ในระบบไม่เชิงเส้นสมการสามคลื่นซึ่งบางครั้งเรียกว่าสมการปฏิสัมพันธ์แบบเรโซแนนซ์สามคลื่นหรือเรโซแนนซ์ไตรแอด อธิบาย คลื่นแอมพลิจูดขนาดเล็ก ใน ตัวกลางไม่เชิงเส้นหลากหลายชนิดรวมถึงคลื่นน้ำในน้ำตื้นคลื่นคาปิลลารีการเชื่อมโยงของคลื่นเสียงในเขตชายฝั่งคลื่นเสียงในพลาสมาการสั่นในวงจรไฟฟ้าและในทัศนศาสตร์ไม่เชิงเส้น สมการ เหล่านี้เป็นชุดของ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิง เส้น สาม สมการที่สามารถหา คำ ตอบ ได้อย่างสมบูรณ์

สมการคลื่นสามลูกแสดงถึงแบบจำลองเชิงกำหนดพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลัง ทฤษฎี ความปั่นป่วนของคลื่นและทำหน้าที่เป็นตัวอย่างเชิงแบบอย่างของการปฏิสัมพันธ์แบบเรโซแนนซ์ในตัวกลางแบบกระจายตัว สม การเหล่านี้ เกิดขึ้นเมื่อคลื่นสามลูกที่มีเวกเตอร์คลื่น , , และเป็นไปตามเงื่อนไขเรโซแนนซ์ (โดยทั่วไปแสดงในรูป) และเงื่อนไขการจับคู่ความถี่โดยที่แสดงถึงความถี่เชิงมุมของส่วนประกอบคลื่นแต่ละส่วน การปฏิสัมพันธ์แบบไตรภาคเรโซแนนซ์เหล่านี้ช่วยให้การถ่ายโอนพลังงานระหว่างโหมดคลื่นทั้งสามมีประสิทธิภาพ ${\displaystyle {\vec {k}__{1}}$${\displaystyle {\vec {k}__{2}}$${\displaystyle {\vec {k}__{3}}$${\displaystyle {\vec {k}__{1}={\vec {k}__{2}+{\vec {k}__{3}}$${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}+\omega _{3}}$${\displaystyle \omega _{i}}$

เนื่องจาก สมการสามคลื่นเป็นตัวอย่างโดยตรงและจัดการได้ของการปฏิสัมพันธ์ของคลื่นเรโซแนนซ์ มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในวิทยาศาสตร์กายภาพ และมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งคือ ความสามารถ ในการหาคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ จึงได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางตั้งแต่ทศวรรษ 1970 ^{[ 1 ]}ความสามารถในการหาคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ทำให้สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำได้โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่นการแปลงการกระเจิงผกผันทำให้สมการเหล่านี้เป็นรากฐานสำคัญในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของระบบที่สามารถหาคำตอบได้อย่างสมบูรณ์และในการศึกษา ปรากฏการณ์คล้าย โซลิตอน สมการเหล่านี้ยังมีบทบาทสำคัญในการพัฒนา สูตร แฮมิลโทเนียนของพลศาสตร์ของคลื่นและในการพัฒนาความเข้าใจเกี่ยวกับการถ่ายโอนพลังงานในระบบคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นอย่างอ่อน

สมการสามคลื่นเกิดขึ้นจากการพิจารณาระบบไม่เชิงเส้น ที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ระบบเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีรูปแบบทั่วไปดังนี้

${\displaystyle D\psi =\แลมบ์ดา \psi }$

สำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ บางตัว การขยายแบบไม่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุดของสิ่งนี้คือการเขียน ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.}$

จะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? มีหลายแนวทาง ในบางกรณีพิเศษ อาจมีคำตอบที่แน่นอนสำหรับสมการในรูปแบบนี้อยู่แล้ว โดยทั่วไปแล้ว คำตอบเหล่านี้จะถูกค้นพบใน ลักษณะ เฉพาะกิจหลังจากใช้สมมติฐาน บางอย่าง แนวทางที่สองคือการสมมติว่าและใช้ ทฤษฎีการรบกวนเพื่อหา "การแก้ไข" สำหรับทฤษฎีเชิงเส้น แนวทางที่สามคือการใช้เทคนิคจาก ทฤษฎี เมทริกซ์การกระเจิง ( S-matrix ) ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

