การแบ่งพาร์ติชันจำนวนเต็ม

ในทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์เชิงการจัด เรียง การแบ่งส่วน ของ จำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ $n$ หรือที่เรียกว่าการแบ่งส่วนจำนวนเต็มคือวิธีการเขียน $n$ ในรูปผลรวมของจำนวนเต็มบวก ผลรวมสองผลที่แตกต่างกันเฉพาะลำดับของตัวบวก เท่านั้น ถือว่าเป็นการแบ่งส่วนเดียวกัน (ถ้าลำดับมีความสำคัญ ผลรวมนั้นจะกลายเป็นการประกอบกัน ) ตัวอย่างเช่น $4$ สามารถแบ่งส่วนได้ห้าวิธีที่แตกต่างกัน:

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

การแบ่งส่วนของศูนย์เพียงอย่างเดียวคือผลรวมว่างเปล่า ซึ่งไม่มีส่วนประกอบใดๆ

องค์ประกอบที่ขึ้นอยู่กับลำดับ $1 + 3$ นั้นเป็นการแบ่งส่วนแบบเดียวกับ $3 + 1$ และองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองแบบคือ $1 + 2 + 1$ และ $1 + 1 + 2$ นั้นแสดงถึงการแบ่งส่วนแบบเดียวกับ $2 + 1 +$ 1

ส่วนประกอบแต่ละส่วนในพาร์ติชันเรียกว่าส่วนย่อยจำนวนพาร์ติชันของ $n$ กำหนดโดยฟังก์ชันพาร์ติชัน $p (n)$ ดังนั้น $p (4) = 5$ สัญลักษณ์ $λ ⊢ n$ หมายความว่า $λ$ เป็นพาร์ติชันของ $n$

การแบ่งส่วนสามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพโดยใช้แผนภาพยัง (Young diagram)หรือแผนภาพเฟอร์เรอร์ (Ferrer diagram ) การแบ่งส่วนเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์รวมถึงการศึกษาพหุนามสมมาตรและกลุ่มสมมาตรและในทฤษฎีการแทนกลุ่มโดยทั่วไป

ตัวอย่าง

พาร์ทิชันทั้งเจ็ดของ 5 คือ

5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

ผู้เขียนบางคนมองว่าการแบ่งส่วนเป็นการเรียงลำดับของตัวเลขที่ไม่เพิ่มขึ้น แทนที่จะเป็นนิพจน์ที่มีเครื่องหมายบวก ตัวอย่างเช่น การแบ่งส่วน 2 + 2 + 1 อาจเขียนได้เป็นทูเปิล $(2, 2, 1)$ หรือในรูปแบบที่กระชับกว่าคือ $(2 2, 1)$ โดยที่ตัวยกแสดงจำนวนครั้งที่แต่ละส่วนปรากฏซ้ำ

สัญลักษณ์แสดงจำนวนเท่าของพาร์ทิชันนี้สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ $1^{m_{1}}2^{m_{2}}3^{m_{3}}\cdots$ โดยที่ $m$ คือจำนวนเลข 1, $m$ คือจำนวนเลข 2 เป็นต้น (ส่วนประกอบที่มี $m = 0$ อาจละเว้นได้) ตัวอย่างเช่น ในสัญลักษณ์นี้ การแบ่งส่วนของ 5 จะเขียนได้ดังนี้ $5^{1},1^{1}4^{1},2^{1}3^{1},1^{2}3^{1},1^{1}2^{2},1^{3}2^{1}$ , และ $1^{5}$ .

ภาพแสดงการแบ่งส่วนต่างๆ ของพาร์ติชั่น

มีวิธีการแสดงพาร์ติชันด้วยแผนภาพอยู่สองวิธีที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่ แผนภาพเฟอร์เรอร์ (Ferrers diagrams) ซึ่งตั้งชื่อตามนอร์แมน แมคลีโอ เฟอร์เรอร์และแผนภาพยัง (Young diagrams) ซึ่งตั้งชื่อตามอัลเฟรด ยังทั้งสองวิธีมีข้อกำหนดที่เป็นไปได้หลายแบบ ในที่นี้เราใช้สัญลักษณ์แบบอังกฤษโดยจัดวางแผนภาพไว้ที่มุมบนซ้าย

