การทดสอบtของนักเรียนแบบหนึ่งตัวอย่างเป็นการทดสอบตำแหน่งว่าค่าเฉลี่ยของประชากรมีค่าตามที่ระบุไว้ในสมมติฐานว่างหรือในการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรเท่ากับค่าที่กำหนดμ₀นั้น จะใช้สถิติ

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {x}}}$μ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างและnคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างจำนวนองศาอิสระที่ใช้ในการทดสอบนี้คือn  −  1แม้ว่าประชากรหลักไม่จำเป็นต้องมีการกระจายแบบปกติ แต่การกระจายของค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่างนั้นจำเป็นต้องมีการแจกแจงแบบปกติ${\displaystyle {\bar {x}}}$ถือว่าปกติ

ตามทฤษฎีบทลิมิตกลางถ้าการสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกันและโมเมนต์อันดับสองมีอยู่จริงแล้ว${\displaystyle t}$จะอยู่ในระดับปกติโดยประมาณ${\textstyle {\คณิตศาสตร์ {N}}(0,1)}$นี่เป็นเพียงการประมาณค่าเท่านั้น เนื่องจากทฤษฎีบทลิมิตกลางจะใช้ได้กับt ก็ต่อเมื่อsคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงของxในขณะที่ s คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่างเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงนั้นไม่เป็นที่ทราบ ดังนั้นtจึงมีการแจกแจงแบบ t ของ Student ในเชิงอะซิปโทติก

การทดสอบตำแหน่งสองตัวอย่างของสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มเท่ากัน การทดสอบดังกล่าวทั้งหมดมักเรียกว่าการทดสอบtของนักเรียนแม้ว่าในทางเทคนิคแล้วชื่อนั้นควรใช้เฉพาะในกรณีที่ ถือว่า ความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากันด้วย รูปแบบของการทดสอบที่ใช้เมื่อไม่ยึดถือสมมติฐานนี้บางครั้งเรียกว่าการทดสอบtของเวลช์การทดสอบเหล่านี้มักถูกเรียกว่า การทดสอบ t ตัวอย่าง ที่ไม่จับคู่หรือตัวอย่างอิสระ เนื่องจากโดยทั่วไปจะใช้เมื่อหน่วยทางสถิติที่อยู่เบื้องหลังตัวอย่างสองตัวอย่างที่กำลังเปรียบเทียบกันนั้นไม่ทับซ้อนกัน^{[ 14 ]}

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับกลุ่มตัวอย่างอิสระ (กลุ่มตัวอย่างที่ไม่จับคู่) หรือกลุ่มตัวอย่างที่จับคู่ การทดสอบ tแบบจับคู่เป็นรูปแบบหนึ่งของการแบ่งกลุ่มและมีกำลัง (ความน่าจะเป็นในการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดประเภทที่ 2 หรือที่เรียกว่าผลลบเท็จ) มากกว่าการทดสอบที่ไม่จับคู่เมื่อหน่วยที่จับคู่มีความคล้ายคลึงกันในแง่ของ "ปัจจัยรบกวน" (ดูตัวแปรแทรกซ้อน ) ที่เป็นอิสระจากการเป็นสมาชิกในสองกลุ่มที่กำลังเปรียบเทียบ^{[ 15 ]}ในบริบทที่แตกต่างกัน การทดสอบ t แบบจับคู่ สามารถใช้เพื่อลดผลกระทบของปัจจัยแทรกซ้อนในการศึกษาเชิงสังเกตได้

สมมติว่าเรากำลังทำการปรับแบบจำลองให้เหมาะสม

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

โดยที่xทราบค่าแล้วαและβไม่ทราบค่าεเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวนσ² ที่ไม่ทราบค่า และYคือผลลัพธ์ที่สนใจ เราต้องการทดสอบสมมติฐานว่างที่ว่าค่าความชันβเท่ากับค่าที่กำหนดβ₀ ⁰ซึ่งในกรณีนี้สมมติฐานว่างคือxและyไม่มีความสัมพันธ์กัน)

อนุญาต

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{ตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด}}.\end{aligned}}}$

