ลำดับฟิโบนาชชีปรากฏในคณิตศาสตร์อินเดียโดยเชื่อมโยงกับ ฉันทลักษณ์ ภาษาสันสกฤต^{[ 4 ] [ 11 ] [ 12 ]} ในประเพณีบทกวีภาษาสันสกฤต มีความสนใจในการนับรูปแบบทั้งหมดของพยางค์ยาว (L) ที่มีระยะเวลา 2 หน่วย ควบคู่กับพยางค์สั้น (S) ที่มีระยะเวลา 1 หน่วย การนับรูปแบบต่างๆ ของ L และ S ที่ต่อเนื่องกันโดยมีระยะเวลารวมที่กำหนด จะได้เป็นจำนวนฟิโบนาชชี : จำนวนรูปแบบที่มีระยะเวลาmหน่วย คือF ^{[ 5 ]}

ความรู้เกี่ยวกับลำดับฟิโบนาชชีได้รับการกล่าวถึงตั้งแต่สมัยปิงคลา ( ประมาณ 450 ปี ก่อนคริสต์ศักราช – 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช) สิงห์อ้างถึงสูตรปริศนาของปิงคลาว่าmisrau cha ("ทั้งสองผสมกัน") และนักวิชาการที่ตีความในบริบทว่า จำนวนรูปแบบสำหรับ จังหวะ m ( F ) ได้มาจากการเพิ่ม [S] หนึ่งตัวให้กับ กรณี F และเพิ่ม [L] หนึ่งตัวให้กับกรณีF ^{[ 13 ]}ภารตะมุนียังแสดงความรู้เกี่ยวกับลำดับนี้ในนาฏยศาสตร์ ( ประมาณ 100 ปีก่อนคริสต์ศักราช– ประมาณ 350 ปีคริสต์ศักราช) ^{[ 3 ] [ 4 ]} อย่างไรก็ตาม การอธิบายลำดับนี้อย่างชัดเจนที่สุดเกิดขึ้นในงานของวีระหันกะ ( ประมาณ 700 ปีคริสต์ศักราช) ซึ่งงานของเขาเองสูญหายไป แต่มีอยู่ในคำอ้างอิงของโกปาละ ( ประมาณ 1135): ^{[ 12 ]}          

การเปลี่ยนแปลงของจังหวะสองจังหวะก่อนหน้า [คือการเปลี่ยนแปลง]  ... ตัวอย่างเช่น สำหรับ [จังหวะความยาว] สี่ การเปลี่ยนแปลงของจังหวะสองจังหวะ [และ] สามจังหวะที่ผสมกัน จะได้ห้าจังหวะ [ยกตัวอย่างที่ 8, 13, 21]  ... ด้วยวิธีนี้ ควรปฏิบัติตามกระบวนการนี้ในmātrā-vṛttas [การผสมผสานจังหวะ] ทั้งหมด ^[ก]

เฮมาจันทรา ( ราว ค.ศ.  1150) ได้รับการยกย่องว่ามีความรู้เกี่ยวกับลำดับเช่นกัน^{[ 3 ]}โดยเขียนว่า "ผลรวมของตัวสุดท้ายและตัวก่อนหน้าตัวสุดท้ายคือจำนวน ... ของ mātrā-vṛtta ตัวถัดไป" ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ลำดับฟิโบนาชชีปรากฏครั้งแรกในหนังสือLiber Abaci ( หนังสือแห่งการคำนวณ , 1202) โดย ฟิ ^โบนาชชี [ ^{17 ] [ 18 ]}ซึ่งใช้ในการคำนวณการเติบโตของประชากรกระต่าย^{[ 19 ]}ฟิโบนาชชีพิจารณาการเติบโตของ ประชากร กระต่าย ในอุดมคติ (ซึ่งไม่สมจริง ทางชีววิทยา ) โดยสมมติว่า: กระต่ายคู่ผสมพันธุ์ที่เพิ่งเกิดใหม่ถูกนำไปไว้ในทุ่งนา; กระต่ายแต่ละคู่ผสมพันธุ์กันเมื่ออายุได้หนึ่งเดือน และเมื่อสิ้นสุดเดือนที่สอง พวกมันจะให้กำเนิดกระต่ายอีกคู่หนึ่งเสมอ; และกระต่ายไม่มีวันตาย แต่จะผสมพันธุ์ต่อไปเรื่อยๆ ฟิโบนาชชีตั้งคำถามทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับกระต่าย ว่า: จะมีกระต่ายกี่คู่ในหนึ่งปี?

