วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 6 นาที

หมายเลขออโตมอร์ฟิก

ในทางคณิตศาสตร์จำนวนออโตมอร์ฟิก (บางครั้งเรียกว่าจำนวนวงกลม ) คือจำนวนธรรมชาติในระบบเลขฐาน ที่กำหนดให้ข{\displaystyle b}ซึ่ง กำลังสองของตัวเลขนั้น"ลงท้าย"...

หมายเลขออโตมอร์ฟิก

ในทางคณิตศาสตร์จำนวนออโตมอร์ฟิก (บางครั้งเรียกว่าจำนวนวงกลม ) คือจำนวนธรรมชาติในระบบเลขฐาน ที่กำหนดให้ข{\displaystyle b}ซึ่ง กำลังสองของตัวเลขนั้น"ลงท้าย" ด้วยตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขนั้นเอง

คำจำกัดความและคุณสมบัติ

กำหนดฐานจำนวนข{\displaystyle b}จำนวนธรรมชาติn{\displaystyle n}กับเค{\displaystyle k}digits เป็นจำนวนอัตโนมัติถ้าn{\displaystyle n}เป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันพหุนามเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}เกินซ/ขเคซ{\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }วงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลขเค{\displaystyle b^{k}}. ในฐานะที่เป็นลิมิตผกผันของซ/ขเคซ{\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }เป็นซข{\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}แหวนของข{\displaystyle b}จำนวนเต็ม -adicและจำนวนอัตโนมัติถูกใช้เพื่อค้นหาการแสดงเชิงตัวเลขของจุดตรึงของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}เกินซข{\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}.

ตัวอย่างเช่น กับข=10{\displaystyle b=10}มีจุดคงที่ 10-adic สี่จุดของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}โดย 10 หลักสุดท้ายคือ:

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}
…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}
…8212890625{\displaystyle \ldots 8212890625}(ลำดับA018247ในOEIS )
…1787109376{\displaystyle \ldots 1787109376}(ลำดับA018248ในOEIS )

ดังนั้น จำนวนอัตโนมัติในฐาน 10คือ 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... ( ลำดับA003226ในOEIS )

จุดคงที่ของเอฟ(x){\displaystyle f(x)}เป็นค่าศูนย์ของฟังก์ชันจี(x)=เอฟ(x)−x{\displaystyle g(x)=f(x)-x}ในวงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลข{\displaystyle b}มีอยู่2ω(ข){\displaystyle 2^{\โอเมก้า (b)}}ศูนย์ถึงจี(x)=x2−x{\displaystyle g(x)=x^{2}-x}โดยที่ฟังก์ชันโอเมกาหลักω(ข){\displaystyle \omega (b)}คือจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ที่แตกต่างกัน ในข{\displaystyle b}องค์ประกอบหนึ่งx{\displaystyle x}ในซ/ขซ{\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }เป็นศูนย์ของจี(x)=x2−x{\displaystyle g(x)=x^{2}-x}ก็ต่อเมื่อx≡0ม็อดพีวีพี(ข){\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}หรือx≡1ม็อดพีวีพี(ข){\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}สำหรับทุกคนพี|ข{\displaystyle p|b}เนื่องจากมีค่าที่เป็นไปได้สองค่าใน{0,1}{\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }และมีอยู่ω(ข){\displaystyle \omega (b)}เช่นพี|ข{\displaystyle p|b}มีอยู่2ω(ข){\displaystyle 2^{\โอเมก้า (b)}}ศูนย์ของจี(x)=x2−x{\displaystyle g(x)=x^{2}-x}และด้วยเหตุนี้จึงมี2ω(ข){\displaystyle 2^{\โอเมก้า (b)}}จุดคงที่ของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}ตามทฤษฎีบทของเฮนเซลถ้ามีเค{\displaystyle k}ศูนย์หรือจุดคงที่ของฟังก์ชันพหุนามมอดูลัสข{\displaystyle b}แล้วก็มีเค{\displaystyle k}ศูนย์ที่สอดคล้องกันหรือจุดคงที่ของฟังก์ชันเดียวกันมอดูโลกำลังใดๆ ของข{\displaystyle b}และสิ่งนี้ยังคงเป็นจริงในลิมิตผกผันดังนั้น ในฐานใดๆ ก็ตามข{\displaystyle b}มีอยู่2ω(ข){\displaystyle 2^{\โอเมก้า (b)}}ข{\displaystyle b}จุดคงที่ -adic ของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}.

