ในทางคณิตศาสตร์เจนัสของลำดับการคูณคือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนของแมนิโฟลด์ เรียบ และกะทัดรัด โดยเทียบเท่ากับการจำกัดแมนิโฟลด์เรียบด้วยขอบเขต (กล่าวคือ โดยคำนึงถึงโคบอร์ดิซึม ที่เหมาะสม ) ไปยังวงแหวนอื่น ซึ่งโดยปกติ จะเป็น จำนวนตรรกยะที่มีคุณสมบัติว่าสร้างขึ้นจากลำดับของพหุนามในชั้นลักษณะเฉพาะที่เกิดขึ้นเป็นสัมประสิทธิ์ในอนุกรมกำลังเชิง รูปธรรม ที่มีคุณสมบัติการคูณที่ดี

สกุล(genus) กำหนดหมายเลขให้กับแต่ละแมนิโฟลด์Xโดยที่ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi (X)}$

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$( สหภาพที่ไม่ทับซ้อนกันอยู่ที่ไหน)${\displaystyle \sqcup }$
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ ถ้าXเป็นขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต

แมนิโฟลด์และแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตอาจจำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น อาจมีการวางแนว มีการหมุน มีความซับซ้อนที่เสถียร และอื่นๆ (ดูรายการทฤษฎีโคบอร์ดิซึมสำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมอีกมากมาย) ค่าจะอยู่ในวงแหวนบางวง ซึ่งมักจะเป็นวงแหวนของจำนวนตรรกยะ แม้ว่าอาจเป็นวงแหวนอื่นๆ เช่นหรือวงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์ก็ได้ ${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

เงื่อนไขดังกล่าว สามารถเขียนใหม่ได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนโคบอร์ดิซึมของแมนิโฟลด์ (ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม) ไปยังวงแหวนอื่น ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

ตัวอย่าง: ถ้าเป็นลายเซ็นของแมนิโฟลด์เชิงทิศทางXแล้วเป็นจีนัสจากแมนิโฟลด์เชิงทิศทางไปยัง ริ ง ของจำนวนเต็ม${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle \Phi }$

ลำดับของพหุนามในตัวแปรเรียกว่าพหุนามแบบคูณถ้า ${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

หมายความว่า

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

ถ้าเป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการในzที่มีพจน์คงที่ 1 เราสามารถกำหนดลำดับการคูณได้ ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

โดย

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$,

โดยที่คือฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานลำดับที่kของตัวแปรที่ไม่กำหนด(ในทางปฏิบัติ ตัวแปรเหล่านี้มักจะเป็นคลาสของ Pontryagin ) ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle p_{k}}$

เจนัสของแม นิโฟลด์ แบบกะทัดรัดเชื่อมต่อเรียบและมีทิศทางที่สอดคล้องกับQกำหนดโดย ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

โดยที่คือชั้นปอนทรียาจินของXอนุกรมกำลังQเรียกว่าอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะของจีนัสทฤษฎีบทของเรเน่ ธอมซึ่งกล่าวว่าจำนวนตรรกยะที่เทนเซอร์กับวงแหวนโคบอร์ดิซึมเป็นพีชคณิตพหุนามในตัวสร้างดีกรี 4k สำหรับจำนวนเต็มบวกkบ่งชี้ว่าสิ่งนี้ให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมQที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะและสัมประสิทธิ์นำหน้า 1 กับจีนัสจากแมนิโฟลด์เชิงทิศทางไปยังจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \Phi }$

สกุลLคือสกุลของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

โดยที่ตัวเลขเหล่านั้นคือตัวเลขเบอร์นูลลีค่าเริ่มต้นๆ มีดังนี้: ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

(สำหรับพหุนาม Lเพิ่มเติมโปรดดู^{[ 1 ]}หรือOEIS :  A237111 ) ตอนนี้ให้Mเป็นแมนิโฟลด์แบบปิดเรียบที่มีทิศทางในมิติ 4 nพร้อมด้วยคลาส Pontrjagin Friedrich Hirzebruchแสดงให้เห็นว่าL genus ของMในมิติ 4 nที่ประเมินบนคลาสพื้นฐานของซึ่งแสดงด้วยมีค่าเท่ากับลายเซ็นของM (นั่นคือ ลายเซ็นของรูปแบบการตัดกันบนกลุ่มโคฮอโมโลยีที่ 2 nของM ): ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$.

ปัจจุบันทฤษฎีนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีลายเซ็นของฮิร์เซบรุค (หรือบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีดัชนีของฮิร์เซบรุค )

ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นจำนวนเต็มเสมอสำหรับแมนิโฟลด์เรียบนั้น ถูกนำมาใช้โดยจอห์น มิลเนอร์เพื่อยกตัวอย่างแมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งส่วน (PL) 8 มิติ ที่ไม่มีโครงสร้างเรียบนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดจำนวนพอนทรียาจินสำหรับแมนิโฟลด์ PL ได้ และมิลเนอร์แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์ PL ของเขามีค่า ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มดังนั้นจึงไม่สามารถทำให้เรียบได้ ${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle p_{2}}$

