การแจกแจงแบบ Gumbel มาตรฐานคือกรณีที่${\displaystyle \mu =0}$และ${\displaystyle \beta =1}$ด้วยฟังก์ชันการกระจายสะสม

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}}\,}$

และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

ในกรณีนี้ ค่าฐานนิยมคือ 0 ค่ามัธยฐานคือ${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$ค่าเฉลี่ยคือ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$( ค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี ) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

ค่าคุมูลันต์สำหรับn  >  1 กำหนดโดย

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n)}$

ปัญหามากมายในคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตเกี่ยวข้องกับการศึกษาพารามิเตอร์สุดขั้วที่ตามเวอร์ชันดิสครีตของการแจกแจงกัมเบล^{[ 4 ] [ 5 ]} เวอร์ชัน ดิสครีตนี้คือกฎของ${\displaystyle Y=\lceil X\rceil }$, ที่ไหน${\displaystyle X}$เป็นไปตามการแจกจ่ายกัมเบลอย่างต่อเนื่อง${\displaystyle \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$ดังนั้น จึงทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle P(Y\leq h)=\exp(-\exp(-(h-\mu )/\beta ))}$สำหรับใดๆ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$.

บ่งบอก${\displaystyle \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$ในฐานะเวอร์ชันแยกส่วน หนึ่งมี${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$และ${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \mathrm {DGumbel} (\mu -1,\beta )}$.

ไม่มีสูตรสำเร็จรูปที่ทราบสำหรับค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน (หรือโมเมนต์ลำดับสูงกว่า) ของการแจกแจงกัมเบลแบบไม่ต่อเนื่อง แต่สามารถคำนวณค่าเชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูงได้ง่ายๆ โดยใช้ผลรวมอนันต์ที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น จะได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle {\mathbb {E} }[\mathrm {DGumbel} (0,1)]=1.077240905953631072609...}$แต่การหาคำตอบในรูปแบบปิดสำหรับค่าคงที่นี้ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบ (เป็นไปได้ว่าอาจไม่มีคำตอบในรูปแบบปิดเลย)

Aguech, Althagafi และ Banderier ^{[ 4 ]}ให้ขอบเขตต่างๆ ที่เชื่อมโยงเวอร์ชันแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องของการแจกแจง Gumbel และให้รายละเอียดอย่างชัดเจน (โดยใช้วิธีการจากการแปลง Mellin ) เกี่ยวกับปรากฏการณ์การแกว่งที่ปรากฏขึ้นเมื่อมีลำดับของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle \lfloor Y_{n}-c\ln n\rfloor }$ลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบกัมเบลแบบไม่ต่อเนื่อง

• ถ้า${\displaystyle X}$มีการแจกแจงแบบกัมเบล ดังนั้นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ${\displaystyle Y=-X}$เนื่องจาก${\displaystyle Y}$เป็นค่าบวก หรือเทียบเท่ากับว่ากำหนดให้${\displaystyle X}$มีค่าเป็นลบ และมีการกระจายแบบ Gompertz ฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf)${\displaystyle G}$ของ${\displaystyle Y}$เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle F}$ฟังก์ชันการกระจายสะสมของ${\displaystyle X}$โดยใช้สูตร${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$สำหรับ${\displaystyle y>0}$ดังนั้น ความหนาแน่นจึงมีความสัมพันธ์กันโดย${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: ความหนาแน่นของ Gompertzเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของ Gumbel ที่สะท้อนกลับ ซึ่งจำกัดอยู่ที่ครึ่งเส้นบวก^{[ 6 ]}
• ถ้า${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (1)}$เป็น ตัวแปรที่ มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 1 ดังนั้น${\displaystyle \mu -\beta \log(X)\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$.
• ถ้า${\displaystyle U\sim \mathrm {เครื่องแบบ} (0,1)}$ถ้าตัวแปร นั้นมีการกระจายแบบสม่ำเสมอในช่วงหน่วยแล้ว${\displaystyle \mu -\beta \log(-\log(U))\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$.
• ถ้า${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$และ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$ถ้าเป็นอิสระต่อกัน ก็แสดงว่า...${\displaystyle XY\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$(ดูการแจกแจงแบบโลจิสติก )
• ถึงกระนั้นก็ตาม หาก${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ถ้าเป็นอิสระต่อกัน ก็แสดงว่า...${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$สิ่งนี้สามารถเห็นได้ง่ายๆ โดยสังเกตว่า${\displaystyle \mathbb {E} (X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\mathbb {E} \left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$(ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี) ในทางกลับกัน การกระจายของผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มกัมเบลอิสระสามารถประมาณได้ด้วยการกระจาย GNIG และ GIG ^{[ 7 ]}

