การแปลงแบบไร้กลิ่น (UT) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการประมาณผลลัพธ์ของการใช้การแปลงแบบไม่เชิงเส้นที่กำหนดให้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งมีลักษณะเฉพาะในแง่ของชุดสถิติที่จำกัดเท่านั้น การใช้งานการแปลงแบบไร้กลิ่นที่พบบ่อยที่สุดคือการฉายภาพแบบไม่เชิงเส้นของการประมาณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมในบริบทของการขยายแบบไม่เชิงเส้นของตัวกรอง Kalmanผู้สร้างJeffrey Uhlmannอธิบายว่า "unscented" เป็นชื่อที่กำหนดขึ้นเองเพื่อหลีกเลี่ยงการถูกเรียกว่า "ตัวกรอง Uhlmann" ^{[ 1 ]}

วิธีการกรองและควบคุมหลายวิธีแสดงค่าประมาณสถานะของระบบในรูปของเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น ตำแหน่ง 2 มิติโดยประมาณของวัตถุที่สนใจอาจแสดงด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งเฉลี่ยโดยมีความไม่แน่นอนที่ระบุในรูปของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม 2x2 ซึ่งแสดงความแปรปรวนในความแปรปรวนในและความแปรปรวนร่วมไขว้ระหว่างทั้งสอง ความแปรปรวนที่เป็นศูนย์หมายความว่าไม่มีความไม่แน่นอนหรือข้อผิดพลาด และตำแหน่งของวัตถุตรงกับที่ระบุไว้ในเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยอย่างแม่นยำ ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

การแสดงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมจะให้เพียงสองโมเมนต์แรกของการแจกแจงความน่าจะเป็นพื้นฐานที่ไม่ทราบค่าเท่านั้น ในกรณีของวัตถุที่เคลื่อนที่ การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบค่าอาจแสดงถึงความไม่แน่นอนของตำแหน่งของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง การแสดงความไม่แน่นอนด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมมีความสะดวกทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากสามารถใช้การแปลงเชิงเส้นใดๆ กับเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมได้แต่คุณสมบัติความเป็นเส้นตรงนี้ใช้ไม่ได้กับโมเมนต์ที่เกินกว่าโมเมนต์ดิบแรก (ค่าเฉลี่ย) และโมเมนต์กลาง ที่สอง (ความแปรปรวนร่วม) ดังนั้นโดยทั่วไปจึงไม่สามารถกำหนดค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่ได้จากการแปลงแบบไม่เชิงเส้นได้ เนื่องจากผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับโมเมนต์ทั้งหมด และมีเพียงสองโมเมนต์แรกเท่านั้นที่ทราบค่า ${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Tm}$${\displaystyle TMT^{\คณิตศาสตร์ {T} }}$

แม้ว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมมักถูกมองว่าเป็นค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองที่คาดหวังซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ย แต่ในทางปฏิบัติ เมทริกซ์นี้จะถูกเก็บไว้เป็นขอบเขตบนของค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองที่แท้จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประมาณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมจะถูกรักษาไว้อย่างระมัดระวังเพื่อให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองที่แท้จริงที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าผลลัพธ์ของการลบค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองที่คาดหวัง (ซึ่งโดยปกติจะไม่ทราบ) ออกจาก ค่าเฉลี่ย จะ ได้เมทริกซ์กึ่งกำหนดหรือเมทริกซ์บวกกำหนดเหตุผลในการรักษาค่าประมาณความแปรปรวนร่วมอย่างระมัดระวังก็คือ อัลกอริทึมการกรองและการควบคุมส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะล้มเหลวหากค่าความแปรปรวนร่วมถูกประเมินต่ำเกินไป เนื่องจากค่าความแปรปรวนร่วมที่เล็กเกินไปอย่างไม่ถูกต้องนั้นหมายถึงความไม่แน่นอนที่น้อยลง และทำให้ตัวกรองให้น้ำหนัก (ความมั่นใจ) มากกว่าที่ควรจะเป็นในความถูกต้องของค่าเฉลี่ย ${\displaystyle (m,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น เมื่อค่าความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ การหาตำแหน่งของวัตถุหลังจากเคลื่อนที่ตามฟังก์ชันไม่เชิงเส้นใดๆ นั้นทำได้ง่ายมากเพียงแค่ใช้ฟังก์ชันนั้นกับเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย แต่เมื่อค่าความแปรปรวนร่วมไม่เป็นศูนย์ ค่าเฉลี่ยที่แปลงแล้วโดยทั่วไปจะไม่เท่ากับ ศูนย์ และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะหาค่าเฉลี่ยของการกระจายความน่าจะเป็นที่แปลงแล้วจากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมก่อนหน้าเพียงอย่างเดียว เนื่องจากความไม่แน่นอนนี้ ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่แปลงแบบไม่เชิงเส้นจึงสามารถประมาณได้เท่านั้น การประมาณค่าในยุคแรกสุดคือการทำให้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้นและใช้เมทริกซ์จาโคเบียน ที่ได้ กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่กำหนด นี่คือพื้นฐานของตัวกรองคาลมานแบบขยาย (EKF) และถึงแม้ว่าจะทราบกันดีว่าให้ผลลัพธ์ที่ไม่ดีในหลายสถานการณ์ แต่ก็ไม่มีทางเลือกอื่นที่ใช้งานได้จริงเป็นเวลาหลายทศวรรษ ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$

