ประวัติศาสตร์ของระบบตัวเลขโบราณ

ระบบตัวเลขได้พัฒนาจากการใช้นิ้วและขีดนับซึ่งอาจเกิดขึ้นเมื่อกว่า 40,000 ปีที่แล้ว ไปสู่การใช้ชุดอักษรภาพที่สามารถแทนตัวเลขใดๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ การเขียนตัวเลขที่ชัดเจนที่สุดที่รู้จักกันในยุคแรกๆ เกิดขึ้นในเมโสโปเตเมียเมื่อประมาณ 5,000 หรือ 6,000 ปีที่แล้ว

ยุคก่อนประวัติศาสตร์

รูปแบบการนับที่เก่าแก่ที่สุดเกี่ยวข้องกับการใช้นิ้ว ซึ่งเป็นวิธีปฏิบัติที่เรียกว่าการนับด้วยนิ้ว [ ^{1 ] เทคนิค}นี้ยังคงเป็นวิธีปฏิบัติทั่วไปในยุคปัจจุบัน และมีการเลียนแบบโดยการ ใช้ เครื่องหมายขีดนับและการใช้มือเพื่อแสดงจำนวนห้าและสิบ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ ระบบตัวเลขส่วนใหญ่ของโลกจัดเรียงตามหลักสิบ ห้า และยี่สิบ ซึ่งบ่งชี้ถึงการใช้มือและเท้าในการนับ ในทางภาษาศาสตร์ คำศัพท์สำหรับจำนวนเหล่านี้มีพื้นฐานทางนิรุกติศาสตร์มาจากมือและเท้า^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}สุดท้ายนี้ มี การเชื่อมต่อ ทางระบบประสาทระหว่างส่วนต่างๆ ของสมองที่รับรู้ปริมาณและส่วนที่ "รู้จัก" นิ้ว (ความรู้เกี่ยวกับนิ้ว) และสิ่งเหล่านี้บ่งชี้ว่ามนุษย์มีแนวโน้มทางระบบประสาทที่จะใช้มือในการนับ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}แม้ว่าการนับด้วยนิ้วมักจะไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ในหลักฐานทางโบราณคดี แต่ ภาพพิมพ์มือในยุคก่อนประวัติศาสตร์บางส่วนได้รับการตีความว่าเป็นการนับด้วยนิ้ว จากรูปแบบที่เป็นไปได้ 32 รูปแบบที่นิ้วมือสามารถสร้างได้ มีเพียงห้ารูปแบบ (ซึ่งโดยทั่วไปใช้ในการนับจากหนึ่งถึงห้า) ที่พบในถ้ำ Cosquer ประเทศฝรั่งเศส^{[ 7 ]}

เนื่องจากความสามารถและความคงทนของนิ้วมือมีจำกัดการนับนิ้วจึงมักเสริมด้วยอุปกรณ์ที่มีความสามารถและความคงทนมากกว่า รวมถึงเครื่องหมายนับที่ทำจากไม้หรือวัสดุอื่นๆ^{[ 8 ]}เครื่องหมายนับที่อาจทำโดยการแกะสลักรอยบากในไม้ กระดูก และหิน ปรากฏในบันทึกทางโบราณคดีอย่างน้อยสี่หมื่นปีที่แล้ว^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}เครื่องหมายนับเหล่านี้อาจถูกใช้สำหรับการนับเวลา เช่น จำนวนวันหรือรอบดวงจันทร์หรือสำหรับการบันทึกปริมาณ เช่น จำนวนสัตว์หรือสินค้า มีค่าอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันยังไม่มีเทคนิคการวินิจฉัยใดที่สามารถระบุวัตถุประสงค์ทางสังคมหรือการใช้งานของเครื่องหมายเชิงเส้นยุคก่อนประวัติศาสตร์ที่จารึกไว้บนพื้นผิวได้อย่างน่าเชื่อถือ และตัวอย่างทางชาติพันธุ์วิทยาในปัจจุบันแสดงให้เห็นว่าสิ่งประดิษฐ์ ที่คล้ายกัน ถูกสร้างขึ้นและใช้เพื่อวัตถุประสงค์ที่ไม่ใช่เชิงตัวเลข^{[ 11 ]}

