แหวนท้องถิ่น

Q: คำจำกัดความและผลที่ตามมาเบื้องต้น

วงแหวน R เรียกว่า วงแหวนเฉพาะที่ (local ring) ถ้า มีคุณสมบัติเทียบเท่าอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีวงแหวน วงแหวน เฉพาะที่ ( local rings)คือวงแหวน บางประเภท ที่มีความเรียบง่ายกว่าวงแหวนอื่นๆ และใช้เพื่ออธิบายสิ่งที่เรียกว่า "พฤติกรรมเฉพาะที่" (local behaviour) ในแง่ของฟังก์ชันที่กำหนดบนวาไรตี้เชิงพีชคณิตหรือแมนิโฟลด์หรือฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตที่ตรวจสอบ ณตำแหน่งหรือจำนวนเฉพาะ ใดเฉพาะหนึ่ง พีชคณิตเฉพาะที่ (local algebra)คือสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงสลับที่ศึกษาเกี่ยวกับ วงแหวนเฉพาะที่ เชิงสลับที่และโมดูลของ วงแหวนเหล่านั้น

ในทางปฏิบัติ วงแหวนเฉพาะที่แบบสลับที่ได้มักเกิดขึ้นจากการกำหนดตำแหน่งของวงแหวนที่อุดมคติเฉพาะที่

แนวคิดเรื่องวงแหวนท้องถิ่นได้รับการแนะนำโดยWolfgang Krull ในปี 1938 ภาย ใต้ชื่อStellenringe ^{[ 1 ]} คำ ว่าวงแหวนท้องถิ่น ในภาษาอังกฤษมาจากZariski ^{[ 2 ]}

คำจำกัดความและผลที่ตามมาเบื้องต้น

วงแหวนRเรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่ (local ring) ถ้า มีคุณสมบัติเทียบเท่าอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

Rมีไอเดียลซ้ายสูงสุดเพียง หนึ่งเดียว
Rมีอุดมคติขวาสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว
1 ≠ 0 และผลรวมของจำนวนที่ไม่ใช่หน่วย สองจำนวนใดๆ ในRก็คือจำนวนที่ไม่ใช่หน่วยเช่นกัน
1 ≠ 0 และถ้าxเป็นสมาชิกใดๆ ของRแล้วxหรือ1 − xจะเป็นหน่วย
ถ้าผลรวมจำกัดเป็นหน่วย ผลรวมนั้นก็จะมีพจน์ที่เป็นหน่วยด้วย (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมว่างเปล่าไม่สามารถเป็นหน่วยได้ ดังนั้นจึงหมายความว่า 1 ≠ 0)

ถ้าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริง ไอเดียลซ้ายสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันจะตรงกับไอเดียลขวาสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันและกับรากจาคอบสัน ของ วงแหวน คุณสมบัติข้อที่สามที่ระบุไว้ข้างต้นกล่าวว่าเซตของหน่วยที่ไม่ใช่หน่วยในวงแหวนท้องถิ่นก่อตัวเป็นไอเดียล (ที่เหมาะสม) ^{[ 3 ]}ซึ่งจำเป็นต้องมีอยู่ในรากจาคอบสัน คุณสมบัติข้อที่สี่สามารถถอดความได้ดังนี้: วงแหวนRเป็นวงแหวนท้องถิ่นก็ต่อเมื่อไม่มีไอเดียล (หลัก) (ซ้าย) ที่เหมาะสมสองตัวที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันโดยที่ไอเดียลI , I เรียกว่าจำนวนเฉพาะร่วมกันถ้าR = I + I

ในกรณีของวงแหวนสลับที่เราไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างอุดมคติซ้าย อุดมคติขวา และอุดมคติสองด้าน: วงแหวนสลับที่ถือว่าเป็นวงแหวนเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีอุดมคติสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว ก่อนปี 1960 ผู้เขียนหลายคนกำหนดเงื่อนไขว่าวงแหวนเฉพาะที่ต้องเป็นโนเธอร์ เรียน (ซ้ายและขวา) และวงแหวนเฉพาะที่ (อาจไม่ใช่โนเธอร์เรียน) ถูกเรียกว่าวงแหวนกึ่งเฉพาะที่ในบทความนี้ไม่มีข้อกำหนดดังกล่าว

วงแหวนเฉพาะที่ซึ่งเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์เรียกว่าโดเมนเฉพาะที่