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงล็อกแกมมาแบบหลายตัวแปรทั่วไปนั้น เป็นการแจกแจงแบบหลายตัวแปรที่คล้ายกับการแจกแจงกัมเบล

กัมเบลได้แสดงให้เห็นว่าค่าสูงสุด (หรือสถิติลำดับ สุดท้าย ) ในตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลลบด้วยลอการิทึมธรรมชาติของขนาดตัวอย่าง^{[ 8 ]} เข้าใกล้การแจกแจงแบบกัมเบลเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น^{[ 9 ]}

กล่าวโดยสรุปคือ ให้${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$เป็นการกระจายความน่าจะเป็นของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$การกระจายสะสม จากนั้นค่าสูงสุดจาก${\displaystyle N}$การตระหนักรู้ของ${\displaystyle x}$เล็กกว่า${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อการรับรู้ทั้งหมดมีขนาดเล็กกว่าเท่านั้น${\displaystyle X}$ดังนั้น การกระจายสะสมของค่าสูงสุด${\displaystyle {\tilde {x}}}$พอใจ

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

และสำหรับขนาดใหญ่${\displaystyle N}$ด้านขวามือจะลู่เข้าสู่${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

ดังนั้น ในด้านอุทกวิทยาการกระจายแบบกัมเบลจึงถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ตัวแปรต่างๆ เช่น ค่าสูงสุดรายเดือนและรายปีของปริมาณน้ำฝนรายวันและปริมาณการไหลของแม่น้ำ^{[ 3 ]}และยังใช้เพื่ออธิบายภาวะภัยแล้งอีกด้วย^{[ 10 ]}

กัมเบลยังแสดงให้เห็นอีกว่าตัวประมาณค่าr ⁄ ( n +1)สำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์—โดยที่rคือลำดับที่ของค่าที่สังเกตได้ในอนุกรมข้อมูล และnคือจำนวนการสังเกตทั้งหมด—เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของความน่าจะเป็นสะสมรอบค่า ฐานนิยม ของการแจกแจง ดังนั้น ตัวประมาณค่านี้จึงมักถูกใช้เป็นตำแหน่งในการพล็อต

• โดยทั่วไปแล้ว การทำนายความน่าจะเป็นของข้อมูลนอกกลุ่มตัวอย่างภายใต้สมมติฐานที่ว่าทั้งข้อมูลฝึกฝนและข้อมูลนอกกลุ่มตัวอย่างเป็นไปตามการแจกแจงแบบกัมเบล มักเป็นที่น่าสนใจ
• การคาดการณ์ความน่าจะเป็นที่สร้างขึ้นโดยการแทนที่ ค่าประมาณ ความน่าจะเป็นสูงสุดของพารามิเตอร์ Gumbel ลงในฟังก์ชันการกระจายสะสมนั้นละเลยความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ ส่งผลให้ความน่าจะเป็นไม่ได้รับการปรับเทียบ อย่างดี ไม่สะท้อนความถี่ของเหตุการณ์นอกตัวอย่าง และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หางนอกตัวอย่างต่ำเกินไป^{[ 11 ]}
• การคาดการณ์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ แนวทาง Bayesian เชิงวัตถุประสงค์ ของการปรับเทียบการคาดการณ์ก่อนหน้าจะขจัดการประเมินค่าต่ำเกินไปนี้ออกไปอย่างสมบูรณ์ การแจกแจง Gumbel เป็นหนึ่งในการแจกแจงทางสถิติจำนวนหนึ่งที่มี โครงสร้าง กลุ่มซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจาก Gumbel เป็น แบบ จำลองตำแหน่ง-มาตราส่วนผลจากโครงสร้างกลุ่ม Gumbel จึงมีมาตรวัด Haar ซ้ายและขวาที่เกี่ยวข้อง การใช้มาตรวัด Haar ขวา เป็นค่าก่อนหน้า (เรียกว่าค่าก่อนหน้า Haar ขวา) ในการคาดการณ์แบบ Bayesian จะให้ค่าความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบได้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงพื้นฐานใดๆ^{[ 12 ] [ 11 ] [ 13 ]}การปรับเทียบการคาดการณ์ก่อนหน้าสำหรับ Gumbel โดยใช้ค่าก่อนหน้า Haar ขวาที่เหมาะสมนั้นถูกนำไปใช้ใน แพ็คเกจซอฟต์แวร์ R fitdistcp ^{[ 14 ]}