แผนภาพเฟอร์เรอร์

การแบ่งจำนวน 14 ออกเป็น 6 + 4 + 3 + 1 สามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพต่อไปนี้:

วงกลมทั้ง 14 วงเรียงกันเป็น 4 แถว โดยแต่ละแถวมีขนาดเท่ากับส่วนหนึ่งของพาร์ทิชัน แผนภาพแสดงการแบ่งเลข 4 ออกเป็น 5 ส่วน มีดังต่อไปนี้:


4	=	3 + 1	=	2 + 2	=	2 + 1 + 1	=	1 + 1 + 1 + 1

แผนภาพของยัง

อีกหนึ่งวิธีในการแสดงภาพการแบ่งส่วนจำนวนเต็มคือแผนภาพยัง (Young diagram ) (หรือเรียกอีกอย่างว่า แผนภาพเฟอร์เรอร์ (Ferrers diagram)) แทนที่จะแสดงการแบ่งส่วนด้วยจุดเหมือนในแผนภาพเฟอร์เรอร์ แผนภาพยังจะใช้กล่องหรือสี่เหลี่ยม ดังนั้น แผนภาพยังสำหรับการแบ่งส่วน 5 + 4 + 1 คือ

ในขณะที่แผนภาพเฟอร์เรอร์สำหรับพาร์ทิชันเดียวกันนั้นคือ

แม้ว่าความแตกต่างที่ดูเหมือนเล็กน้อยนี้จะไม่สมควรได้รับการกล่าวถึงแยกต่างหาก แต่แผนภาพ Young กลับมีประโยชน์อย่างยิ่งในการศึกษาฟังก์ชันสมมาตรและทฤษฎีการแสดงกลุ่ม : การเติมกล่องของแผนภาพ Young ด้วยตัวเลข (หรือบางครั้งวัตถุที่ซับซ้อนกว่า) ที่ปฏิบัติตามกฎต่างๆ นำไปสู่กลุ่มของวัตถุที่เรียกว่าYoung tableauxและ tableaux เหล่านี้มีความสำคัญในเชิงการจัดเรียงและทฤษฎีการแสดง^{[ 1 ]} ในฐานะที่เป็นรูปทรงประเภทหนึ่งที่สร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ติดกันที่เชื่อมต่อกัน แผนภาพ Young จึงเป็น โพลีโอมีโนชนิดพิเศษ^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันพาร์ติชัน

ฟังก์ชันพาร์ติชัน $p(n)$ นับจำนวนพาร์ติชันของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ ตัวอย่างเช่น $p(4)=5$ เนื่องจากจำนวนเต็ม $4$ มีพาร์ติชั่นห้าพาร์ติชั่น $1+1+1+1$ , $1+1+2$ , $1+3$ , $2+2$ , และ $4$ ค่าของฟังก์ชันนี้สำหรับ $n=0,1,2,\dots$ เป็น:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... ( ลำดับA000041ในOEIS )

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของ $p$ เป็น

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{j=1}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }q^{ji}=\prod _{j=1}^{\infty }(1-q^{j})^{-1}.

ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับฟังก์ชันพาร์ติชันที่ทราบ แต่มีทั้งการขยายเชิงเส้นกำกับที่ประมาณค่าได้อย่างแม่นยำและความสัมพันธ์เวียนเกิดที่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ ฟังก์ชันนี้เติบโตเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังของรากที่สองของอาร์กิวเมนต์^{[ 3 ]}ดังนี้:

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)

เช่น

n\to \infty

ในปี ค.ศ. 1937 ฮันส์ ราเดมาเคอร์ค้นพบวิธีการแสดงฟังก์ชันพาร์ติชัน $p(n)$ โดยอนุกรมลู่เข้า

$p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right)$ ที่ไหน

$A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.$ และ $s(m,k)$ คือผลรวมเดเดคินด์

ตัวผกผันการคูณของฟังก์ชันก่อกำเนิดคือฟังก์ชันออยเลอร์ โดยตาม ทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยมของออยเลอร์ฟังก์ชันนี้คือผลรวมสลับของ กำลัง จำนวนห้าเหลี่ยมของตัวแปรต้น

