ในเรขาคณิตและพีชคณิตผลคูณสามตัว (triple product) คือผลคูณของ เวกเตอร์สามมิติ สามตัว ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็น เวกเตอร์แบบยุคลิดชื่อ "ผลคูณสามตัว" ใช้เรียกผลคูณสองแบบที่แตกต่างกัน คือผลคูณสามตัวแบบสเกลาร์ และ ผลคูณสามตัวแบบเวกเตอร์ (ซึ่งใช้เรียกน้อยกว่า)

ผล คูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์ (เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณ แบบผสมผลคูณแบบกล่องหรือผลคูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์ ) นิยามว่าคือผลคูณดอทของเวกเตอร์ตัวหนึ่งกับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์อีกสองตัว

ในทางเรขาคณิต ผลคูณสามเท่าของสเกลาร์

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

คือ ปริมาตร (ที่มีเครื่องหมาย) ของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งสามที่กำหนดให้

• ผลคูณสามตัวแบบสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนแบบวงกลมของตัวดำเนินการทั้งสามตัว ( a , b , c ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• การสลับตำแหน่งของตัวดำเนินการโดยไม่เปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการ จะทำให้ผลคูณสามตัวไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้และคุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณดอท:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• การสลับตัวถูกดำเนินการสองตัวใดๆ จากสามตัวจะทำให้ผลคูณสามตัวนั้นเป็นโมฆะ นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติการเลื่อนแบบวงกลมและคุณสมบัติการสลับที่กันไม่ได้ของผลคูณไขว้:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• ผลคูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ เมทริกซ์ 3 × 3ที่มีเวกเตอร์ทั้งสามเป็นแถวหรือคอลัมน์ (เมทริกซ์จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับเมทริกซ์ทรานสโพส )

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• ถ้าผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์a , bและc ทั้งสาม จะอยู่บนระนาบเดียวกันเนื่องจากรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้จะแบนราบและไม่มีปริมาตร
• ถ้าเวกเตอร์สองตัวใดๆ ในผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวเท่ากัน ค่าของผลคูณนั้นจะเป็นศูนย์:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• อีกด้วย:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• ผลคูณอย่างง่ายของผลคูณสามเท่าสองผล (หรือกำลังสองของผลคูณสามเท่า) สามารถขยายได้ในรูปของผลคูณจุด: ^{[ 1 ]}นี่เป็นการกล่าวซ้ำในสัญกรณ์เวกเตอร์ว่าผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริก ซ์ 3 × 3 สอง เมทริกซ์เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณเมทริกซ์ของพวกมัน ในกรณีพิเศษ กำลังสองของผลคูณสามเท่าคือดีเทอร์มิแนนต์แกรมโปรดทราบว่าดีเทอร์มิแนนต์นี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับเวกเตอร์ในR ^m ( ปริภูมิ ยุคลิดมิติ m )แม้ว่าm ≠ 3โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าสัมบูรณ์ของผลคูณสามเท่าสำหรับเวกเตอร์สามตัวในR ^mสามารถคำนวณได้จากสูตรนี้สำหรับกำลังสองของผลคูณสามเท่าโดยการหาค่ารากที่สอง:$${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\sqrt {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}}}}$$
• อัตราส่วนของผลคูณสามเท่าและผลคูณของค่ามาตรฐานของเวกเตอร์ทั้งสามเรียกว่าค่าไซน์เชิงขั้วซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง -1 ถึง 1$${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\left\|{\mathbf {a} }\right\|\left\|{\mathbf {b} }\right\|\left\|{\mathbf {c} }\right\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

ตาม หลักแล้ว ปริมาณสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงเลยภายใต้การแปลงพิกัด (ตัวอย่างเช่น ตัวคูณ 2 ที่ใช้ในการเพิ่มเวกเตอร์เป็นสองเท่าจะไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าเวกเตอร์นั้นจะอยู่ในพิกัดทรงกลมหรือพิกัดสี่เหลี่ยม) อย่างไรก็ตาม หากแต่ละเวกเตอร์ถูกแปลงด้วยเมทริกซ์ ผลคูณสามตัวของเวกเตอร์เหล่านั้นจะถูกคูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การแปลง นั่นคือ ผลคูณสามตัวของเวกเตอร์โคแวเรียนต์นั้น อธิบายได้ถูกต้องกว่าว่าเป็นความหนาแน่นสเกลาร์

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\mathbf {a} \cdot (T\mathbf {b} \times T\mathbf {c} )&=\det {\begin{pmatrix}T\mathbf {a} &T\mathbf {b} &T\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det \left(T{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\right)\\&=\det(T)\det \!{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det(T)\left(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)\end{aligned}}}$$

นักเขียนบางคนใช้คำว่า "pseudoscalar" เพื่ออธิบายวัตถุที่ดูเหมือนสเกลาร์แต่ไม่แปลงรูปเหมือนสเกลาร์ เนื่องจากผลคูณสามตัว (triple product) แปลงรูปเหมือนความหนาแน่นสเกลาร์ ไม่ใช่สเกลาร์ ดังนั้นจึงอาจเรียกได้ว่าเป็น "pseudoscalar" ตามความหมายที่กว้างขึ้นนี้ อย่างไรก็ตาม ผลคูณสามตัวนั้นไม่ใช่ "ความหนาแน่น pseudoscalar"