• เมื่อสิ้นสุดเดือนแรก พวกมันจะผสมพันธุ์กัน แต่ก็ยังมีเพียงคู่เดียว
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สอง พวกมันจะออกลูกเป็นคู่ใหม่ ดังนั้นจึงมีนก 2 คู่ในทุ่งนา
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สาม คู่แรกจะให้กำเนิดคู่ที่สอง แต่คู่ที่สองจะผสมพันธุ์กันเพื่อตั้งท้องเพียงหนึ่งเดือนเท่านั้น ดังนั้นจึงมีทั้งหมด 3 คู่
• เมื่อสิ้นสุดเดือนที่สี่ คู่เดิมได้ให้กำเนิดคู่ใหม่ขึ้นอีกคู่หนึ่ง และคู่ที่เกิดเมื่อสองเดือนก่อนก็ให้กำเนิดคู่แรกเช่นกัน ทำให้มีทั้งหมด 5 คู่

เมื่อสิ้นสุด เดือนที่ nจำนวนคู่กระต่ายจะเท่ากับจำนวนคู่ที่โตเต็มวัย (นั่นคือ จำนวนคู่ในเดือนที่n – 2 ) บวกกับจำนวนคู่ที่ยังมีชีวิตอยู่เมื่อเดือนที่แล้ว (เดือนที่n – 1 ) จำนวนใน เดือนที่ nคือจำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่n ^{[ 20 ]}

ชื่อ "ลำดับฟิโบนาชชี" ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักทฤษฎีจำนวนในศตวรรษที่ 19 ชื่อÉdouard Lucas ^{[ 21 ]}

เช่นเดียวกับลำดับทุกลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ตัวเลขฟิโบนาชชีมีสูตรสำเร็จรูป^{[ 22 ]}สูตรนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อสูตรของบิเนต์ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสJacques Philippe Marie Binet แม้ว่า Abraham de MoivreและDaniel Bernoulliจะรู้จักสูตรนี้มาก่อนแล้วก็ตาม^{[ 23 ]}

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

ที่ไหน​${\displaystyle \varphi }$( phi )คืออัตราส่วนทองคำและ${\displaystyle \psi }$( psi ) คือ^คู่ควบ^ของ มัน [ ²⁴ ]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}}$$

ตัวเลข​${\displaystyle \varphi }$และ​​${\displaystyle \psi }$คือคำตอบสองคำตอบของสมการกำลังสอง${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$นั่นคือ​${\displaystyle (x-\varphi )(x-\psi )=x^{2}-x-1}$และด้วยเหตุนี้จึงตรงตามเอกลักษณ์เหล่านั้น${\displaystyle \varphi +\psi =1}$และ​​${\displaystyle \varphi \psi =-1}$⁠ .

เนื่องจาก${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$สูตรของบิเนต์สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

เพื่อดูความสัมพันธ์ระหว่างลำดับและค่าคงที่เหล่านี้^{[ 25 ]}โปรดทราบว่า${\displaystyle \varphi }$และ${\displaystyle \psi }$รากของ${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$ดังนั้นอำนาจของ${\displaystyle \varphi }$และ${\displaystyle \psi }$สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟิโบนาชี่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น สำหรับค่าaและb ใดๆ ลำดับที่กำหนดโดย

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน หากเลือกค่าaและb โดยที่ U = 0และU = 1แล้ว ลำดับU ที่ได้ จะต้องเป็นลำดับฟิโบนาชชี ซึ่งก็เหมือนกับการกำหนดให้aและbสอดคล้องกับระบบสมการ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหา

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

สร้างสูตรที่ต้องการ

โดยกำหนดให้ค่าเริ่มต้นU และU เป็นค่าคงที่ใดๆ และแก้ระบบสมการ จะได้คำตอบทั่วไป $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเลือกa = 1จะทำให้ องค์ประกอบที่ nของลำดับมีค่าใกล้เคียงกับ กำลังที่ nของ⁠${\displaystyle \varphi }$สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ U = 2และ U = 1ซึ่งจะสร้างลำดับของจำนวนลูคัส

เนื่องจาก ${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$สำหรับทุกn ≥ 0จำนวนF คือจำนวนเต็มที่ ใกล้เคียงที่สุด กับ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ดังนั้นจึงสามารถหาได้โดยการปัดเศษโดยใช้ฟังก์ชันจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด: $${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

อันที่จริงแล้ว ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อnเพิ่มขึ้น โดยจะมีค่าน้อยกว่า 0.1 สำหรับn ≥ 4และน้อยกว่า 0.01 สำหรับn ≥ 8สูตรนี้สามารถกลับด้านได้อย่างง่ายดายเพื่อหาดัชนีของจำนวนฟิโบนาชชีF : $${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

แต่การใช้ฟังก์ชัน floorจะให้ค่าดัชนีสูงสุดของจำนวนฟิโบนาชี่ที่ไม่มากกว่าFแทน $${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$,${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$[ ^{26 ]}และ^​${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$[ ^{27 ]​}

เนื่องจากF เป็นค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของ${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$จำนวนหลักในF มีลักษณะเข้าใกล้ค่าประมาณ${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มd > 1 ทุกจำนวน จะมีจำนวนฟิโบนาชชี 4 หรือ 5 จำนวนที่มีทศนิยมd หลัก

โดยทั่วไปแล้ว ใน การแสดงเลข ฐานbจำนวนหลักในF จะมีค่าเข้าใกล้ค่าประมาณ${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

โยฮันเนส เคปเลอร์สังเกตว่าอัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชี่ที่เรียงติดกันนั้นลู่เข้าหากันเขาเขียนว่า "อัตราส่วนระหว่าง 5 กับ 8 นั้นแทบจะเท่ากับอัตราส่วนระหว่าง 8 กับ 13 และอัตราส่วนระหว่าง 8 กับ 13 นั้นแทบจะเท่ากับอัตราส่วนระหว่าง 13 กับ 21" และสรุปว่าอัตราส่วนเหล่านี้เข้าใกล้กับอัตราส่วนทองคำ${\displaystyle \varphi }$: ^{[ 28 ] [ 29 ]}​$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

การบรรจบกันนี้เกิดขึ้นได้ไม่ว่าค่าเริ่มต้นจะเป็นอย่างไรก็ตาม${\displaystyle U_{0}}$และ${\displaystyle U_{1}}$, เว้นเสียแต่ว่า${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$สามารถตรวจสอบได้โดยใช้สูตรของบิเนต์ตัวอย่างเช่น ค่าเริ่มต้น 3 และ 2 จะสร้างลำดับ 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... อัตราส่วนขององค์ประกอบที่อยู่ติดกันในลำดับนี้แสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าสู่ค่าอัตราส่วนทองคำเช่นเดียวกัน

โดยทั่วไป${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$เนื่องจากอัตราส่วนระหว่างตัวเลขฟิโบนาชี่ที่ต่อเนื่องกันเข้าใกล้ค่า 0${\displaystyle \varphi }$.

เนื่องจากอัตราส่วนทองคำสอดคล้องกับสมการดังกล่าว $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

สามารถใช้สูตรนี้ในการแยกตัวประกอบกำลังที่สูงกว่าได้${\displaystyle \varphi ^{n}}$ในรูปฟังก์ชันเชิงเส้นของกำลังที่ต่ำกว่า ซึ่งสามารถแยกย่อยลงไปได้อีกจนถึงการรวมเชิงเส้นของ${\displaystyle \varphi }$และ 1. ความสัมพันธ์เวียนเกิด ที่ได้ จะให้ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้นเป็นเลข ฟิโบนาชชี : $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$ สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การอุปมานบนn ≥ 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}}$$ สำหรับ${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$นอกจากนี้ ยังเป็นความจริงที่ว่า${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$และก็เป็นความจริงเช่นกันว่า $${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