กระดูกเลบอมโบเป็นกระดูกน่องของ ลิงบาบูน ที่มีรอยสลัก พบในเทือกเขาเลบอมโบซึ่งตั้งอยู่ระหว่างแอฟริกาใต้และเอสวาตินีกระดูกนี้มีอายุประมาณ 42,000 ปี^{[ 12 ]}ตามหนังสือคณิตศาสตร์สากลหน้า¹⁸⁴รอยบาก 29 รอยบนกระดูกเลบอมโบชี้ให้เห็นว่า "อาจถูกใช้เป็นเครื่องนับข้างขึ้นข้างแรม ซึ่งในกรณีนี้ผู้หญิงแอฟริกันอาจเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก เพราะการติดตามรอบเดือนต้องใช้ปฏิทินจันทรคติ " อย่างไรก็ตาม กระดูกนั้นหักที่ปลายด้านหนึ่งอย่างชัดเจน ดังนั้นรอยบาก 29 รอยอาจเป็นเพียงส่วนหนึ่งของลำดับที่ใหญ่กว่า^{[ 12 ]}สิ่งประดิษฐ์ที่คล้ายกันจากสังคมร่วมสมัย เช่น ของออสเตรเลีย ก็ชี้ให้เห็นว่ารอยบากดังกล่าวอาจทำหน้าที่ช่วยจำหรือเป็นไปตามธรรมเนียม มากกว่าที่จะหมายถึงตัวเลข^{[ 11 ]}

กระดูกอิชางโกเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่มีชิ้นส่วนควอตซ์ แหลม ติดอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง อาจใช้สำหรับการแกะสลัก มีอายุประมาณ 25,000 ปี^{[ 13 ]}ในตอนแรกคิดว่าสิ่งประดิษฐ์นี้เป็นไม้ขีดนับเนื่องจากมีรอยขีดนับที่ตีความได้ว่าเป็นรอยขีดนับที่แกะสลักเป็นสามแถวตามความยาวของเครื่องมือ แถวแรกตีความได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะระหว่าง 10 ถึง 20 (เช่น 19, 17, 13 และ 11) ในขณะที่แถวที่สองดูเหมือนจะบวกและลบ 1 จาก 10 และ 20 (เช่น 9, 19, 21 และ 11) แถวที่สามมีจำนวนที่อาจเป็นครึ่งหนึ่งและสองเท่า แม้ว่าจะไม่สอดคล้องกันก็ตาม^{[ 14 ]} เมื่อ พิจารณาถึงความน่าจะเป็นทางสถิติของการสร้างตัวเลขดังกล่าวโดยบังเอิญ นักวิจัยเช่น Jean de Heinzelin ได้แนะนำว่ากลุ่มรอยบากบ่งชี้ถึงความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าการนับแบบง่ายๆ นอกจากนี้ ยังมีข้อเสนอแนะว่ารอยเหล่านี้อาจทำขึ้นเพื่อจุดประสงค์ที่เป็นประโยชน์ เช่น การสร้างที่จับที่ดีขึ้นสำหรับด้ามจับ หรือด้วยเหตุผลอื่นที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์ จุดประสงค์และความหมายของรอยบากยังคงเป็นที่ถกเถียงกันในเอกสารทางวิชาการ^{[ 15 ]}

เหรียญดินเหนียว

การเขียนที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักสำหรับการบันทึกเกิดขึ้นจากระบบการบัญชีที่ใช้โทเค็นดินเหนียวขนาดเล็ก สิ่งประดิษฐ์ที่เก่าแก่ที่สุดที่อ้างว่าเป็นโทเค็นมาจากTell Abu Hureyraซึ่งเป็นแหล่งโบราณคดีในหุบเขาแม่น้ำยูเฟรติสตอนบนในซีเรีย มีอายุย้อนไปถึงสหัสวรรษที่ 10 ก่อนคริสตกาล^{[ 16 ]}และGanj-i-Dareh Tepeซึ่งเป็นแหล่งโบราณคดีใน ภูมิภาค Zagrosของอิหร่าน มีอายุย้อนไปถึงสหัสวรรษที่ 9 ก่อนคริสตกาล^{[ 17 ]}