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

ศรีนิวาส รามานุจันค้นพบว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วนมีรูปแบบที่ไม่ธรรมดาในเลขคณิตแบบมอดูลาร์ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อความสอดคล้องของรามานุจันตัวอย่างเช่น เมื่อใดก็ตามที่การแสดงทศนิยมของ $n$ ลงท้ายด้วยเลข 4 หรือ 9 ซึ่งเป็นจำนวนพาร์ติชันของ $n$ จะหารด้วย 5 ลงตัว^{[ 4 ]}

พาร์ติชั่นที่จำกัด

ในทั้งคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีจำนวน ตระกูลของการแบ่งส่วนภายใต้ข้อจำกัดต่างๆ มักได้รับการศึกษา^{[ 5 ]} ส่วนนี้จะสำรวจข้อจำกัดดังกล่าวบางส่วน

พาร์ทิชันแบบคอนจูเกตและแบบเซลฟ์คอนจูเกต

ถ้าเราพลิกแผนภาพการแบ่งส่วน 6 + 4 + 3 + 1 ตามแนวทแยงมุมหลักเราจะได้การแบ่งส่วนอีกแบบหนึ่งของ 14:

	↔
6 + 4 + 3 + 1	=	4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1

โดยการเปลี่ยนแถวเป็นคอลัมน์ เราจะได้การแบ่งส่วน 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 ของจำนวน 14 การแบ่งส่วนดังกล่าวเรียกว่าคู่สมมูลกัน^{[ 6 ]}ในกรณีของจำนวน 4 การแบ่งส่วน 4 และ 1 + 1 + 1 + 1 เป็นคู่สมมูลกัน และการแบ่งส่วน 3 + 1 และ 2 + 1 + 1 เป็นคู่สมมูลกัน การแบ่งส่วนที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ 2 + 2 ซึ่งมีตัวเองเป็นคู่สมมูล การแบ่งส่วนดังกล่าวเรียกว่าคู่สมมูลตัวเอง^{[ 7 ]}

ข้ออ้าง : จำนวนของพาร์ทิชันที่เป็นคู่สมในตัวเองนั้นเท่ากับจำนวนของพาร์ทิชันที่มีส่วนคี่ที่แตกต่างกัน

บทพิสูจน์ (โครงร่าง) : ข้อสังเกตที่สำคัญคือ ส่วนที่เป็นเลขคี่ทุกส่วนสามารถ " พับ " ตรงกลางเพื่อสร้างแผนภาพที่สมมาตรในตัวเองได้:

↔

จากนั้นเราสามารถสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของพาร์ทิชันที่มีส่วนคี่ที่แตกต่างกันและเซตของพาร์ทิชันที่เป็นคู่สมในตัวเองได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

	↔
9 + 7 + 3	=	5 + 5 + 4 + 3 + 2
ดิสท.คี่		ผันตัวเอง

ชิ้นส่วนแปลก ๆ และชิ้นส่วนที่แตกต่าง

ในบรรดาการแบ่งเลข 8 ออกเป็น 22 ส่วน มี 6 ส่วนที่ประกอบด้วยส่วนที่เป็นเลขคี่ เท่านั้น :

7 + 1
5 + 3
5 + 1 + 1 + 1
3 + 3 + 1 + 1
3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถนับพาร์ติชันที่ไม่มีตัวเลขใดปรากฏซ้ำกันมากกว่าหนึ่งครั้ง พาร์ติชันดังกล่าวเรียกว่าพาร์ติชันที่มีส่วนประกอบที่แตกต่างกันหากเรานับพาร์ติชันของ 8 ที่มีส่วนประกอบที่แตกต่างกัน เราก็จะได้ 6 เช่นกัน

8
7 + 1
6 + 2
5 + 3
5 + 2 + 1
4 + 3 + 1

นี่เป็นคุณสมบัติทั่วไป สำหรับจำนวนบวกแต่ละจำนวน จำนวนพาร์ติชันที่มีส่วนคี่จะเท่ากับจำนวนพาร์ติชันที่มีส่วนที่แตกต่างกัน ซึ่งแสดงด้วยq ( n ) ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์โดยLeonhard Eulerในปี 1748 ^{[ 10 ]}และต่อมาได้รับการขยายความให้เป็น ทฤษฎีบท ของGlaisher