เนื่องจาก 0 เป็นตัวหารศูนย์ เสมอ ดังนั้น 0 และ 1 จึงเป็นจุดคงที่ของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}และ 0 กับ 1 เป็นจำนวนออโตมอร์ฟิกในทุกฐาน คำตอบเหล่านี้เรียกว่าจำนวนออโตมอร์ฟิกแบบไม่สำคัญถ้าข{\displaystyle b}เป็นกำลังหลักจากนั้นวงแหวนของข{\displaystyle b}จำนวน -adic ไม่มีตัวหารศูนย์อื่นนอกจาก 0 ดังนั้นจุดคงที่เพียงจุดเดียวของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}คือ 0 และ 1 ดังนั้นจำนวนอัตโนมัติที่ไม่ใช่จำนวนศูนย์ซึ่งไม่ใช่ 0 และ 1 จะมีอยู่ได้ก็ต่อเมื่อฐานเป็น 0 และ 1 เท่านั้นข{\displaystyle b}มีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองตัว

จำนวนอัตโนมัติในฐานb

ทั้งหมดข{\displaystyle b}เลข -adic แสดงอยู่ในฐานข{\displaystyle b}โดยใช้ตัวอักษร A-Z แทนค่าตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 35

ข{\displaystyle b}ปัจจัยหลักของข{\displaystyle b}จุดคงที่ในซ/ขซ{\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }ของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}ข{\displaystyle b}จุดคงที่ -adic ของเอฟ(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}จำนวนอัตโนมัติในฐานข{\displaystyle b}
62, 30, 1, 3, 4

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}

…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}

…2221350213{\displaystyle \ldots 2221350213}

…3334205344{\displaystyle \ldots 3334205344}

0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...

102, 50, 1, 5, 6

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}

…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}

…8212890625{\displaystyle \ldots 8212890625}

…1787109376{\displaystyle \ldots 1787109376}

0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
122, 30, 1, 4, 9

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}

…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}

…21บี61บี3854{\displaystyle \ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854}

…9เอ05เอ08369{\displaystyle \ldots 9{\text{A}}05{\text{A}}08369}

0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369, ...
142, 70, 1, 7, 8

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}

…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}

…7337เอเอ0ซี37{\displaystyle \ldots 7337{\text{A}}{\text{A}}0{\text{C}}37}

…6เอเอ633ดี1เอ8{\displaystyle \ldots 6{\text{A}}{\text{A}}633{\text{D}}1{\text{A}}8}

0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA633D1A8, 7337AA0C37, ...
153, 50, 1, 6, 10

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}

…0000000001{\displaystyle \ldots 0000000001}

…624ดี4บีดีเอ86{\displaystyle \ldots 624{\text{D}}4{\text{B}}{\text{D}}{\text{A}}86}

…8ซีเอ1เอ3146เอ{\displaystyle \ldots 8{\text{C}}{\text{A}}1{\text{A}}3146{\text{A}}}

0, 1, 6, มี, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA1A3146A, ...
182, 30, 1, 9, 10

...000000

...000001

...4E1249

...D3GFDA

202, 50, 1, 5, 16

...000000

...000001

...1AB6B5

...I98D8G

213, 70, 1, 7, 15

...000000

...000001

...86H7G7

...CE3D4F

222, 110, 1, 11, 12

...000000

...000001

...8D185B

...D8KDGC

242, 30, 1, 9, 16

...000000

...000001

...E4D0L9

...9ม.ค.2จี

262, 130, 1, 13, 14

...0000

...0001

...1G6D

...O9JE

282, 70, 1, 8, 21

...0000

...0001

...AAQ8

...เอชเอช1แอล

302, 3, 50, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25

...0000

...0001

...บี2เจ6

...H13A

...1Q7F

...เอส3เอ็มจี

...ซีซีแอลเอส

...IRAP

333, 110, 1, 12, 22

...0000

...0001

...1KPM

...VC7C

342, 170, 1, 17, 18

...0000

...0001

...248 ชั่วโมง

...วีทีพีไอ

355, 70, 1, 15, 21

...0000

...0001

...5MXL

...TC1F

362, 30, 1, 9, 28

...0000

...0001

...DN29

...เอ็มซีเอ็กซ์เอส

ส่วนขยาย

จำนวนออโตมอร์ฟิกสามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี ดังกล่าวได้n{\displaystyle n}เอฟ(x)=∑ฉัน=0nเอฉันxฉัน{\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}ด้วยสัมประสิทธิ์b -adicเอฉัน{\displaystyle a_{i}}จำนวนอัตโนมัติทั่วไปเหล่านี้ก่อตัวเป็นโครงสร้างแบบต้นไม้