เพื่อสร้างบันทึกที่แสดงถึง "แกะสองตัว" จะใช้โทเค็นสองอัน โดยแต่ละอันแทนหน่วยหนึ่งหน่วย วัตถุประเภทต่างๆ ก็ถูกนับแตกต่างกันเช่นกัน ภายในระบบการนับที่ใช้กับวัตถุแยกชิ้นส่วนใหญ่ (รวมถึงสัตว์เช่นแกะ) จะมีโทเค็นสำหรับหนึ่งรายการ (หน่วย) โทเค็นที่แตกต่างกันสำหรับสิบรายการ (สิบ) โทเค็นที่แตกต่างกันสำหรับหกสิบ (หกสิบ) เป็นต้น โทเค็นที่มีขนาดและรูปร่างต่างกันถูกใช้เพื่อบันทึกกลุ่มที่สูงกว่าของสิบหรือหกใน ระบบเลขฐาน หกสิบการผสมผสานรูปร่างและขนาดของโทเค็นที่แตกต่างกันจะเข้ารหัสระบบการนับที่แตกต่างกัน^{[ 18 ]}นักโบราณคดีDenise Schmandt-Besseratได้โต้แย้งว่าโทเค็นเรขาคณิตธรรมดาที่ใช้สำหรับตัวเลขนั้นมาพร้อมกับโทเค็นที่ซับซ้อนซึ่งระบุสินค้าที่กำลังนับ สำหรับสัตว์กีบเช่นแกะ โทเค็นที่ซับซ้อนนี้เป็นแผ่นกลมแบนที่ทำเครื่องหมายด้วยวงกลมที่แบ่งเป็นสี่ส่วน อย่างไรก็ตาม การใช้โทเค็นที่ซับซ้อนดังกล่าวก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์ในหลายประเด็นเช่นกัน^{[ 19 ]}

ใช้ร่วมกับรอยนูนและรอยประทับตัวเลข

เพื่อให้แน่ใจว่าเหรียญจะไม่สูญหายหรือเปลี่ยนแปลงชนิดหรือจำนวน จึงมีการบรรจุเหรียญลงในซองดินเหนียวรูปทรงกลมกลวงที่เรียกว่า บุลลา ( bulla ) มีการประทับตราแสดงความเป็นเจ้าของและพยานลงบนพื้นผิวของบุลลา ซึ่งอาจปล่อยว่างไว้ก็ได้ หากจำเป็นต้องตรวจสอบเหรียญหลังจากปิดผนึกบุลลาแล้ว จะต้องทุบบุลลาให้แตก ประมาณกลางสหัสวรรษที่สี่ก่อนคริสตกาล เริ่มมีการกดเหรียญลงบนพื้นผิวด้านนอกของบุลลาก่อนที่จะปิดผนึกไว้ด้านใน สันนิษฐานว่าเพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการทุบบุลลาให้แตกเพื่อดูเหรียญ กระบวนการนี้สร้างรอยประทับภายนอกบนพื้นผิวของบุลลาที่สอดคล้องกับเหรียญที่บรรจุอยู่ภายใน ทั้งในด้านขนาด รูปร่าง และจำนวน ในที่สุด ความซ้ำซ้อนที่เกิดจากเหรียญภายในและภายนอกบุลลาดูเหมือนจะได้รับการยอมรับ และการประทับลงบนแผ่นโลหะแบนจึงกลายเป็นวิธีการที่นิยมใช้ในการบันทึกข้อมูลตัวเลข ความสอดคล้องกันระหว่างความประทับใจและสัญลักษณ์ รวมถึงลำดับเวลาของรูปแบบที่ประกอบขึ้นนั้น ได้รับการสังเกตและตีพิมพ์ครั้งแรกโดยนักวิชาการเช่น Piere Amiet ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

