ในแม่เหล็กไฟฟ้าความหนาแน่นประจุคือปริมาณประจุไฟฟ้าต่อหน่วยความยาวพื้นที่ผิวหรือปริมาตรความหนาแน่นประจุต่อปริมาตร (สัญลักษณ์เป็นอักษรกรีก ρ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยปริมาตร วัดใน ระบบ SIในหน่วยคูลอมบ์ต่อ ลูกบาศก์เมตร (C⋅m ⁻³ ) ณ จุดใดๆ ในปริมาตร^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ความหนาแน่นประจุต่อพื้นผิว (σ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยพื้นที่ วัดในหน่วยคูลอมบ์ต่อตารางเมตร (C⋅m ⁻² ) ณ จุดใดๆ บนการกระจายประจุบนพื้นผิวสองมิติความหนาแน่นประจุเชิงเส้น (λ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยความยาว วัดในหน่วยคูลอมบ์ต่อเมตร (C⋅m ⁻¹ ) ณ จุดใดๆ บนการกระจายประจุเชิงเส้น ความหนาแน่นประจุอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ เนื่องจากประจุไฟฟ้าอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้

เช่นเดียวกับความหนาแน่นมวลความหนาแน่นประจุสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามตำแหน่ง ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกความหนาแน่นประจุถูกทำให้เป็นอุดมคติว่าเป็น ฟังก์ชัน สเกลาร์ต่อเนื่อง ของตำแหน่งเช่นเดียวกับของไหลและ โดยทั่วไป แล้ว ความหนาแน่นประจุจะ ถูกมองว่าเป็นการกระจายประจุแบบต่อเนื่องแม้ว่าการกระจายประจุจริงทั้งหมดจะประกอบด้วยอนุภาคประจุที่ไม่ต่อเนื่องก็ตาม เนื่องจากการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าความหนาแน่นประจุในปริมาตรใด ๆ จะเปลี่ยนแปลงได้ก็ต่อเมื่อมีกระแสไฟฟ้าไหลเข้าหรือออกจากปริมาตรนั้น ซึ่งแสดงโดยสมการความต่อเนื่องที่เชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นประจุและความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {x}}}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

เนื่องจากประจุทั้งหมดถูกนำพาโดยอนุภาคย่อยอะตอมซึ่งสามารถจำลองได้ว่าเป็นจุด แนวคิดของ การกระจายประจุ แบบต่อเนื่องจึงเป็นการประมาณค่า ซึ่งจะไม่ถูกต้องที่ระดับความยาวเล็กๆ การกระจายประจุประกอบด้วยอนุภาคที่มีประจุแต่ละตัวแยกจากกันด้วยบริเวณที่ไม่มีประจุ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น ประจุในวัตถุโลหะที่มีประจุไฟฟ้าประกอบด้วยอิเล็กตรอนนำไฟฟ้า ที่เคลื่อนที่แบบสุ่มใน โครงผลึกของโลหะไฟฟ้าสถิต เกิดจากประจุบนพื้นผิวซึ่งประกอบด้วยอิเล็กตรอนและไอออน ที่ อยู่ใกล้พื้นผิวของวัตถุ และประจุในหลอดสุญญากาศประกอบด้วยกลุ่มอิเล็กตรอนอิสระที่เคลื่อนที่แบบสุ่มในอวกาศความหนาแน่นของตัวนำประจุในตัวนำเท่ากับจำนวนของตัวนำประจุ เคลื่อนที่ ( อิเล็กตรอนไอออนฯลฯ) ต่อหน่วยปริมาตร ความหนาแน่นของประจุ ณ จุดใดๆ เท่ากับความหนาแน่นของตัวนำประจุคูณด้วยประจุพื้นฐานบนอนุภาค อย่างไรก็ตาม เนื่องจากประจุพื้นฐานของอิเล็กตรอนมีขนาดเล็กมาก (1.6⋅10 ⁻¹⁹ C) และมีอิเล็กตรอนจำนวนมากในปริมาตรระดับมหภาค (มีอิเล็กตรอนนำไฟฟ้าประมาณ 10 ^{22 ตัว}ในทองแดงหนึ่งลูกบาศก์เซนติเมตร) การประมาณแบบต่อเนื่องจึงมีความแม่นยำมากเมื่อนำไปใช้กับปริมาตรระดับมหภาค และแม้กระทั่งปริมาตรระดับจุลภาคที่สูงกว่าระดับนาโนเมตร