ในแนวทางเมทริกซ์ S นั้น เราพิจารณาอนุภาคหรือคลื่นระนาบที่เข้ามาจากระยะอนันต์ เกิดปฏิสัมพันธ์ แล้วเคลื่อนที่ออกไปสู่ระยะอนันต์ นับจากศูนย์ กรณีศูนย์อนุภาคจะสอดคล้องกับสุญญากาศซึ่งประกอบด้วยพื้นหลังทั้งหมด กรณีหนึ่งอนุภาคคือคลื่นที่เข้ามาจากอดีตอันไกลโพ้นแล้วหายไปในอากาศ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อพื้นหลังดูดซับ ลดทอน หรือกระจายพลังงานหรืออีกทางหนึ่ง คลื่นปรากฏขึ้นจากอากาศและเคลื่อนที่ออกไป สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อพื้นหลังไม่เสถียรและสร้างคลื่น เรากล่าวว่าระบบนั้น " แผ่รังสี " กรณีสองอนุภาคประกอบด้วยอนุภาคที่เข้ามาแล้วออกไป กรณีนี้เหมาะสมเมื่อพื้นหลังไม่สม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น คลื่นระนาบเสียงเข้ามา กระจายจากเรือดำน้ำ ของศัตรู แล้วเคลื่อนที่ออกไปสู่ระยะอนันต์ โดยการวิเคราะห์คลื่นที่ออกไปอย่างละเอียด เราสามารถอนุมานลักษณะของความไม่สม่ำเสมอในเชิงพื้นที่ได้ ยังมีอีกสองความเป็นไปได้ คือการสร้างคู่คลื่นและการทำลายคู่คลื่นในกรณีนี้ คู่คลื่นจะถูกสร้างขึ้น "จากอากาศธาตุ" (โดยการปฏิสัมพันธ์กับพื้นหลังบางอย่าง) หรือหายไปในอากาศธาตุ

ลำดับถัดไปในหัวข้อนี้คือปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคสามตัว มันมีความพิเศษตรงที่ไม่ต้องการพื้นหลังหรือสุญญากาศที่มีปฏิสัมพันธ์ใดๆ และมันก็ไม่ได้ "น่าเบื่อ" ในแง่ของคลื่นระนาบที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ในพื้นหลังที่เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อเขียนสำหรับคลื่นทั้งสามที่เคลื่อนที่จาก/ไปยังอนันต์ ปฏิสัมพันธ์กำลังสองที่ง่ายที่สุดนี้จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}}$

${\displaystyle (D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

และการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของมัน รูปแบบทั่วไปนี้สามารถเรียกว่าสมการสามคลื่นได้ รูปแบบเฉพาะจะแสดงไว้ด้านล่าง จุดสำคัญคือปฏิสัมพันธ์แบบเรโซแนนซ์กำลังสองทั้งหมดสามารถเขียนได้ในรูปแบบนี้ (โดยมีข้อสมมติที่เหมาะสม) สำหรับระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพลังงานเราอาจเขียนได้ว่า ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (Di\บางส่วน /\บางส่วน t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

สำหรับเวอร์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลา

ในทางทฤษฎี สมการสามคลื่นคือ

${\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

โดยที่cyclic คือความเร็วกลุ่มสำหรับคลื่นที่มีเวกเตอร์คลื่นและความถี่เชิงมุมและเกรเดียนต์ซึ่งพิจารณาในปริภูมิยูคลิด แบบแบน ในมิติnคือสัมประสิทธิ์การปฏิสัมพันธ์ โดยการปรับขนาดคลื่นใหม่ พวกมันสามารถเป็นได้โดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบ cyclicมีโซลูชันสี่ประเภท การเขียนหนึ่งจะได้ ทั้งหมดเทียบเท่ากันภายใต้การเรียงสับเปลี่ยน ในมิติ 1+1 มีโซลูชันที่แตกต่างกันสามแบบ ได้แก่โซลูชันที่เรียกว่าexplosiveกรณีที่เรียกว่าstimulated backscatterและกรณีที่เรียกว่าsoliton exchangeสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับกระบวนการทางกายภาพที่แตกต่างกันมาก^{[ 2 ] [ 3 ]}โซลูชันที่น่าสนใจอย่างหนึ่งเรียกว่าsimultonซึ่งประกอบด้วยโซลิตอนสามตัวที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกันด้วยความเร็วvที่แตกต่างจากความเร็วกลุ่มทั้งสามโซลูชันนี้อาจมีความสัมพันธ์กับ "สามพี่น้อง" ที่สังเกตได้ในคลื่นประหลาดแม้ว่าน้ำลึกจะไม่มีปฏิสัมพันธ์แบบเรโซแนนซ์สามคลื่นก็ตาม ${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle {\vec {k}__{j},\omega _{j}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \eta _{j}}$${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$${\displaystyle \eta =\pm 1}$${\displaystyle \eta =-1}$${\displaystyle \eta =+1}$${\displaystyle +++}$${\displaystyle --+}$${\displaystyle -+-}$${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$