ในปี 1994 Jeffrey Uhlmannตั้งข้อสังเกตว่า EKF ใช้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นและข้อมูลการกระจายบางส่วน (ในรูปแบบของการประมาณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วม) ของสถานะของระบบ แต่ใช้การประมาณกับฟังก์ชันที่ทราบแทนที่จะใช้กับการกระจายความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบแน่ชัด เขาแนะนำว่าแนวทางที่ดีกว่าคือการใช้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นที่แน่นอนกับการกระจายความน่าจะเป็นโดยประมาณ แรงจูงใจสำหรับแนวทางนี้ได้รับการอธิบายไว้ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา ซึ่งมีการกำหนด คำว่า unscented transform เป็นครั้งแรก: ^{[ 2 ]}

ลองพิจารณาแนวคิดต่อไปนี้: ด้วยจำนวนพารามิเตอร์ที่คงที่ การประมาณค่าการแจกแจงที่กำหนดควรจะง่ายกว่าการประมาณค่าฟังก์ชัน/การแปลงแบบไม่เชิงเส้นใดๆตามแนวคิดนี้ เป้าหมายคือการหาพารามิเตอร์ที่สามารถเก็บข้อมูลค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วม ในขณะเดียวกันก็อนุญาตให้ส่งต่อข้อมูลโดยตรงผ่านชุดสมการแบบไม่เชิงเส้นใดๆ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการสร้างการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่มีโมเมนต์อันดับแรกและอันดับสอง (และอาจสูงกว่า) เหมือนกัน โดยแต่ละจุดในการประมาณค่าแบบไม่ต่อเนื่องสามารถแปลงได้โดยตรง จากนั้นสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมของกลุ่มที่แปลงแล้วได้จากการประมาณค่าการแปลงแบบไม่เชิงเส้นของการแจกแจงดั้งเดิม โดยทั่วไปแล้ว การประยุกต์ใช้การแปลงแบบไม่เชิงเส้นที่กำหนดกับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องของจุด ซึ่งคำนวณเพื่อให้ได้ชุดสถิติที่ทราบของการแจกแจงที่ไม่ทราบค่า เรียกว่าการแปลงแบบไม่ระบุพิกัด (unscented transformation )

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อมูลค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่กำหนดให้สามารถเข้ารหัสได้อย่างแม่นยำในชุดของจุด ซึ่งเรียกว่าจุดซิกมา (sigma points ) ซึ่งหากถือว่าเป็นองค์ประกอบของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่กำหนดให้ การแจกแจงนี้สามารถแพร่กระจายได้อย่างแม่นยำโดยการใช้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นกับแต่ละจุด ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของชุดจุดที่แปลงแล้วจะแสดงถึงค่าประมาณที่แปลงแล้วที่ต้องการ ข้อได้เปรียบหลักของวิธีการนี้คือการใช้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นอย่างเต็มที่ ซึ่งแตกต่างจาก EKF ที่แทนที่ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น การขจัดความจำเป็นในการทำให้เป็นเชิงเส้นยังให้ข้อดีที่ไม่ขึ้นอยู่กับการปรับปรุงคุณภาพการประมาณค่า ข้อดีประการหนึ่งที่เห็นได้ชัดคือ UT สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันใดก็ได้ ในขณะที่การทำให้เป็นเชิงเส้นอาจเป็นไปไม่ได้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ข้อดีในทางปฏิบัติคือ UT สามารถนำไปใช้ได้ง่ายกว่า เนื่องจากหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการหาและใช้งานเมทริกซ์ Jacobian ที่ทำให้เป็นเชิงเส้น