นิพจน์เหล่านี้ยังคงเป็นจริงสำหรับn < 1หากลำดับฟิโบนาชชีF ถูกขยายไปยังจำนวนเต็มลบโดยใช้กฎฟิโบนาชชี${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

สูตรของบิเนต์พิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มบวกxเป็นจำนวนฟิโบนาชชีก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง${\displaystyle 5x^{2}+4}$หรือ${\displaystyle 5x^{2}-4}$เป็น กำลัง สองสมบูรณ์^{[ 30 ]}เนื่องจากสูตรของบิเนต์ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$สามารถคูณด้วย${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$และแก้เป็นสมการกำลังสองใน${\displaystyle \varphi ^{n}}$โดยใช้สูตรกำลังสอง :

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4{(-1)}^{n}}}}{2}}.}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ด้านซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์

เอกลักษณ์ส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนฟิโบนาชชีสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การให้เหตุผลเชิงการจัดเรียง โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle F_{n}}$สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนลำดับ (อาจว่างเปล่า) ของ เลข 1 และ 2 ที่มีผลรวมเท่ากับ${\displaystyle n-1}$นี่สามารถถือเป็นคำจำกัดความของ${\displaystyle F_{n}}$ด้วยข้อตกลง${\displaystyle F_{0}=0}$ซึ่งหมายความว่าไม่มีลำดับใดที่มีผลรวมเป็น -1 และ${\displaystyle F_{1}=1}$ซึ่งหมายความว่าลำดับว่างนั้น "รวมกัน" ได้เป็น 0 ในส่วนต่อไปนี้${\displaystyle |{...}|}$คือจำนวนสมาชิกของเซต :

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

ด้วยวิธีนี้ ความสัมพันธ์เวียนเกิด $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ อาจเข้าใจได้โดยการแบ่งออก${\displaystyle F_{n}}$แบ่งลำดับออกเป็นสองชุดที่ไม่ทับซ้อนกัน โดยที่ลำดับทั้งหมดเริ่มต้นด้วย 1 หรือ 2: $${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$ เมื่อไม่รวมองค์ประกอบแรก ผลรวมของพจน์ที่เหลือในแต่ละลำดับจะเป็นดังนี้${\displaystyle n-2}$หรือ${\displaystyle n-3}$และจำนวนสมาชิกของแต่ละเซตคือ${\displaystyle F_{n-1}}$หรือ${\displaystyle F_{n-2}}$ให้ผลรวมเป็น${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$ลำดับที่แสดงว่าสิ่งนี้เท่ากับ${\displaystyle F_{n}}$.

ในทำนองเดียวกัน อาจแสดงได้ว่าผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีแรกจนถึง ลำดับที่ nเท่ากับจำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่( n + 2)  ลบ 1 ^{[ 33 ]} ในสัญลักษณ์: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

สิ่งนี้สามารถสังเกตได้จากการหารลำดับทั้งหมดที่รวมกันได้เป็น${\displaystyle n+1}$โดยพิจารณาจากตำแหน่งของ 2 ตัวแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่ละชุดประกอบด้วยลำดับที่เริ่มต้นจาก${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$จนถึงสองเซ็ตสุดท้าย${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$แต่ละอันมีจำนวนสมาชิก 1 ตัว

โดยใช้ตรรกะเดียวกันกับที่กล่าวมาแล้ว โดยการรวมจำนวนสมาชิกของแต่ละเซต เราจะเห็นว่า

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

...โดยที่สองพจน์สุดท้ายมีค่าเท่ากับ...${\displaystyle F_{1}=1}$จากนี้จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$.

