ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติสัมประสิทธิ์การแปรผัน ( CV ) หรือที่รู้จักกันในชื่อ ค่าเบี่ยง เบนมาตรฐานรากกำลังสองเฉลี่ยแบบนอร์มาไลซ์ (NRMSD) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ ( RSD ) เป็น มาตรวัด มาตรฐานของการกระจายตัวของการแจกแจงความน่าจะเป็นหรือการแจกแจงความถี่ โดย นิยามว่าคืออัตราส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน${\displaystyle \sigma }$ถึงค่าเฉลี่ย${\displaystyle \mu }$(หรือค่าสัมบูรณ์ ของมัน )${\displaystyle |\mu |}$)และมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ("%RSD")

ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรปรวน (CV) หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ (RSD) เป็นค่าที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในเคมีวิเคราะห์เพื่อแสดงถึงความแม่นยำและความสามารถในการทำซ้ำของการทดสอบนอกจากนี้ยังใช้กันทั่วไปในสาขาต่างๆ เช่นวิศวกรรมศาสตร์หรือฟิสิกส์เมื่อทำการศึกษาการประกันคุณภาพและการวิเคราะห์ ความแปรปรวน (ANOVA gauge R&R ) โดยนักเศรษฐศาสตร์และนักลงทุนในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ในระบาดวิทยาและในจิตวิทยา / ประสาทวิทยาศาสตร์

สัมประสิทธิ์การแปรผัน (CV) ถูกกำหนด^{[ 1 ]}ให้เป็นอัตราส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน${\displaystyle \sigma }$ถึงค่าเฉลี่ย${\displaystyle \mu }$,

${\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}$

แสดงให้เห็นถึงขอบเขตของความแปรปรวนที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของประชากร ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันควรคำนวณเฉพาะสำหรับข้อมูลที่วัดบนมาตราส่วนที่มีค่าศูนย์ที่มีความหมาย ( มาตราส่วนอัตราส่วน ) และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้เปรียบเทียบการวัดสองค่าแบบสัมพัทธ์ได้ (เช่น การหารการวัดหนึ่งด้วยการวัดอื่น) ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันอาจไม่มีความหมายสำหรับข้อมูลบนมาตราส่วนช่วง^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น มาตราส่วนอุณหภูมิส่วนใหญ่ (เช่น เซลเซียส ฟาเรนไฮต์ เป็นต้น) เป็นมาตราส่วนช่วงที่มีค่าศูนย์ตามอำเภอใจ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันที่คำนวณได้จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับมาตราส่วนที่ใช้ ในทางกลับกัน อุณหภูมิ เคลวินมีค่าศูนย์ที่มีความหมาย คือการไม่มีพลังงานความร้อนโดยสมบูรณ์ ดังนั้นจึงเป็นมาตราส่วนอัตราส่วน ในภาษาที่เข้าใจง่าย การกล่าวว่า 20 เคลวินร้อนกว่า 10 เคลวินสองเท่ามีความหมาย แต่เฉพาะในมาตราส่วนนี้ที่มีค่าศูนย์สัมบูรณ์ที่แท้จริงเท่านั้น ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) สามารถวัดได้ในเคลวิน เซลเซียส หรือฟาเรนไฮต์ ค่าที่คำนวณได้นั้นใช้ได้กับมาตราส่วนนั้นเท่านั้น เฉพาะมาตราเคลวินเท่านั้นที่สามารถใช้คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันที่ถูกต้องได้

ค่าที่วัดได้ซึ่งมี การกระจายแบบ ลอการิทมิกปกติจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผัน (CV) ที่คงที่ ในทางตรงกันข้าม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) จะแปรผันไปตามค่าที่คาดหวังของค่าที่วัดได้

ความเป็นไปได้ที่น่าเชื่อถือกว่าคือสัมประสิทธิ์การกระจายตัวของควอไทล์ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของช่วงควอไทล์${\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}$หารด้วยค่าเฉลี่ยของควอไทล์ ( จุดกึ่งกลาง )${\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}$.