ในระดับที่เล็กกว่านั้นอีก คือระดับอะตอมและโมเลกุล เนื่องจากหลักการความไม่แน่นอนของกลศาสตร์ควอนตัมอนุภาคที่มีประจุจึงไม่มีตำแหน่งที่แน่นอน แต่จะถูกแทนด้วยการกระจายความน่าจะเป็นดังนั้นประจุของอนุภาคแต่ละตัวจึงไม่ได้กระจุกตัวอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง แต่ถูก 'กระจาย' ออกไปในอวกาศและทำหน้าที่เหมือนการกระจายประจุแบบต่อเนื่องอย่างแท้จริง^{[ 4 ]} นี่คือความหมายของ 'การกระจายประจุ' และ 'ความหนาแน่นของประจุ' ที่ใช้ในวิชาเคมีและพันธะเคมีอิเล็กตรอนถูกแทนด้วยฟังก์ชันคลื่น ซึ่งกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นนั้นเป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นที่จะพบอิเล็กตรอนที่จุดใด ๆในอวกาศ ดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของประจุของอิเล็กตรอนที่จุดใด ๆ ในอะตอมและโมเลกุลประจุของอิเล็กตรอนจะกระจายอยู่ในกลุ่มเมฆที่เรียกว่าออร์บิทัลซึ่งล้อมรอบอะตอมหรือโมเลกุล และเป็นตัวการสำคัญในการสร้างพันธะเคมี ${\displaystyle \psi ({\boldสัญลักษณ์ {x}})}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {x}}}$${\displaystyle |\psi ({\boldสัญลักษณ์ {x}})|^{2}}$

ต่อไปนี้คือคำจำกัดความของการกระจายประจุต่อเนื่อง^{[ 5 ] [ 6 ]}

ความหนาแน่นประจุเชิงเส้นคืออัตราส่วนของประจุไฟฟ้าขนาดเล็กมากdQ (หน่วย SI: C ) ต่อองค์ประกอบเชิงเส้น ขนาดเล็กมาก ใน ทำนองเดียวกัน ความหนาแน่นประจุบนพื้นผิวใช้พื้นที่ผิวdS และความหนาแน่นประจุเชิง ปริมาตร ใช้ปริมาตรdV$${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$$${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$$${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

เมื่อรวมนิยามต่างๆ เข้าด้วยกัน จะได้ประจุรวมQของบริเวณหนึ่งตามปริพันธ์เชิงเส้นของความหนาแน่นประจุเชิงเส้นλ _q ( r ) บนเส้นตรงหรือเส้นโค้ง 1 มิติCใน ทำนอง เดียวกันจะได้ปริพันธ์พื้นผิวของความหนาแน่นประจุพื้นผิว σ _q ( r ) บนพื้นผิวSและ ปริพันธ์ปริมาตรของความหนาแน่นประจุปริมาตรρ _q ( r ) บนปริมาตรVโดย ที่ตัวห้อยqใช้เพื่อชี้แจงว่าความหนาแน่นนี้เป็นความหนาแน่นของประจุไฟฟ้า ไม่ใช่ความหนาแน่นอื่นๆ เช่นความหนาแน่นมวลความหนาแน่นจำนวนความหนาแน่นความน่าจะเป็นและเพื่อป้องกันความขัดแย้งกับการใช้งานอื่นๆ ของλ , σ , ρในแม่เหล็กไฟฟ้าสำหรับความยาวคลื่น ความต้านทาน ไฟฟ้าและการนำไฟฟ้า $${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$$${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