แล้ว

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

มี การแจกแจง แบบ tโดยมี องศาอิสระ n − 2ถ้าสมมติฐานว่างเป็นจริง ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของสัมประสิทธิ์ความชันคือ:

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

สามารถเขียนได้ในรูปของค่าตกค้าง ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{ค่าตกค้าง}}={\text{ค่าความคลาดเคลื่อนที่ประมาณได้}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{ผลรวมของกำลังสองของค่าตกค้าง}}.\end{aligned}}}$

จากนั้นtจะคำนวณได้จาก

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

อีกวิธีหนึ่งในการหาtคือ

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

โดยที่rคือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน

ค่าtสามารถหาได้จาก ค่า t :

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

โดยที่s ²คือค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง

The test^[25] deals with the famous Behrens–Fisher problem, i.e., comparing the difference between the means of two normally distributed populations when the variances of the two populations are not assumed to be equal, based on two independent samples.

The test is developed as an exact test that allows for unequal sample sizes and unequal variances of two populations. The exact property still holds even with extremely small and unbalanced sample sizes (e.g. ${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$ vs. ${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$).

The statistic to test whether the means are different can be calculated as follows:

Let ${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$ and ${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$ be the i.i.d. sample vectors (for ${\displaystyle \ m\geq n\ }$) from ${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$ and ${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$ separately.

Let ${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$ be an ${\displaystyle n\times n}$ orthogonal matrix whose elements of the first row are all ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$ similarly, let ${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$ be the first ${\displaystyle \ n\ }$ rows of an ${\displaystyle \ m\times m\ }$ orthogonal matrix (whose elements of the first row are all ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$).

Then ${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$ is an n-dimensional normal random vector:

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

From the above distribution we see that the first element of the vector Z is

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

hence the first element is distributed as

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

and the squares of the remaining elements of Z are chi-squared distributed

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

and by construction of the orthogonal matricies P and Q we have

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

so Z, the first element of Z, is statistically independent of the remaining elements by orthogonality. Finally, take for the test statistic

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

This test is used when the samples are dependent; that is, when there is only one sample that has been tested twice (repeated measures) or when there are two samples that have been matched or "paired". This is an example of a paired difference test. The t statistic is calculated as

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$และ${\displaystyle s_{D}}$คือค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างคู่ทั้งหมด คู่เหล่านี้อาจเป็นคะแนนก่อนและหลังการทดสอบของบุคคลคนเดียว หรือคู่ของบุคคลที่จับคู่กันเป็นกลุ่มที่มีความหมาย (ตัวอย่างเช่น มาจากครอบครัวเดียวกันหรือกลุ่มอายุเดียวกัน ดูตาราง) ค่าคงที่จะเป็นศูนย์หากเราต้องการทดสอบว่าค่าเฉลี่ยของความแตกต่างนั้นแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ ระดับความเป็นอิสระที่ใช้คือn − 1โดยที่nแทนจำนวนคู่

ตัวอย่างของคู่ที่ตรงกัน คู่ ชื่อ อายุ ทดสอบ 1 จอห์น 35 250 1 เจน 36 340 2 จิมมี่ 22 460 2 เจสซี่ 21 200

ตัวอย่างของการวัดซ้ำ ตัวเลข ชื่อ การทดสอบที่ 1 การทดสอบที่ 2 1 ไมค์ 35% 67% 2 เมลานี 50% 46% 3 เมลิสสา 90% 86% 4 มิทเชลล์ 78% 91%

หากใช้วิธีการคำนวณสำหรับความแปรปรวนที่ไม่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

ค่าสถิติการทดสอบอยู่ที่ประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p -value ของการทดสอบแบบสองด้านเท่ากับ 0.09077

หากใช้วิธีการสำหรับความแปรปรวนที่เท่ากัน (ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

