อนุญาต${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$เป็นการกำหนดตำแหน่งของ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ที่อุดมคติที่สร้างขึ้นโดย 2. อย่างเป็นทางการ

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ เป็นจำนวนคี่}}\}.}$

ขอบเขตของเศษส่วนของ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$สำหรับองค์ประกอบใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์${\displaystyle r}$ของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะกับตัวเศษและตัวส่วนของ${\displaystyle r}$เพื่อเขียน${\displaystyle r}$เช่น${\displaystyle {\tfrac {2^{k}z}{n}}}$ที่ไหน${\displaystyle z}$,${\displaystyle n}$, และ${\displaystyle k}$เป็นจำนวนเต็มที่มี${\displaystyle z}$และ${\displaystyle n}$แปลก ในกรณีนี้ เรากำหนด${\displaystyle \nu (r)=k}$.

แล้ว${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$คือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่สอดคล้องกับ${\displaystyle \nu }$อุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$คืออุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดย 2 กล่าวคือ${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$และองค์ประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ "เฉพาะ" (ไม่เกินหน่วย) คือ 2 (หรือที่เรียกว่าพารามิเตอร์การทำให้เป็นมาตรฐาน)

โดยทั่วไปแล้วการหาตำแหน่ง เฉพาะที่ ของโดเมนเดเดคินด์ ที่ อุดมคติเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ ใดๆ ก็ตาม ถือเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง ในทางปฏิบัติ นี่คือวิธีที่วงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องเกิดขึ้นบ่อยครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถกำหนดวงแหวน ได้

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,p\nกลาง n\}}$

สำหรับสินค้าหลัก ใดๆ${\displaystyle p}$โดยเปรียบเทียบอย่างสมบูรณ์แบบ

แหวน​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ของจำนวนเต็มp -adic เป็น DVR สำหรับจำนวนเฉพาะ ใดๆ${\displaystyle p}$. ที่นี่${\displaystyle p}$เป็นองค์ประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้การประเมินค่าจะกำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adic${\displaystyle x}$จำนวนเต็มที่มากที่สุด${\displaystyle k}$โดยที่${\displaystyle p^{k}}$แบ่งแยก${\displaystyle x}$.

อีกตัวอย่างสำคัญของ DVR คือวงแหวนของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ${\displaystyle R=k[[T]]}$ในตัวแปรหนึ่งตัว${\displaystyle T}$เหนือทุ่งนาบางแห่ง${\displaystyle k}$องค์ประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ "เฉพาะตัว" คือ${\displaystyle T}$อุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle R}$เป็นอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle T}$และการประเมินมูลค่า${\displaystyle \nu }$กำหนดดัชนี (เช่น ระดับ) ของสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรกให้กับอนุกรมกำลังแต่ละชุด

หากเราจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะ สัมประสิทธิ์ที่ เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเราสามารถพิจารณาวงแหวนของอนุกรมกำลังในตัวแปรเดียวที่ลู่เข้าสู่บริเวณใกล้เคียง 0 (โดยบริเวณใกล้เคียงนั้นขึ้นอยู่กับอนุกรมกำลัง) นี่คือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการสร้างสัญชาตญาณเกี่ยวกับเกณฑ์การประเมินค่าของความเหมาะสม

ตัวอย่างที่มีลักษณะทางเรขาคณิตมากขึ้นก็คือ แหวน

${\displaystyle R=\{f/g:f,g\in \mathbb {R} [x],\,g(0)\neq 0\},}$

ถือเป็นวงย่อยของขอบเขตฟังก์ชันตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$.${\displaystyle R}$สามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนของฟังก์ชันตรรกยะค่าจริงทั้งหมดที่กำหนด (กล่าวคือ มีจำนวนจำกัด) บนบริเวณใกล้เคียงของ 0 บนแกนจริง (โดยบริเวณใกล้เคียงขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน) มันเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง องค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ "เพียงหนึ่งเดียว" คือ${\displaystyle x}$และการประเมินค่าที่กำหนดให้กับแต่ละฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ลำดับ (อาจเป็น 0) ของศูนย์ของ${\displaystyle f}$ที่ 0 ตัวอย่างนี้เป็นแม่แบบสำหรับการศึกษาเส้นโค้งพีชคณิต ทั่วไป ใกล้จุดที่ไม่เอกฐานโดยเส้นโค้งพีชคณิตในกรณีนี้คือเส้นจำนวนจริง

สำหรับเครื่องบันทึกวิดีโอ (DVR)${\displaystyle R}$โดยทั่วไปมักเขียนช่องเศษส่วนดังนี้${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$และ${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$ฟิลด์ส่วนเหลือสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับ จุด ทั่วไปและ จุด ปิดของ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$ตัวอย่างเช่น จุดปิดของ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$เป็น${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$และประเด็นหลักก็คือ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$บางครั้งสิ่งนี้จะถูกระบุว่าเป็น

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

ที่ไหน${\displaystyle \eta }$เป็นประเด็นทั่วไปและ${\displaystyle s}$เป็นจุดปิด

กำหนดให้เป็นเส้นโค้งพีชคณิต${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$วงแหวนท้องถิ่น${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ณ จุดเรียบ (ปิด)${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$เป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบแยกส่วน เนื่องจากเป็นวงแหวนการประเมินค่าหลัก โปรดสังเกตว่าจุดนั้นสำคัญ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$มีความเรียบเนียนการเติมเต็มวงแหวนท้องถิ่นมีลักษณะสมมาตรกับการเติมเต็มการกำหนดตำแหน่งของ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ณ จุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

สำหรับวาไรตี้ที่ไม่เอกฐานใดๆ เราสามารถพิจารณาวงแหวนท้องถิ่นที่จุดที่มีมิติร่วมหนึ่งได้เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว บนแผนผังปกติแบบโนเธอร์เรียน (เฉพาะที่) วงแหวนท้องถิ่นที่จุดทั่วไปของตัวหาร Weil ที่เป็นไพรม์คือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง โดยการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องจะให้ลำดับของการหายไปของฟังก์ชันปกติไปตามตัวหาร^{[ 2 ]}