ตัวอย่าง

ฟิลด์ทั้งหมด(และฟิลด์เฉียง ) เป็นวงแหวนเฉพาะที่ เนื่องจาก {0} เป็นอุดมคติสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวในวงแหวนเหล่านี้
แหวน $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ เป็นวงแหวนเฉพาะที่ ( $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ, $n \geq 1$ ) ไอ เดียลสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันประกอบด้วยพหุคูณทั้งหมดของ $p$
โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งทุกองค์ประกอบเป็นได้ทั้งหน่วยหรือนิลโพเทนต์เรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่
วงแหวนเฉพาะที่สำคัญประเภทหนึ่งคือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นโดเมนอุดมคติหลัก เฉพาะ ที่ที่ไม่ใช่ฟิลด์
แหวน $\mathbb {C} [[x]]$ ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นอนุกรมอนันต์ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ โดยที่การคูณจะกำหนดโดย ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ โดยที่ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$ เป็นค่าเฉพาะที่ อุดมคติสูงสุดที่เป็นเอกลักษณ์ของมันประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่ไม่สามารถผกผันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่มีค่าคงที่เท่ากับศูนย์
โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม ทุกวง เหนือวงแหวนเฉพาะที่นั้นเป็นวงแหวนเฉพาะที่ กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดประกอบด้วยอนุกรมกำลังเหล่านั้นที่มีพจน์คงที่ในอุดมคติสูงสุดของวงแหวนฐาน
ในทำนองเดียวกันพีชคณิตของจำนวนคู่บนฟิลด์ใดๆ ก็เป็นพีชคณิตเฉพาะที่ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าFเป็นวงแหวนเฉพาะที่ และnเป็นจำนวนเต็มบวกวงแหวนผลหารF [ X ]/( X ⁿ ) จะเป็นวงแหวนเฉพาะที่ที่มีอุดมคติสูงสุดซึ่งประกอบด้วยกลุ่มของพหุนามที่มีพจน์คงที่อยู่ในอุดมคติสูงสุดของFเนื่องจากเราสามารถใช้อนุกรมเรขาคณิตเพื่อผกผันพหุนามอื่นๆ ทั้งหมดมอดูล X ⁿได้ ถ้าFเป็นฟิลด์ สมาชิกของF [ X ]/( X ⁿ ) จะเป็นนิลโพเทนต์หรืออินเวอร์สได้ (จำนวนคู่บนFสอดคล้องกับกรณีn = 2 )
วงแหวนผลหารที่ไม่เป็นศูนย์ของวงแหวนท้องถิ่นถือเป็นวงแหวนท้องถิ่น
วงแหวนของจำนวนตรรกยะที่มี ตัวส่วน เป็นเลขคี่เป็นวงแหวนเฉพาะที่ อุดมคติสูงสุดของวงแหวนนี้ประกอบด้วยเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นเลขคู่และตัวส่วนเป็นเลขคี่ $\mathbb {Z} _{(2)}$ จำนวนเต็มที่กำหนดตำแหน่งไว้ที่ 2
โดยทั่วไปแล้ว สำหรับวงแหวนสลับที่ ใดๆ RและอุดมคติเฉพาะP ใดๆ ของRการหาตำแหน่ง เฉพาะที่ ของRที่P นั้นเป็นการ หาตำแหน่งเฉพาะที่ อุดมคติสูงสุดคืออุดมคติที่สร้างขึ้นโดยPในการหาตำแหน่งเฉพาะที่นี้ กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดa / sโดยที่a ∈ Pและs ∈ R - P

ตัวอย่างที่ไม่ใช่

วงแหวนของพหุนาม $K[x]$ เหนือทุ่งนา $K$ ไม่ใช่ของท้องถิ่น เนื่องจาก $x$ และ $1-x$ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่หน่วย แต่ผลรวมของพวกมันคือหน่วย
วงแหวนของจำนวนเต็ม $\mathbb {Z}$ ไม่ใช่แบบเฉพาะที่ เนื่องจากมีอุดมคติสูงสุด $(p)$ สำหรับจำนวนเฉพาะทุกตัว $p$ .
$\mathbb {Z}$ /( pq ) $\mathbb {Z}$ โดยที่pและqเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน ทั้ง ( p ) และ ( q ) ต่างก็เป็นอุดมคติสูงสุดในที่นี้