สำหรับพาร์ทิชันแบบจำกัดแต่ละประเภท จะมีฟังก์ชันที่สอดคล้องกันสำหรับจำนวนพาร์ทิชันที่ตรงตามข้อจำกัดที่กำหนด ตัวอย่างที่สำคัญคือq ( n ) (พาร์ทิชันออกเป็นส่วนที่แตกต่างกัน) ค่าแรกๆ ของq ( n ) คือ (เริ่มต้นด้วยq (0)=1):

1 , 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... (ลำดับA000009ในOEIS )

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับq ( n ) กำหนดโดย^{[ 11 ]}

\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}.

ทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยมให้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับq : ^{[ 12 ]}

q ( k ) = a + q ( k − 1) + q ( k − 2) − q ( k − 5) − q ( k − 7) + q ( k − 12) + q ( k − 15) − q ( k − 22) − ...

โดยที่kคือ ( − 1) ^mถ้าk = 3 m ²− mสำหรับจำนวนเต็มm บางตัว และจะเป็น 0 ในกรณีอื่น

ขนาดชิ้นส่วนหรือจำนวนชิ้นส่วนที่จำกัด

โดยการหาค่าสังยุค จำนวน $p (n)$ ของการแบ่ง $n$ ออกเป็น k ส่วน พอดีจะเท่ากับจำนวนการแบ่ง $n$ ที่ส่วนที่ใหญ่ที่สุดมีขนาดเท่ากับ $k$ ฟังก์ชัน $p (n)$ สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด

p (n) = p (n - k) + p (n - 1)

โดยมีค่าเริ่มต้น $p (0) = 1$ และ $p (n) = 0$ ถ้า $n \leq 0 หรือ k \leq 0$ และ $n$ และ $k$ ไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่^{[ 13 ]}

สามารถกู้คืนฟังก์ชันp ( n ) ได้โดย

p(n)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}(n).

ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่เป็นไปได้หนึ่งฟังก์ชันสำหรับพาร์ติชันดังกล่าว โดยกำหนดให้kเป็นค่าคงที่และnเป็นตัวแปร คือ

\sum _{n\geq 0}p_{k}(n)x^{n}=x^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x^{i}}}.

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าTเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จำนวนการแบ่งส่วนของnซึ่งทุกส่วนอยู่ในTจะมีฟังก์ชันก่อกำเนิด

\prod _{t\in T}(1-x^{t})^{-1}.

สิ่งนี้สามารถนำไปใช้แก้ปัญหาการทอนเงินได้ (โดยที่เซตTระบุเหรียญที่มีอยู่) ในกรณีเฉพาะสองกรณี คือ จำนวนการแบ่งส่วนของnที่ทุกส่วนเป็น 1 หรือ 2 (หรือเทียบเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนของnออกเป็น 1 หรือ 2 ส่วน) คือ

\left\lfloor {\frac {n}{2}}+1\right\rfloor ,

และจำนวนการแบ่งส่วนของnที่ทุกส่วนเป็น 1, 2 หรือ 3 (หรือเทียบเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนของnออกเป็นไม่เกินสามส่วน) คือจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดกับ ( n + 3) ² / 12 ^{[ 14 ]}

การแบ่งส่วนในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียน

นอกจากนี้ยังสามารถจำกัดทั้งจำนวนและขนาดของส่วนต่างๆ ได้พร้อมกัน ให้ $p (N, M; n)$ แทนจำนวนพาร์ติชันของ $n$ ที่มีส่วนประกอบไม่เกิน $M$ ส่วน โดยแต่ละส่วนมีขนาดไม่เกิน $N$ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พาร์ติชันเหล่านี้มีแผนภาพ Young ที่พอดีกับ สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $M \times N$ มีความสัมพันธ์เวียนเกิดอยู่ $p(N,M;n)=p(N,M-1;n)+p(N-1,M;n-M)$ ได้มาจากการสังเกตว่า $p(N,M;n)-p(N,M-1;n)$ นับการแบ่ง $n$ ออกเป็น ส่วน $M$ ที่มีขนาดไม่เกิน $N$ และการลบ 1 ออกจากแต่ละส่วนของการแบ่งดังกล่าวจะทำให้ได้การแบ่ง $n - M$ ออกเป็นส่วนไม่เกิน $M$ ส่วน^{[ 15 ]}

สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนถูกกำหนดดังนี้: ${k+\ell \choose \ell }_{q}={k+\ell \choose k}_{q}={\frac {\prod _{j=1}^{k+\ell }(1-q^{j})}{\prod _{j=1}^{k}(1-q^{j})\prod _{j=1}^{\ell }(1-q^{j})}}.$ สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันก่อกำเนิดของ $p (N, M; n)$ โดยความเท่าเทียมกัน $\sum _{n=0}^{MN}p(N,M;n)q^{n}={M+N \choose M}_{q}.$

แร็งก์แอนด์เดอร์ฟีสแควร์

อันดับของพาร์ทิชันคือจำนวนที่มากที่สุดk ที่ทำให้พาร์ทิชัน นั้นประกอบด้วยส่วนอย่างน้อยkส่วนที่มีขนาดอย่างน้อยkตัวอย่างเช่น พาร์ทิชัน4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 มีอันดับ 3 เพราะมี 3 ส่วนที่มีขนาด ≥ 3 แต่ไม่มี 4 ส่วนที่มีขนาด≥ 4 ในแผนภาพเฟอร์เรอร์หรือแผนภาพยังของพาร์ทิชันที่มีอันดับrนั้น ตารางr × rของค่าในมุมบนซ้ายเรียกว่าตารางเดอร์ฟี

ตาราง Durfee มีการประยุกต์ใช้ภายในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงในการพิสูจน์เอกลักษณ์การแบ่งส่วนต่างๆ^{[ 16 ]} นอกจากนี้ยังมีนัยสำคัญในทางปฏิบัติในรูปแบบของดัชนี hด้วย

สถิติอีกแบบหนึ่งที่บางครั้งเรียกว่าอันดับของพาร์ติชัน (หรือ อันดับของไดสัน) คือ ผลต่าง $\lambda _{k}-k$ สำหรับการแบ่ง ส่วน kส่วน โดยส่วนที่ใหญ่ที่สุด $\lambda _{k}$ สถิตินี้ (ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับสถิติที่กล่าวถึงข้างต้น) ปรากฏอยู่ในงานวิจัยเรื่องความสอดคล้องของรามานุจัน

แลตทิซของยัง

มีลำดับบางส่วน ตามธรรมชาติ บนพาร์ติชันที่กำหนดโดยการรวมไดอะแกรมของยัง เซตที่มีลำดับบางส่วนนี้เรียกว่าแลตทิซของยัง แลตทิซนี้ถูกนิยามขึ้นครั้งแรกในบริบทของทฤษฎีการแทนโดยใช้เพื่ออธิบายการแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่มสมมาตรS สำหรับทุกnพร้อมกับคุณสมบัติการแตกแขนงในลักษณะเฉพาะศูนย์ นอกจากนี้ยังได้รับการศึกษาอย่างมากในด้านคุณสมบัติเชิงการจัดเรียงอย่างแท้จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดโพเซตเชิงอนุพันธ์

พาร์ติชั่นแบบสุ่ม

มีทฤษฎีเชิงลึกของการแบ่งส่วนแบบสุ่มที่เลือกตามการกระจายความน่าจะเป็นแบบเอกรูปบนกลุ่มสมมาตรผ่านการสอดคล้องกันของ Robinson–Schenstedในปี 1977 Logan และ Shepp รวมถึง Vershik และ Kerov ได้แสดงให้เห็นว่าแผนภาพ Young ของการแบ่งส่วนขนาดใหญ่ทั่วไปจะเข้าใกล้กราฟของฟังก์ชันวิเคราะห์บางอย่างที่ลดฟังก์ชันบางอย่างลงในเชิงอะซิมโทติก ในปี 1988 Baik, Deift และ Johansson ได้ขยายผลลัพธ์เหล่านี้เพื่อกำหนดการกระจายของลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นยาวที่สุดของการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มในแง่ของ การ กระจายTracy–Widom ^{[ 17 ]} Okounkovเชื่อมโยงผลลัพธ์เหล่านี้กับคอมบินาทอริกของพื้นผิว Riemannและทฤษฎีการแสดงแทน^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

