( คู่B , N )
ในทางคณิตศาสตร์ คู่ ( B , N )คือโครงสร้างบนกลุ่มประเภท Lieที่ช่วยให้สามารถพิสูจน์ ผลลัพธ์จำนวนมากได้แบบเดียวกัน แทนที่จะต้องพิสูจน์ ทีละกรณีเป็นจำนวนมาก กล่าวโดยคร่าวๆ คือ มันแสดงให้เห็นว่ากลุ่ม ดังกล่าวทั้งหมด มีความคล้ายคลึงกับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปบนฟิลด์ โครงสร้าง นี้ ได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์Jacques Titsและบางครั้งก็เรียกว่าระบบ Titsด้วย
คำนิยาม
คู่( B , N )คือคู่ของกลุ่มย่อยBและNของกลุ่มGซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
- Gถูกสร้างขึ้นโดยBและN
- จุดตัด T ของBและNเป็นกลุ่มย่อยปกติของN
- กลุ่มW = N / Tถูกสร้างขึ้นโดยเซตSของสมาชิกที่มีอันดับ 2 โดยที่
- ถ้าsเป็นสมาชิกของSและwเป็นสมาชิกของWแล้วsBwจะอยู่ในผลรวมของBswBและBwB
- ไม่มีองค์ประกอบใดในSที่ ทำให้ Bเป็นค่าปกติ
เซตSถูกกำหนดโดยBและN อย่างเฉพาะเจาะจง และคู่ ( W , S ) เป็นระบบCoxeter [ 1 ]
ศัพท์เฉพาะ
คู่ BN เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกลุ่มลดรูปและคำศัพท์ในทั้งสองวิชามีความทับซ้อนกัน ขนาดของSเรียกว่าอันดับเราเรียก
- กลุ่มย่อยโบเรล ( มาตรฐาน) B
- กลุ่มย่อยคาร์ตัน (มาตรฐาน) และ
- กลุ่มWแห่งWeyl
กลุ่มย่อยของGเรียกว่า
- พาราโบลาหากมีคอนจูเกตของB อยู่ ด้วย
- พาราโบลามาตรฐานหากในความเป็นจริงแล้วมันประกอบด้วยBเอง และ
- จะ เป็นโบเรล (หรือพาราโบลาขั้นต่ำ ) ถ้ามันเป็นคู่ควบของB
ตัวอย่าง
ตัวอย่างเชิงนามธรรมของคู่ ( B , N ) เกิดขึ้นจากการกระทำของกลุ่มบางอย่าง
- สมมติว่าGเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบถ่ายทอดสองเท่าบนเซตEที่มีสมาชิกมากกว่า 2 ตัว เราให้Bเป็นกลุ่มย่อยของGที่ตรึงจุดxไว้ และเราให้Nเป็นกลุ่มย่อยที่ตรึงหรือสลับจุด 2 จุดxและyกลุ่มย่อยTคือเซตของสมาชิกที่ตรึงทั้งxและyไว้ และWมีอันดับ 2 และสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของ W แทนด้วยสิ่งใดก็ตามที่สลับxและy
- ในทางกลับกัน ถ้าGมีคู่ ( B , N ) ที่มีอันดับ 1 แล้ว การกระทำของGบนโคเซตของBจะ เป็นการกระทำ แบบถ่ายทอดสองเท่าดังนั้น คู่ ( B , N ) ที่มีอันดับ 1 จึงคล้ายคลึงกับการกระทำแบบถ่ายทอดสองเท่าบนเซตที่มีสมาชิกมากกว่า 2 ตัว
ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นของคู่ ( B , N ) สามารถพบได้ในกลุ่มรีดิวซ์
- สมมติว่าGคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL Kเหนือฟิลด์Kเรากำหนดให้Bเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน T เป็นเมทริกซ์แนวทแยงและNเป็นเมทริกซ์เอกนาม กล่าวคือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ มี ตัวสร้าง n − 1 ตัว ซึ่งแทนด้วยเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับแถวที่อยู่ติดกันสองแถวของเมทริกซ์แนวทแยง กลุ่ม Weyl คือกลุ่มสมมาตรบน ตัวอักษร nตัว