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน โดยจัดกลุ่มผลรวมตามตำแหน่งของเลข 1 ตัวแรก แทนที่จะเป็นเลข 2 ตัวแรก จะได้เอกลักษณ์เพิ่มเติมอีกสองประการ: $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$ และ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$ กล่าวคือ ผลรวมของจำนวนฟิโบนาชี่แรกๆ ที่มี ดัชนี เป็นเลขคี่จนถึง${\displaystyle F_{2n-1}}$คือ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ (2 n )และผลรวมของจำนวนฟิโบนาชชีแรกที่มี ดัชนี คู่จนถึง${\displaystyle F_{2n}}$คือ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ (2 n + 1)ลบ 1 ^{[ 34 ]}

อาจใช้วิธีการอื่นเพื่อพิสูจน์ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ผลรวมของกำลังสองของจำนวนฟิโบนาชี่แรกๆ จนถึง${\displaystyle F_{n}}$คือผลคูณของ จำนวนฟิโบนาชชีลำดับที่ nและ ลำดับที่ ( n + 1)เพื่อให้เห็นภาพนี้ เริ่มจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าฟิโบนาชชีขนาด${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$และแยกย่อยออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดต่างๆ${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$จากนี้จึงสามารถสรุปได้ว่าเอกลักษณ์นั้นมาจากการเปรียบเทียบพื้นที่:

เอกลักษณ์ของฟิโบนาชชีมักสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยใช้การอุปมานทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น พิจารณาใหม่อีกครั้ง $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$ การเพิ่ม${\displaystyle F_{n+1}}$ให้กับทั้งสองฝ่าย

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

และด้วยเหตุนี้เราจึงได้สูตรสำหรับ${\displaystyle n+1}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

ในทำนองเดียวกัน ให้เพิ่ม${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$ทั้งสองด้านของ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ เพื่อที่จะให้ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

สูตรของบิเนต์คือ $${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$ สิ่งนี้สามารถนำไปใช้พิสูจน์เอกลักษณ์ของฟิโบนาชชีได้

ตัวอย่างเช่น เพื่อพิสูจน์ว่า${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ โปรดสังเกตว่าด้านซ้ายมือคูณด้วย${\displaystyle {\sqrt {5}}}$กลายเป็น $${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$ ตามความจำเป็น โดยใช้ข้อเท็จจริงเป็นข้อมูลอ้างอิง${\textstyle \varphi \psi =-1}$และ${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$เพื่อลดความซับซ้อนของสมการ

ข้อมูลประจำตัวของยานแคสสินีระบุว่า $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$ เอกลักษณ์ของชาวคาตาลันคือการสรุปแบบเหมารวม: $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}$$

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$$${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$ โดยที่L คือจำนวนลูคัสลำดับที่nส่วนสุดท้ายเป็นเอกลักษณ์สำหรับการคูณnด้วย 2 เอกลักษณ์ประเภทอื่นๆ ได้แก่ $${\displaystyle F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$ โดยอ้างอิงจากตัวตนของยานแคสสินี

$${\displaystyle F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}$$ สามารถค้นหาค่าเหล่านี้ได้จากการทดลองโดยใช้การลดแลตทิซและมีประโยชน์ในการสร้างตะแกรงสนามตัวเลขพิเศษเพื่อแยกตัวประกอบของจำนวนฟิโบนาชชี

โดยทั่วไป^{[ 35 ]}

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.}$$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{k-i}.}$$

เมื่อแทนค่า k = 2 ลง ในสูตรนี้ จะได้สูตรในรูปแบบเมทริกซ์เช่น เดียวกับตอนท้ายของหัวข้อข้างต้น

ฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติของลำดับฟิโบนาชี่คืออนุกรมกำลัง

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+5z^{5}+\cdots .}$$

อนุกรมนี้ลู่เข้าสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ${\displaystyle z}$น่าพอใจ${\displaystyle |z|<1/\varphi \approx 0.618,}$และผลรวมของมันมีรูปแบบปิดที่เรียบง่าย: ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการคูณด้วย${\textstyle (1-z-z^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$ โดยที่เงื่อนไขทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle z^{k}}$สำหรับ${\displaystyle k\geq 2}$หักล้างกันเนื่องจากความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟิโบนาชี่ที่กำหนดไว้