บันทึกการบรรยายของ Harvey Segur ให้ข้อมูลเบื้องต้น^{[ 4 ]}

สมการมีคู่ Laxและจึงสามารถ อินทิเกรต ได้อย่างสมบูรณ์^{[ 1 ] [ 5 ]}คู่ Lax เป็นคู่เมทริกซ์ 3x3 ซึ่งสามารถใช้วิธีการกระเจิงผกผันได้ โดยใช้เทคนิค ของFokas ^{[ 6 ] [ 7 ]}กลุ่มของคำตอบที่สม่ำเสมอในเชิงพื้นที่เป็นที่รู้จัก ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชัน ℘-วงรีของ Weierstrass ^{[ 8 ]} ความสัมพันธ์ปฏิสัมพันธ์ แบบเรโซแนนซ์ในกรณีนี้เรียกว่าความสัมพันธ์ Manley–Roweตัวแปรคงที่ที่อธิบายนั้นสัมพันธ์กับตัวแปรคงที่แบบโมดูลาร์ได้ง่าย[ 9 ^{]การปรากฏ} ของสิ่งเหล่านี้อาจไม่น่าแปลกใจนัก เนื่องจากมีข้อโต้แย้งเชิงสัญชาตญาณที่ง่าย การลบเวกเตอร์คลื่นหนึ่งตัวออกจากอีกสองตัว จะเหลือเวกเตอร์สองตัวที่สร้างโครงข่ายคาบ ตำแหน่งสัมพัทธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์สองตัวกำหนดโดยตัวแปรคงที่ j ของ Klein ดังนั้นจึงควรคาดหวังว่าคำตอบจะถูกกำหนดลักษณะโดยสิ่งนี้ ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}.}$

ทราบวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำหลากหลายวิธีสำหรับเงื่อนไขขอบเขตต่างๆ^{[ 10 ]}เมื่อเร็วๆ นี้ได้มีการให้ "วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเกือบทั้งหมด" สำหรับสมการ PDE แบบไม่เชิงเส้นเต็มรูปแบบสำหรับสมการสามคลื่น โดยแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันห้าฟังก์ชันที่สามารถเลือกได้อย่างอิสระ และอนุกรมลอเรนต์สำหรับพารามิเตอร์ที่หก^{[ 8 ] [ 9 ]}

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สมการสามคลื่นที่เลือกมาบางส่วน ได้แก่:

• ในทัศนศาสตร์แบบไม่เชิงเส้นเลเซอร์ที่ปรับได้ซึ่งครอบคลุมสเปกตรัมความถี่กว้างสามารถสร้างได้โดยการผสมคลื่นสามคลื่นแบบพาราเมตริกในผลึกไม่เชิง เส้นกำลังสอง ( ) ^{[ 11 ]}${\displaystyle \chi ^{(2)}}$
• คลื่นเสียงพื้นผิวและในเครื่องขยายสัญญาณพาราเมตริกอิเล็กทรอนิกส์
• คลื่นในน้ำลึกโดยตัวมันเองไม่ได้มีการปฏิสัมพันธ์แบบสามคลื่น แต่ในหลายสถานการณ์กลับหลีกเลี่ยงปฏิสัมพันธ์ดังกล่าวได้:
  • คลื่นคาปิลลารีน้ำลึกอธิบายได้ด้วยสมการสามคลื่น^{[ 4 ]}
  • คลื่นเสียงจะเชื่อมต่อกับคลื่นน้ำลึกในปฏิสัมพันธ์สามคลื่น^{[ 12 ]}
  • คลื่นความหมุนวนจับคู่กันในรูปแบบสามเหลี่ยม
  • กระแสไฟฟ้าสม่ำเสมอ (ซึ่งจำเป็นต้องไม่สม่ำเสมอในเชิงพื้นที่ตามความลึก) มีปฏิสัมพันธ์แบบไตรภาค

กรณีเหล่านี้ทั้งหมดสามารถอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติด้วยสมการสามคลื่น

• ในฟิสิกส์พลาสมาสมการสามคลื่นอธิบายการเชื่อมต่อในพลาสมา^{[ 13 ]}