เนื่องจากพื้นผิว K3 เชิงโปรเจกทีฟ เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน เรียบที่มีมิติสอง คลาส Pontryaginที่ไม่ธรรมดาเพียงอย่างเดียวจึงอยู่ในสามารถคำนวณได้เป็น -48 โดยใช้ลำดับสัมผัสและการเปรียบเทียบกับคลาส Chern เชิงซ้อน เนื่องจากเราจึงมีลายเซ็นของมัน ซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณรูปแบบการตัดกันเป็นแลตทิซแบบยูนิโมดูลาร์ ได้ เนื่องจากมีและใช้การจำแนกประเภทของแลตทิซแบบยูนิโมดูลา ร์ ^{[ 2 ]}${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle H^{4}(X)}$${\displaystyle L_{1}=-16}$${\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}$

สกุลท็อดด์ (Todd genus)คือสกุลของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

โดยใช้เลขเบอร์นูลลีเช่นเคย ค่าเริ่มต้นไม่กี่ค่าคือ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

เจนัสของท็อดด์มีคุณสมบัติพิเศษคือ กำหนดค่า 1 ให้กับปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟทั้งหมด (เช่น) และนี่ก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าเจนัสของท็อดด์สอดคล้องกับเจนัสทางเลขคณิตสำหรับวาไรตี้เชิงพีชคณิตเนื่องจากเจนัสทางเลขคณิตก็มีค่าเป็น 1 สำหรับปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟเช่นกัน ข้อสังเกตนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของฮิร์เซบรุค-รีมันน์-รอคและในความเป็นจริงแล้วเป็นหนึ่งในพัฒนาการสำคัญที่นำไปสู่การกำหนดทฤษฎีบทนั้น ${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$

สกุลÂคือสกุลที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

(นอกจากนี้ยังมีสกุล A ซึ่งใช้กันน้อยกว่า และเกี่ยวข้องกับชุดลักษณะเฉพาะ) ค่าแรกๆ คือ ${\displaystyle Q(16z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

เจนัส Â ของแมนิโฟลด์สปินเป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนเต็มคู่หากมิติเป็น 4 มอด 8 (ซึ่งในมิติ 4 หมายถึงทฤษฎีบทของ Rochlin ) – สำหรับแมนิโฟลด์ทั่วไป เจนัส Â ไม่ได้เป็นจำนวนเต็มเสมอไป สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยHirzebruchและArmand Borelผลลัพธ์นี้เป็นแรงบันดาลใจและได้รับการอธิบายในภายหลังโดยทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singerซึ่งแสดงให้เห็นว่าเจนัส Â ของแมนิโฟลด์สปินเท่ากับดัชนีของตัวดำเนินการ Dirac ของ มัน

โดยการรวมผลลัพธ์ดัชนีนี้เข้ากับสูตรของ Weitzenbockสำหรับ Dirac Laplacian นั้นAndré Lichnerowiczสรุปได้ว่า หากแมนิโฟลด์สปินแบบกะทัดรัดยอมรับเมตริกที่มีความโค้งสเกลาร์ เป็น บวก จีนัส Â ของมันจะต้องหายไป สิ่งนี้เป็นอุปสรรคต่อความโค้งสเกลาร์เป็นบวกเฉพาะเมื่อมิติเป็นพหุคูณของ 4 เท่านั้น แต่ ต่อมา Nigel Hitchinได้ค้นพบอุปสรรคที่มีค่าคล้ายคลึงกันในมิติ 1 หรือ 2 mod 8 ผลลัพธ์เหล่านี้มีความแม่นยำอย่างแท้จริง อันที่จริงMikhail Gromov , H. Blaine Lawsonและ Stephan Stolz ได้พิสูจน์ในภายหลังว่า จีนัส Â และอนาล็อกที่มีค่าคล้ายคลึงกันของ Hitchin เป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อการมีอยู่ของเมตริกที่มีความโค้งสเกลาร์เป็นบวกบนแมนิโฟลด์สปินที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายที่มีมิติมากกว่าหรือเท่ากับ 5 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

เรียกว่าเจนัสเชิงวงรี (elliptic genus)ถ้าอนุกรมกำลังเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

สำหรับค่าคงที่และ(เช่นเคยQคืออนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะของจีนัส) ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$

นิพจน์ที่ชัดเจนอย่างหนึ่งสำหรับf ( z ) คือ

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

และsnคือฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi

ตัวอย่าง:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$นี่คือสกุล L
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$นี่คือสกุล Â
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$นี่เป็นการสรุปทั่วไปของสกุล L

ค่าแรกๆ ของกลุ่มข้อมูลประเภทนี้ ได้แก่:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

ตัวอย่าง (จีนัสวงรีสำหรับระนาบเชิงฉายควอเทอร์เนียน ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

ตัวอย่าง (จีนัสวงรีสำหรับระนาบฉายภาพอ็อกโทเนียน หรือระนาบเคย์ลีย์ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

สกุลวิทเทน (Witten genus)คือสกุลที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

โดยที่ σ _Lคือฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์สตรัสสำหรับแลตทิซLและGคือพหุคูณของอนุกรมไอเซนสไตน์

จีนัสของวิทเทนของแมนิโฟลด์สปินเรียบแบบกระชับที่มีทิศทางในมิติ 4k ซึ่งมีคลาสพอนทรียาจินแรกเป็นศูนย์ คือรูปแบบโมดูลาร์ที่มีน้ำหนัก 2k โดยมีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์แบบอินทิกรัล

• ทฤษฎีบทดัชนีอาติยาห์-ซิงเกอร์
• รายชื่อทฤษฎีโคฮอโมโลยี