เมื่อถึงเวลาที่ร่องรอยตัวเลขให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับตัวเลขโบราณ ชาวสุเมเรียนได้พัฒนาเลขคณิต ที่ซับซ้อนแล้ว ^{[ 24 ]}การคำนวณน่าจะดำเนินการโดยใช้โทเค็นหรือโดยใช้ลูกคิดหรือกระดานนับ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

เครื่องหมายตัวเลขและตัวเลข

อักษรลิ่มโบราณ

ในช่วงกลางถึงปลายสหัสวรรษที่สี่ก่อนคริสต์ศักราช รอยประทับตัวเลขที่ใช้กับบุลเลถูกแทนที่ด้วยแผ่นตัวเลขที่มีตัวเลขโปรโตคูนิฟอร์มประทับลงบนดินเหนียวด้วยสไตลัสทรง กลม ที่ถือในมุมต่างๆ เพื่อสร้างรูปทรงต่างๆ ที่ใช้สำหรับเครื่องหมายตัวเลข^{[ 27 ]}เช่นเดียวกับโทเค็นและรอยประทับตัวเลขบนด้านนอกของบุลเล เครื่องหมายตัวเลขแต่ละตัวแสดงถึงทั้งสินค้าที่กำลังนับและปริมาณหรือปริมาตรของสินค้านั้น ตัวเลขเหล่านี้ในไม่ช้าก็มีภาพขนาดเล็กประกอบที่ระบุสินค้าที่กำลังนับ ชาวสุเมเรียนนับวัตถุประเภทต่างๆ ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ดังที่เข้าใจได้จากการวิเคราะห์บันทึกโปรโตคูนิฟอร์มยุคแรกจากเมืองอูรุกมีระบบการนับที่แตกต่างกันมากกว่าสิบสองระบบ^{[ 18 ]}รวมถึงระบบทั่วไปสำหรับการนับวัตถุที่แยกจากกันส่วนใหญ่ (เช่น สัตว์ เครื่องมือ และผู้คน) และระบบเฉพาะสำหรับการนับชีสและผลิตภัณฑ์ธัญพืช ปริมาตรของธัญพืช (รวมถึง หน่วย เศษส่วน ) พื้นที่ดิน และเวลา การนับแบบระบุวัตถุไม่ใช่เรื่องแปลกและได้รับการบันทึกไว้สำหรับผู้คนร่วมสมัยทั่วโลก ระบบสมัยใหม่ดังกล่าวให้ข้อมูลเชิงลึกที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำงานของระบบตัวเลขของชาวสุเมเรียนโบราณ^{[ 28 ]}

อักษรลิ่ม

แผ่นจารึกกฎหมายสมัยบาบิโลนกลางจากอะลาลัคในซอง

ประมาณ 2700 ปีก่อนคริสตกาล ปากกาเขียนแบบกลมเริ่มถูกแทนที่ด้วยปากกาเขียนที่ทำจากต้นกก ซึ่งสร้างรอยประทับรูปทรงลิ่มที่ทำให้ตัวอักษรคูนิฟอร์มได้ชื่อนี้ เช่นเดียวกับเหรียญ รอยประทับตัวเลข และตัวเลขคูนิฟอร์มดั้งเดิม ตัวเลขคูนิฟอร์มในปัจจุบันบางครั้งก็มีความกำกวมในค่าตัวเลขที่แสดง ความกำกวมนี้ส่วนหนึ่งเป็นเพราะหน่วยพื้นฐานของระบบการนับที่ระบุโดยวัตถุนั้นไม่เป็นที่เข้าใจเสมอไป และอีกส่วนหนึ่งเป็นเพราะระบบตัวเลขของชาวสุเมเรียนขาดแบบแผนเช่นจุดทศนิยมเพื่อแยกแยะจำนวนเต็มจากเศษส่วน หรือเลขชี้กำลังสูงจากเลขชี้กำลังต่ำ ประมาณ 2100 ปีก่อนคริสตกาล ระบบตัวเลขฐานหกสิบที่มีค่าประจำ หลัก ได้รับการพัฒนาขึ้นและใช้เพื่อช่วยในการแปลงระหว่างระบบการนับที่ระบุโดยวัตถุ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} ระบบเลขฐาน หกสิบแบบทศนิยมซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขฐานหกสิบแบบอัสซีเรีย-บาบิโลน พัฒนาขึ้นในช่วงสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช สะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลที่เพิ่มขึ้นของชนชาติเซมิติก เช่น ชาวอัคคาเดียนและชาวเอ็บไลต์ แม้ว่าในปัจจุบันจะไม่เป็นที่รู้จักมากนักเมื่อเทียบกับระบบเลขฐานหกสิบ แต่ในที่สุดระบบนี้ก็จะกลายเป็นระบบหลักที่ใช้ทั่วทั้งภูมิภาค โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออิทธิพลทางวัฒนธรรมของชาวสุเมเรียนเริ่มเสื่อมถอยลง^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}