ในการคำนวณการแปลงแบบไร้กลิ่น จำเป็นต้องเลือกชุดจุดซิกมาก่อน นับตั้งแต่ผลงานสำคัญของ Uhlmann มีการเสนอชุดจุดซิกมาที่แตกต่างกันมากมายในเอกสารทางวิชาการ สามารถดูการทบทวนอย่างละเอียดเกี่ยวกับตัวแปรเหล่านี้ได้ในงานของ Menegaz et al. ^{[ 3 ]}โดยทั่วไป จุดซิกมามีความจำเป็นและเพียงพอที่จะกำหนดการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่กำหนดในมิติ^{[ 2 ]}${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

เซตจุดซิกมามาตรฐานคือเซตสมมาตรที่อูลมันน์เสนอไว้แต่เดิม พิจารณาจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในสองมิติ:

${\displaystyle s_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[0,2\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[-{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} }}$

สามารถตรวจสอบได้ว่าชุดจุดข้างต้นมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วม( เมทริกซ์เอกลักษณ์ ) เมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วม 2 มิติใดๆ แล้วจุดซิกมาที่ต้องการสามารถหาได้โดยการคูณแต่ละจุดด้วย รากที่สอง ของเมทริก ซ์ และบวกด้วยชุดจุดซิกมามาตรฐานที่คล้ายกันนี้สามารถสร้างขึ้นได้ในจำนวนมิติใดๆโดยการนำเวกเตอร์ศูนย์และจุดที่ประกอบเป็นแถวของเมทริกซ์เอกลักษณ์ คำนวณค่าเฉลี่ยของชุดจุด ลบค่าเฉลี่ยออกจากแต่ละจุดเพื่อให้ชุดที่ได้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ จากนั้นคำนวณความแปรปรวนร่วมของชุดจุดที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ และใช้รากที่สองของเมทริกซ์ผกผันกับแต่ละจุดเพื่อให้ความแปรปรวนร่วมของชุดเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ ${\displaystyle s=\left[0,0\right]^{\mathrm {T} },\quad }$${\displaystyle S=I}$${\displaystyle (x,X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

อูลมันน์แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างชุดจุดซิกมาแบบสมมาตรจากคอลัมน์ของและเวกเตอร์ศูนย์ได้อย่างสะดวก โดยที่คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่กำหนด โดยไม่ต้องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน วิธีนี้มีประสิทธิภาพในการคำนวณ และเนื่องจากจุดเหล่านี้ก่อให้เกิดการกระจายแบบสมมาตร จึงสามารถจับโมเมนต์กลางที่สาม (ความเบ้) ได้เมื่อใดก็ตามที่ทราบการกระจายพื้นฐานของการประมาณค่าสถานะ หรือสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นแบบสมมาตร^{[ 2 ]}เขายังแสดงให้เห็นว่าน้ำหนัก รวมถึงน้ำหนักลบ สามารถใช้เพื่อส่งผลต่อสถิติของชุดได้ จูเลียร์ยังได้พัฒนาและตรวจสอบเทคนิคสำหรับการสร้างจุดซิกมาเพื่อจับโมเมนต์ที่สาม (ความเบ้) ของการกระจายแบบใดๆ และโมเมนต์ที่สี่ (ความโค้ง) ของการกระจายแบบสมมาตร^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \pm {\sqrt {nX}}}$${\displaystyle X}$

การแปลงแบบไร้กลิ่นถูกกำหนดขึ้นเพื่อใช้ฟังก์ชันที่กำหนดให้กับลักษณะเฉพาะบางส่วนของการแจกแจงที่ไม่ทราบมาก่อน แต่การใช้งานที่พบบ่อยที่สุดคือในกรณีที่กำหนดเฉพาะค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมเท่านั้น ตัวอย่างทั่วไปคือการแปลงจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง เช่น จากกรอบพิกัดคาร์ทีเซียนไปยังพิกัดเชิงขั้ว^{[ 4 ]}

