Theodore Frankel (17 มิถุนายน พ.ศ. 2462 – 5 สิงหาคม พ.ศ. 2560) ^{[ 1 ]}เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้นำเสนอทฤษฎีบท Andreotti–FrankelและสมมติฐานFrankel

แฟรงเคิลได้รับปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ในปี 1955 อาจารย์ที่ปรึกษาปริญญาเอกของเขาคือฮาร์ลีย์ แฟลนเดอร์ส^{[ 2 ]} แฟรงเคิลเป็น ศาสตราจารย์กิตติคุณด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโกและเป็นสมาชิกมานานของสถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูงในพรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์เขาเป็นที่รู้จักจากผลงานด้านเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทั่วโลกทฤษฎีมอร์สและทฤษฎีสัมพัทธภาพเขาเข้าร่วมภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโกในปี 1965 หลังจากดำรงตำแหน่งอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดและมหาวิทยาลัยบราวน์

ในช่วงทศวรรษ 1930 จอห์น ซิงจ์ได้สร้างสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของซิงจ์โดยการประยุกต์ใช้สูตรการแปรผันที่สองสำหรับความยาวส่วนโค้งกับลูปขั้นต่ำ แฟรงเคิลได้ปรับวิธีการของซิงจ์ให้เข้ากับวัตถุที่มีมิติสูงกว่า ผลที่ตามมาคือ เขาสามารถพิสูจน์ได้ว่า เมื่อกำหนดเมตริกแบบรีมันน์ที่ มีความโค้งเป็นบวก บนแมนิโฟลด์ปิด ซับ แมนิโฟลด์แบบกระชับ สองอันใดๆ ที่ เป็นจีโอเดสิ กโดยสมบูรณ์จะต้องตัดกันหากมิติของพวกมันมีขนาดใหญ่พอ แนวคิดคือการประยุกต์ใช้วิธีการของซิงจ์กับจีโอเดสิกที่เล็กที่สุดระหว่างซับแมนิโฟลด์ทั้งสอง ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ แฟรงเคิลได้พิสูจน์ว่าซับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ที่ มีความโค้งเป็นบวก จะต้องตัดกันหากมิติของพวกมันมีขนาดใหญ่พอ ผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมในภายหลังโดยซามูเอล โกลด์เบิร์กและโชชิจิ โคบายาชิเพื่อให้ความโค้งแบบแบ่งครึ่งโฮโลมอร์ฟิกเป็นบวก^{[ 3 ]}

ได้รับแรงบันดาลใจจากงานของRené Thom , Frankel และAldo Andreottiได้ให้การพิสูจน์ใหม่ของทฤษฎีบทระนาบไฮเปอร์ของ Lefschetz โดย ใช้ทฤษฎี Morseแก่นสำคัญของการโต้แย้งคือข้อเท็จจริงทางพีชคณิตที่ว่าค่าลักษณะเฉพาะของส่วนจริงของรูปแบบกำลังสอง เชิงซ้อน จะต้องปรากฏเป็นคู่ในรูปแบบ± zสิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องในบริบทของทฤษฎีบทของ Lefschetz โดยพิจารณาฟังก์ชัน Morse ที่กำหนดโดยระยะห่างไปยังจุดคงที่ การวิเคราะห์อันดับสองที่จุดวิกฤตได้รับความช่วยเหลือทันทีจากการวิเคราะห์ทางพีชคณิตข้างต้น และปรากฏการณ์การหายไปของโฮโมโลยีเป็นไปตามอสมการ Morse ^{[ 4 ]}

เมื่อกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ Killingซึ่งกลุ่มไอโซเมตรีหนึ่งพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันกระทำโดยการแมปโฮโลมอร์ฟิก Frankel ใช้สูตร Cartanเพื่อแสดงว่าผลคูณภายในของฟิลด์เวกเตอร์กับฟอร์ม Kähler ปิด สมมติว่าจำนวน Betti ตัวแรก เป็นศูนย์ทฤษฎีบท de Rhamสามารถนำมาใช้สร้างฟังก์ชันที่มีจุดวิกฤตตรงกับศูนย์ของฟิลด์เวกเตอร์ การวิเคราะห์อันดับสองที่จุดวิกฤตแสดงให้เห็นว่าเซตของศูนย์ของฟิลด์เวกเตอร์เป็นแมนิโฟลด์วิกฤตที่ไม่เสื่อมสภาพสำหรับฟังก์ชัน ตาม การพัฒนาทฤษฎี Morse สำหรับแมนิโฟลด์วิกฤตของ Raoul Bott Frankel สามารถสร้างได้ว่าจำนวน Betti ของแมนิโฟลด์ถูกเข้ารหัสอย่างสมบูรณ์โดยจำนวน Betti ของแมนิโฟลด์วิกฤต พร้อมกับดัชนีของฟังก์ชัน Morse ของเขาตามแมนิโฟลด์เหล่านี้ แนวคิดเหล่านี้ของ Frankel มีความสำคัญในภายหลังสำหรับงานของMichael AtiyahและNigel Hitchinเป็นต้น^{[ 5 ] [ 6 ]}

บทความ

• Andreotti, Aldo ; Frankel, Theodore (1959). "ทฤษฎีบท Lefschetz บนส่วนตัดระนาบไฮเปอร์". Annals of Mathematics . ชุดที่สอง. 69 (3): 713– 717. doi : 10.2307/1970034 . JSTOR 1970034 . MR 0177422 . Zbl 0115.38405 .   
• Frankel, Theodore (1959). "จุดตรึงและแรงบิดบนแมนิโฟลด์ Kähler". Annals of Mathematics . ชุดที่สอง. 70 (1): 1– 8. doi : 10.2307/1969889 . JSTOR 1969889 . MR 0131883 . Zbl 0088.38002 .   
• Frankel, Theodore (1961). "Manifolds with positive curvature" . Pacific Journal of Mathematics . 11 (1): 165– 174. doi : 10.2140/pjm.1961.11.165 . MR 0123272 . Zbl 0107.39002 .  

ตำราเรียน

• แฟรงเคิล, ธีโอดอร์ (1979). ความโค้งของแรงโน้มถ่วง บทนำสู่ทฤษฎีของไอน์สไตน์ซานฟรานซิสโก: WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-1062-5. คุณ0518868 . สบีแอล0427.53009 .  ^{[ 7 ]}
• แฟรงเคิล, ธีโอดอร์ (2011) [ตีพิมพ์ครั้งแรก 1997] เรขาคณิตของฟิสิกส์: บทนำ (ฉบับที่สาม) เคมบริดจ์: สำนัก พิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์doi : 10.1017/CBO9781139061377 ISBN 978-1-107-60260-1. คุณ2884939 . ซบแอล1250.58001 .