ในบริบทของแม่เหล็กไฟฟ้า โดยทั่วไปแล้วมักจะละเว้นตัวห้อยเพื่อความง่าย: λ , σ , ρสัญลักษณ์อื่นๆ อาจรวมถึง: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _Vเป็นต้น

ประจุรวมหารด้วยความยาว พื้นที่ผิว หรือปริมาตร จะได้ค่าความหนาแน่นประจุเฉลี่ย: $${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

ใน วัสดุ ไดอิเล็กทริกประจุรวมของวัตถุสามารถแบ่งออกเป็นประจุ "อิสระ" และประจุ "ผูกพัน" ได้

ประจุที่ถูกผูกไว้จะสร้างไดโพลไฟฟ้าเพื่อตอบสนองต่อสนามไฟฟ้า ที่ใช้ Eและทำให้ไดโพลที่อยู่ใกล้เคียงอื่นๆ มีแนวโน้มที่จะเรียงตัวกัน การสะสมสุทธิของประจุจากการวางแนวของไดโพลเรียกว่าประจุที่ถูกผูกไว้ เรียกว่าประจุที่ถูกผูกไว้เพราะไม่สามารถกำจัดออกได้ ในวัสดุไดอิเล็กทริก ประจุเหล่านี้คืออิเล็กตรอนที่ถูกผูกไว้กับนิวเคลียส^{[ 6 ]}

ประจุอิสระคือประจุส่วนเกินที่สามารถเคลื่อนที่เข้าสู่สมดุลไฟฟ้าสถิตกล่าวคือเมื่อประจุไม่เคลื่อนที่และสนามไฟฟ้าที่เกิดขึ้นจะไม่ขึ้นกับเวลา หรือก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้า^{[ 5 ]}

ในแง่ของความหนาแน่นประจุปริมาตร ความหนาแน่นประจุ รวมคือ: เช่นเดียวกับความหนาแน่นประจุพื้นผิว: โดยที่ตัวห้อย "f" และ "b" หมายถึง "อิสระ" และ "ถูกผูกไว้" ตามลำดับ $${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$$${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

ประจุพื้นผิวที่ถูกผูกไว้คือประจุที่สะสมอยู่ที่พื้นผิวของไดอิเล็กทริกซึ่งกำหนดโดยโมเมนต์ไดโพลที่ตั้งฉากกับพื้นผิว: ^{[ 6 ]} โดยที่sคือระยะห่างระหว่างประจุจุดที่ประกอบเป็นไดโพลคือโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าคือเวกเตอร์ปกติหน่วยไปยังพื้นผิว $${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {\หมวก {n}} }$

เมื่อพิจารณา ค่า อนันต์เล็ก ๆ และหารด้วยองค์ประกอบพื้นผิวเชิงอนุพันธ์dSจะได้ความหนาแน่นประจุพื้นผิวที่ถูกผูกไว้ดังนี้: โดย ที่Pคือความหนาแน่นของโพลาไรเซชัน กล่าว คือ ความหนาแน่นของโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าภายในวัสดุ และdVคือองค์ประกอบปริมาตร เชิง อนุพันธ์ $${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\หมวก {n}} }$$$${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

เมื่อใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ความหนาแน่นประจุปริมาตรที่ถูกผูกไว้ภายในวัสดุจึงเป็น ดังนี้: $${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$$${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

เครื่องหมายลบเกิดขึ้นเนื่องจากประจุในไดโพลมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน โดยปลายด้านหนึ่งอยู่ภายในปริมาตรของวัตถุ ส่วนอีกด้านหนึ่งอยู่ที่พื้นผิว

การพิสูจน์ที่เข้มงวดกว่ามีดังต่อไปนี้^{[ 6 ]}

ความหนาแน่นของประจุอิสระทำหน้าที่เป็นตัวย่อที่มีประโยชน์ในกฎของเกาส์สำหรับไฟฟ้า ปริมาณอินทิกรัลของมันคือประจุอิสระที่ล้อมรอบอยู่ในวัตถุที่มีประจุ ซึ่งเท่ากับฟลักซ์ สุทธิ ของสนามการกระจัดทางไฟฟ้าDที่ออกมาจากวัตถุ:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