ในกรณีส่วนใหญ่ ค่า CV จะถูกคำนวณสำหรับตัวแปรอิสระตัวเดียว (เช่น ผลิตภัณฑ์จากโรงงานเพียงตัวเดียว) โดยมีการวัดตัวแปรตามซ้ำๆ หลายครั้ง (เช่น ข้อผิดพลาดในกระบวนการผลิต) อย่างไรก็ตาม ข้อมูลที่เป็นเชิงเส้นหรือแม้แต่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบลอการิทึม และรวมถึงช่วงต่อเนื่องสำหรับตัวแปรอิสระที่มีการวัดแบบกระจัดกระจายในแต่ละค่า (เช่น แผนภาพกระจาย) อาจสามารถคำนวณค่า CV เดียวได้โดยใช้วิธีการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด^{[ 3 ]}

ในตัวอย่างด้านล่างนี้ เราจะใช้ค่าที่กำหนดโดยสุ่มจากกลุ่มค่าที่มีขนาดใหญ่กว่า

• ชุดข้อมูล [100, 100, 100] มีค่าคงที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 0 และค่าเฉลี่ยคือ 100 ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 0 / 100 = 0
• ชุดข้อมูล [90, 100, 110] มีความแปรปรวนมากกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 10 และค่าเฉลี่ยคือ 100 ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 10 / 100 = 0.1
• ชุดข้อมูล [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] มีความแปรปรวนมากกว่าเดิม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 32.9 และค่าเฉลี่ยคือ 27.9 ทำให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 32.9 / 27.9 = 1.18

ในตัวอย่างเหล่านี้ เราจะใช้ค่าที่กำหนดให้เป็นค่าทั้งหมดของประชากร

• ชุดข้อมูล [100, 100, 100] มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากับ 0 และค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 0 / 100 = 0
• ชุดข้อมูล [90, 100, 110] มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากับ 8.16 และค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 8.16 / 100 = 0.0816
• ชุดข้อมูล [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากับ 30.8 และค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันเท่ากับ 30.8 / 27.9 = 1.10

เมื่อมีข้อมูลเพียงตัวอย่างจากประชากรเท่านั้น ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันของประชากร (CV) สามารถประมาณได้โดยใช้สัดส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง${\displaystyle s\,}$ถึงค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง${\displaystyle {\bar {x}}}$:

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}$

แต่ตัวประมาณค่านี้ เมื่อนำไปใช้กับตัวอย่างขนาดเล็กหรือขนาดปานกลาง มักจะมีค่าต่ำเกินไป: เป็นตัวประมาณค่าที่มีอคติสำหรับ ข้อมูล ที่มีการกระจายแบบปกติตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติ^{[ 4 ]}สำหรับตัวอย่างขนาด n คือ:

${\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}$

สัมประสิทธิ์ความแปรผัน (Coefficient of Variation หรือ CV) เป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในสาขาความน่าจะเป็นประยุกต์ เช่นทฤษฎีการต่ออายุ (Renewal Theory ) ทฤษฎีการเข้าคิว ( Queueing Theory ) และทฤษฎีความน่าเชื่อถือ (Reliability Theory ) ในสาขาเหล่านี้ การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนน เชียล ( Exponential Distribution) มักมีความสำคัญมากกว่าการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนน เชียลเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้นสัมประสิทธิ์ความแปรผันจึงเท่ากับ 1 การแจกแจงที่มี CV < 1 (เช่นการแจกแจงแบบเออร์ลัง (Erlang Distribution )) ถือว่ามีความแปรปรวนต่ำ ในขณะที่การแจกแจงที่มี CV > 1 (เช่น การแจกแจงแบบไฮเปอร์เอกซ์โพเนนเชียล (Hyper-Exponential Distribution )) ถือว่ามีความแปรปรวนสูงสูตรบางสูตรในสาขาเหล่านี้แสดงโดยใช้สัมประสิทธิ์ความแปรผันกำลังสองซึ่งมักย่อว่า SCV ในการสร้างแบบจำลอง รูปแบบหนึ่งของ CV คือ CV(RMSD) โดยพื้นฐานแล้ว CV(RMSD) จะแทนที่พจน์ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉลี่ยกำลังสอง(Root Mean Square Deviation หรือ RMSD ) แม้ว่ากระบวนการทางธรรมชาติหลายอย่างจะแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและปริมาณความแปรผันโดยรอบ แต่เซ็นเซอร์ที่มีความแม่นยำจำเป็นต้องได้รับการออกแบบในลักษณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันใกล้เคียงกับศูนย์ กล่าวคือ ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ คงที่ ตลอดช่วงการทำงานของ เซ็นเซอร์

