ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีปม (knot theory ) ข้อ สันนิษฐานเกี่ยวกับปริมาตร ( volume conjecture)เป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบซึ่งเชื่อมโยงค่าคงที่ควอนตัมของปมเข้ากับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกของส่วนเติมเต็มของปมเหล่า นั้น

ให้Oแทนปมที่ไม่มีอยู่จริงสำหรับปมใดๆให้เป็นค่าคงที่ของ Kashaevของซึ่งอาจนิยามได้ดังนี้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \langle K\rangle _{N}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}}$,

พหุนามโจนส์สีอยู่ที่ไหน- สมมติฐานปริมาตรระบุว่า^{[ 1 ]}${\displaystyle J_{K,N}(q)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$,

โดยที่คือปริมาตรเชิงซิมพลิเชียลของส่วนเติมเต็มของในทรงกลม 3 มิติซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ โดยการแยกส่วนแบบ JSJส่วนเติมเต็มสามารถแยกออกเป็นระบบของทอรัสได้อย่างไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S^{3}\backslash K}$

${\displaystyle S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)}$

โดยใช้ไฮเปอร์โบลิกและไฟเบอร์แบบ Seifertปริมาตรเชิงซิมพลิเชียลจึงถูกกำหนดให้เป็นผลรวม ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})}$,

ปริมาตรไฮเปอร์โบลิกของแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกอยู่ที่ไหน^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{i})}$${\displaystyle H_{i}}$

ในกรณีพิเศษ ถ้าเป็นปมไฮเปอร์โบลิกการแยกส่วนแบบ JSJ จะอ่านได้ง่ายๆ ว่าและโดยนิยามแล้ว ปริมาตรเชิงซิมพลิ เชียล จะตรงกับปริมาตรไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle K}$${\displaystyle S^{3}\backslash K=H_{1}}$${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{1})}$

ตัวแปรคงที่ของ Kashaev ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดย Rinat M. Kashaev ในปี 1994 และ 1995 สำหรับลิงก์ไฮเปอร์โบลิกเป็นผลรวมสถานะโดยใช้ทฤษฎีของไดโลการิธึมควอนตัม [ ^{2 ] [ 3 ] Kashaev}ได้ระบุสูตรของการคาดการณ์ปริมาตรในกรณีของปมไฮเปอร์โบลิกในปี 1997 ^{[ 4 ]}

Murakami & Murakami (2001)ชี้ให้เห็นว่าค่าคงที่ของ Kashaev เกี่ยวข้องกับพหุนาม Jones ที่มีสีโดยการแทนที่ตัวแปรด้วยรากของเอกภาพพวกเขาใช้เมทริกซ์ Rเป็นการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเพื่อความเท่าเทียมกันของคำอธิบายทั้งสองนี้ บทความนี้เป็นบทความแรกที่กล่าวถึงสมมติฐานปริมาตรในรูปแบบสมัยใหม่โดยใช้ปริมาตรเชิงซิมพลิเชียล พวกเขายังพิสูจน์ได้ว่าสมมติฐานปริมาตรบ่งชี้ถึงสมมติฐานต่อไปนี้ของVictor Vasiliev : ${\displaystyle q}$${\displaystyle e^{i\pi /N}}$

ถ้า ค่าคงที่ของวาสซิลิเยฟทั้งหมดของปมหนึ่งตรงกับค่าคงที่ของปมที่ไม่มีปมแล้ว ปมนั้นก็คือปมที่ไม่มีปมเช่นกัน

ข้อสังเกตสำคัญในการพิสูจน์ของพวกเขาคือ ถ้าค่าคงที่ของวาสซิลิเยฟทุกค่าของปมนั้นเป็น ค่าที่ไม่สำคัญแล้วสำหรับทุกๆ${\displaystyle K}$${\displaystyle J_{K,N}(q)=1}$${\displaystyle N}$

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับปริมาตรยังคงเป็นข้อสันนิษฐานที่ยังไม่มีคำตอบสำหรับปมทั่วไป และเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นเท็จสำหรับปมใดๆ ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับปริมาตรได้รับการพิสูจน์แล้วในกรณีพิเศษหลายกรณี รวมถึง:

• ปมรูปเลขแปด (โทเบียส เอคโฮล์ม) ^{[ 5 ]}
• ปมบิดสามรอบ (Rinat Kashaev และ Yoshiyuki Yokota) ^{[ 5 ]}
• วงแหวนบอร์โรเมียน ( สตาฟรอส การูฟาลิดิสและทัง เล ) ^{[ 5 ]}
• นอตทอรัส (Rinat Kashaev และ Olav Tirkkonen), ^{[ 5 ]}
• ปมและการเชื่อมโยงทั้งหมดที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ ( โรแลนด์ ฟาน เดอร์ วีน ) ^{[ 5 ]}
• ลิงก์ Whitehead ที่บิดเบี้ยว ( Hao Zheng ), ^{[ 6 ]}
• Whitehead คู่ปมทอรัสที่ไม่สำคัญกับ(Hao Zheng) ^{[ 6 ]}${\displaystyle T(p,q)}$${\displaystyle q=2}$

โดยใช้การทำให้ซับซ้อนMurakami et al. (2002)ตั้งสมมติฐานว่าสำหรับปมไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)}$,

ค่าคงที่เชิร์น-ไซมอนส์ของฟิลด์เฟรมของโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกของคืออะไร? สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างพหุนามโจนส์แบบมีสีและทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์ที่ซับซ้อนขึ้น ${\displaystyle CS}$${\displaystyle K}$