ดูสมการของแม็กซ์เวลล์และความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สำหรับกรณีพิเศษที่ความหนาแน่นประจุρ _{0 มีค่า} สม่ำเสมอไม่ขึ้นกับตำแหน่ง กล่าวคือมีค่าคงที่ตลอดทั้งบริเวณของวัสดุ สมการจะลดรูปเหลือดังนี้: $${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของความหนาแน่นประจุปริมาตรต่อเนื่อง: $${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

จากนั้น ตามนิยามของความเป็นเอกรูปρ _q ( r ) จะเป็นค่าคงที่ซึ่งแทนด้วยρ _{q , 0} (เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างความหนาแน่นคงที่และไม่คงที่) และด้วยคุณสมบัติของปริพันธ์จึงสามารถดึงออกมานอกปริพันธ์ได้ ส่งผลให้: ดังนั้น $${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$$${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

การพิสูจน์ที่เทียบเท่ากันสำหรับความหนาแน่นประจุเชิงเส้นและความหนาแน่นประจุบนพื้นผิวใช้เหตุผลเดียวกันกับข้างต้น

สำหรับประจุจุดเดี่ยวqที่ตำแหน่งr₀ภายในบริเวณของปริภูมิ 3 มิติRเช่นอิเล็กตรอนความหนาแน่นประจุต่อปริมาตรสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac _โดยที่ r คือตำแหน่งที่จะคำนวณประจุ $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

เช่นเคย ปริมาณประจุที่คำนวณได้จากการอินทิเกรตความหนาแน่นประจุเหนือบริเวณใดบริเวณหนึ่งในอวกาศ คือปริมาณประจุที่อยู่ในบริเวณนั้น ฟังก์ชันเดลต้ามีคุณสมบัติการเลื่อนสำหรับฟังก์ชันf ใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันเดลต้า จึง รับประกันว่าเมื่ออินทิเกรตความหนาแน่นประจุเหนือR แล้ว ปริมาณประจุรวมในRคือq$${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

สามารถขยายแนวคิดนี้ไปยัง ตัวนำประจุแบบจุดที่ไม่ต่อเนื่องจำนวน Nตัวได้ ความหนาแน่นประจุของระบบ ณ จุดrคือผลรวมของความหนาแน่นประจุสำหรับประจุแต่ละตัวq _iณ ตำแหน่งr _iโดยที่i = 1, 2, ..., N : $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

ฟังก์ชันเดลต้าสำหรับประจุแต่ละตัวq _iในผลรวมδ ( r − r _i ) ช่วยให้มั่นใจได้ว่าการอินทิเกรตความหนาแน่นของประจุเหนือRจะคืนค่าประจุรวมในR : $${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

ถ้าตัวนำประจุทั้งหมดมีประจุq เท่ากัน (สำหรับอิเล็กตรอนq = − eซึ่งเป็นประจุของอิเล็กตรอน ) ความหนาแน่นของประจุสามารถแสดงได้โดยใช้จำนวนตัวนำประจุต่อหน่วยปริมาตรn ( r ) โดย $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

สมการที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับความหนาแน่นประจุเชิงเส้นและความหนาแน่นประจุบนพื้นผิว

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษความยาวของส่วนของลวดขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกตเนื่องจากการหดตัวของความยาวดังนั้นความหนาแน่นของประจุจึงขึ้นอยู่กับความเร็วด้วยแอนโทนี เฟรนช์^{[ 7 ]} ได้อธิบายว่า แรง สนามแม่เหล็กของลวดที่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านเกิดขึ้นจากความหนาแน่นของประจุสัมพัทธ์นี้ เขาใช้ (หน้า 260) แผนภาพมินคอฟสกีเพื่อแสดง "ว่าลวดที่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านที่เป็นกลางปรากฏว่ามีความหนาแน่นของประจุสุทธิเมื่อสังเกตในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่" เมื่อวัดความหนาแน่นของประจุในกรอบอ้างอิง ที่เคลื่อนที่ จะเรียกว่าความ หนาแน่นของประจุ ที่แท้จริง^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