และระดับความเป็นอิสระ

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

ค่าสถิติการทดสอบมีค่าประมาณ 1.959 ซึ่งให้ ค่า p แบบสองด้าน เท่ากับ 0.07857

การ ทดสอบ tให้การทดสอบที่แม่นยำสำหรับความเท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยของประชากรปกติอิสระและกระจายเหมือนกันสองกลุ่มที่มีความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าแต่เท่ากัน ( การทดสอบtของ Welchเป็นการทดสอบที่แม่นยำเกือบสมบูรณ์สำหรับกรณีที่ข้อมูลมีการกระจายแบบปกติ แต่ความแปรปรวนอาจแตกต่างกัน) สำหรับตัวอย่างที่มีขนาดปานกลางและการทดสอบแบบหางเดียว การ ทดสอบ tมีความทนทานต่อการละเมิดสมมติฐานเรื่องการกระจายแบบปกติใน ระดับปานกลาง ^{[ 26 ]}ในตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอ การทดสอบ t จะเข้าใกล้ การทดสอบzในเชิงอะ ซิมโทติก และมีความทนทานแม้กระทั่งต่อการเบี่ยงเบนจากการกระจายแบบปกติในระดับมาก^{[ 18 ]}

หากข้อมูลมีการกระจายตัวที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติอย่างมาก และขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก การทดสอบ tอาจให้ผลลัพธ์ที่คลาดเคลื่อนได้ โปรดดูการทดสอบตำแหน่งสำหรับการแจกแจงแบบผสมมาตราส่วนเกาส์เซียนสำหรับทฤษฎีบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลการแจกแจงที่ไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติโดยเฉพาะ

เมื่อสมมติฐานเรื่องความปกติไม่เป็นจริง ทางเลือก ที่ไม่ใช้พารามิเตอร์แทน การทดสอบ tอาจมีพลังทางสถิติ ที่ดีกว่า อย่างไรก็ตาม เมื่อข้อมูลไม่เป็นไปตามปกติและมีความแปรปรวนที่แตกต่างกันระหว่างกลุ่ม การทดสอบ tอาจมีการควบคุมข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้ดีกว่าทางเลือกที่ไม่ใช้พารามิเตอร์บางอย่าง ^{[ 27 ]}นอกจากนี้ วิธีการที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ เช่นการทดสอบ Mann-Whitney Uที่กล่าวถึงด้านล่าง โดยทั่วไปจะไม่ทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ย ดังนั้นจึงควรใช้อย่างระมัดระวังหากความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นสิ่งที่น่าสนใจทางวิทยาศาสตร์เป็นหลัก^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น การทดสอบ Mann-Whitney U จะรักษาระดับข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ไว้ที่ระดับอัลฟาที่ต้องการ หากทั้งสองกลุ่มมีการกระจายตัวเหมือนกัน นอกจากนี้ยังมีพลังในการตรวจจับทางเลือกที่กลุ่ม B มีการกระจายตัวเหมือนกับกลุ่ม A แต่หลังจากมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างด้วยค่าคงที่ (ในกรณีนี้จะมีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันระหว่างสองกลุ่ม) อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีที่กลุ่ม A และ B มีการกระจายตัวที่แตกต่างกัน แต่มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (เช่น การกระจายตัวสองแบบ แบบหนึ่งมีความเบ้เป็นบวก และอีกแบบมีความเบ้เป็นลบ แต่มีการเลื่อนเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน) ในกรณีเช่นนี้ MW อาจมีอำนาจในการปฏิเสธสมมติฐานว่างมากกว่าระดับอัลฟา แต่การตีความว่าความแตกต่างของค่าเฉลี่ยเป็นผลมาจากผลลัพธ์ดังกล่าวจะไม่ถูกต้อง

ในกรณีที่มีค่าผิดปกติการ ทดสอบ tจะไม่แข็งแกร่ง ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างอิสระสองตัวอย่าง เมื่อการกระจายข้อมูลไม่สมมาตร (นั่นคือ การกระจายเบี่ยงเบน)หรือการกระจายมีหางขนาดใหญ่ การทดสอบ Wilcoxon rank-sum (หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบMann–Whitney U ) สามารถมีกำลังการทดสอบสูงกว่าการทดสอบt ถึงสามถึงสี่เท่า ^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]}การทดสอบWilcoxon signed-rank สำหรับตัวอย่างจับคู่ เป็นการ ทดสอบ แบบไม่ใช้พารามิเตอร์ สำหรับการ อภิปรายเกี่ยวกับการเลือกใช้ระหว่าง การทดสอบ tและทางเลือกแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ โปรดดู Lumley และคณะ (2002) ^{[ 18 ]}

การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียว (ANOVA) เป็นการขยายผลของการทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเมื่อข้อมูลมีมากกว่าสองกลุ่ม

เมื่อมีทั้งการสังเกตแบบจับคู่และการสังเกตแบบอิสระในแบบแผนตัวอย่างสองตัวอย่าง โดยสมมติว่าข้อมูลขาดหายไปโดยสมบูรณ์แบบสุ่ม (MCAR) การสังเกตแบบจับคู่หรือการสังเกตแบบอิสระอาจถูกละทิ้งเพื่อดำเนินการทดสอบมาตรฐานข้างต้นต่อไป หรืออีกทางหนึ่ง การใช้ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด โดยสมมติว่าเป็นแบบปกติและ MCAR สามารถใช้การทดสอบt แบบตัวอย่างที่ทับซ้อนกันบางส่วนแบบทั่วไปได้ ^{[ 30 ]}

สถิติ t -squared ของ Hotellingซึ่งเป็นการขยายผลของ สถิติ t ของ Student ช่วยให้สามารถทดสอบสมมติฐานกับตัวแปรหลายตัว (ซึ่งมักมีความสัมพันธ์กัน) ภายในกลุ่มตัวอย่างเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น นักวิจัยอาจทำการทดสอบบุคลิกภาพกับกลุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยมาตรวัดบุคลิกภาพหลายมาตรวัด (เช่น แบบทดสอบบุคลิกภาพMinnesota Multiphasic Personality Inventory ) เนื่องจากตัวแปรประเภทนี้มักมีความสัมพันธ์เชิงบวก จึงไม่ควรทำการทดสอบt แบบตัวแปรเดียวแยกกัน เพื่อทดสอบสมมติฐาน เพราะจะละเลยความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรและเพิ่มโอกาสที่จะปฏิเสธสมมติฐานอย่างน้อยหนึ่งข้ออย่างผิดพลาด ( ข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ) ในกรณีนี้ การทดสอบแบบหลายตัวแปรเพียงครั้งเดียวจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการทดสอบสมมติฐานวิธีของ Fisherสำหรับการรวมการทดสอบหลายครั้งโดย ลด ค่าอัลฟา ลงสำหรับความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างการทดสอบเป็นหนึ่งในนั้น อีกวิธีหนึ่งคือ สถิติT2ของ Hotelling ซึ่งมีการแจกแจง ^แบบ T2อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การแจกแจงนี้ไม่ค่อยได้ใช้ เนื่องจากหาค่า^T2ในตาราง^ได้ ยาก โดยปกติแล้ว^ค่า T2จะถูกแปลงเป็นค่าสถิติF แทน

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบตัวอย่างเดียว สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ ) เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด ( )สถิติการทดสอบคือHotelling 's t² ^:

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

โดยที่nคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างxคือเวกเตอร์ของค่าเฉลี่ยคอลัมน์ และSคือ เมท ริกซ์ความแปรปรวนร่วมของกลุ่มตัวอย่างขนาดm × m

สำหรับการทดสอบหลายตัวแปรแบบสองกลุ่มตัวอย่าง สมมติฐานคือเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ( μ , μ ) ของสองกลุ่มตัวอย่างเท่ากัน สถิติการทดสอบคือt ²แบบสองกลุ่มตัวอย่างของ Hotelling :

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

การทดสอบ tสองกลุ่มตัวอย่างเป็นกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้น แบบง่าย ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

การทดลองทางคลินิกตรวจสอบผู้ป่วย 6 รายที่ได้รับยาหรือยาหลอก ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 0 หน่วย (กลุ่มยาหลอก) ผู้ป่วย 3 รายได้รับยา 1 หน่วย (กลุ่มรักษาจริง) เมื่อสิ้นสุดการรักษา นักวิจัยจะวัดการเปลี่ยนแปลงจากค่าพื้นฐานในจำนวนคำที่ผู้ป่วยแต่ละรายสามารถจำได้ในการทดสอบความจำ