สมมติว่าค่าประมาณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมแบบ 2 มิติถูกกำหนดในพิกัดคาร์ทีเซียนด้วย: ${\displaystyle (m,M)}$

${\displaystyle m=[12.3,7.6]^{\mathrm {T} },\quad M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}}$

และฟังก์ชันการแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้วคือ: ${\displaystyle f(x,y)\rightarrow [r,\theta ]}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

เมื่อคูณจุดซิกมาของซิมเพล็กซ์มาตรฐานแต่ละจุด (ที่ระบุไว้ข้างต้น) ด้วยและบวกด้วยค่าเฉลี่ยจะได้: ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=[0,2.40]+[12.3,7.6]=[12.3,10.0]\\m_{2}&=[-1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[10.8,6.40]\\m_{3}&=[1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[13.8,6.40]\end{aligned}}}$

เมื่อนำฟังก์ชันการแปลงไปใช้กับแต่ละจุดข้างต้นจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=f(12.3,10.0)=[15.85,0.68]\\{m^{+}}_{2}&=f(10.8,6.40)=[12.58,0.53]\\{m^{+}}_{3}&=f(13.8,6.40)=[15.18,0.44]\end{aligned}}}$

ค่าเฉลี่ยของจุดทั้งสามที่แปลงแล้วนี้คือค่าประมาณ UT ของค่าเฉลี่ยในพิกัดเชิงขั้ว: ${\displaystyle m_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}{m^{+}}_{i}}$

${\displaystyle m_{UT}=[14.539,0.551]}$

ค่าประมาณความแปรปรวนร่วมของ UT คือ:

${\displaystyle M_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}\left({m^{+}}_{i}-m_{UT}\right)^{2}}$

โดยที่พจน์กำลังสองแต่ละพจน์ในผลรวมเป็นผลคูณเวกเตอร์ภายนอก ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle M_{UT}={\begin{bmatrix}2.00&0.0443\\0.0443&0.0104\end{bmatrix}}}$

สามารถเปรียบเทียบได้กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเชิงเส้น:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\text{linear}}&=f(12.3,7.6)=[14.46,0.554]^{\mathrm {T} }\\M_{\text{linear}}&=\nabla _{f}M\nabla _{f}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1.927&0.047\\0.047&0.011\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าประมาณ UT และค่าประมาณเชิงเส้นในกรณีนี้ค่อนข้างน้อย แต่ในการใช้งานด้านการกรอง ผลกระทบสะสมของข้อผิดพลาดเล็กน้อยอาจนำไปสู่การเบี่ยงเบนของค่าประมาณที่ไม่สามารถแก้ไขได้ ผลกระทบของข้อผิดพลาดจะรุนแรงขึ้นเมื่อค่าความแปรปรวนร่วมถูกประเมินต่ำเกินไป เนื่องจากจะทำให้ตัวกรองมั่นใจในความถูกต้องของค่าเฉลี่ยมากเกินไป ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่าค่าประมาณความแปรปรวนร่วมเชิงเส้นมีค่าน้อยกว่าค่าประมาณ UT ซึ่งบ่งชี้ว่าการทำให้เป็นเชิงเส้นอาจทำให้ค่าความผิดพลาดที่แท้จริงในค่าเฉลี่ยถูกประเมินต่ำเกินไป

ในตัวอย่างนี้ ไม่มีวิธีใดที่จะกำหนดความแม่นยำสัมบูรณ์ของ UT และค่าประมาณเชิงเส้นได้หากไม่มีความจริงพื้นฐานในรูปแบบของการกระจายความน่าจะเป็นจริงที่เกี่ยวข้องกับค่าประมาณดั้งเดิม และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมของการกระจายนั้นหลังจากใช้การแปลงแบบไม่เชิงเส้น (เช่น กำหนดโดยการวิเคราะห์หรือผ่านการบูรณาการเชิงตัวเลข) การวิเคราะห์ดังกล่าวได้ดำเนินการสำหรับการแปลงพิกัดภายใต้สมมติฐานของความเป็นเกาส์เซียนสำหรับการกระจายพื้นฐาน และค่าประมาณ UT มีแนวโน้มที่จะแม่นยำกว่าค่าประมาณที่ได้จากการทำให้เป็นเชิงเส้นอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 6 ] [ 7 ]}