ระบบเลขฐานหกสิบเป็น ระบบ ฐานผสมที่คงฐานสลับกันระหว่าง 10 และ 6 ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของเหรียญ ตัวเลขประทับ และเครื่องหมายตัวเลขแบบอักษรลิ่มดั้งเดิม ระบบเลขฐานหกสิบถูกใช้ในการค้าขาย รวมถึงการคำนวณทางดาราศาสตร์และอื่นๆ ในตัวเลขอาหรับ ระบบเลขฐานหกสิบยังคงใช้ในปัจจุบันเพื่อนับเวลา (วินาทีต่อนาที นาทีต่อชั่วโมง) และมุม ( องศา )

เลขโรมัน

ตัวเลขโรมันพัฒนามาจากสัญลักษณ์ของชาวเอตรัสกันในช่วงกลางสหัสวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 34 ]}ในระบบของชาวเอตรัสกัน สัญลักษณ์ 1 คือเครื่องหมายแนวตั้งเดี่ยว สัญลักษณ์ 10 คือเครื่องหมายขีดนับสองอันที่ไขว้กันในแนวตั้งฉาก และสัญลักษณ์ 100 คือเครื่องหมายขีดนับสามอันที่ไขว้กัน (มีรูปร่างคล้ายกับเครื่องหมายดอกจัน * ในปัจจุบัน) ในขณะที่ 5 (รูปตัววีคว่ำ) และ 50 (รูปตัววีคว่ำที่แบ่งด้วยเครื่องหมายแนวตั้งเดี่ยว) อาจได้มาจากครึ่งล่างของสัญลักษณ์สำหรับ 10 และ 100 แต่ไม่มีคำอธิบายที่น่าเชื่อถือว่าสัญลักษณ์โรมันสำหรับ 100 คือ C นั้น ได้มาจากสัญลักษณ์รูปดอกจันของชาวเอตรัสกันได้อย่างไร^{[ 35 ]}

ดูเพิ่มเติม

ระบบตัวเลขแบบตัวอักษร – ประเภทของระบบตัวเลข
ไม้บรรทัดนับเลข – แท่งเล็กๆ ที่ใช้ในการคำนวณในเอเชียตะวันออกโบราณ
ตัวเลขและเครื่องหมายวรรคตอนในอักษรลิ่ม
ประวัติศาสตร์ของเลขคณิต – สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์เบื้องต้น
ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์
ประวัติความเป็นมาของตัวเลข – ใช้ในการนับ การวัด และการกำหนดป้ายกำกับ
ประวัติความเป็นมาของระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก
ประวัติศาสตร์การเขียน
เจตัน – โทเค็นนับจำนวนคล้ายเหรียญ
รายการหัวข้อเกี่ยวกับระบบตัวเลข
รายชื่อระบบตัวเลข
ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ – ความสัมพันธ์ระหว่างสาขาวิชาต่างๆ
ทฤษฎีจำนวน – สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
ลำดับเหตุการณ์ของคณิตศาสตร์
ลำดับเหตุการณ์ของตัวเลขและเลขคณิต
รายชื่อหนังสือเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ของระบบตัวเลข