ดูเพิ่มเติม

อันดับของพาร์ทิชันซึ่งเป็นแนวคิดที่แตกต่างของอันดับ
ข้อเหวี่ยงของพาร์ติชั่น
ลำดับการครอบงำ
การแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
การแบ่งเซต
ดาวและแท่ง (คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง)
การแบ่งระนาบ
จำนวนสุภาพ (Patient number)ที่กำหนดโดยการแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน
การแบ่งส่วนแบบคูณ
สิบสองทาง
สูตรการสุ่มตัวอย่างของอีเวนส์
สูตรของฟาอา ดิ บรูโน
การแบ่งพาร์ติชั่นหลายส่วน
เอกลักษณ์ของนิวตัน
ฟังก์ชันชิ้นส่วนที่เล็กที่สุด
การแบ่งแบบโกลด์บัค คือการแบ่งจำนวนคู่เป็นจำนวนเฉพาะ (ดูทฤษฎีบทของโกลด์บัค )
ฟังก์ชันพาร์ติชันของ Kostant

หมายเหตุ

↑แอนดรูว์ส 1976หน้า 199
↑ Josuat-Vergès, Matthieu (2010), "Bijections between pattern-avoiding fillings of Young diagrams", Journal of Combinatorial Theory , Series A, 117 (8): 1218– 1230, arXiv : 0801.4928 , doi : 10.1016/j.jcta.2010.03.006 , MR 2677686 , S2CID 15392503 .
↑แอนดรูว์ส 1976หน้า 69
↑ Hardy & Wright 2008 , หน้า 380.
↑ Alder, Henry L. (1969). "เอกลักษณ์การแบ่งส่วน - จากออยเลอร์ถึงปัจจุบัน" . American Mathematical Monthly . 76 (7): 733– 746. doi : 10.2307/2317861 . JSTOR 2317861 .
↑ Hardy & Wright 2008 , หน้า 362.
↑ Hardy & Wright 2008 , หน้า 368.
↑ Hardy & Wright 2008 , หน้า 365.
↑สัญลักษณ์ที่ใช้เป็นไปตาม Abramowitz & Stegun 1964 หน้า825
↑ Andrews, George E. (1971). ทฤษฎีจำนวน . ฟิลาเดลเฟีย: WB Saunders Company. หน้า149–50 .
↑ Abramowitz & Stegun 1964 , หน้า825 , 24.2.2 สมการ I(B)
↑อับราโมวิทซ์และสเตกุน 1964 , หน้า. 826 , 24.2.2 เทียบเท่า ครั้งที่สอง(เอ)
↑ Richard Stanley, Enumerative Combinatorics , เล่ม 1, ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2012. บทที่ 1, ส่วนที่ 1.7.
↑ Hardy, GH (1920). ปัญหาที่มีชื่อเสียงบางประการของทฤษฎีจำนวน . สำนักพิมพ์แคลเรนดอน.
↑แอนดรูว์ส 1976หน้า 33–34
↑ดูตัวอย่างเช่น Stanley 1999 หน้า58
↑ Romik, Dan (2015). คณิตศาสตร์ที่น่าประหลาดใจของลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นยาวที่สุดสถาบันตำราสถิติคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-1-107-42882-9.
↑ Okounkov, Andrei (2000). "เมทริกซ์สุ่มและการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม". International Mathematics Research Notices . 2000 (20): 1043. doi : 10.1155/S1073792800000532 . S2CID 14308256 . {{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )
↑ Okounkov, A. (2001-04-01). "Infinite wedge and random partitions" . Selecta Mathematica . 7 (1): 57– 81. arXiv : math/9907127 . doi : 10.1007/PL00001398 . ISSN 1420-9020 . S2CID 119176413 .