การวิเคราะห์เชิงประจักษ์แสดงให้เห็นว่าการใช้ชุดจุดซิกมาซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำมีความแม่นยำน้อยกว่าการใช้ชุดจุดสมมาตรอย่างมีนัยสำคัญเมื่อการกระจายพื้นฐานเป็นแบบเกาส์เซียน^{[ 7 ]}ซึ่งชี้ให้เห็นว่าการใช้ชุดซิมเพล็กซ์ในตัวอย่างข้างต้นจะไม่ใช่ตัวเลือกที่ดีที่สุดหากการกระจายพื้นฐานที่เกี่ยวข้องเป็นแบบสมมาตร แม้ว่าการกระจายพื้นฐานจะไม่สมมาตร ชุดซิมเพล็กซ์ก็ยังมีแนวโน้มที่จะมีความแม่นยำน้อยกว่าชุดสมมาตรเนื่องจากความไม่สมมาตรของชุดซิมเพล็กซ์ไม่ตรงกับความไม่สมมาตรของการกระจายจริง ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (m,M)}$

กลับมาที่ตัวอย่างเดิม ชุดจุดซิกมาสมมาตรขั้นต่ำสามารถหาได้จากเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม โดยใช้เวกเตอร์ค่าเฉลี่ยบวกและลบคอลัมน์ของ: ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}}$${\displaystyle m=[12.3,7.6]}$${\displaystyle (2M)^{1/2}={\sqrt {2}}*{\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.697&0\\0&2.404\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=[12.3,7.6]+[1.697,0]=[13.997,7.6]\\m_{2}&=[12.3,7.6]-[1.697,0]=[10.603,7.6]\\m_{3}&=[12.3,7.6]+[0,2.404]=[12.3,10.004]\\m_{4}&=[12.3,7.6]-[0,2.404]=[12.3,5.196]\end{aligned}}}$

โครงสร้างนี้รับประกันว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมของจุดซิกมาทั้งสี่ข้างต้นคือซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยตรง การใช้ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นกับจุดซิกมาแต่ละจุดจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle (m,M)}$${\displaystyle f()}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=[15.927,0.497]\\{m^{+}}_{2}&=[13.045,0.622]\\{m^{+}}_{3}&=[15.854,0.683]\\{m^{+}}_{4}&=[13.352,0.400]\end{aligned}}}$

ค่าเฉลี่ยของจุดซิกมาที่แปลงแล้วทั้งสี่จุดนี้คือค่าประมาณ UT ของค่าเฉลี่ยในพิกัดเชิงขั้ว: ${\displaystyle m_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}{m'}_{i}}$

${\displaystyle m_{UT}=[14.545,0.550]}$

ค่าประมาณความแปรปรวนร่วมของ UT คือ:

${\displaystyle M_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}({m^{+}}_{i}-m_{UT})^{2}}$

โดยที่พจน์กำลังสองแต่ละพจน์ในผลรวมเป็นผลคูณเวกเตอร์ภายนอก ซึ่งจะได้ดังนี้:

${\displaystyle M_{UT}={\begin{bmatrix}1.823&0.043\\0.043&0.012\end{bmatrix}}}$

ความแตกต่างระหว่างค่าประมาณ UT และค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจะให้การวัดผลกระทบของความไม่เป็นเชิงเส้นของการแปลง เมื่อการแปลงเป็นเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ค่าประมาณ UT และค่าประมาณเชิงเส้นจะเหมือนกัน สิ่งนี้กระตุ้นให้ใช้กำลังสองของความแตกต่างนี้เพื่อเพิ่มเข้าไปในค่าความแปรปรวนร่วมของ UT เพื่อป้องกันการประเมินค่าความผิดพลาดที่แท้จริงในค่าเฉลี่ยต่ำเกินไป วิธีการนี้ไม่ได้ปรับปรุงความแม่นยำของค่าเฉลี่ย แต่สามารถปรับปรุงความแม่นยำของตัวกรองได้อย่างมีนัยสำคัญเมื่อเวลาผ่านไปโดยการลดโอกาสที่ค่าความแปรปรวนร่วมจะถูกประเมินต่ำเกินไป^{[ 2 ]}