บรรณานุกรม

อาเมียต, ปิแอร์ (1966) "Il ya 5,000 Ans Les Élamites Inventaient l'écriture" โบราณคดี . 12 : 6–23 .
อาเมียต, ปิแอร์ (1972a) Mémoires de la délégation Archéologique ในอิหร่าน, Tome XLIII, Mission de Susiane Glyptique Susienne des origines à l'époque des perses achéménides. Cachets, sceaux-cylindres et empreintes Antiques découverts à Suse de 1913 à 1967. ฉบับที่ ฉัน – ข้อความ Mémoires de La Délégation En Perse (MDP) 43 . ปารีส: Librairie Orientaliste Paul Geuthner โอซีแอลซี 310593689 .
อาเมียต, ปิแอร์ (1972b) Mémoires de la délégation Archéologique ในอิหร่าน, Tome XLIII, Mission de Susiane Glyptique Susienne des origines à l'époque des perses achéménides. Cachets, sceaux-cylindres et empreintes Antiques découverts à Suse de 1913 à 1967. ฉบับที่ II – แผน Mémoires de La Délégation En Perse (MDP) 43 . ปารีส: Librairie Orientaliste Paul Geuthner โอซีแอลซี 310593694 .
อาเมียต, ปิแอร์ (1987) "Approche physique de la comptabilité à l'Époque d'Uruk: Les bulles-enveloppes de Suse" ใน Huot, Jean-Louis (เอ็ด) Préhistoire de la Mésopotamie: La Mésopotamie préhistorique และ l'exploration récente du Djebel Hamrin ปารีส: ฉบับ du Centre National de la Recherche Scientifique หน้า 331– 334. ไอเอสบีเอ็น 9782222038542.
Brooks, Alison S. ; Smith, Catherine C. (1987). "Ishango revisited: New age determinations and cultural interpretations". African Archaeological Review . 5 (1): 65– 78. doi : 10.1007/BF01117083 . S2CID 129091602 .
คริสโซมาลิส, สตีเฟน (2010). สัญกรณ์ตัวเลข: ประวัติศาสตร์เปรียบเทียบ . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 9780511683305.
Epps, Patience (2006). "การเติบโตของระบบตัวเลข: การพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของตัวเลขในตระกูลภาษาอเมซอน". Diachronica . 23 (2): 259– 288. doi : 10.1075/dia.23.2.03epp .
D'Errico, Francesco ; Backwell, Lucinda ; Villa, Paola; Degano, Ilaria; Lucejko, Jeanette J.; Bamford, Marion K. ; Higham, Thomas FG ; Colombini, Maria Perla; Beaumont, Peter B. (2012). "หลักฐานเบื้องต้นของวัฒนธรรมวัตถุของชาวซานที่แสดงโดยสิ่งประดิษฐ์อินทรีย์จากถ้ำบอร์เดอร์ ประเทศแอฟริกาใต้" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 109 (33): 13214– 13219. Bibcode : 2012PNAS..10913214D . doi : 10.1073/pnas.1204213109 . PMC 3421171 . PMID 22847420 .
De Heinzelin, Jean (1962). "Ishango". Scientific American . 206 (6): 105– 116. Bibcode : 1962SciAm.206f.105D . doi : 10.1038/scientificamerican0662-105 .
เดอฮาเน, สตานิสลาส (2011). ความรู้สึกเกี่ยวกับตัวเลข: จิตใจสร้างคณิตศาสตร์ได้อย่างไร . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 9780199753871.