วงแหวนเชื้อโรค

เพื่ออธิบายที่มาของชื่อ "ท้องถิ่น" สำหรับวงแหวนเหล่านี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง ค่าจริง ที่กำหนดบนช่วงเปิด บางช่วง รอบ ๆ $0$ ของเส้นจำนวนจริงเราสนใจเฉพาะพฤติกรรมของฟังก์ชันเหล่านี้ใกล้ๆ เท่านั้น $0$ (พฤติกรรมเฉพาะที่ของพวกมัน) และด้วยเหตุนี้เราจึงจะระบุฟังก์ชันสองฟังก์ชันได้ หากพวกมันเห็นพ้องต้องกันในช่วงเปิดบางช่วง (ซึ่งอาจเล็กมาก) รอบๆ $0$ การระบุนี้กำหนดความสัมพันธ์สมมูลและชั้นสมมูลเหล่านี้เรียกว่า " เชื้อของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริง" ที่ $0$ "เชื้อเหล่านี้สามารถนำมาบวกและขยายจำนวนได้ และก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ได้"

เพื่อให้เห็นว่าวงแหวนของเชื้อโรคนี้เป็นแบบเฉพาะที่ เราจำเป็นต้องระบุลักษณะขององค์ประกอบที่ผันกลับได้ของมัน เชื้อโรค $f$ สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อ $f(0)\neq 0$ เหตุผล: ถ้า $f(0)\neq 0$ ดังนั้นโดยหลักความต่อเนื่องจึงมีช่วงเปิดอยู่รอบๆ $0$ ที่ไหน $f$ มีค่าไม่เป็นศูนย์ และเราสามารถสร้างฟังก์ชันได้ $g(x)={\frac {1}{f(x)}}$ ในช่วงเวลานี้ ฟังก์ชัน $g$ ก่อให้เกิดเชื้อโรค และผลิตภัณฑ์ของ $fg$ เท่ากับ $1$ (ในทางกลับกัน ถ้า $f$ ถ้าผกผันได้ ก็จะมีบางอย่าง $g$ โดยที่ $f(0)g(0)=1$ , เพราะฉะนั้น $f(0)\neq 0$ .)

ด้วยลักษณะเฉพาะนี้ จึงเห็นได้ชัดว่าผลรวมของเจิร์มที่ไม่สามารถผกผันได้สองตัวใดๆ ก็ยังคงไม่สามารถผกผันได้เช่นกัน และเราก็จะได้วงแหวนเฉพาะที่แบบสลับที่ได้ อุดมคติสูงสุดของวงแหวนนี้ประกอบด้วยเจิร์มเหล่านั้นอย่างแม่นยำ $f$ กับ $f(0)=0$ .

เหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ ณ จุดที่กำหนด หรือวงแหวนของ ฟังก์ชัน เชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ ใดๆ ณ จุดที่กำหนด หรือวงแหวนของฟังก์ชันตรรก ยะบน วาไรตีเชิงพีชคณิตใดๆณ จุดที่กำหนด วงแหวนเหล่านี้ทั้งหมดจึงเป็นวงแหวนเฉพาะที่ ตัวอย่างเหล่านี้ช่วยอธิบายว่าทำไมสกีม ซึ่ง เป็นการวางนัยทั่วไปของวาไรตี จึงถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิ ที่มีวงแหวนเฉพาะที่แบบพิเศษ

ทฤษฎีการประเมินค่า

วงแหวนเฉพาะที่ (Local rings) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการประเมินค่า (valuation theory) ตามนิยามวงแหวนประเมินค่าของฟิลด์Kคือวงแหวนย่อยRซึ่งสำหรับทุกองค์ประกอบx ที่ไม่เป็นศูนย์ ของKอย่างน้อยหนึ่งในxและx ^{− 1}จะต้องอยู่ในRวงแหวนย่อยดังกล่าวจะเป็นวงแหวนเฉพาะที่ ตัวอย่างเช่น วงแหวนของจำนวนตรรกยะที่มี ตัวส่วนเป็นเลข คี่ (ที่กล่าวถึงข้างต้น) เป็นวงแหวนประเมินค่าใน R $\mathbb {Q}$ .

