ในฟิสิกส์เชิงคำนวณ Variational Monte Carlo (VMC)เป็น วิธีการ Monte Carlo แบบควอนตัมที่ใช้วิธีการแปรผันเพื่อประมาณสถานะพื้นฐานของระบบควอนตัม^{[ 1 ]}

องค์ประกอบพื้นฐานคือฟังก์ชันคลื่น ทั่วไปที่ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางอย่าง จากนั้นจึงหา ค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์เหล่านั้นโดยการลดพลังงานรวมของระบบให้เหลือน้อยที่สุด ${\displaystyle |\Psi (a)\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อพิจารณาแฮมิลโทเนียน และกำหนดให้เป็นการกำหนดค่าหลายอนุภาคค่าคาดหวังของพลังงานสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle E(a)={\frac {\langle \Psi (a)|{\mathcal {H}}|\Psi (a)\rangle }{\langle \Psi (a)|\Psi (a)\rangle }}={\frac {\int |\Psi (X,a)|^{2}{\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}\,dX}{\int |\Psi (X,a)|^{2}\,dX}}.}$$

ตามวิธีการมอนเตคาร์โลสำหรับการประเมินอินทิกรัลเราสามารถตีความว่าเป็น ฟังก์ชัน การกระจายความน่าจะเป็น สุ่มตัวอย่าง และประเมินค่าคาดหวังของพลังงานเป็นค่าเฉลี่ยของพลังงานเฉพาะที่ที่เรียกว่านั้นเมื่อทราบค่าสำหรับชุดพารามิเตอร์แปรผันที่กำหนดแล้ว จะทำการปรับให้เหมาะสมที่สุดเพื่อลดพลังงานและได้การแสดงแทนที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ของฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นฐาน ${\displaystyle {\frac {|\Psi (X,a)|^{2}}{\int |\Psi (X,a)|^{2}\,dX}}}$${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle E_{\textrm {loc}}(X)={\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}}$${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle a}$

วิธี VMC ไม่แตกต่างจากวิธีการแปรผันอื่นๆ ยกเว้นว่าปริพันธ์หลายมิติจะถูกประเมินด้วยวิธีเชิงตัวเลข การคำนวณปริพันธ์แบบมอนเตคาร์โลมีความสำคัญอย่างยิ่งในปัญหานี้ เนื่องจากมิติของปริภูมิฮิลเบิร์ต หลายอนุภาค ซึ่งประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการกำหนดค่ามักจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังตามขนาดของระบบทางกายภาพ ดังนั้น วิธีการอื่นๆ ในการประเมินค่าคาดหวังพลังงานด้วยวิธีเชิงตัวเลข จึงโดยทั่วไปแล้วจะจำกัดการใช้งานไว้เฉพาะระบบที่มีขนาดเล็กกว่าระบบที่สามารถวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีการมอนเตคาร์โล ${\displaystyle X}$

ความแม่นยำของวิธีการนั้นขึ้นอยู่กับการเลือกสถานะแปรผันเป็นอย่างมาก โดยทั่วไปแล้วตัวเลือกที่ง่ายที่สุดจะสอดคล้องกับ รูปแบบ สนามเฉลี่ยซึ่งสถานะจะถูกเขียนเป็นการแยกตัวประกอบบนปริภูมิฮิลเบิร์ต รูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษนี้มักจะไม่แม่นยำมากนัก เนื่องจากละเลยผลกระทบหลายอนุภาค หนึ่งในข้อดีที่สำคัญที่สุดของความแม่นยำเมื่อเทียบกับการเขียนฟังก์ชันคลื่นแบบแยกส่วน มาจากการนำปัจจัย Jastrow มาใช้ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นจะถูกเขียนเป็น โดยที่คือระยะห่างระหว่างอนุภาคควอนตัมคู่หนึ่ง และคือฟังก์ชันแปรผันที่จะต้องกำหนด ด้วยปัจจัยนี้ เราสามารถคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคได้อย่างชัดเจน แต่ปริพันธ์หลายอนุภาคจะไม่สามารถแยกส่วนได้ ดังนั้น Monte Carlo จึงเป็นวิธีเดียวที่จะประเมินได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในระบบทางเคมี เวอร์ชันที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยของปัจจัยนี้สามารถคำนวณพลังงานความสัมพันธ์ได้ 80–90% (ดูความสัมพันธ์ทางอิเล็กทรอนิกส์ ) โดยใช้พารามิเตอร์น้อยกว่า 30 ตัว เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว การคำนวณ ปฏิสัมพันธ์ของการกำหนดค่าอาจต้องใช้พารามิเตอร์ประมาณ 50,000 ตัวเพื่อให้ได้ความแม่นยำในระดับนั้น แม้ว่าจะขึ้นอยู่กับกรณีเฉพาะที่พิจารณาเป็นอย่างมากก็ตาม นอกจากนี้ โดยทั่วไปแล้ว VMC จะปรับขนาดตามกำลังเล็กน้อยของจำนวนอนุภาคในการจำลอง โดยปกติจะเป็นประมาณ^N²⁻⁴ สำหรับการคำนวณค่าคาดหวังพลังงาน ขึ้นอยู่กับรูปแบบของฟังก์ชันคลื่น ${\displaystyle \Psi }$${\textstyle \Psi (X)=\exp(\sum {u(r_{ij})})}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle u(r)}$