- โดยทั่วไปแล้ว ถ้าGเป็นกลุ่มรีดักทีฟเหนือฟิลด์Kแล้ว กลุ่มG = G ( K ) จะมีคู่ ( B , N ) ซึ่ง
- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่ม จำกัด ใดๆ ของประเภท Lieจะมีโครงสร้างเป็นคู่ ( B , N )
- ในตัวอย่างนี้ กลุ่มย่อยคาร์ตันเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่มี สมาชิกอื่นใด นอกจากสมาชิกสองตัว
- กลุ่มพีชคณิตแบบเชื่อมต่ออย่างง่ายกึ่งง่ายเหนือฟิลด์เฉพาะ ที่ มีคู่ ( B , N ) โดยที่Bเป็นกลุ่มย่อยอิวาโฮริ
คุณสมบัติ
การสลายตัวของบรูฮัต
การแยกส่วน Bruhatระบุว่าG = BWB กล่าว โดยละเอียดกว่านั้นโคเซตคู่B \ G / Bจะถูกแทนด้วย เซต ของการยกWไปยังN [ 3 ]
กลุ่มย่อยพาราโบลา
กลุ่ม ย่อยพาราโบลิกทุกกลุ่มเท่ากับตัวทำให้ปกติในG [ 4 ]
พาราโบลิกมาตรฐานทุกตัวมีรูปแบบBW ( X ) B สำหรับเซตย่อย Xบางส่วนของSโดยที่W ( X ) หมายถึงกลุ่มย่อย Coxeter ที่สร้างขึ้นโดยXยิ่งไปกว่านั้น พาราโบลิกมาตรฐานสองตัวจะเป็นคู่กันก็ต่อเมื่อเซตX ของพวกมัน เหมือนกัน ดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตย่อยของSและพาราโบลิกมาตรฐาน[ 5 ]โดยทั่วไป การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้ขยายไปยังชั้นคู่กันของกลุ่มย่อยพาราโบลิก[ 6 ]
ทฤษฎีความเรียบง่ายของทิตส์
คู่ BN สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่ากลุ่มประเภท Lie หลายกลุ่มนั้นเป็น กลุ่ม เรียบง่าย เมื่อพิจารณาจาก ศูนย์กลางของกลุ่มนั้น กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าGมี คู่ BNที่ทำให้Bเป็นกลุ่มที่แก้ได้การตัดกันของกลุ่มสังยุคทั้งหมดของBเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น และเซตของตัวสร้างของWไม่สามารถแยกออกเป็นสอง เซต ที่ไม่ว่างเปล่าและสลับกันได้ แล้วGจะเป็นกลุ่มเรียบง่ายเมื่อใดก็ตามที่มันเป็นกลุ่มสมบูรณ์ในทางปฏิบัติ เงื่อนไขทั้งหมดเหล่านี้ ยกเว้นเงื่อนไขที่ว่าGเป็นกลุ่มสมบูรณ์นั้น ตรวจสอบได้ง่าย การตรวจสอบว่าGเป็นกลุ่มสมบูรณ์นั้นต้องใช้การคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก (และในความเป็นจริง มีกลุ่มประเภท Lie ขนาดเล็กบางกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มสมบูรณ์) แต่การแสดงว่ากลุ่มเป็นกลุ่มสมบูรณ์นั้นมักจะง่ายกว่าการแสดงว่ามันเป็นกลุ่มเรียบง่ายมาก
การอ้างอิง
- ↑ Abramenko & Brown 2008 , หน้า 319, ทฤษฎีบท 6.5.6(1).
- ↑ Borel 1991 , หน้า 236, ทฤษฎีบท 21.15.
- ↑บูร์บากิ 1981 , หน้า. 25, ธีโอแรม 1.
- ↑บูร์บากิ 1981 , หน้า. 29, ธีโอแรม 4(iv)
- ↑บูร์บากิ 1981 , หน้า. 27, ธีโอแรม 3.
- ↑บูร์บากิ 1981 , หน้า. 29, ธีโอแรม 4.