ลิงก์ภายนอก

"การแบ่งส่วน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
เครื่องคำนวณพาร์ติชั่นและองค์ประกอบ
ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "พาร์ติชั่น" . แมทเวิลด์ .
Wilf, Herbert S. บรรยายเรื่องการแบ่งพาร์ติชันจำนวนเต็ม (PDF)เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2021-02-26 เรียกดูเมื่อ2021-02-28
การนับโดยใช้พาร์ติชันพร้อมตารางอ้างอิงจากสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์
พาร์ติชันจำนวนเต็มเก็บถาวรเมื่อ 2014-10-22 ที่Wayback Machineในฐานข้อมูลFindStat
โมดูล Integer::Partition PerlจากCPAN
อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการสร้างพาร์ติชันจำนวนเต็ม
การสร้างพาร์ติชันทั้งหมด: การเปรียบเทียบวิธีการเข้ารหัสสองแบบ
Grime, James (28 เมษายน 2016). "Partitions - Numberphile" (วิดีโอ) . Brady Haran . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2021. เรียกดูเมื่อ5 พฤษภาคม 2016 .

[FOOTNOTEAndrews1976199-1] แอนดรูว์ส 1976หน้า 199

[2] Josuat-Vergès, Matthieu (2010), "Bijections between pattern-avoiding fillings of Young diagrams", Journal of Combinatorial Theory , Series A, 117 (8): 1218– 1230, arXiv : 0801.4928 , doi : 10.1016/j.jcta.2010.03.006 , MR 2677686 , S2CID 15392503 .

[FOOTNOTEAndrews197669-3] แอนดรูว์ส 1976หน้า 69

[FOOTNOTEHardyWright2008380-4] Hardy & Wright 2008 , หน้า 380.

[5] Alder, Henry L. (1969). "เอกลักษณ์การแบ่งส่วน - จากออยเลอร์ถึงปัจจุบัน" . American Mathematical Monthly . 76 (7): 733– 746. doi : 10.2307/2317861 . JSTOR 2317861 .

[FOOTNOTEHardyWright2008362-6] Hardy & Wright 2008 , หน้า 362.

[FOOTNOTEHardyWright2008368-7] Hardy & Wright 2008 , หน้า 368.

[FOOTNOTEHardyWright2008365-8] Hardy & Wright 2008 , หน้า 365.

[9] สัญลักษณ์ที่ใช้เป็นไปตาม Abramowitz & Stegun 1964 หน้า825

[10] Andrews, George E. (1971). ทฤษฎีจำนวน . ฟิลาเดลเฟีย: WB Saunders Company. หน้า149–50 .

[11] Abramowitz & Stegun 1964 , หน้า825 , 24.2.2 สมการ I(B)

[12] อับราโมวิทซ์และสเตกุน 1964 , หน้า. 826 , 24.2.2 เทียบเท่า ครั้งที่สอง(เอ)

[13] Richard Stanley, Enumerative Combinatorics , เล่ม 1, ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2012. บทที่ 1, ส่วนที่ 1.7.

[14] Hardy, GH (1920). ปัญหาที่มีชื่อเสียงบางประการของทฤษฎีจำนวน . สำนักพิมพ์แคลเรนดอน.

[FOOTNOTEAndrews197633–34-15] แอนดรูว์ส 1976หน้า 33–34

[16] ดูตัวอย่างเช่น Stanley 1999 หน้า58

[17] Romik, Dan (2015). คณิตศาสตร์ที่น่าประหลาดใจของลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นยาวที่สุดสถาบันตำราสถิติคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-1-107-42882-9.

[18] Okounkov, Andrei (2000). "เมทริกซ์สุ่มและการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม". International Mathematics Research Notices . 2000 (20): 1043. doi : 10.1155/S1073792800000532 . S2CID 14308256 . {{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )

[19] Okounkov, A. (2001-04-01). "Infinite wedge and random partitions" . Selecta Mathematica . 7 (1): 57– 81. arXiv : math/9907127 . doi : 10.1007/PL00001398 . ISSN 1420-9020 . S2CID 119176413 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]