อูลมันน์ตั้งข้อสังเกตว่า หากทราบเพียงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมของฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบค่าอื่น ปัญหาการแปลงจะไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจน เนื่องจากมีจำนวนฟังก์ชันความน่าจะเป็นพื้นฐานที่เป็นไปได้ไม่จำกัดจำนวนที่มีโมเมนต์สองค่าแรกเหมือนกัน หากไม่มีข้อมูลหรือข้อสมมติใด ๆ เกี่ยวกับลักษณะของฟังก์ชันความน่าจะเป็นพื้นฐาน การเลือกฟังก์ชันความน่าจะเป็นใด ๆ ที่ใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่แปลงแล้วก็จะมีความเหมาะสมเท่าเทียมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นใดที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมที่กำหนดให้ดีกว่าฟังก์ชันที่ได้จากชุดจุดซิกมา ดังนั้นการแปลงแบบไม่ระบุค่าจึงเหมาะสมที่สุดอย่างเห็นได้ชัด

คำกล่าวทั่วไปเกี่ยวกับความเหมาะสมที่สุดนี้ แน่นอนว่าไม่มีประโยชน์สำหรับการกล่าวอ้างเชิงปริมาณใดๆ เกี่ยวกับประสิทธิภาพของ UT เช่น เมื่อเปรียบเทียบกับการทำให้เป็นเชิงเส้น ดังนั้น เขา จูเลียร์ และคนอื่นๆ จึงได้ทำการวิเคราะห์ภายใต้สมมติฐานต่างๆ เกี่ยวกับลักษณะของการกระจายและ/หรือรูปแบบของฟังก์ชันการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทำให้เป็นเชิงเส้น การวิเคราะห์เหล่านี้จะยืนยันความเหนือกว่าที่คาดหวังและได้รับการยืนยันเชิงประจักษ์ของการแปลงแบบไร้กลิ่น^{[ 6 ] [ 7 ]}

การแปลงแบบไร้กลิ่นสามารถใช้ในการพัฒนาตัวกรอง Kalman แบบไม่เชิงเส้นทั่วไป ซึ่งเรียกว่าตัวกรอง Kalman แบบไร้กลิ่น (UKF)ตัวกรองนี้ได้เข้ามาแทนที่EKFในการใช้งานการกรองและการควบคุมแบบไม่เชิงเส้นหลายอย่าง รวมถึงการนำทางใต้น้ำ^{[ 8 ]}การนำทางบนพื้นดินและทางอากาศ^{[ 9 ]}และยานอวกาศ^{[ 10 ]} การแปลงแบบไร้กลิ่นยังถูกใช้เป็นกรอบการคำนวณสำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของ Riemann-Stieltjes ^{[ 11 ]} วิธีการคำนวณนี้เรียกว่าการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดแบบไร้กลิ่น^{[ 12 ] [ 13 ]}

Uhlmann และSimon Julierได้ตีพิมพ์เอกสารหลายฉบับที่แสดงให้เห็นว่าการใช้การแปลงแบบไร้กลิ่นในตัวกรอง Kalmanซึ่งเรียกว่าตัวกรอง Kalman แบบไร้กลิ่น (UKF) ช่วยปรับปรุงประสิทธิภาพได้อย่างมากเมื่อเทียบกับ EKF ในการใช้งานที่หลากหลาย^{[ 14 ] [ 4 ] [ 6 ]} Julier และ Uhlmann ได้ตีพิมพ์เอกสารโดยใช้รูปแบบพารามิเตอร์เฉพาะของการแปลงแบบไร้กลิ่นในบริบทของ UKF ซึ่งใช้ค่าน้ำหนักลบเพื่อจับข้อมูลการกระจายที่สมมติขึ้น^{[ 14 ] [ 6 ]}รูปแบบของ UT นั้นมีความอ่อนไหวต่อข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขต่างๆ ที่สูตรดั้งเดิม (ชุดสมมาตรที่ Uhlmann เสนอไว้แต่เดิม) ไม่ได้รับผลกระทบ Julier ได้อธิบายรูปแบบพารามิเตอร์ที่ไม่ใช้ค่าน้ำหนักลบและไม่มีปัญหาเหล่านั้นในภายหลัง^{[ 15 ]}

• ตัวกรองคาลมาน
• จุดตัดความแปรปรวนร่วม
• ตัวกรอง Kalman แบบกลุ่ม
• ตัวกรอง Kalman แบบขยาย
• ตัวกรองแบบไม่เชิงเส้น
• ควบคุมได้อย่างเหมาะสม ปราศจากกลิ่น