ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มค็อกเซเตอร์ (Coxeter group ) ซึ่งตั้งชื่อตามHSM Coxeterเป็นกลุ่มนามธรรมที่ยอมรับ คำอธิบายอย่างเป็นทางการในแง่ของการสะท้อน (หรือกระจกคาไลโดสโคป ) แท้จริงแล้ว กลุ่มค็อกเซเตอร์จำกัดก็คือกลุ่มการสะท้อน แบบยุคลิดจำกัดนั่นเอง ตัวอย่างเช่นกลุ่มสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ แต่ละรูป เป็นกลุ่มค็อกเซเตอร์จำกัด อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกกลุ่มค็อกเซเตอร์จะเป็นกลุ่มจำกัด และไม่ใช่ทุกกลุ่มที่จะสามารถอธิบายได้ในแง่ของสมมาตรและการสะท้อนแบบยุคลิด กลุ่มค็อกเซเตอร์ได้รับการแนะนำในปี 1934 ในฐานะนามธรรมของกลุ่มการสะท้อน^{[ 1 ]}และกลุ่มค็อกเซเตอร์จำกัดได้รับการจำแนกประเภทในปี 1935 ^{[ 2 ]}

กลุ่ม Coxeter พบการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของกลุ่ม Coxeter จำกัด ได้แก่ กลุ่มสมมาตรของ โพลีโทปปกติและกลุ่ม Weylของพีชคณิต Lie แบบง่ายตัวอย่างของกลุ่ม Coxeter อนันต์ ได้แก่กลุ่มสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกับการปูพื้นผิวปกติของระนาบยุคลิดและระนาบไฮเปอร์โบลิกและกลุ่ม Weyl ของพีชคณิตKac–Moody มิติอนันต์ ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

ตามหลักการแล้ว กลุ่มค็อกซ์เตอร์สามารถนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มที่มีการนำเสนอ$${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$$ ที่ไหน${\displaystyle m_{ii}=1}$และ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$เป็นจำนวนเต็มหรือ${\displaystyle \infty }$สำหรับ${\displaystyle i\neq j}$ที่นี่ เงื่อนไข${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ หมายความว่าไม่มีความสัมพันธ์ในรูปแบบ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$สำหรับจำนวนเต็มใดๆ${\displaystyle m\geq 2}$ควรบังคับใช้^{[ 6 ]}

ทั้งคู่${\displaystyle (W,S)}$ที่ไหน${\displaystyle W}$เป็นกลุ่ม Coxeter ที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้า${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$เรียกว่าระบบค็อกซ์เตอร์ (Coxeter system ) โปรดทราบว่าโดยทั่วไป${\displaystyle S}$ไม่ได้ถูกกำหนดโดยสิ่งเดียวเท่านั้น${\displaystyle W}$ตัวอย่างเช่น กลุ่ม Coxeter ประเภท${\displaystyle B_{3}}$และ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$ระบบ Coxeter ทั้งสองระบบมีลักษณะสมมาตรกัน แต่ไม่เทียบเท่ากัน เนื่องจากระบบแรกมีตัวสร้าง 3 ตัว ในขณะที่ระบบหลังมีตัวสร้าง 1 + 3 = 4 ตัว (ดูคำอธิบายสัญลักษณ์นี้ด้านล่าง)

จากคำจำกัดความข้างต้น สามารถสรุปได้หลายประการทันที

• ความสัมพันธ์${\displaystyle m_{ii}=1}$หมายความว่า${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$ ดังนั้น ตัวสร้างจึงเป็นการผกผัน
• ถ้า${\displaystyle m_{ij}=2}$จากนั้นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า${\displaystyle r_{i}}$และ${\displaystyle r_{j}}$การเดินทางไปทำงาน/กลับบ้าน ซึ่งเป็นผลมาจากการสังเกตว่า

${\displaystyle xx=yy=1}$,

ร่วมกับ

${\displaystyle xyxy=1}$

หมายความว่า

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

อีกทางเลือกหนึ่ง เนื่องจากตัวสร้างเป็นการผกผัน${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$, ดังนั้น${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$กล่าวคือตัวสลับตำแหน่งของ${\displaystyle r_{i}}$และ${\displaystyle r_{j}}$เท่ากับ 1 หรือเทียบเท่ากับ${\displaystyle r_{i}}$และ${\displaystyle r_{j}}$การเดินทางไปทำงาน

เหตุผลที่ว่า ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$สำหรับ${\displaystyle i\neq j}$ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความคือ

${\displaystyle yy=1}$,

ร่วมกับ

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

หมายความโดยนัยอยู่แล้วว่า

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

หลักฐานอีกประการหนึ่งที่สนับสนุนข้อสรุปนี้คือข้อสังเกตที่ว่า${\displaystyle (xy)^{k}}$และ${\displaystyle (yx)^{k}}$เป็นคู่ควบ : จริงๆ แล้ว${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$.

