ในทางคณิตศาสตร์สูตรของเวียตาเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ของพหุนามกับผลรวมและผลคูณของราก ของพหุนามนั้น สูตร เหล่านี้ตั้งชื่อตามฟรองซัวส์ เวียตา (François Viète ) (ค.ศ. 1540-1603) ซึ่งมักเรียกกันทั่วไปในชื่อภาษาละตินว่า "Franciscus Vieta"

พหุนามทั่วไปใดๆ ที่มีดีกรีn (โดยที่สัมประสิทธิ์เป็น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและ0 0 ) จะมี รากเชิงซ้อน nราก (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) คือ r , r , ..., r ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสูตรของเวียตาเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ของพหุนามกับผลรวมแบบมีเครื่องหมายของผลคูณของรากr , r , ..., r ดังนี้: $${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{1}}{a_{0}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{2}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=(-1)^{k}{\dfrac {a_{k}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{n}}{a_{0}}},\end{cases}}}$$

*

โดยที่เป็น พหุ นามสมมาตรพื้นฐานลำดับที่ในตัวแปรสุ่มนั่นคือ เป็นผลรวมของผลคูณทั้งหมดของที่มีดัชนีต่างกัน ${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{i}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง และนิพจน์ข้างต้นที่มีดีกรี 2 ใน⁠ ⁠เท่ากับ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}+r_{2}\cdots +r_{n},\\E_{n}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}r_{2}\cdots r_{n},\end{aligned}}}$$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle E_{2}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สูตรของเวียตาจะยังคงใช้ได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามอยู่ในโดเมนจำนวนเต็มและรากอยู่ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตสำหรับการสรุปทั่วไปเพิ่มเติม จะเป็นประโยชน์ที่จะแยกข้อความออกเป็นสองส่วน:

• พหุนามทุกตัวที่มีดีกรีnบนโดเมนอินทิกรัลRสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกัน โดยคำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ ดังนี้ โดยที่⁠ ⁠ เป็นสมาชิกของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ประกอบด้วยR$${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$$$${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$${\displaystyle r_{i}}$
• ถ้าพหุนามดีกรีnแยกตัวประกอบบนริงสลับที่ได้เป็น แล้วจะได้สำหรับโดยที่คือพหุนามสมมาตรพื้นฐานลำดับที่นั่นคือผลรวมของผลคูณทั้งหมดของของที่มีดัชนีต่างกัน$${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$$${\displaystyle a_{i}=(-1)^{i}a_{0}E_{i}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle E_{i}^{(n)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{k}}$

สูตรของเวียตาเป็นประโยชน์ในโดเมนเชิงอินทิกรัล เนื่องจากให้ความสัมพันธ์ระหว่างรากโดยไม่ต้องคำนวณรากเหล่านั้น แต่ในริงที่ไม่ใช่โดเมนเชิงอินทิกรัล ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ในริงของจำนวนเต็มมอดูล 8 พหุนามกำลังสอง มีรากสี่ราก (1, 3, 5 และ 7) และมีการแยกตัวประกอบสองแบบที่แตกต่างกัน: เนื่องจากจึงไม่สามารถใช้สูตรของเวียตากับราก1และ3ได้ ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$$${\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x-7)=(x-3)(x-5)}$$${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$

สูตรของเวียตาที่นำไปใช้กับ พหุนาม กำลังสองและกำลังสาม :

รากของพหุนามกำลังสองเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$$${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

สมการแรกนี้สามารถใช้เพื่อหาค่าต่ำสุด (หรือสูงสุด) ของPได้ โปรดดูสมการกำลังสอง § สูตรของเวียตา

รากของพหุนามกำลังสามเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$$${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

สูตรของเวียตาพิสูจน์ได้โดยพิจารณาความเท่าเทียมกัน (ซึ่งเป็นจริงเนื่องจากเป็นรากทั้งหมดของพหุนามนี้) ขยายผลคูณทางด้านขวามือ และเทียบสัมประสิทธิ์ของแต่ละกำลังของระหว่างสมาชิกทั้งสองของสมการ $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$${\displaystyle x}$

ในทางทฤษฎี หากเราขยายและจัดกลุ่มคำศัพท์ใหม่ตามระดับใน⁠ ⁠จะได้ ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}x^{k}\left(\sum _{\stackrel {(\forall i)\;b_{i}\in \{0,1\}}{b_{1}+\cdots +b_{n}=n-k}}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}\right),}$

โดยที่ผลรวมภายในคือฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานลำดับที่ ⁠ ⁠ พอดี${\displaystyle k}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการกำลังสอง $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

เมื่อเปรียบเทียบกำลังที่เหมือนกันของเราจะพบว่าและซึ่งเราสามารถใช้ระบุและ ได้ ตัวอย่างเช่น ซึ่งเป็นสูตรของเวียตาสำหรับ ${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$${\displaystyle n=2}$

สูตรเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 ชื่อFrançois Vièteซึ่งเป็นผู้คิดค้นสูตรเหล่านี้สำหรับกรณีของรากบวก อย่างไรก็ตาม วิธีการของ Viète และวิธีการของนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลาม ในศตวรรษที่ 12 ชื่อ Sharaf al-Din al-Tusiนั้นใกล้เคียงกันมาก^{[ 1 ]}เป็นไปได้ว่าความก้าวหน้าทางพีชคณิตของนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามคนอื่นๆ เช่นOmar Khayyam , al-Tusiและal-Kashiมีอิทธิพลต่อนักพีชคณิตในศตวรรษที่ 16 โดย Viète เป็นผู้ที่โดดเด่นที่สุดในกลุ่มนี้^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตามความเห็นของชาร์ลส์ ฮัตตัน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 18 ตามที่ฟังก์เฮาเซอร์อ้างถึง^{[ 4 ]} หลักการทั่วไป (ไม่จำกัดเฉพาะรากจริงบวก) ได้รับการเข้าใจเป็นครั้งแรกโดย อัลเบิร์ต จิราร์ดนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 :

...[ฌิราร์ด] เป็นบุคคลแรกที่เข้าใจหลักการทั่วไปของการสร้างสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังจากผลรวมของรากและผลคูณของรากเหล่านั้น เขาเป็นคนแรกที่ค้นพบกฎสำหรับการหาผลรวมของเลขยกกำลังของรากในสมการใดๆ

• เนื้อหา (พีชคณิต)
• กฎแห่งสัญลักษณ์ของเดส์การ์ต
• เอกลักษณ์ของนิวตัน
• ทฤษฎีบทเกาส์-ลูคัส
• คุณสมบัติของรากพหุนาม
• ทฤษฎีบทรากตรรกยะ
• พหุนามสมมาตรและ พหุนามสมมาตรพื้นฐาน