ในคณิตศาสตร์ เชิง การจัดเรียง การแจกแจงกัมเบลแบบไม่ต่อเนื่องปรากฏเป็นการแจกแจงจำกัดสำหรับเวลาที่ผลออกมาในปัญหาของนักสะสมคูปองผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยลาปลาซ ในปี ค.ศ. 1812 ใน หนังสือ Théorie analytique des probabilitésของเขาซึ่งถือเป็นการเกิดขึ้นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ของสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าการแจกแจงกัมเบล

ในทฤษฎีจำนวนการแจกแจงแบบกัมเบลจะประมาณจำนวนพจน์ในการแบ่งส่วนแบบสุ่มของจำนวนเต็ม^{[ 15 ]}เช่นเดียวกับขนาดที่ปรับตามแนวโน้มของช่องว่างจำนวนเฉพาะ สูงสุด และช่องว่างสูงสุดระหว่างกลุ่มจำนวนเฉพาะ^{[ 16 ]}

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นมันปรากฏเป็นการกระจายของความสูงสูงสุดที่ไปถึงได้โดยการเดินแบบไม่ต่อเนื่อง (บนโครงตาข่าย)${\displaystyle {\mathbb {N} }^{2}}$) โดยที่กระบวนการสามารถรีเซ็ตกลับไปที่จุดเริ่มต้นได้ในแต่ละขั้นตอน^{[ 4 ]}

ในการวิเคราะห์อัลกอริธึมตัวอย่างเช่น ในการศึกษาการแพร่กระจายตัวทดสูงสุดในฐาน-${\displaystyle b}$อัลกอริทึมการบวก^{[ 17 ]}

ในยุคก่อนการพัฒนาซอฟต์แวร์ กระดาษความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้เพื่อแสดงภาพการแจกแจงแบบกัมเบล (ดูภาพประกอบ) กระดาษนี้สร้างขึ้นจากหลักการทำให้เป็นเชิงเส้นของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln(-\ln(F))={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

ในบทความนี้ แกนแนวนอนสร้างขึ้นโดยใช้มาตราส่วนลอการิทึมคู่ ส่วนแกนแนวตั้งเป็นเส้นตรง โดยการพล็อต${\displaystyle F}$บนแกนแนวนอนของกระดาษและ${\displaystyle x}$-ตัวแปรบนแกนตั้ง การกระจายจะแสดงด้วยเส้นตรงที่มีความชัน 1${\displaystyle /\beta }$เมื่อมีซอฟต์แวร์สำหรับวิเคราะห์การกระจายตัวของข้อมูล การสร้างกราฟแสดงการกระจายตัวของข้อมูลก็ง่ายขึ้น

ในการเรียนรู้ของเครื่องบางครั้งมีการใช้การแจกแจงแบบกัมเบลเพื่อสร้างตัวอย่างจากการแจกแจงแบบหมวดหมู่เทคนิคนี้เรียกว่า "กลอุบายกัมเบล-แม็กซ์" และเป็นตัวอย่างพิเศษของ " กลอุบายการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ " ^{[ 18 ]}

โดยละเอียดแล้ว ขอให้...${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$ต้องไม่เป็นลบ และไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด และให้${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$เป็นตัวอย่างอิสระของ Gumbel(0, 1) ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})}$สามารถคำนวณได้โดยใช้การอินทิเกรตตามปกติ$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})=j)={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$นั่นคือ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

ในทำนองเดียวกัน เมื่อกำหนดสิ่งใด ๆ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$เราสามารถสุ่มตัวอย่างจากการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ได้โดย

$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i})=j)={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$สมการที่เกี่ยวข้องได้แก่: ^{[ 19 ]}

• ถ้า${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$, แล้ว${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$.
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$.
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$กล่าวคือ การแจกแจงแบบกัมเบลเป็นการแจกแจงแบบที่มีเสถียรภาพสูงสุด (max-stable distribution family)
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$