เมทริกซ์ค็อกซีเตอร์และเมทริกซ์ชลาฟลี

เมทริกซ์ค็อกซ์เตอร์คือ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์สมมาตรที่มีสมาชิก${\displaystyle m_{ij}}$อันที่จริง เมทริกซ์สมมาตรทุกเมทริกซ์ที่มีสมาชิกแนวทแยงเป็น 1 เท่านั้น และสมาชิกที่ไม่ใช่แนวทแยงอยู่ในเซต${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$เป็นเมทริกซ์ค็อกซ์เตอร์

เมทริกซ์ค็อกซ์เตอร์สามารถเข้ารหัสได้อย่างสะดวกโดยใช้แผนภาพค็อกซ์เตอร์ตามกฎต่อไปนี้

• จุดยอดของกราฟจะถูกกำหนดชื่อโดยใช้ดัชนีตัวสร้าง (generator subscripts)
• จุดยอด${\displaystyle i}$และ${\displaystyle j}$จะอยู่ติดกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$.
• ขอบแต่ละด้านจะถูกกำหนดค่าด้วยค่าของ${\displaystyle m_{ij}}$เมื่อใดก็ตามที่ค่าคือ${\displaystyle 4}$หรือมากกว่านั้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวสร้างสองตัวจะสลับที่กันได้ก็ต่อเมื่อไม่มีเส้นขอบเชื่อมต่อกัน ยิ่งไปกว่านั้น หากกราฟ Coxeter มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน ตั้งแต่สองส่วนขึ้นไป กลุ่มที่เกี่ยวข้องจะเป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับส่วนประกอบแต่ละส่วน ดังนั้นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของกราฟ Coxeter จะให้ผลคูณโดยตรงของกลุ่ม Coxeter

เมทริกซ์ค็อกซ์เตอร์${\displaystyle M_{ij}}$เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle n\times n}$เมทริกซ์ Schläfli${\displaystyle C}$พร้อมรายการ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$แต่ค่าต่างๆ จะถูกปรับเปลี่ยน โดยเป็นสัดส่วนกับผลคูณดอทของตัวสร้างแบบคู่ เมทริกซ์ Schläfli มีประโยชน์เพราะค่าลักษณะเฉพาะ ของมัน จะกำหนดว่ากลุ่ม Coxeter เป็นแบบจำกัด (ค่าทั้งหมดเป็นบวก) แบบเชิงเส้น (ค่าทั้งหมดไม่เป็นลบ มีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งค่า) หรือแบบไม่แน่นอน (อย่างอื่น) บางครั้งกลุ่มแบบไม่แน่นอนจะถูกแบ่งย่อยออกไปอีก เช่น เป็นกลุ่มไฮเปอร์โบลิกและกลุ่ม Coxeter อื่นๆ อย่างไรก็ตาม มีคำจำกัดความที่ไม่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับกลุ่ม Coxeter แบบไฮเปอร์โบลิก

ตัวอย่าง

กลุ่มค็อกซ์เตอร์	เอ ×เอ	เอ	บี	ฉัน (5)	จี	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	เอ	บี	ดี	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
แผนภาพค็อกซ์เตอร์
เมทริกซ์ค็อกซ์เตอร์	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
เมทริกซ์ Schläfli	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

กราฟ${\displaystyle A_{n}}$ซึ่งจุดยอด${\displaystyle 1}$ผ่าน${\displaystyle n}$จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับ จุด ยอดข้างเคียง โดยตรงด้วย เส้นขอบ ที่ไม่มีป้ายกำกับ คือแผนภาพค็อกซ์เตอร์ของ กลุ่มสมมาตร${\displaystyle S_{n+1}}$ตัวสร้างจะสอดคล้องกับการสลับตำแหน่ง${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$การสลับตำแหน่งที่ไม่ต่อเนื่องกันสองครั้งใดๆ จะสลับที่ได้ ในขณะที่การคูณการสลับตำแหน่งที่ต่อเนื่องกันสองครั้งจะให้วัฏจักร 3${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$. ดังนั้น${\displaystyle S_{n+1}}$เป็นผลหารของกลุ่มค็อกซ์เตอร์ที่มีแผนภาพค็อกซ์เตอร์${\displaystyle A_{n}}$ข้อโต้แย้งเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าแผนที่ผลหารนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