เลขออโตมอร์ฟิก

หนึ่งเอ{\displaystyle a}- จำนวนอัตโนมัติเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันพหุนามเป็นเอฟ(x)=เอx2{\displaystyle f(x)=ax^{2}}

ตัวอย่างเช่น กับข=10{\displaystyle b=10}และเอ=2{\displaystyle a=2}เนื่องจากมีจุดคงที่สองจุดสำหรับเอฟ(x)=2x2{\displaystyle f(x)=2x^{2}}ในซ/10ซ{\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }(x=0{\displaystyle x=0}และx=8{\displaystyle x=8}ตามทฤษฎีบทของเฮนเซลมีจุดตรึง 10-adic สองจุดสำหรับเอฟ(x)=2x2{\displaystyle f(x)=2x^{2}},

…0000000000{\displaystyle \ldots 0000000000}
…0893554688{\displaystyle \ldots 0893554688}

ดังนั้นจำนวน 2-automorphic ในฐาน 10 คือ 0, 8, 88, 688, 4688...

เลขไตรมอร์ฟิก

จำนวนไตรมอร์ฟิกหรือจำนวนทรงกลมเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันพหุนามเป็นเอฟ(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}[ 1 ]จำนวนอัตโนมัติทั้งหมดเป็นจำนวนไตรมอร์ฟิก คำว่าวงกลมและทรงกลมเคยใช้สำหรับกรณีที่แตกต่างกันเล็กน้อยของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังทั้งหมดมีหลักสุดท้ายเหมือนกับตัวเลขนั้นเอง[ 2 ]

สำหรับฐานข=10{\displaystyle b=10}ตัวเลขไตรมอร์ฟิกมีดังนี้:

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (ลำดับA033819ในOEIS )

สำหรับฐานข=12{\displaystyle b=12}ตัวเลขไตรมอร์ฟิกมีดังนี้:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, บี, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

ตัวอย่างการเขียนโปรแกรม

def hensels_lemma ( polynomial_function , base : int , power : int ) -> list [ int ]: """Hensel's lemma.""" if power == 0 : return [ 0 ] if power > 0 : roots = hensels_lemma ( polynomial_function , base , power - 1 ) new_roots = [] for root in roots : for i in range ( 0 , base ): new_i = i * base ** ( power - 1 ) + root new_root = polynomial_function ( new_i ) % pow ( base , power ) if new_root == 0 : new_roots . append ( new_i ) return new_rootsฐาน= 10 หลัก= 10def automorphic_polynomial ( x : int ) -> int : return x ** 2 - xสำหรับi ในช่วง( 1 , digits + 1 ): พิมพ์( hensels_lemma ( automorphic_polynomial , base , i ))

ดูเพิ่มเติม

ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Automorphic_number&oldid=1287067229#Trimorphic_numbers "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ หมายเลขออโตมอร์ฟิก

ในทางคณิตศาสตร์จำนวนออโตมอร์ฟิก (บางครั้งเรียกว่าจำนวนวงกลม ) คือจำนวนธรรมชาติในระบบเลขฐาน ที่กำหนดให้ข{\displaystyle b}ซึ่ง กำลังสองของตัวเลขนั้น"ลงท้าย"...

คำจำกัดความและคุณสมบัติ

กำหนดฐานจำนวน ข {\displaystyle b} จำนวนธรรมชาติ n {\displaystyle n} กับ เค {\displaystyle k} digits เป็น จำนวนอัตโนมัติ ถ้า n {\displaystyle n} เป็น จุดคงที่ ของ ฟังก์ชันพหุนาม เอฟ ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} เกิน ซ / ข เค ซ {\displaystyle \mathbb...

จำนวนอัตโนมัติในฐาน b

ทั้งหมด ข {\displaystyle b} เลข -adic แสดงอยู่ในฐาน ข {\displaystyle b} โดยใช้ตัวอักษร A-Z แทนค่าตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 35

ส่วนขยาย

จำนวนออโตมอร์ฟิกสามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันพหุนามใดๆ ที่มี ดีกรี ดังกล่าวได้ n {\displaystyle n} เอฟ ( x ) = ∑ ฉัน = 0 n เอ ฉัน x ฉัน {\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}} ด้วยสัมประสิทธิ์ b -adic เอ ฉัน {\displaystyle a_{i}}...