ตัวรวมเชิงแปรผัน (Variational integrators)คือตัวรวมเชิงตัวเลขสำหรับระบบแฮมิลโทเนียนที่ได้มาจากสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ของหลักการแฮมิลตัน แบบไม่ต่อเนื่อง ตัวรวมเชิงแปรผันนั้นรักษาโมเมนตัมและเป็นแบบซิมเพล็กติก

พิจารณาระบบเชิงกลที่มีอนุภาคเดี่ยวเป็นตัวแปรอิสระ ซึ่งอธิบายโดยลากรางจ์

$${\displaystyle L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),}$$

โดยที่คือมวลของอนุภาค และคือศักยภาพ ในการสร้างตัวรวมเชิงแปรผันสำหรับระบบนี้ เราเริ่มต้นด้วยการสร้างลากรางเจียนแบบไม่ต่อเนื่องลากรางเจียนแบบไม่ต่อเนื่องนี้ประมาณค่าแอคชั่นสำหรับระบบในช่วงเวลาสั้นๆ: ${\displaystyle m}$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}}$$

ในที่นี้ เราเลือกที่จะประมาณค่าอินทิกรัลเวลาโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู และเราใช้การประมาณเชิงเส้นสำหรับวิถีการเคลื่อนที่

$${\displaystyle q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}}$$

ระหว่างและส่งผลให้ความเร็วคงที่การเลือกวิธีการประมาณวิถีการเคลื่อนที่และปริพันธ์เวลาที่แตกต่างกันจะให้ตัวรวมเชิงแปรผันที่แตกต่างกันลำดับความแม่นยำของตัวรวมถูกควบคุมโดยความแม่นยำของการประมาณค่าการกระทำของเรา เนื่องจาก ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)}$

$${\displaystyle L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},}$$

ตัวรวมระบบของเราจะมีความแม่นยำระดับลำดับที่สอง

สมการวิวัฒนาการสำหรับระบบแบบไม่ต่อเนื่องสามารถหาได้จากหลักการของการกระทำแบบคงที่ การกระทำแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ยาวนานนั้นเป็นผลรวมของลากรางจ์แบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาย่อยหลายช่วง:

$${\displaystyle S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .}$$

หลักการของการกระทำที่คงที่ระบุว่า การกระทำนั้นจะคงที่เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของพิกัดที่ทำให้จุดปลายของวิถีการเคลื่อนที่ยังคงอยู่ ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนแปลงพิกัดเราจะได้ ${\displaystyle q_{1}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right).}$$

เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นและลำดับเวลาจะได้ความสัมพันธ์ที่สามารถหาค่าได้คำตอบคือ ${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$${\displaystyle (t_{0},t_{1},t_{2})}$${\displaystyle q_{2}}$

$${\displaystyle q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$$

เราสามารถเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบที่ง่ายกว่าได้ หากเรากำหนดโมเมนตัมแบบไม่ต่อเนื่อง

$${\displaystyle p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})}$$

และ

$${\displaystyle p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).}$$

เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นแล้วเงื่อนไขการกระทำที่คงที่เทียบเท่ากับการแก้สมการแรกสำหรับแล้วจึงหาค่าโดยใช้สมการที่สอง แผนการวิวัฒนาการนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle (q_{0},p_{0})}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle p_{1}}$

$${\displaystyle q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})}$$

และ

$${\displaystyle p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$$

นี่คือ แผนการ บูรณาการแบบก้าวกระโดดสำหรับระบบ โดยสองขั้นตอนของการวิวัฒนาการนี้เทียบเท่ากับสูตรข้างต้นสำหรับ${\displaystyle q_{2}}$

• ผู้บูรณาการกลุ่มโกหก