กลุ่มค็อกเซเตอร์เป็นนามธรรมของกลุ่มสะท้อน กลุ่มค็อกเซเตอร์เป็น กลุ่ม นามธรรมในแง่ที่ว่าสามารถแสดงออกมาได้ด้วยวิธีการนำเสนอ ในทางกลับกัน กลุ่มสะท้อนเป็นกลุ่มรูปธรรมในแง่ที่ว่าแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มเป็นผลรวมของการสะท้อนทางเรขาคณิตจำนวนจำกัดรอบระนาบเชิงเส้นในปริภูมิยุคลิดบางแห่ง ในทางเทคนิค กลุ่มสะท้อนเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้น (หรือการวางนัยทั่วไปต่างๆ) ที่สร้างขึ้นโดยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ -1 ตัวสร้างแต่ละตัวของกลุ่มค็อกเซเตอร์มีอันดับ 2 ซึ่งเป็นนามธรรมของข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่ว่าการสะท้อนสองครั้งคือเอกลักษณ์ ความสัมพันธ์แต่ละอย่างในรูปแบบ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่ว่า เมื่อกำหนดระนาบ สองระนาบ มาบรรจบกันที่มุม θ${\displaystyle \pi /k}$การรวมกันของการสะท้อนสองครั้งเกี่ยวกับระนาบไฮเปอร์เหล่านี้คือการหมุนโดย${\displaystyle 2\pi /k}$ซึ่งมีลำดับk

ด้วยวิธีนี้ กลุ่มสะท้อนทุกกลุ่มสามารถนำเสนอเป็นกลุ่ม Coxeter ได้^{[ 1 ]}ในทางกลับกันเป็นจริงเพียงบางส่วน: กลุ่ม Coxeter จำกัดทุกกลุ่มยอมรับการแสดงแทนที่ถูกต้องในฐานะกลุ่มสะท้อนจำกัดของปริภูมิยุคลิดบาง ปริภูมิ ^{[ 2 ]} อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกกลุ่ม Coxeter อนันต์ที่ยอมรับการแสดงแทนในฐานะกลุ่มสะท้อน

กลุ่ม Coxeter จำกัดได้รับการจำแนกประเภทแล้ว^{[ 2 ]}

กลุ่มCoxeter แบบแอฟฟินเป็นกลุ่ม Coxeter ที่สำคัญลำดับที่สอง กลุ่มเหล่านี้ไม่ใช่กลุ่มจำกัด แต่แต่ละกลุ่มประกอบด้วยกลุ่มย่อยแบบอาเบเลียนปกติ ซึ่งทำให้กลุ่มผลหารที่สอดคล้องกันเป็นกลุ่มจำกัด ในแต่ละกรณี กลุ่มผลหารเองก็เป็นกลุ่ม Coxeter และกราฟ Coxeter ของกลุ่ม Coxeter แบบแอฟฟินได้มาจากกราฟ Coxeter ของกลุ่มผลหารโดยการเพิ่มจุดยอดอีกหนึ่งจุดและขอบอีกหนึ่งหรือสองเส้น ตัวอย่างเช่น สำหรับn ≥ 2 กราฟที่ประกอบด้วย จุดยอด n + 1 จุดในวงกลมได้มาจากA ในลักษณะนี้ และกลุ่ม Coxeter ที่สอดคล้องกันคือกลุ่ม Weyl แบบแอฟฟินของA ( กลุ่มสมมาตรแบบแอฟฟิน ) สำหรับn = 2 สิ่งนี้สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรของการปูระนาบมาตรฐานด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า    

โดยทั่วไป เมื่อกำหนดระบบรากแล้ว เราสามารถสร้างแผนภาพStiefel ที่เกี่ยวข้อง ได้ ซึ่งประกอบด้วยระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับรากพร้อมกับการแปลระนาบไฮเปอร์เหล่านี้บางส่วน กลุ่ม Coxeter แบบแอฟฟิน (หรือกลุ่ม Weyl แบบแอฟฟิน) คือกลุ่มที่สร้างขึ้นจากการสะท้อน (แบบแอฟฟิน) เกี่ยวกับระนาบไฮเปอร์ทั้งหมดในแผนภาพ^{[ 10 ]}แผนภาพ Stiefel แบ่งระนาบออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจำนวนอนันต์ที่เรียกว่าซอกและกลุ่ม Coxeter แบบแอฟฟินจะกระทำอย่างอิสระและถ่ายทอดได้บนซอก เช่นเดียวกับที่กลุ่ม Weyl ทั่วไปกระทำอย่างอิสระและถ่ายทอดได้บนห้อง Weyl รูปทางด้านขวาแสดงแผนภาพ Stiefel สำหรับ${\displaystyle G_{2}}$ระบบราก