ในวิทยาศาสตร์ประกันภัย CV เรียกว่าความเสี่ยงแบบหน่วย^{[ 13 ]}

ในกระบวนการแปรรูปของแข็งทางอุตสาหกรรม CV มีความสำคัญอย่างยิ่งในการวัดระดับความเป็นเนื้อเดียวกันของส่วนผสมผง การเปรียบเทียบ CV ที่คำนวณได้กับข้อกำหนดจะช่วยให้สามารถกำหนดได้ว่ามีการผสมในระดับที่เพียงพอหรือไม่^{[ 14 ]}

การเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันระหว่างพารามิเตอร์โดยใช้หน่วยสัมพัทธ์ อาจทำให้เกิดความแตกต่างที่ไม่เป็นจริงได้ หากเราเปรียบเทียบชุดอุณหภูมิเดียวกันในหน่วยเซลเซียสและฟาเรนไฮต์ (ซึ่งทั้งสองเป็นหน่วยสัมพัทธ์ โดยที่เคลวินและมาตราแรงคินเป็นค่าสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้อง):

เซลเซียส: [0, 10, 20, 30, 40]

ฟาเรนไฮต์: [32, 50, 68, 86, 104]

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ตัวอย่าง คือ 15.81 และ 28.46 ตามลำดับ ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน (CV) ของชุดแรกคือ 15.81/20 = 79% สำหรับชุดที่สอง (ซึ่งมีอุณหภูมิเท่ากัน) คือ 28.46/68 = 42%

ตัวอย่างเช่น หากชุดข้อมูลเป็นค่าอุณหภูมิที่วัดได้จากเซ็นเซอร์สองตัวที่แตกต่างกัน (เซ็นเซอร์เซลเซียสและเซ็นเซอร์ฟาเรนไฮต์) และคุณต้องการทราบว่าเซ็นเซอร์ตัวใดดีกว่าโดยเลือกตัวที่มีความแปรปรวนน้อยที่สุด การใช้ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน (CV) จะทำให้คุณเข้าใจผิด ปัญหาคือคุณหารด้วยค่าสัมพัทธ์แทนที่จะเป็นค่าสัมบูรณ์

เปรียบเทียบชุดข้อมูลเดียวกัน แต่คราวนี้แสดงในหน่วยสัมบูรณ์:

เคลวิน: [273.15, 283.15, 293.15, 303.15, 313.15]

แรงไคน์: [491.67, 509.67, 527.67, 545.67, 563.67]

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างยังคงอยู่ที่ 15.81 และ 28.46 ตามลำดับ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ได้รับผลกระทบจากค่าคงที่ อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันในขณะนี้เท่ากับ 5.39% ทั้งสองค่า

ในทางคณิตศาสตร์แล้ว สัมประสิทธิ์ความแปรผันไม่ได้เป็นเส้นตรงโดยสมบูรณ์ กล่าวคือ สำหรับตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X}$สัมประสิทธิ์ความแปรผันของ${\displaystyle aX+b}$เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันของ${\displaystyle X}$เฉพาะเมื่อ${\displaystyle b=0}$ในตัวอย่างข้างต้น เซลเซียสสามารถแปลงเป็นฟาเรนไฮต์ได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้นในรูปแบบต่อไปนี้เท่านั้น${\displaystyle ax+b}$กับ${\displaystyle b\neq 0}$ในขณะที่สามารถแปลงหน่วยเคลวินเป็นหน่วยแรงไคน์ได้โดยการแปลงรูปแบบ${\displaystyle ax}$.