Epps, Patience ; Bowern, Claire ; Hansen, Cynthia A.; Hill, Jane H. ; Zentz, Jason (2012). "เกี่ยวกับความซับซ้อนของตัวเลขในภาษาของกลุ่มนักล่าและเก็บเกี่ยว" . Linguistic Typology . 16 (1): 41– 109. doi : 10.1515/lity-2012-0002 . hdl : 1885/61320 . S2CID 120776759 .
Høyrup, Jens (2002). "บันทึกเกี่ยวกับเทคนิคการคำนวณของบาบิโลนโบราณ" . Historia Mathematica . 29 (2): 193– 198. doi : 10.1006/hmat.2002.2343 . สืบค้นเมื่อ7 กรกฎาคม 2022 .
Ifrah, Georges (2000) [1981]. ประวัติศาสตร์สากลของตัวเลข: จากยุคก่อนประวัติศาสตร์จนถึงการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์นิวยอร์ก: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-37568-3.
เคลลี่, เพียร์ส (2020). "ไม้ส่งข้อความของออสเตรเลีย: คำถามเก่า ทิศทางใหม่"วารสารวัฒนธรรมวัตถุ25 ( 2): 133– 152. doi : 10.1177/1359183519858375 . hdl : 21.11116/0000-0003-FDF8-9 . S2CID 198687425 .
Keyser , Paul (1988). "ที่มาของตัวเลขละติน 1 ถึง 1000". American Journal of Archaeology . 92 (4): 529– 546. doi : 10.2307/505248 . JSTOR 505248. S2CID 193086234 .
มาร์แช็ค, อเล็กซานเดอร์ (1972). รากเหง้าแห่งอารยธรรม: จุดเริ่มต้นทางปัญญาของศิลปะ สัญลักษณ์ และการบันทึกของมนุษย์ยุคแรก . นิวยอร์ก: แมคกรอว์ ฮิลล์. ISBN 9781559210416.
มัวร์, แอนดรูว์; แทงยี, ไมเคิล (2000). "หินและสิ่งประดิษฐ์อื่นๆ". ใน มัวร์, แอนดรูว์; แทงยี, ไมเคิล; ฮิลล์แมน, กอร์ดอน ซี; เล็กก์, แอนโทนี เจ (บรรณาธิการ). หมู่บ้านบนแม่น้ำยูเฟรติส: จากการหาอาหารสู่การทำเกษตรกรรมที่อาบู ฮูเรย์รา . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. หน้า 165–186 . ISBN 9780195108071.
นิสเซน, ฮันส์ เจ.; ดาเมโรว์, ปีเตอร์; เอ็งลุนด์, โรเบิร์ต เค. (1993). การบัญชีในยุคโบราณ: การเขียนและเทคนิคการบริหารเศรษฐกิจในยุคแรกในตะวันออกใกล้โบราณ . ชิคาโก, อิลลินอยส์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. ISBN 0-226-58659-6. OCLC 469457678 .
Overmann, Karenleigh A. (2018). "การสร้างแนวคิดเกี่ยวกับจำนวน" . วารสารการรับรู้เชิงตัวเลข . 4 (2): 464– 493. doi : 10.5964/jnc.v4i2.161 . S2CID 52197209 . สืบค้นเมื่อ10 กรกฎาคม 2022 .
โอเวอร์แมนน์, คาเรนลีห์ เอ. (2021a). "มุมมองใหม่เกี่ยวกับตัวเลขโบราณ และสิ่งที่เปิดเผยเกี่ยวกับการนับ"วารสาร การ ศึกษาตะวันออกใกล้80 (2): 291– 321. doi : 10.1086/715767 . S2CID 239028709 .
โอเวอร์แมนน์, คาเรนลีห์ เอ. (2021b). "การนับนิ้วและโครงสร้างเชิงตัวเลข" . Frontiers in Psychology . 12 723492. doi : 10.3389/fpsyg.2021.723492 . PMC 8506119 . PMID 34650482 .
Penner-Wilger, Marcie; Fast, Lisa; LeFevre, Jo-Anne ; Smith-Chant, Brenda L; Skwarchuk, Sheri-Lynn ; Kamawar, Deepthi; Bisanz, Jeffrey (2007). "รากฐานของทักษะการคำนวณ: การนับจำนวนอย่างรวดเร็ว, การรับรู้ตำแหน่งของนิ้ว และความสามารถในการเคลื่อนไหวกล้ามเนื้อเล็ก" ใน McNamara, DS; Trafton, JG (บรรณาธิการ). รายงานการประชุมประจำปีครั้งที่ 29 ของสมาคมวิทยาศาสตร์การรู้คิด . Lawrence Erlbaum Associates. หน้า 1385–1390 . ISBN 9780976831839.