โดยใช้${\displaystyle z={10}^{-n}}$แสดงลำดับตัวเลขฟิโบนาชี่จนถึงตัวเลขรองสุดท้ายด้วย${\displaystyle n}$ตัวเลขในการขยายทศนิยมของ${\displaystyle s(z)}$. ตัวอย่างเช่น,$${\displaystyle s(10^{-3})={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=000.\,001\,001\,002\,003\,005\,008\,013\,\ldots .}$$

การแยกส่วนเศษส่วนย่อยแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$ ที่ไหน${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$คืออัตราส่วนทองคำและ${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$คือรูปคู่ควบ ของ มัน

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของลำดับฟิโบนาชชีอาจได้มาจากความสัมพันธ์เวียนเกิดเช่นกัน โดยให้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+2}{\frac {x^{k}}{k!}}={}&\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}+\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\F^{\prime \prime }(x)={}&F^{\prime }(x)+F(x)\end{aligned}}}$$ พหุพจน์ลักษณะเฉพาะของสมการนี้คือ${\textstyle r^{2}=r+1}$ซึ่งคำตอบเหล่านั้นจะตรงกับอัตราส่วนทองคำ พอดี${\textstyle \varphi }$และคู่ควบ ของมัน${\textstyle \psi }$เมื่อรวมกับค่าเริ่มต้นแล้ว${\textstyle F_{0}=F(0)=0}$และ${\textstyle F_{1}=F^{\prime }(0)=1}$ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของจำนวนฟิโบนาชชีนั้นกำหนดโดยฟังก์ชันทั้งหมด$${\displaystyle F(x)={\frac {e^{\varphi x}-e^{\psi x}}{\sqrt {5}}}}$$ การประเมินอนุพันธ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังที่${\textstyle x=0}$ให้สูตรของบิเนต์ : $${\displaystyle F^{(n)}(0)=F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$$

ทุกๆ ตัวเลขที่สามในลำดับจะเป็นเลขคู่ (ซึ่งเป็นพหุคูณของ⁠)${\displaystyle F_{3}=2}$)และโดยทั่วไปแล้ว ทุกๆ ⁠${\displaystyle k}$ลำดับ ที่ -thของลำดับนั้นเป็นพหุคูณของ ⁠${\displaystyle F_{k}}$ดังนั้นลำดับฟิโบนาชชีจึงเป็นตัวอย่างของลำดับการหารลงตัวในความเป็นจริง ลำดับฟิโบนาชชีเป็นไปตามคุณสมบัติการหารลงตัวที่เข้มงวดกว่า ^{[ 41 ] [ 42 ]}$${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$ โดยที่gcdคือ ฟังก์ชัน ตัวหารร่วมมาก (ความสัมพันธ์นี้จะแตกต่างออกไปหากใช้รูปแบบการจัดทำดัชนีที่แตกต่างกัน เช่น รูปแบบที่เริ่มต้นลำดับด้วย⁠)${\displaystyle F_{0}=1}$และ​​${\displaystyle F_{1}=1}$. )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนฟิโบนาชี่สามจำนวนใดๆ ที่อยู่ติดกันจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กันเป็นคู่ๆ เนื่องจากทั้ง${\displaystyle F_{1}=1}$และ​${\displaystyle F_{2}=1}$นั่นคือ $${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$$สำหรับ ทุกๆn

จำนวนเฉพาะpทุก จำนวน หารลงตัวในลำดับฟิโบนาชชี ซึ่งสามารถหาได้จากค่าของp มอดู ล 5 ถ้าpสอดคล้องกับ 1 หรือ 4 มอดูล 5 แล้วp จะหาร F ลงตัวและถ้าpสอดคล้องกับ 2 หรือ 3 มอดูล 5 แล้วpจะหารF ลงตัว กรณีที่เหลือคือp = 5ซึ่งในกรณีนี้pจะหารลงตัวในF

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

กรณีเหล่านี้สามารถรวมเข้าเป็นสูตร เดียวที่ไม่ใช่แบบ แยกส่วนได้ โดยใช้ สัญลักษณ์ Legendre : ^{[ 43 ]}$${\displaystyle p\mid F_{p\,-~\!\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