การคำนวณแบบ ควอนตัมมอนเตคาร์โล (QMC) ขึ้นอยู่กับคุณภาพของฟังก์ชันทดลองเป็นอย่างมาก ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมีฟังก์ชันคลื่นที่ได้รับการปรับให้เหมาะสมที่สุดให้ใกล้เคียงกับสถานะพื้นฐานมากที่สุด ปัญหาการปรับ ฟังก์ชันให้เหมาะสม ที่สุดเป็นหัวข้อการวิจัยที่สำคัญมากในการจำลองเชิงตัวเลข ใน QMC นอกเหนือจากความยากลำบากตามปกติในการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพารามิเตอร์หลายมิติแล้ว ยังมีสัญญาณรบกวนทางสถิติอยู่ในค่าประมาณของฟังก์ชันต้นทุน (โดยปกติคือพลังงาน) และอนุพันธ์ของมัน ซึ่งจำเป็นสำหรับการปรับให้เหมาะสมอย่างมีประสิทธิภาพ

มีการใช้ฟังก์ชันต้นทุนและกลยุทธ์ที่แตกต่างกันในการปรับฟังก์ชันทดลองแบบหลายอนุภาคให้เหมาะสมที่สุด โดยปกติแล้วจะใช้ฟังก์ชันต้นทุนสามฟังก์ชันในการปรับให้เหมาะสมด้วยวิธี QMC ได้แก่ พลังงาน ความแปรปรวน หรือการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันเหล่านั้น วิธีการปรับให้เหมาะสมโดยใช้ความแปรปรวนมีข้อดีตรงที่ทราบค่าความแปรปรวนของฟังก์ชันคลื่นที่แน่นอน (เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นที่แน่นอนเป็นฟังก์ชันเฉพาะของแฮมิลโทเนียน ความแปรปรวนของพลังงานเฉพาะที่จึงเป็นศูนย์) ซึ่งหมายความว่าการปรับให้เหมาะสมโดยใช้ความแปรปรวนนั้นเหมาะสมที่สุด เพราะมีขอบเขตล่าง มีค่าบวก และทราบค่าต่ำสุด อย่างไรก็ตาม การลดพลังงานอาจพิสูจน์ได้ว่ามีประสิทธิภาพมากกว่าในท้ายที่สุด เนื่องจากผู้เขียนหลายคนได้แสดงให้เห็นเมื่อเร็ว ๆ นี้ว่าการปรับให้เหมาะสมโดยใช้พลังงานมีประสิทธิภาพมากกว่าการปรับให้เหมาะสมโดยใช้ความแปรปรวน

มีแรงจูงใจที่แตกต่างกันสำหรับเรื่องนี้: ประการแรก โดยปกติแล้วเรามักสนใจพลังงานที่ต่ำที่สุดมากกว่าความแปรปรวนที่ต่ำที่สุด ทั้งในวิธีการมอนเตคาร์โลแบบแปรผันและแบบแพร่กระจาย ประการที่สอง การปรับค่าความแปรปรวนให้เหมาะสมนั้นต้องใช้การวนซ้ำหลายครั้งเพื่อปรับพารามิเตอร์ดีเทอร์มิแนนต์ให้เหมาะสม และบ่อยครั้งที่การปรับค่าให้เหมาะสมอาจติดอยู่ที่ค่าต่ำสุดเฉพาะที่หลายค่า และประสบปัญหา "การลู่เข้าที่ผิดพลาด" ประการที่สาม โดยเฉลี่ยแล้ว ฟังก์ชันคลื่นที่ลดพลังงานให้เหลือน้อยที่สุดจะให้ค่าความคาดหวังอื่นๆ ที่แม่นยำกว่าฟังก์ชันคลื่นที่ลดความแปรปรวนให้เหลือน้อยที่สุด

