}$ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง แต่จำนวนคี่เทียม มีจำนวนน้อย${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-2)}$ทำให้ลำดับพิเศษ จำนวนประกอบคี่ 14 จำนวนที่ต่ำกว่า10 ⁸ที่ผ่านการทดสอบคือ n = 3 ² , 5 ² , 5 ³ , 315, 99297, 222443, 418625, 9122185, 3257 ² , 11889745, 20909625, 24299681, 64036831, 76917325 ^{[ 13 ]}

เลขเพลล์ลำดับที่สามได้มาจากการหาค่ากำลังจำนวนเต็มn > 3ของเมทริกซ์ ที่มี ค่าไอเกนเป็นจำนวนจริง${\displaystyle \varsigma }$⁠$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}S_{n}&S_{n-2}&S_{n-1}\\S_{n-1}&S_{n-3}&S_{n-2}\\S_{n-2}&S_{n-4}&S_{n-3}\end{pmatrix}}}$$

ร่องรอยของ​​${\displaystyle Q^{n}}$ให้ผลลัพธ์ข้างต้น${\displaystyle A_{n}}$⁠ .

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง⁠${\displaystyle Q}$สามารถตีความได้ว่าเป็นเมทริกซ์เหตุการณ์สำหรับระบบ Lindenmayer D0L บนตัวอักษร${\displaystyle \{a,b,c\}}$พร้อมด้วย กฎการแทนที่ ที่สอดคล้องกัน$${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;aab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$ และผู้ริเริ่ม${\displaystyle w_{0}=b}$ลำดับคำเหล่านั้น${\displaystyle w_{n}}$คำที่สร้างขึ้นโดยการทำซ้ำการแทนที่นั้นมีคุณสมบัติที่ว่าจำนวนตัวอักษร c, bและ aเท่ากับจำนวนเพลล์ลำดับที่สามที่ต่อเนื่องกัน ความยาวของคำเหล่านี้กำหนดโดย${\displaystyle l(w_{n})=S_{n-2}+S_{n-3}+S_{n-4}.}$^{[ 14 ]}

กระบวนการเขียนสตริงใหม่นี้เกี่ยวข้องกับ ชุด ขนาดกะทัดรัดที่ประกอบด้วยไทล์ที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง ที่เรียกว่า แฟรกทัล Rauzyซึ่งแสดงภาพ ข้อมูล เชิงการจัดเรียงที่มีอยู่ในลำดับตัวอักษรสามตัวหลายรุ่น^{[ 15 ]}

กำหนดให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความสูง1และความยาว⁠${\displaystyle \varsigma }$และความยาวแนวทแยง${\displaystyle \varsigma {\sqrt {\varsigma -1}}.}$รูปสามเหลี่ยมบนเส้นทแยงมุมมีความสูง${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma -1}}\,;}$แต่ละฟุต ที่ตั้งฉากกันจะแบ่งเส้นทแยงมุมตามอัตราส่วน${\displaystyle \varsigma ^{2}}$⁠ .

ทางด้านขวามือ ให้ตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว1 หน่วย แล้วทำเครื่องหมายจุดตัดกับเส้นทแยงมุมที่ตกลงมา สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหลืออยู่จะมีอัตราส่วนด้านต่อด้าน เท่ากับ...${\displaystyle 1+1/\varsigma ^{2}:1}$(ตาม${\displaystyle \varsigma =2+1/\varsigma ^{2}}$) แบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดิมออกเป็นสี่ส่วนโดยการตัดแนวนอนครั้งที่สองที่ผ่านจุดตัด^{[ 16 ]}

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซูเปอร์ซิลเวอร์ต้นแบบและสำเนาที่ย่อส่วนสองชิ้นตามแนวทแยงมุมมีขนาดเชิงเส้นตามอัตราส่วน${\displaystyle \varsigma$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากันทั้งสองรูป ${\displaystyle (\varsigma -1)/\varsigma ,}$ด้วยอัตราส่วนภาพ${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$(ด้านล่าง) และ${\displaystyle \varsigma /(\varsigma -1)}$(ข้างบน).

หากแบ่งแผนภาพออกเป็นส่วนย่อยเพิ่มเติมโดยเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านฐานของเส้นความสูง ความยาวของเส้นทแยงมุมและส่วนย่อยทั้งเจ็ดส่วนจะอยู่ในอัตราส่วน${\displaystyle \varsigma ^{2}+1:\varsigma ^{2}:\varsigma ^{2}-1:\varsigma +1:}$${\displaystyle \,\varsigma (\varsigma -1):\varsigma :2/(\varsigma -1):1.}$

เกลียวซูเปอร์ซิลเวอร์

เกลียวซูเปอร์ซิลเวอร์เป็นเกลียวลอการิทึมที่กว้างขึ้นเป็นปัจจัย⁠${\displaystyle \varsigma }$สำหรับทุกๆ การหมุนหนึ่งในสี่รอบ อธิบายได้ด้วยสมการเชิงขั้ว${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$โดยมีรัศมีเริ่มต้น${\displaystyle a}$และพารามิเตอร์${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\varsigma ).}$หากวาดลงบนสี่เหลี่ยมผืนผ้าซูเปอร์ซิลเวอร์ เกลียวจะมีจุดยอดอยู่ที่ฐานความสูงของสามเหลี่ยมบนเส้นทแยงมุม และผ่านจุดยอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านเท่ากับ${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$ซึ่งวางตัวในแนวตั้งฉากและปรับขนาดตามลำดับด้วยตัวคูณ${\displaystyle \varsigma ^{-1}}$⁠ .

คำตอบของสมการที่คล้ายกับ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$:

• อัตราส่วนเงิน – คำตอบที่เป็นบวกของสมการ${\displaystyle x^{2}=2x+1}$
• อัตราส่วนทองคำ – คำตอบที่เป็นบวกของสมการ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
• อัตราส่วนทองคำสุดยอด – คำตอบที่แท้จริงของสมการ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$