สมมติ${\displaystyle R}$เป็นระบบรากที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีลำดับชั้น${\displaystyle r>1}$และปล่อยให้${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$เป็นกลุ่มของรากศัพท์ง่ายๆ นอกจากนี้ ให้${\displaystyle \alpha _{r+1}}$แทนรากสูงสุด จากนั้นกลุ่ม Coxeter แบบแอฟฟินจะถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนแบบธรรมดา (เชิงเส้น) เกี่ยวกับระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$พร้อมกับการสะท้อนเชิงเส้นรอบการเลื่อนของระนาบที่ตั้งฉากกับ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$กราฟ Coxeter สำหรับกลุ่ม Weyl แบบแอฟฟิน คือ แผนภาพ Coxeter–Dynkin สำหรับ${\displaystyle R}$พร้อมด้วยโหนดเพิ่มเติมอีกหนึ่งโหนดที่เชื่อมโยงกับ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ในกรณีนี้ ช่องว่างหนึ่งในแผนภาพ Stiefel อาจได้มาจากการนำห้อง Weyl พื้นฐานมาตัดด้วยการเลื่อนระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$[ ^{11 ]​}

ต่อไปนี้คือรายชื่อกลุ่ม Coxeter แบบแอฟฟิน:

สัญลักษณ์กลุ่ม	สัญลักษณ์วิทท์	สัญกรณ์วงเล็บ	กราฟ ค็อกซ์เตอร์	ลวดลายเทสเซลเลชันสม่ำเสมอที่เกี่ยวข้อง
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3 [ n +1] ]	... หรือ...	รังผึ้งแบบซิมเพล็กติก
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3 n − 3 ,3 1,1 ]	...	รังผึ้งเดมิไฮเปอร์คิวบิก
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3 n −2 ,4]	...	รังผึ้งไฮเปอร์คิวบิก
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[ 3 1,1 ,3 n −4 ,3 1,1 ]	...	รังผึ้งเดมิไฮเปอร์คิวบิก
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[3 2,2,2 ]	หรือ	2
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[3 3,3,1 ]	หรือ	3 , 1
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[3 5,2,1 ]		5 , 2 , 1
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		รังผึ้ง 16 ช่องรังผึ้ง 24 ช่อง
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		การปูกระเบื้องหกเหลี่ยมและการปูกระเบื้องสามเหลี่ยม
${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}=I_{2}(\infty )}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		อะพีโรกอน

ตัวเลขดัชนีของสัญลักษณ์กลุ่มในแต่ละกรณีจะน้อยกว่าจำนวนโหนดอยู่หนึ่ง เนื่องจากแต่ละกลุ่มเหล่านี้ได้มาจากการเพิ่มโหนดลงในกราฟของกลุ่มจำกัด

มีกลุ่ม Coxeter แบบไฮเปอร์โบลิก จำนวนอนันต์ ที่อธิบายกลุ่มการสะท้อนในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งรวมถึงกลุ่มสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกด้วย

กล่าวได้ว่ากลุ่มค็อกซ์เตอร์ (Coxeter group) เป็นกลุ่มที่ไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible group ) หากแผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน (Coxeter–Dynkin diagram) ของกลุ่มนั้นเชื่อมต่อกัน กลุ่มค็อกซ์เตอร์ทุกกลุ่มเป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบในแผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กินของกลุ่มนั้น

การเลือกตัวสร้างการสะท้อนทำให้เกิดฟังก์ชันความยาวℓบนกลุ่ม Coxeter ซึ่งก็คือจำนวนการใช้ตัวสร้างขั้นต่ำที่จำเป็นในการแสดงองค์ประกอบของกลุ่ม นี่คือความยาวในเมตริกคำในกราฟ Cayley อย่างแม่นยำ นิพจน์สำหรับvโดยใช้ ตัวสร้าง ℓ ( v ) คือคำที่ลดรูปแล้วตัวอย่างเช่น การเรียงสับเปลี่ยน (13) ในS มีคำที่ลดรูปแล้วสองคำ (12)(23)(12) และ (23)(12)(23) ฟังก์ชัน${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$กำหนดแผนที่${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$การวางนัยทั่วไปของแผนที่เครื่องหมายสำหรับกลุ่มสมมาตร