เมื่อกำหนดฟิลด์Kซึ่งอาจเป็นหรือไม่เป็น ฟิลด์ฟังก์ชันก็ได้ เราอาจมองหาวงแหวนเฉพาะที่ในฟิลด์นั้น หากKเป็นฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตV จริงๆ แล้ว สำหรับแต่ละจุดPของVเราสามารถลองกำหนดวงแหวนการประเมินค่าRของฟังก์ชันที่ "กำหนดที่" P ได้ ในกรณีที่Vมีมิติ 2 หรือมากกว่านั้น จะมีปัญหาที่เห็นได้ดังนี้: ถ้าFและGเป็นฟังก์ชันตรรกยะบนVที่ มี

F ( P ) = G ( P ) = 0,

ฟังก์ชัน

เอฟ / จี

เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอนที่Pลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ เช่น

ย / ซ

เข้าใกล้ตามแนวเส้น

Y = tX ,

จะเห็นได้ว่าค่าที่จุดPเป็นแนวคิดที่ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน จึงต้องใช้การประเมินค่าแทน

สมบัติไม่สลับที่

วงแหวนเฉพาะที่แบบไม่สลับที่กันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในฐานะวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมในการศึกษาการแยกส่วนผลรวมโดยตรง ของ โมดูลเหนือวงแหวนอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของโมดูลMเป็น วงแหวนเฉพาะที่ แสดงว่า Mไม่สามารถแยกส่วนได้ในทางกลับกัน ถ้าโมดูลMมีความยาว จำกัด และไม่สามารถแยกส่วนได้ วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของมันจะเป็นวงแหวนเฉพาะที่

ถ้าkเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะp > 0และG เป็น กลุ่ม pจำกัดแล้วพีชคณิตกลุ่มkGเป็นกลุ่มเฉพาะที่ (local)

ข้อเท็จจริงและคำจำกัดความบางประการ

กรณีสลับที่ได้

เรายังเขียน( R , m )สำหรับวงแหวนเฉพาะที่สลับที่ได้Rที่มีอุดมคติสูงสุดmวงแหวนดังกล่าวทุกวงจะกลายเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีโดยธรรมชาติ หากเราใช้กำลังของmเป็นฐานใกล้เคียงของ 0 นี่คือ ทอพอโลยี m -adicบนRถ้า( R , m )เป็น วงแหวนเฉพาะที่แบบ Noetherian ที่สลับที่ได้ แล้ว

\bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}

( ทฤษฎีบทจุดตัดของ Krull ) และเป็นผลให้Rที่มี โทโพโลยี m -adic เป็นปริภูมิ Hausdorffทฤษฎีบทนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากเลมมาของ Artin–Reesร่วมกับเลมมาของ Nakayamaและด้วยเหตุนี้ สมมติฐาน "Noetherian" จึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง แท้จริงแล้ว ให้Rเป็นวงแหวนของเจิร์มของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งที่ 0 บนเส้นจำนวนจริง และmเป็นอุดมคติสูงสุด $(x)$ จากนั้นฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ $e^{-{1 \over x^{2}}}$ เป็นของ $m^{n}$ สำหรับn ใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันนั้นหารด้วย $x^{n}$ ยังคงเรียบลื่นอยู่

สำหรับวงแหวนเชิงทอพอโลยีใดๆ เราสามารถถามได้ว่า( R , m )สมบูรณ์ หรือ ไม่ (ในฐานะปริภูมิเอกรูป ) หากไม่สมบูรณ์ เราจะพิจารณาการทำให้สมบูรณ์ซึ่งก็คือวงแหวนเฉพาะที่อีกเช่นกัน วงแหวนเฉพาะที่แบบ Noetherian ที่สมบูรณ์จะถูกจำแนกโดยทฤษฎีบทโครงสร้างของ Cohen

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อR เป็น วงแหวนเฉพาะที่ของสกีม ณ จุดP บาง จุดR / mเรียกว่าฟิลด์ส่วนเหลือของวงแหวนเฉพาะที่ หรือฟิลด์ส่วนเหลือของจุดP

ถ้า( R , m )และ( S , n )เป็นวงแหวนเฉพาะที่โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเฉพาะที่จากRไปยังSจะเป็น โฮโม มอร์ฟิซึมวงแหวนf : R → Sที่มีคุณสมบัติf ( m ) ⊆ n ^{[ 4 ]}โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเหล่านี้มีความต่อเนื่องกับโทโพโลยีที่กำหนดบนRและS อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น พิจารณามอร์ฟิซึมวงแหวน $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})$ การส่ง $x\mapsto x$ ภาพก่อนหน้าของ $(x,y)$ เป็น $(x)$ อีกตัวอย่างหนึ่งของการแปลงวงแหวนเฉพาะที่แสดงโดย $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})$ .