ปรากฏว่าความหนาแน่นประจุρและความหนาแน่นกระแสJแปลงรูปไปด้วยกันเป็น เวกเตอร์ กระแสสี่มิติภายใต้การแปลงลอเรนซ์

ในกลศาสตร์ควอนตัม_ความหนาแน่นประจุρqเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคลื่นψ ( r ) โดยสมการที่qคือประจุของอนุภาค และ| ψ ( r ) | ^² = ψ *( r ) ψ ( r )คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น กล่าวคือ ความน่าจะเป็นต่อหน่วยปริมาตรของอนุภาคที่ตำแหน่งrเมื่อฟังก์ชันคลื่นถูกทำให้เป็นมาตรฐาน ประจุเฉลี่ยในบริเวณr ∈ Rคือโดยที่d³rคือการวัดการอินทิเกรตเหนือปริภูมิตำแหน่ง 3 ^มิติ$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$$${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

สำหรับระบบของเฟอร์มิออนที่เหมือนกัน ความหนาแน่นของจำนวนจะกำหนดโดยผลรวมของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแต่ละอนุภาคใน:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

โดยใช้เงื่อนไขสมมาตร: โดยที่ถือเป็นความหนาแน่นของประจุ $${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

พลังงานศักยภาพของระบบเขียนได้ดังนี้: ดังนั้น พลังงานการผลักกันระหว่างอิเล็กตรอนจึงได้มาภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ดังนี้: โปรดทราบว่านี่ไม่รวมพลังงานการแลกเปลี่ยนของระบบ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมล้วนๆ และต้องคำนวณแยกต่างหาก $${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

จากนั้น พลังงานจะถูกคำนวณโดยใช้วิธี Hartree-Fock ดังนี้:

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

โดยที่Iคือพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพของอิเล็กตรอนเนื่องจากประจุบวกJคือพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอน และKคือพลังงานแลกเปลี่ยนของอิเล็กตรอน^{[ 11 ] [ 12 ]}

ความหนาแน่นของประจุปรากฏในสมการความต่อเนื่องของกระแสไฟฟ้า และในสมการของแม็กซ์เวลล์ ด้วย มันเป็นเทอมแหล่งกำเนิดหลักของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเมื่อการกระจายประจุเคลื่อนที่ สิ่งนี้จะสอดคล้องกับความหนาแน่นของกระแสความหนาแน่นของประจุของโมเลกุลส่งผลกระทบต่อกระบวนการทางเคมีและการแยกสาร ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นของประจุมีอิทธิพลต่อพันธะโลหะ-โลหะและพันธะไฮโดรเจน [ ^{13 ] สำหรับ} กระบวนการแยกสาร เช่นนาโนฟิลเตรชันความหนาแน่นของประจุของไอออนมีอิทธิพลต่อการปฏิเสธของไอออนโดยเมมเบรน^{[ 14 ]}

• สมการความต่อเนื่องที่เชื่อมโยงความหนาแน่นประจุและความหนาแน่นกระแส
• ศักย์ไอออน
• คลื่นความหนาแน่นประจุ

• เอ. ฮัลเปอร์น (1988). 3000 โจทย์พร้อมเฉลยในวิชาฟิสิกส์ . ชุดหนังสือชอม, แมคกรอว์ฮิลล์. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). คู่มือสูตรฟิสิกส์เคมบริดจ์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler, G. Mosca (2008). ฟิสิกส์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร - พร้อมด้วยฟิสิกส์สมัยใหม่ (ฉบับที่ 6). Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). สารานุกรมฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ VHC. ISBN 978-0-89573-752-6.
• ซีบี พาร์คเกอร์ (1994). สารานุกรมฟิสิกส์ของแมคกรอว์ฮิลล์ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ VHC. ISBN 978-0-07-051400-3.

• [1] - การกระจายประจุเชิงพื้นที่