โดยใช้คำที่ลดรูปแล้ว เราสามารถกำหนดลำดับย่อยสามลำดับบนกลุ่ม Coxeter ได้แก่ลำดับอ่อน (ทางขวา) ลำดับสัมบูรณ์และลำดับ Bruhat (ตั้งชื่อตามFrançois Bruhat ) ในลำดับ Bruhat สมาชิกvจะมีค่ามากกว่าสมาชิกuถ้าคำที่ลดรูปบางคำ (หรือเทียบเท่ากับคำใดๆ) สำหรับvมีคำที่ลดรูปสำหรับuเป็นสตริงย่อย โดยที่ตัวอักษรบางตัว (ในตำแหน่งใดก็ได้) ถูกตัดออก ในลำดับอ่อนv  ≥ uถ้าคำที่ลดรูปบางคำสำหรับvมีคำที่ลดรูปสำหรับuเป็นส่วนเริ่มต้น อันที่จริง ความยาวของคำทำให้สิ่งนี้กลายเป็นโพเซตแบบมีระดับแผนภาพ Hasseที่สอดคล้องกับลำดับเหล่านี้เป็นวัตถุของการศึกษา และมีความสัมพันธ์กับกราฟ Cayleyที่กำหนดโดยตัวสร้าง ลำดับสัมบูรณ์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับลำดับอ่อน แต่ชุดตัวสร้าง/ตัวอักษรประกอบด้วยตัวผันทั้งหมดของตัวสร้าง Coxeter 

ตัวอย่างเช่น การเรียงสับเปลี่ยน (1 2 3) ในS มีคำที่ลดรูปเพียงคำเดียว (12)(23) ดังนั้นจึงครอบคลุม (12) และ (23) ในลำดับ Bruhat แต่ครอบคลุมเฉพาะ (12) ในลำดับอ่อน

เนื่องจากกลุ่มค็อกซ์เตอร์${\displaystyle W}$กลุ่มนี้ถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกจำนวนจำกัดที่มีอันดับ 2 และ การทำให้เป็นกลุ่ม อาเบเลียน ของกลุ่มนี้ คือกลุ่มอาเบเลียน 2 มิติพื้นฐานกล่าวคือ มันสม isomorphic กับผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักร หลายๆ ชุด${\displaystyle Z_{2}}$อาจกล่าวใหม่ได้โดยใช้กลุ่มความเหมือน กลุ่มแรก ของ${\displaystyle W}$.

ตัวคูณชูร์${\displaystyle M(W)}$เท่ากับกลุ่มโฮโมโลยีที่สองของ${\displaystyle W}$ได้รับการคำนวณใน( Ihara & Yokonuma 1965 )สำหรับกลุ่มการสะท้อนแบบจำกัด และใน( Yokonuma 1965 )สำหรับกลุ่มการสะท้อนแบบแอฟฟิน โดยมีคำอธิบายที่เป็นเอกภาพมากขึ้นใน( Howlett 1988 )ในทุกกรณี ตัวคูณ Schur ยังเป็นกลุ่มอาเบเลียน 2-กลุ่มพื้นฐานด้วย สำหรับแต่ละตระกูลอนันต์${\displaystyle \{W_{n}\}}$ของกลุ่ม Weyl จำกัดหรือเชิงเส้นตรง อันดับของ${\displaystyle M(W_{n})}$มีเสถียรภาพเมื่อ${\displaystyle n}$มีค่าเข้าสู่ค่าอนันต์

• กลุ่มอาร์ติน-ทิตส์
• ทฤษฎีบทเชวาลลีย์-เชพเพิร์ด-ทอดด์
• กลุ่มการสะท้อนที่ซับซ้อน
• องค์ประกอบค็อกซ์เตอร์
• ปัญหาไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มค็อกเซเตอร์
• พีชคณิตอิวาโฮริ-เฮคเค่การแปลงรูปควอนตัมของพีชคณิตกลุ่ม
• พหุนามคาซดัน-ลุสติก
• องค์ประกอบที่ยาวที่สุดของกลุ่มค็อกซ์เตอร์
• กลุ่มย่อยพาราโบลาของกลุ่มสะท้อน
• การจัดเรียงที่สามารถแก้ไขได้ขั้นสูง