กรณีทั่วไป

รากJacobson mของวงแหวนเฉพาะที่R (ซึ่งเท่ากับอุดมคติซ้ายสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันและอุดมคติขวาสูงสุดที่ไม่ซ้ำกัน) ประกอบด้วยหน่วยที่ไม่ใช่หน่วยของวงแหวนอย่างแม่นยำ ยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นอุดมคติสองด้านสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของRอย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่สลับที่ การมีอุดมคติสองด้านสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันไม่ได้เทียบเท่ากับการเป็นวงแหวนเฉพาะที่^{[ 5 ]}

สำหรับสมาชิกxของวงแหวนเฉพาะที่R ข้อความต่อ ไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

xมีตัวผกผันทางซ้าย
xมีตัวผกผันทางขวา
xสามารถผกผันได้
xไม่อยู่ในm

ถ้า( R , m )เป็นโลคัล แล้ววงแหวนแฟกเตอร์R / mจะเป็นฟิลด์สกิวถ้าJ ≠ R เป็นไอ เดียลสองด้านใดๆ ในRแล้ววงแหวนแฟกเตอร์R / Jจะเป็นโลคัลอีกครั้ง โดยมีไอเดียลสูงสุดm / J

ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้งของIrving Kaplanskyกล่าวว่าโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ใดๆ บนวงแหวนเฉพาะที่นั้นเป็นโมดูลอิสระแม้ว่ากรณีที่โมดูลนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดจะเป็นผลลัพธ์ที่ง่ายจากเลมมาของ Nakayamaก็ตาม สิ่งนี้มีผลลัพธ์ที่น่าสนใจในแง่ของความสมมูลของ Moritaกล่าวคือ ถ้าPเป็น โมดูล เชิงโปรเจกทีฟ R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแล้วPจะสมมูลกับโมดูลอิสระR ⁿและด้วยเหตุนี้จึงเป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมด้วย $\mathrm {สิ้นสุด} _{R}(P)$ มีโครงสร้างสมมาตรกับวงแหวนเมทริกซ์ทั้งหมด $\mathrm {M} _{n}(R)$ เนื่องจากวงแหวนโมริตะทุกวงที่เทียบเท่ากับวงแหวนท้องถิ่นRมีรูปแบบดังนี้ $\mathrm {สิ้นสุด} _{R}(P)$ สำหรับP ดังกล่าว ข้อสรุปคือ วงแหวนโมริตะเพียงวงเดียวที่เทียบเท่ากับวงแหวนท้องถิ่นR คือวงแหวนเมทริกซ์เหนือR

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (ในภาษาเยอรมัน). 1938 (179): 204. doi : 10.1515/crll.1938.179.204 . S2CID 115691729 .
↑ Zariski, Oscar (พฤษภาคม 1943). "รากฐานของทฤษฎีทั่วไปของการจับคู่แบบไบราชันแนล" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 53 (3). สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน: 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215 .
↑ Lam (2001), หน้า 295, ทฤษฎีบท 19.1.
↑ "แท็ก 07BI "
↑ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ 2x2 บนฟิลด์หนึ่ง มีไอเดียลสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวคือ {0} แต่มีไอเดียลสูงสุดด้านขวาและด้านซ้ายหลายอัน

ลิงก์ภายนอก

ปรัชญาเบื้องหลังแหวนประจำท้องถิ่น

[Krull-1] Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (ในภาษาเยอรมัน). 1938 (179): 204. doi : 10.1515/crll.1938.179.204 . S2CID 115691729 .

[Zariski-2] Zariski, Oscar (พฤษภาคม 1943). "รากฐานของทฤษฎีทั่วไปของการจับคู่แบบไบราชันแนล" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 53 (3). สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน: 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215 .

[3] Lam (2001), หน้า 295, ทฤษฎีบท 19.1.

[4] "แท็ก 07BI "

[5] ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ 2x2 บนฟิลด์หนึ่ง มีไอเดียลสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวคือ {0} แต่มีไอเดียลสูงสุดด้านขวาและด้านซ้ายหลายอัน

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]