ตารางแสดงค่าการจดจำคำศัพท์และขนาดยาของผู้ป่วยแสดงอยู่ด้านล่าง

มีการให้ข้อมูลและโค้ดสำหรับการวิเคราะห์โดยใช้ภาษาโปรแกรม Rพร้อมt.testฟังก์ชันlmสำหรับการทดสอบ t และการถดถอยเชิงเส้น ต่อไปนี้คือข้อมูล (สมมติ) ชุดเดียวกันข้างต้นที่สร้างขึ้นใน R

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

ทำการทดสอบt -test โปรดสังเกตว่าจำเป็นต้องมีสมมติฐานเรื่องความแปรปรวนเท่ากัน (σ²/σ²) var.equal=Tเพื่อให้การวิเคราะห์เทียบเท่ากับการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายอย่างแท้จริง

> ด้วย( ข้อมูลการเรียกคืนคำ, การทดสอบ t ( ข้อมูลการเรียกคืนคำ~ ปริมาณยา, ตัวแปรเท่ากับT ))

เมื่อรันโค้ด R จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ไม่ได้รับยาขนาด 0 คือ 2
• ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์ในกลุ่มที่ได้รับยาขนาดเดียวคือ 6
• ความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดลองในค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์คือ 6 – 2 = 4
• ความแตกต่างของการจดจำคำศัพท์ระหว่างขนาดยาต่างๆ มีนัยสำคัญทางสถิติ (p=0.00805)

ทำการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลชุดเดียวกัน การคำนวณสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันlm()สำหรับแบบจำลองเชิงเส้นในโปรแกรม R

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นจะให้ตารางแสดงค่าสัมประสิทธิ์และค่า p-value

ตารางสัมประสิทธิ์ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

• ค่าประมาณของจุดตัดแกน y ที่ได้คือ 2 ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของการจำคำศัพท์เมื่อปริมาณยาเป็น 0
• ค่าประมาณ 4 สำหรับขนาดยาบ่งชี้ว่า การเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6) ซึ่งนี่คือความชันของเส้นตรงที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม
• ค่า p ที่แสดงว่าความชันของ 4 แตกต่างจาก 0 คือ p = 0.00805

สัมประสิทธิ์ของการถดถอยเชิงเส้นระบุค่าความชันและค่าจุดตัดแกน y ของเส้นที่เชื่อมค่าเฉลี่ยของทั้งสองกลุ่ม ดังแสดงในกราฟ ค่าจุดตัดแกน y คือ 2 และค่าความชันคือ 4

เปรียบเทียบผลลัพธ์จากการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นกับผลลัพธ์จากการทดสอบt

• จากการ ทดสอบ t -test พบว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มคือ 6-2=4
• จากสมการถดถอย ค่าความชันก็คือ 4 เช่นกัน ซึ่งบ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงขนาดยา 1 หน่วย (จาก 0 เป็น 1) จะทำให้ค่าเฉลี่ยการจำคำศัพท์เปลี่ยนแปลงไป 4 หน่วย (จาก 2 เป็น 6)
• ค่าpของการทดสอบtสำหรับความแตกต่างของค่าเฉลี่ย และค่า p ของการถดถอยสำหรับความชัน มีค่าเท่ากับ 0.00805 ทั้งคู่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า ในกรณีพิเศษของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่มีตัวแปร x เพียงตัวเดียวซึ่งมีค่าเป็น 0 และ 1 การทดสอบ tจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการถดถอยเชิงเส้น ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ด้วยวิธีทางพีชคณิตเช่นกัน

การรับรู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง การทดสอบ tและการถดถอยเชิงเส้นนี้ทำให้สามารถใช้การถดถอยเชิงเส้นหลายตัวแปรและการวิเคราะห์ความแปรปรวน แบบหลายทางได้ง่ายขึ้น ทางเลือกเหล่านี้แทน การทดสอบ tช่วยให้สามารถรวมตัวแปรอธิบาย เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการตอบสนองได้ การรวมตัวแปรอธิบายเพิ่มเติมดังกล่าวโดยใช้การถดถอยหรือ ANOVA จะช่วยลด ความแปรปรวน ที่ไม่สามารถอธิบายได้และโดยทั่วไปจะให้พลัง ในการตรวจจับความแตกต่างได้มากกว่า การทดสอบtสองกลุ่มตัวอย่าง^{[ 37 ]}