กลยุทธ์การปรับให้เหมาะสมสามารถแบ่งออกได้เป็นสามประเภท กลยุทธ์แรกนั้นอิงจากการสุ่มตัวอย่างแบบสัมพันธ์กันร่วมกับวิธีการปรับให้เหมาะสมแบบกำหนดได้ แม้ว่าแนวคิดนี้จะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำมากสำหรับอะตอมแถวแรก แต่กระบวนการนี้อาจมีปัญหาหากพารามิเตอร์ส่งผลกระทบต่อโหนด และยิ่งไปกว่านั้น อัตราส่วนความหนาแน่นของฟังก์ชันทดลองปัจจุบันและฟังก์ชันทดลองเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามขนาดของระบบ ในกลยุทธ์ที่สองนั้น จะใช้ถังขนาดใหญ่ในการประเมินฟังก์ชันต้นทุนและอนุพันธ์ของมันในลักษณะที่สามารถละเลยสัญญาณรบกวนและใช้วิธีการแบบกำหนดได้

แนวทางที่สามนั้นใช้วิธีการวนซ้ำเพื่อจัดการกับฟังก์ชันสัญญาณรบกวนโดยตรง ตัวอย่างแรกของวิธีการเหล่านี้คือสิ่งที่เรียกว่า การประมาณค่าความชันแบบสุ่ม (Stochastic Gradient Approximation หรือ SGA) ซึ่งถูกนำมาใช้ในการปรับโครงสร้างให้เหมาะสมด้วยเช่นกัน เมื่อไม่นานมานี้ ได้มีการเสนอวิธีการที่ได้รับการปรับปรุงและเร็วกว่าในลักษณะเดียวกันนี้ ซึ่งเรียกว่า วิธีการจัดเรียงใหม่แบบสุ่ม (Stochastic Reconfiguration หรือ SR)

ในปี 2017 Giuseppe CarleoและMatthias Troyer ^{[ 3 ]}ใช้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ VMC เพื่อฝึกเครือข่ายประสาทเทียมเพื่อค้นหาสถานะพื้นฐานของระบบกลศาสตร์ควอนตัม โดยทั่วไปแล้ว เครือข่ายประสาทเทียมจะถูกใช้เป็นสมมติฐาน ฟังก์ชันคลื่น (ที่รู้จักกันในชื่อสถานะควอนตัมของเครือข่ายประสาท ) ในกรอบงาน VMC เพื่อค้นหาสถานะพื้นฐานของระบบกลศาสตร์ควอนตัม การใช้สมมติฐานเครือข่ายประสาทสำหรับ VMC ได้ขยายไปถึงเฟอร์มิออนทำให้สามารถ คำนวณ โครงสร้างอิเล็กตรอนได้แม่นยำกว่าการคำนวณ VMC ที่ไม่ใช้เครือข่ายประสาทอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

• อัลกอริทึมเมโทรโพลิส-เฮสติงส์
• วิธีเรย์ลีห์-ริตซ์
• มอนเตคาร์โลแบบแปรผันที่ขึ้นอยู่กับเวลา

• McMillan, WL (19 เมษายน 1965). "สถานะพื้นฐานของฮีเลียมเหลว⁴ ". Physical Review . 138 (2A). American Physical Society (APS): A442– A451. Bibcode : 1965PhRv..138..442M . doi : 10.1103/physrev.138.a442 . ISSN  0031-899X .
• Ceperley, D.; Chester, GV; Kalos, MH (1 กันยายน 1977). "การจำลองมอนเตคาร์โลของการศึกษาเฟอร์มิออนหลายตัว". Physical Review B. 16 ( 7). American Physical Society (APS): 3081– 3099. Bibcode : 1977PhRvB..16.3081C . doi : 10.1103/physrevb.16.3081 . ISSN  0556-2805 .