หากค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่เป็นลบและบวกเล็กน้อยเกิดขึ้นด้วยความถี่ที่น้อยมาก การแจกแจงความน่าจะเป็นของสัมประสิทธิ์ความแปรผันสำหรับตัวอย่างขนาด จะเป็นดังนี้${\displaystyle n}$ของตัวแปรสุ่มปกติ iid ได้รับการแสดงให้เห็นโดย Hendricks และ Robey ว่าเป็น^{[ 27 ]}

$${\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}\cdot {\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}\right){\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {ni}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}\cdot {\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\cdot \left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}\cdot {\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}$$

โดยที่สัญลักษณ์${\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }$แสดงว่าผลรวมนั้นครอบคลุมเฉพาะค่าคู่เท่านั้น${\displaystyle n-1-i}$กล่าวคือ ถ้า${\displaystyle n}$เป็นค่าคี่ ผลรวมของค่าคู่${\displaystyle i}$และถ้า${\displaystyle n}$เป็นเลขคู่ ผลรวมเฉพาะค่าคี่ของ${\displaystyle i}$.

สิ่งนี้มีประโยชน์ เช่น ในการสร้างการทดสอบสมมติฐานหรือช่วงความเชื่อมั่นการอนุมานทางสถิติสำหรับสัมประสิทธิ์ความแปรผันในข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติ มักจะใช้การประมาณค่าไคสแควร์ของ McKayสำหรับสัมประสิทธิ์ความแปรผัน^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

ค่าโมเมนต์มาตรฐานเป็นอัตราส่วนที่คล้ายคลึงกัน${\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}$ที่ไหน${\displaystyle \mu _{k}}$คือ โมเมนต์ ^{ลำดับ ที่} kรอบค่าเฉลี่ย ซึ่งไม่มีมิติและไม่ขึ้นกับมาตราส่วนอัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$เป็นอัตราส่วนที่คล้ายกันอีกแบบหนึ่ง แต่ไม่ใช่ค่าไร้มิติ ดังนั้นจึงไม่คงที่ตามมาตราส่วน ดูหัวข้อ การทำให้เป็นมาตรฐาน (สถิติ)สำหรับอัตราส่วนอื่นๆ เพิ่มเติม

ในการประมวลผลสัญญาณโดยเฉพาะอย่างยิ่งการประมวลผลภาพอัตราส่วนผกผัน${\displaystyle \mu /\sigma }$(หรือกำลังสองของมัน) โดยทั่วไปเรียกว่าอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนและโดยเฉพาะเจาะจงคืออัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (การถ่ายภาพ)

อัตราส่วนอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง ได้แก่:

• ประสิทธิภาพ ,${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$
• โมเมนต์มาตรฐาน${\displaystyle \mu _{k}/\sigma ^{k}}$
• อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย (หรือความแปรปรวนสัมพัทธ์)${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }$
• ปัจจัยฟาโน${\displaystyle \sigma _{W}^{2}/\mu _{W}}$(VMR แบบมีหน้าต่าง)
• สัมประสิทธิ์ความแปรผันลำดับที่สอง^{[ 36 ]}${\displaystyle V_{2}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\mu ^{2}}}}}$ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 0 (ไม่มีความแปรปรวน) และ 1 (ความแปรปรวนสัมพัทธ์สูงสุด กล่าวคือ${\displaystyle \sigma \gg \mu }$)

• คะแนนมาตรฐาน
• อัตราส่วนข้อมูล
• อัตราส่วนโอเมก้า
• การสุ่มตัวอย่าง (สถิติ)
• ฟังก์ชันความแปรปรวน

• cvequality : แพ็กเกจ Rสำหรับทดสอบความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันหลายค่า