ในทางคณิตศาสตร์ลำดับฟิโบนาชชีแบบสุ่มเป็น ลำดับอนาล็อก เชิงสุ่มของลำดับฟิโบนาชชีที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}\pm f_{n-2}}$โดยที่เครื่องหมาย + หรือ − ถูกเลือกแบบสุ่มด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$โดยอิสระสำหรับสิ่งที่แตกต่างกัน${\displaystyle n}$ตามทฤษฎีบทของHarry KestenและHillel Furstenbergลำดับเวียนเกิดแบบสุ่มประเภทนี้เติบโตในอัตราเลขชี้กำลัง ที่แน่นอน แต่การคำนวณอัตราดังกล่าวอย่างชัดเจนนั้นทำได้ยาก ในปี 1999 Divakar Viswanathได้แสดงให้เห็นว่าอัตราการเติบโตของลำดับฟิโบนาชชีแบบสุ่มเท่ากับ 1.1319882487943... (ลำดับA078416ในOEIS )ซึ่งเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่ต่อมาได้รับการตั้งชื่อว่าค่าคงที่ของ Viswanath ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ลำดับฟิโบนาชี่แบบสุ่ม คือลำดับจำนวนเต็ม แบบสุ่ม ที่กำหนดโดยตัวเลขต่างๆ${\displaystyle f_{n}}$สำหรับจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle n}$, ที่ไหน${\displaystyle f_{1}=f_{2}=1}$และพจน์ถัดไปจะถูกเลือกแบบสุ่มตามความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบสุ่ม $${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{ ด้วยความน่าจะเป็น }}{\tfrac {1}{2}};\\f_{n-1}-f_{n-2},&{\text{ ด้วยความน่าจะเป็น }}{\tfrac {1}{2}}.\end{cases}}}$$ ลำดับฟิโบนาชชีแบบสุ่มเริ่มต้นด้วย 1,1 และค่าของแต่ละพจน์ถัดไปจะถูกกำหนดโดยการ โยน เหรียญอย่างยุติธรรม : เมื่อกำหนดองค์ประกอบสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับแล้ว องค์ประกอบถัดไปจะเป็นผลรวมหรือผลต่างขององค์ประกอบทั้งสองด้วยความน่าจะเป็น 1/2 โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกที่ทำไว้ก่อนหน้านี้ หากในลำดับฟิโบนาชชีแบบสุ่มมีการเลือกเครื่องหมายบวกในแต่ละขั้นตอน ลำดับฟิโบนาชชีที่สอดคล้องกันคือลำดับ ฟิโบนาชชี ( Fn $${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots .}$$ ถ้าเครื่องหมายสลับกันในรูปแบบ ลบ-บวก-บวก-ลบ-บวก-บวก-... ผลลัพธ์ที่ได้คือลำดับ $${\displaystyle 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,\ldots .}$$

อย่างไรก็ตาม รูปแบบดังกล่าวมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมากในการทดลองแบบสุ่ม ในการทดลองทั่วไป ตัวแปรต่างๆ จะไม่เป็นไปตามรูปแบบที่คาดเดาได้: $${\displaystyle 1,1,2,3,1,-2,-3,-5,-2,-3,\ldots {\text{ สำหรับเครื่องหมาย }}+,+,+,-,-,+,-,-,\ldots .}$$

เช่นเดียวกับกรณีที่กำหนดได้แน่นอน ลำดับฟิโบนาชี่แบบสุ่มสามารถอธิบายได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้เมทริกซ์ : $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}={\begin{pmatrix}0&1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}{f_{n-2} \choose f_{n-1}},}$$

โดยที่เครื่องหมายถูกเลือกอย่างอิสระสำหรับค่าn ที่แตกต่างกัน ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันสำหรับเครื่องหมาย + หรือ − ดังนั้น $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}=M_{n}M_{n-1}\ldots M_{3}{f_{1} \choose f_{2}},}$$ โดยที่ ( M ) คือลำดับของเมทริกซ์สุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันซึ่งรับค่าAหรือBด้วยความน่าจะเป็น 1/2: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$$

โยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบว่า เมื่อnเพิ่มขึ้น อัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันของลำดับฟิโบนาชชี ( Fn) จะใกล้ค่าอัตราส่วนทองคำ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$ซึ่งมีค่าประมาณ 1.61803 ในปี ค.ศ. 1765 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ตีพิมพ์สูตรที่ชัดเจน ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสูตรบิเนต์ $${\displaystyle F_{n}={{\varphi ^{n}-(-1/\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า ตัวเลขฟิโบนาชชีเติบโตในอัตราเลขชี้กำลังที่เท่ากับอัตราส่วนทองคำφ

ในปี 1960 ฮิลเลล เฟอร์สเตนเบิร์กและแฮร์รี เคสเทนแสดงให้เห็นว่าสำหรับเมท ริกซ์ ผลคูณแบบสุ่ม ทั่วไป ค่าบรรทัดฐานจะเพิ่มขึ้นตามλ ⁿโดยที่nคือจำนวนตัวประกอบ ผลลัพธ์ของพวกเขาสามารถนำไปใช้กับกระบวนการสร้างลำดับแบบสุ่มในวงกว้าง ซึ่งรวมถึงลำดับฟิโบนาชชีแบบสุ่มด้วย ผลที่ตามมาคือรากที่nของ | f | จะลู่เข้าสู่ค่าคงที่เกือบแน่นอนหรือด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง: $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1.1319882487943\dots {\text{ เมื่อ }}n\to \infty .}$$

Divakar Viswanath ค้นพบสูตรที่ชัดเจนสำหรับค่าคงที่นี้ในปี 1999 โดยใช้สูตรของ Furstenberg สำหรับเลขชี้กำลัง Lyapunovของผลคูณเมทริกซ์สุ่มและการอินทิเกรตเหนือมาตรวัดแฟรกทัล บางอย่าง บนต้นไม้ Stern–Brocotยิ่งไปกว่านั้น Viswanath ยังคำนวณค่าตัวเลขข้างต้นโดยใช้ เลขคณิต จุดลอยตัว ที่ได้รับการตรวจสอบโดย การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ

มาร์ค เอ็มบรีและนิค เทรเฟเธนได้แสดงให้เห็นในปี 1999 ว่าลำดับดังกล่าว $${\displaystyle f_{n}=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}}$$

ลดลงเกือบแน่นอนหากβน้อยกว่าค่าวิกฤตβ * ≈ 0.70258ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่ Embree–Trefethen และเพิ่มขึ้นเกือบแน่นอนในกรณีอื่น ๆ พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนเชิงเส้นกำกับσ ( β ) ระหว่างเทอมที่ต่อเนื่องกันลู่เข้าเกือบแน่นอนสำหรับทุกค่าของβกราฟของσ ( β ) ดูเหมือนจะมี โครงสร้าง แบบแฟรกทัลโดยมีค่าต่ำสุดทั่วโลกใกล้β ≈ 0.36747ซึ่งเท่ากับσ ( β ) ≈ 0.89517โดย ประมาณ ^{[ 4 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ลำดับฟีโบนักชีแบบสุ่ม" . แมทเวิลด์ .
• ลำดับOEIS A078416 (การขยายทศนิยมของค่าคงที่ของวิศวนาถ)
• ตัวเลขฟิโบนาชี่แบบสุ่มวิดีโอ ของNumberphile เกี่ยวกับลำดับฟิโบนาชี่แบบสุ่ม