• Snajdr, Martin; Rothstein, Stuart M. (15 มีนาคม 2000). "คุณสมบัติที่ได้จากฟังก์ชันคลื่นที่ปรับให้เหมาะสมกับความแปรปรวนโดยทั่วไปมีความแม่นยำกว่าหรือไม่? การศึกษาแบบมอนเตคาร์โลของคุณสมบัติที่ไม่เกี่ยวข้องกับพลังงานของ H ₂ , He และ LiH" วารสารฟิสิกส์เคมี 112 ( 11). AIP Publishing: 4935– 4941. Bibcode : 2000JChPh.112.4935S . doi : 10.1063/1.481047 . ISSN  0021-9606 .
• Bressanini, Dario; Morosi, Gabriele; Mella, Massimo (2002). "ขั้นตอนการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันคลื่นที่แข็งแกร่งในวิธีการ Monte Carlo ควอนตัม" วารสารฟิสิกส์เคมี 116 ( 13). AIP Publishing: 5345– 5350. arXiv : physics/0110003 . Bibcode : 2002JChPh.116.5345B . doi : 10.1063/1.1455618 . ISSN  0021-9606 . S2CID  34980080 .
• Umrigar, CJ; Wilson, KG; Wilkins, JW (25 เมษายน 1988). "ฟังก์ชันคลื่นทดลองที่ปรับให้เหมาะสมสำหรับการคำนวณควอนตัมมอนเตคาร์โล". Physical Review Letters . 60 (17). American Physical Society (APS): 1719– 1722. Bibcode : 1988PhRvL..60.1719U . doi : 10.1103/physrevlett.60.1719 . ISSN  0031-9007 . PMID  10038122 .
• Kent, PRC; Needs, RJ; Rajagopal, G. (15 พฤษภาคม 1999). "เทคนิคการลดพลังงานและความแปรปรวนแบบมอนเตคาร์โลเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันคลื่นหลายอนุภาค" Physical Review B . 59 (19). American Physical Society (APS): 12344– 12351. arXiv : cond-mat/9902300 . Bibcode : 1999PhRvB..5912344K . doi : 10.1103/physrevb.59.12344 . ISSN  0163-1829 . S2CID  119427778 .
• Lin, Xi; Zhang, Hongkai; Rappe, Andrew M. (8 กุมภาพันธ์ 2543). "การปรับฟังก์ชันคลื่น Monte Carlo ควอนตัมโดยใช้อนุพันธ์พลังงานเชิงวิเคราะห์" วารสารเคมีฟิสิกส์ 112 ( 6). AIP Publishing: 2650– 2654. arXiv : physics/9911005 . Bibcode : 2000JChPh.112.2650L . doi : 10.1063/1.480839 . ISSN  0021-9606 . S2CID  17114142 .
• Harju, A.; Barbiellini, B.; Siljamäki, S.; Nieminen, RM; Ortiz, G. (18 สิงหาคม 1997). "การประมาณค่าเกรเดียนต์แบบสุ่ม: วิธีที่มีประสิทธิภาพในการปรับฟังก์ชันคลื่นหลายอนุภาคให้เหมาะสม" . Physical Review Letters . 79 (7). American Physical Society (APS): 1173– 1177. Bibcode : 1997PhRvL..79.1173H . doi : 10.1103/physrevlett.79.1173 . ISSN  0031-9007 .
• Tanaka, Shigenori (15 พฤษภาคม 2537). "การปรับโครงสร้างให้เหมาะสมในควอนตัมมอนเตคาร์โลแบบแปรผัน". วารสารเคมีฟิสิกส์ . 100 (10). AIP Publishing: 7416– 7420. Bibcode : 1994JChPh.100.7416T . doi : 10.1063/1.466885 . ISSN  0021-9606 .
• Casula, Michele; Attaccalite, Claudio; Sorella, Sandro (15 ตุลาคม 2547). "ฟังก์ชันคลื่นเจมินัลที่สัมพันธ์กันสำหรับโมเลกุล: แนวทางพันธะวาเลนซ์แบบเรโซแนนซ์ที่มีประสิทธิภาพ" วารสารเคมีฟิสิกส์ 121 ( 15): 7110– 7126. arXiv : cond-mat/0409644 . Bibcode : 2004JChPh.121.7110C . doi : 10.1063/1.1794632 . ISSN  0021-9606 . PMID  15473777 . S2CID  43446194 .
• Drummond, ND; Needs, RJ (18 สิงหาคม 2548). "แผนการลดความแปรปรวนเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพปัจจัย Jastrow" (PDF) . Physical Review B . 72 (8) 085124. American Physical Society (APS). arXiv : physics/0505072 . Bibcode : 2005PhRvB..72h5124D . doi : 10.1103/physrevb.72.085124 . ISSN  1098-0121 . S2CID  15821314 .