เมื่อการแปลงเป็นการหมุนที่รักษาทิศทางไว้ ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะเป็น+1และผลคูณสามตัวจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อการแปลงเป็นการหมุนที่กลับทิศทาง ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะเป็น−1และผลคูณสามตัวจะเป็นค่าลบ การแปลงใดๆ ก็ตามอาจมีค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ทั้ง+1หรือ−1ก็ได้

ในพีชคณิตภายนอกและพีชคณิตเชิงเรขาคณิตผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัวเรียกว่าไบเวกเตอร์ในขณะที่ผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สามตัวเรียกว่าไตรเวกเตอร์ไบเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบระนาบที่มีทิศทาง และไตรเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบปริมาตรที่มีทิศทาง ในทำนองเดียวกับที่เวกเตอร์เป็นองค์ประกอบเส้นที่มีทิศทาง

กำหนดเวกเตอร์a , bและcผลคูณคือ...

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

เป็นไตรเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัว กล่าวคือ

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

และเป็นHodge dualของผลคูณสามเวกเตอร์แบบสเกลาร์ เนื่องจากผลคูณภายนอกมีคุณสมบัติการสลับที่ จึงไม่จำเป็นต้องใช้วงเล็บ เพราะไม่สำคัญว่า จะคำนวณ a ∧ bหรือ b ∧ cก่อน แม้ว่าลำดับของเวกเตอร์ในผลคูณจะมีความสำคัญก็ตาม ในทางเรขาคณิต ไตรเวกเตอร์a ∧ b ∧ cสอดคล้องกับทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากa , bและcโดยมีไบเวกเตอร์a ∧ b , b ∧ cและa ∧ cตรงกับ หน้า สี่เหลี่ยมด้านขนานของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น

ผลคูณสามเท่ามีลักษณะเหมือนกับรูปแบบปริมาตรของปริภูมิยูคลิด 3 มิติที่ใช้กับเวกเตอร์ผ่านผลคูณภายในนอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของการหดตัวของเวกเตอร์ด้วยเทนเซอร์อันดับ 3 ที่เทียบเท่ากับรูปแบบ (หรือพсевдотеротероที่เทียบเท่ากับรูปแบบปริมาตรเทียม) ดูด้านล่าง

ผลคูณเวกเตอร์สามตัว (Vector triple product)นิยามว่าคือผลคูณไขว้ (cross product)ของเวกเตอร์หนึ่งกับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์อีกสองตัว โดยมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

สิ่งนี้เรียกว่าการขยายผลคูณสามเท่าหรือสูตรของลากรองจ์ [ ^{2 ] [ 3 ] แม้ว่า}ชื่อหลังนี้จะถูกนำไปใช้กับสูตรอื่นๆ อีกหลายสูตรก็ตาม หลักฐานมีดังต่อไปนี้

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติสลับที่กันไม่ได้ สูตรนี้จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง (โดยไม่คำนึงถึงการสลับตำแหน่งของตัวอักษร) ดังนี้:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

จากสูตรของลากรองจ์ สรุปได้ว่า ผลคูณเวกเตอร์สามตัวจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของจาโคบีสำหรับผลคูณไขว้ สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่งมีดังต่อไปนี้:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

สูตรเหล่านี้มีประโยชน์มากในการลดความซับซ้อนของการคำนวณเวกเตอร์ในฟิสิกส์เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับเกรเดียนต์และมีประโยชน์ในแคลคูลัสเวกเตอร์คือสูตรเอกลักษณ์ผลคูณเวกเตอร์ของลากรองจ์: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

สิ่งนี้อาจถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของตัวดำเนินการ Laplace–de Rham ที่ ทั่วไปกว่าได้เช่นกัน${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

ส่วนประกอบของ กำหนดโดย: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

ในทำนองเดียวกัน ส่วนประกอบ และของ จะกำหนดโดย: ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

เมื่อนำส่วนประกอบทั้งสามนี้มารวมกัน เราจะได้:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^{[ 5 ]}

หากใช้พีชคณิตเชิงเรขาคณิต ผลคูณไขว้b × cของเวกเตอร์จะแสดงเป็นผลคูณภายนอก b ∧ cซึ่งเป็นไบเวกเตอร์ผลคูณไขว้ที่สองไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณภายนอกได้ มิฉะนั้นจะเกิดผลคูณสามเท่าของสเกลาร์ แทนที่จะใช้การหดตัวทางซ้าย^{[ 6 ]}สามารถใช้แทนได้ ดังนั้นสูตรจึงกลายเป็น^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

การพิสูจน์เป็นไปตามคุณสมบัติของการหดตัว^{[ 6 ]}ผลลัพธ์คือเวกเตอร์เดียวกันกับที่คำนวณโดยใช้a × ( b × c )

สำหรับตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่ไม่สลับที่กันความสัมพันธ์พิเศษจะเกิดขึ้นกับผลคูณสามตัวตาม ${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ,\mathbf {\hat {b}} ,\mathbf {\hat {c}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)=\mathbf {\hat {b}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} {\Big )}-\mathbf {\hat {c}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} {\Big )}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left(\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+{\hat {a}}_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\right)\mathbf {e} _{\alpha }}$${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} =\mathbf {\hat {b}} \left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-\mathbf {\hat {a}} \left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }\mathbf {e} _{\alpha }}$

โดยที่เวกเตอร์หน่วยของและเป็น ดัชนีของ ฐานออร์โทนอร์มอลสามมิติและวงเล็บเหลี่ยมแทน ตัว สลับ ตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

โดยใช้ส่วนประกอบแต่ละส่วนของผลคูณไขว้

${\displaystyle \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }a_{\beta }b_{\gamma }\,,}$

รวมถึง การแสดงออก เชิงสัญลักษณ์ของ Levi-Civitaผ่านทางKronecker Delta ด้วย

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }=\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\,,}$

เราได้รับการแสดงออก

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)\right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left(\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\right){\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }={\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\\&=\left({\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)+\left({\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right]\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+a_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\end{aligned}}}$

สำหรับอัตลักษณ์แรกและการแสดงออก

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)_{\beta }{\hat {c}}_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\beta \mu \nu }{\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }\\&=\left(\delta _{\nu \alpha }\delta _{\mu \gamma }-\delta _{\mu \alpha }\delta _{\nu \gamma }\right){\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }={\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left({\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&=\left(\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\mu }\end{aligned}}}$

สำหรับเอกลักษณ์ที่สองสำหรับดัชนีทั้งสามตัว โดยการแสดงเอกลักษณ์เหล่านั้นผ่านผลรวมของดัชนีทั้งหมด จะได้เอกลักษณ์ดั้งเดิมกลับคืนมา

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตไบเวกเตอร์ สามตัว สามารถมีผลคูณสามตัวได้เช่นกัน ผลคูณนี้เลียนแบบผลคูณเวกเตอร์สามตัวมาตรฐาน ผลคูณแบบแอนติสมมาตรของไบเวกเตอร์สามตัวคือ...

${\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times \left({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}}\right)=-\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}\right){\overset {\Rightarrow }{b}}+\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}\right){\overset {\Rightarrow }{c}}}$

การพิสูจน์นี้ทำได้โดยการใช้รูปคู่ของผลคูณเวกเตอร์สามตัวในรูปแบบพีชคณิตเรขาคณิต จนกระทั่งเวกเตอร์ทั้งหมดกลายเป็นไบเวกเตอร์

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&(-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )-(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&={\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})\end{alignedat}}}$

นี่เป็นการต่อสู้แบบคู่สามครั้ง ต้องทำแบบเดียวกันกับด้านซ้ายด้วย

${\displaystyle {\begin{aligned}&((((\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} )\star )\star )\star \\&={\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{c}}+{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{b}}-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{b}}+{\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\\&=({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\end{aligned}}}$

เมื่อปฏิเสธทั้งสองข้าง เราจะได้:

${\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})=-({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}}$

การใช้ สัญลักษณ์เทนเซอร์ ในการแสดงส่วนประกอบของผลคูณสามตัว นั้น มีประโยชน์ในสาขาต่างๆ เช่นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษและฟิสิกส์เชิงทฤษฎีโดยทั่วไป

เนื่องจากวิธีการนำเสนอแบบนี้จะให้วิธีการแสดงคุณสมบัติของผลคูณ ที่ไม่ขึ้นกับฐาน (หรือไม่ขึ้นกับพิกัด )

ผลคูณสเกลาร์สามตัวแสดงโดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civita : ^{[ 8 ]} ในขณะที่ผลคูณเวกเตอร์สามตัว: อ้างอิงถึงส่วนประกอบที่ -th ของเวกเตอร์ผลลัพธ์ สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการหดตัวบนสัญลักษณ์ Levi-Civitaโดย ที่คือฟังก์ชันเดลต้าของ Kronecker ( เมื่อและเมื่อ) และคือฟังก์ชันเดลต้าของ Kronecker แบบทั่วไปเราสามารถให้เหตุผลถึงเอกลักษณ์นี้ได้โดยการตระหนักว่าดัชนีจะถูกบวกออกเหลือเพียงและในเทอมแรก เรากำหนดและดังนั้นในทำนองเดียวกัน ในเทอมที่สอง เรากำหนดและดังนั้น $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i=\ell }$${\displaystyle j=m}$${\displaystyle i=m}$${\displaystyle \ell =j}$

กลับมาที่ผลคูณไขว้สามตัวอีกครั้ง $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]\right)_{i}&=\left(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\right)a^{j}b_{\ell }c_{m}\\[1ex]&=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.\end{aligned}}}$$

• ผลิตภัณฑ์สี่เท่า
• ความสัมพันธ์พีชคณิตเวกเตอร์

• วิดีโอจาก Khan Academy แสดงการพิสูจน์การขยายผลิตภัณฑ์สามเท่า