เพลทเซอร์, วลาดิเมียร์ ; ไฮล์บรูค, เดิร์ก (2015) "ความขัดแย้งและÉtroitesse de Vues Dans 'Fables d'Ishango, Ou l'irrésistible Tentation de La Mathématique-Fiction,' Réponses et Mises Au Point" arXiv : 1607.00860 [ math.HO ].
ร็อบสัน, เอลีนอร์ (2007). "คณิตศาสตร์เมโสโปเตเมีย". ในคัตซ์, วิคเตอร์ (บรรณาธิการ). คณิตศาสตร์ของอียิปต์ เมโสโปเตเมีย จีน อินเดีย และอิสลาม: หนังสือรวบรวมข้อมูล . พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 9780691235394.
รูยง, อังเดร (2006) Au Gravettien, Dans La Grotte Cosquer (มาร์กเซย, Bouches-Du-Rhône), l'Homme at-Il Compté Sur Ses Doigts?" . มานุษยวิทยา . 110 (4): 500– 509. ดอย : 10.1016/j.anthro.2006.07.003 .
Schmandt-Besserat, Denise (1989). "สองต้นกำเนิดของการเขียน: สัญลักษณ์ธรรมดาและสัญลักษณ์ซับซ้อน" ใน Senner, Wayne M. (บรรณาธิการ). ต้นกำเนิดของการเขียน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเนบราสกา. หน้า 27–41 . ISBN 9780803242029.
Schmandt-Besserat, Denise (1996). จุดเริ่มต้นของการเขียน . ออสติน, เท็กซัส: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเท็กซัส. ISBN 0-292-77704-3.
Thureau-Dangin, François (1939). "ภาพร่างประวัติศาสตร์ของระบบเลขฐานหกสิบ" . Osiris . 7 : 95– 141. doi : 10.1086/368503 . S2CID 144051854 . สืบค้นเมื่อ11 กรกฎาคม 2022 .
วูดส์, คริสโตเฟอร์ (2017). "ลูกคิดในเมโสโปเตเมีย: ข้อพิจารณาจากมุมมองเชิงเปรียบเทียบ" ใน เฟลิอู, ลูอิส; คาราฮาชิ, ฟูมิ; รูบิโอ, กอนซาโล (บรรณาธิการ). เก้าสิบปีแรก: งานเฉลิมฉลอง ของชาวสุเมเรียนเพื่อเป็นเกียรติแก่มิเกล ซิวิลบอสตัน: วอลเตอร์ เดอ กรูยเตอร์ หน้า 416–478 ISBN 9781501503726.
Zimansky, Paul (1993). "บทวิจารณ์หนังสือBefore Writingเล่มที่ 1 และ 2 ของ Denise Schmandt-Besserat". Journal of Field Archaeology . 20 (4): 513– 517. doi : 10.2307/530080 . JSTOR 530080 .

อ่านเพิ่มเติม

Schmandt-Besserat, Denise (1978). " ต้นกำเนิดการเขียนที่เก่าแก่ที่สุด" Scientific American . 238 (6): 50– 59. Bibcode : 1978SciAm.238f..50S . doi : 10.1038/scientificamerican0678-50 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24955753. S2CID 121339828. สืบค้นเมื่อ24 กันยายน 2022 .
Schmandt-Besserat, Denise (1982). "การเกิดขึ้นของการบันทึก" . American Anthropologist . New Series. 84 (4): 871– 878. doi : 10.1525/aa.1982.84.4.02a00110 . JSTOR 676498 . สืบค้นเมื่อ24 กันยายน 2022 .

ลิงก์ภายนอก

"ประวัติของระบบการนับและตัวเลข" สืบค้นเมื่อ 11 ธันวาคม 2548

1 ] เทคนิค

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]