สูตรข้างต้นสามารถใช้เป็นการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะได้ในแง่ที่ว่า ถ้า $${\displaystyle n\mid F_{n\,-~\!\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$ เมื่อสัญลักษณ์เลอจองเดอร์ถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์จาโคบีนั่นเป็นหลักฐานว่าnเป็นจำนวนเฉพาะ และถ้าไม่เป็นเช่นนั้นn ก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะอย่างแน่นอน ถ้าnเป็นจำนวนประกอบและเป็นไปตามสูตรn ก็ คือจำนวนเฉพาะเทียมฟิโบนาชชีเมื่อmมีขนาดใหญ่เช่นจำนวน500 บิตเราสามารถคำนวณF (mod n )ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้รูปแบบเมทริกซ์ ดังนั้น  

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$ ในที่นี้กำลังเมทริกซ์A ^mจะถูกคำนวณโดยใช้การยกกำลังแบบโมดูลาร์ซึ่งสามารถปรับให้เข้ากับเมทริกซ์ได้^{[ 44 ]}

จำนวน เฉพาะฟิโบนาชชีคือจำนวนฟิโบนาชชีที่เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างแรกๆ ได้แก่: ^{[ 45 ]}

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

มีการค้นพบจำนวนเฉพาะฟิโบนาชชีที่มีหลายพันหลัก แต่ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนอนันต์หรือไม่^{[ 46 ]}

Fknหารลงตัวด้วย Fnดังนั้น นอกเหนือจาก F4 = 3 ก็ต้องมีดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมีลำดับของจำนวนประกอบที่ยาวได้โดยไม่จำกัดดังนั้นจึงมีลำดับของจำนวนประกอบฟิโบนาชชีที่ยาวได้โดยไม่จำกัดเช่นกัน

ไม่มีจำนวนฟิโบนาชชีใดที่มากกว่าF = 8ที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนเฉพาะหนึ่ง^{[ 47 ]}

จำนวนฟิโบนาชชี กำลังสอง ที่ไม่ใช่จำนวน ธรรมดาเพียงจำนวนเดียวคือ 144 ^{[ 48 ]} Attila Pethő พิสูจน์ในปี 2001 ว่ามีจำนวนฟิโบนาชชีกำลังสมบูรณ์ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ^{[ 49 ]}ในปี 2006 Y. Bugeaud, M. Mignotte และ S. Siksek พิสูจน์ว่า 8 และ 144 เป็นกำลังสมบูรณ์ที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดาเพียงจำนวนเดียว^{[ 50 ]}

ตัวเลขฟิโบนาชชีรูป สามเหลี่ยม มี เพียง1, 3, 21 และ 55 ซึ่งVern Hoggattเป็นผู้ตั้งข้อสันนิษฐานและ Luo Ming เป็นผู้พิสูจน์^{[ 51 ]}

ไม่มีจำนวนฟิโบนาชชีใดที่เป็นจำนวนสมบูรณ์ได้ [ ^{52 ] โดย}ทั่วไปแล้ว ไม่มีจำนวนฟิโบนาชชีใดนอกจาก 1 ที่เป็นจำนวนสมบูรณ์คูณได้ [ ^{53 ]}และไม่มีอัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีสองจำนวนใดที่เป็นจำนวนสมบูรณ์^{ได้[ 54 ]}

ยกเว้น 1, 8 และ 144 ( F = F , F และF ) จำนวนฟิโบนาชชีทุกจำนวนจะมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ใช่ตัวประกอบของจำนวนฟิโบนาชชีที่เล็กกว่า ( ทฤษฎีบทของคาร์ไมเคิล ) ^{[ 55 ]}ด้วยเหตุนี้ 8 และ 144 ( F และF ) จึงเป็นจำนวนฟิโบนาชชีเพียงสองจำนวนที่เป็นผลคูณของจำนวนฟิโบนาชชีอื่น^{[ 56 ]}

การหารลงตัวของจำนวนฟิโบนาชชีด้วยจำนวนเฉพาะpเกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์เลอจองเดอร์${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}}$ซึ่งจะได้รับการประเมินดังนี้: $${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}p=5\\1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$$